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4.6: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 2)

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Simplifique expresiones con una barra de fracciones

    ¿A dónde va el signo negativo en una fracción? Por lo general, el signo negativo se coloca frente a la fracción, pero a veces verá una fracción con un numerador o denominador negativo. Recuerda que las fracciones representan división. La fracción\(− \dfrac{1}{3}\) podría ser el resultado de dividir\(\dfrac{−1}{3}\), un negativo por un positivo, o de dividir\(\dfrac{1}{−3}\), un positivo por otro negativo. Cuando el numerador y el denominador tienen signos diferentes, el cociente es negativo.

    \[\dfrac{-1}{3} = - \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{negative}{positive} = negative \quad \dfrac{1}{-3} = - \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{positive}{negative} = negative \tag{4.3.46} \nonumber \]

    Si tanto el numerador como el denominador son negativos, entonces la fracción misma es positiva porque estamos dividiendo un negativo por otro negativo.

    \[\dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{negative}{negative} = positive \tag{4.3.47} \nonumber \]

    Colocación de Signo Negativo en una Fracción

    Para cualquier número positivo\(a\) y\(b\),

    \[\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b} \]

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\): equivalent fractions

    ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(\dfrac{7}{−8}\)?

    \[\dfrac{-7}{-8}, \dfrac{-7}{8}, \dfrac{7}{8}, - \dfrac{7}{8} \nonumber \]

    Solución

    El cociente de un positivo y un negativo es un negativo, por lo que lo\(\dfrac{7}{−8}\) es negativo. De las fracciones enumeradas,\(\dfrac{−7}{8}\) y también\(− \dfrac{7}{8}\) son negativas.

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(\dfrac{-3}{5}\)?

    \[\dfrac{-3}{-5}, \dfrac{3}{5}, - \dfrac{3}{5}, \dfrac{3}{-5} \nonumber \]

    Contestar

    \(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{3}{-5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(- \dfrac{2}{7}\)?

    \[\dfrac{-2}{-7}, \dfrac{-2}{7}, \dfrac{2}{7}, \dfrac{2}{-7} \nonumber \]

    Contestar

    \(\dfrac{-2}{7}, \dfrac{2}{-7}\)

    Las barras de fracción actúan como símbolos de agrupación. Las expresiones por encima y por debajo de la barra de fracciones deben tratarse como si estuvieran entre paréntesis. Por ejemplo,\(\dfrac{4 + 8}{5 − 3}\) significa\((4 + 8) ÷ (5 − 3)\). El orden de las operaciones nos dice que primero simplifiquemos el numerador y el denominador —como si hubiera paréntesis— antes de dividirnos.

    Vamos a añadir barras de fracción a nuestro conjunto de símbolos de agrupación de Use the Language of Algebra para tener un conjunto más completo aquí.

    Agrupación de símbolos

    Se muestran paréntesis, corchetes, llaves, un signo de valor absoluto y una barra de fracción.

    CÓMO: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN CON UNA BARRA

    Paso 1. Simplifica el numerador.

    Paso 2. Simplifica el denominador.

    Paso 3. Simplifica la fracción.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Simplificar:\(\dfrac{4 + 8}{5 − 3}\).

    Solución

    Simplifica la expresión en el numerador. \(\dfrac{12}{5 - 3}\)
    Simplifica la expresión en el denominador. \(\dfrac{12}{2}\)
    Simplifica la fracción. \(6\)
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Simplificar:\(\dfrac{4 + 6}{11 − 2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{10}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Simplificar:\(\dfrac{3 + 5}{18− 2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{1}{2}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Simplificar:\(\dfrac{4 − 2(3)}{2^{2} + 2}\).

    Solución

    Utilizar el orden de las operaciones. Multiplica en el numerador y usa el exponente en el denominador. \(\dfrac{4 - 6}{4 + 2}\)
    Simplifica el numerador y el denominador. \(\dfrac{-2}{6}\)
    Simplifica la fracción. \(- \dfrac{1}{3}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Simplificar:\(\dfrac{6 − 3(5)}{3^{2} + 3}\).

    Contestar

    \(\dfrac{-3}{4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Simplificar:\(\dfrac{4 − 4(6)}{3^{3} + 3}\).

    Contestar

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{(8 − 4)^{2}}{8^{2} − 4^{2}}\).

    Solución

    Utilice el orden de las operaciones (primero entre paréntesis, luego exponentes). \(\dfrac{(4)^{2}}{64 - 16}\)
    Simplifica el numerador y denominador. \(\dfrac{16}{48}\)
    Simplifica la fracción. \(\dfrac{1}{3}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Simplificar:\(\dfrac{(11 − 7)^{2}}{11^{2} − 7^{2}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Simplificar:\(\dfrac{(6 + 2)^{2}}{6^{2} − 2^{2}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{8}{5}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{4(−3) + 6(−2)}{−3(2)−2}\).

    Solución

    Multiplicar. \(\dfrac{-12 + (-12)}{-6 - 2}\)
    Simplificar. \(\dfrac{-24}{-8} \)
    Dividir. \(3 \)
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Simplificar:\(\dfrac{8(−2) + 4(−3)}{−5(2) + 3}\).

    Contestar

    \(4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Simplificar:\(\dfrac{7(−1) + 9(−3)}{−5(3) + 2}\).

    Contestar

    \(2\)

    Conceptos clave

    • Multiplicar o dividir números mixtos.
      1. Convertir los números mixtos en fracciones impropias.
      2. Siga las reglas para la multiplicación o división de fracciones.
      3. Simplificar si es posible.
    • Simplifica una fracción compleja.
      1. Reescribir la fracción compleja como problema de división.
      2. Sigue las reglas para dividir fracciones.
      3. Simplificar si es posible.
    • Colocación de signo negativo en una fracción.
      • Para cualquier número positivo\(a\) y\(b\),\(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\).
    • Simplifica una expresión con una barra de fracciones.
      1. Simplifica el numerador.
      2. Simplifica el denominador.
      3. Simplifica la fracción.

    Glosario

    fracción compleja

    Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción.

    La práctica hace la perfección

    Multiplicar y dividir números mixtos

    En los siguientes ejercicios, multiplique y escriba la respuesta de forma simplificada.

    1. \(4 \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{7}{10}\)
    2. \(2 \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{6}{7}\)
    3. \(\dfrac{15}{22} \cdot 3 \dfrac{3}{5}\)
    4. \(\dfrac{25}{36} \cdot 6 \dfrac{3}{10}\)
    5. \(4 \dfrac{2}{3} (−1 \dfrac{1}{8})\)
    6. \(2 \dfrac{2}{5} (−2 \dfrac{2}{9})\)
    7. \(−4 \dfrac{4}{9} \cdot 5 \dfrac{13}{16}\)
    8. \(−1 \dfrac{7}{20} \cdot 2 \dfrac{11}{12}\)

    En los siguientes ejercicios, divide y escribe tu respuesta de forma simplificada.

    1. \(5 \dfrac{1}{3}\)÷ 4
    2. \(13 \dfrac{1}{2}\)÷ 9
    3. −12 ÷\(3 \dfrac{3}{11}\)
    4. −7 ÷\(5 \dfrac{1}{4}\)
    5. \(6 \dfrac{3}{8} \div 2 \dfrac{1}{8}\)
    6. \(2 \dfrac{1}{5} \div 1 \dfrac{1}{10}\)
    7. \(−9 \dfrac{3}{5} \div (−1 \dfrac{3}{5})\)
    8. \(−18 \dfrac{3}{4} \div (−3 \dfrac{3}{4})\)

    Traducir Frases a Expresiones con Fracciones

    En los siguientes ejercicios, traduzca cada frase en inglés a una expresión algebraica.

    1. el cociente de 5u y 11
    2. el cociente de 7v y 13
    3. el cociente de p y q
    4. el cociente de a y b
    5. el cociente de r y la suma de s y 10
    6. el cociente de A y la diferencia de 3 y B

    Simplificar fracciones complejas

    En los siguientes ejercicios, simplificar la fracción compleja.

    1. \(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{8}{9}}\)
    2. \(\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{8}{15}}\)
    3. \(\dfrac{− \dfrac{8}{21}}{\dfrac{12}{35}}\)
    4. \(\dfrac{− \dfrac{9}{16}}{\dfrac{33}{40}}\)
    5. \(\dfrac{− \dfrac{4}{5}}{2}\)
    6. \(\dfrac{− \dfrac{9}{10}}{3}\)
    7. \(\dfrac{\dfrac{2}{5}}{8}\)
    8. \(\dfrac{\dfrac{5}{3}}{10}\)
    9. \(\dfrac{\dfrac{m}{3}}{\dfrac{n}{2}}\)
    10. \(\dfrac{\dfrac{r}{5}}{\dfrac{s}{3}}\)
    11. \(\dfrac{− \dfrac{x}{6}}{− \dfrac{8}{9}}\)
    12. \(\dfrac{− \dfrac{3}{8}}{− \dfrac{y}{12}}\)
    13. \(\dfrac{2 \dfrac{4}{5}}{\dfrac{1}{10}}\)
    14. \(\dfrac{4 \dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{6}}\)
    15. \(\dfrac{\dfrac{7}{9}}{−2 \dfrac{4}{5}}\)
    16. \(\dfrac{\dfrac{3}{8}}{−6 \dfrac{3}{4}}\)

    Simplifique expresiones con una barra de fracciones

    En los siguientes ejercicios, identificar las fracciones equivalentes.

    1. ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(\dfrac{5}{−11}\)? $$\ dfrac {−5} {−11},\ dfrac {−5} {11},\ dfrac {5} {11}, −\ dfrac {5} {11} $$
    2. ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(\dfrac{−4}{9}\)? $$\ dfrac {−4} {−9},\ dfrac {−4} {9},\ dfrac {4} {9}, −\ dfrac {4} {9} $$
    3. ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(− \dfrac{11}{3}\)? $$\ dfrac {−11} {3},\ dfrac {11} {3},\ dfrac {−11} {−3},\ dfrac {11} {−3} $$
    4. ¿A cuál de las siguientes fracciones equivalen\(− \dfrac{13}{6}\)? $$\ dfrac {13} {6},\ dfrac {13} {−6},\ dfrac {−13} {−6},\ dfrac {−13} {6} $$

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. \(\dfrac{4 + 11}{8}\)
    2. \(\dfrac{9 + 3}{7}\)
    3. \(\dfrac{22 + 3}{10}\)
    4. \(\dfrac{19 − 4}{6}\)
    5. \(\dfrac{48}{24 − 15}\)
    6. \(\dfrac{46}{4 + 4}\)
    7. \(\dfrac{−6 + 6}{8 + 4}\)
    8. \(\dfrac{−6 + 3}{17 − 8}\)
    9. \(\dfrac{22 − 14}{19 − 13}\)
    10. \(\dfrac{15 + 9}{18 + 12}\)
    11. \(\dfrac{5 \cdot 8}{−10}\)
    12. \(\dfrac{3 \cdot 4}{−24}\)
    13. \(\dfrac{4 \cdot 3}{6 \cdot 6}\)
    14. \(\dfrac{6 \cdot 6}{9 \cdot 2}\)
    15. \(\dfrac{4^{2} − 1}{25}\)
    16. \(\dfrac{7^{2} + 1}{60}\)
    17. \(\dfrac{8 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{14 + 3}\)
    18. \(\dfrac{9 \cdot 6 − 4 \cdot 7}{22 + 3}\)
    19. \(\dfrac{15 \cdot 5 − 5^{2}}{2 \cdot 10}\)
    20. \(\dfrac{12 \cdot 9 − 3^{2}}{3 \cdot 18}\)
    21. \(\dfrac{5 \cdot 6 − 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 − 2 \cdot 3}\)
    22. \(\dfrac{8 \cdot 9 − 7 \cdot 6}{5 \cdot 6 − 9 \cdot 2}\)
    23. \(\dfrac{5^{2} − 3^{2}}{3 − 5}\)
    24. \(\dfrac{6^{2} − 4^{2}}{4 − 6}\)
    25. \(\dfrac{2 + 4(3)}{−3 − 2^{2}}\)
    26. \(\dfrac{7 + 3(5)}{−2 − 3^{2}}\)
    27. \(\dfrac{7 \cdot 4 − 2(8 − 5)}{9 \cdot 3 − 3 \cdot 5}\)
    28. \(\dfrac{9 \cdot 7 − 3(12 − 8)}{8 \cdot 7 − 6 \cdot 6}\)
    29. \(\dfrac{9(8 − 2)−3(15 − 7)}{6(7 − 1)−3(17 − 9)}\)
    30. \(\dfrac{8(9 − 2)−4(14 − 9)}{7(8 − 3)−3(16 − 9)}\)

    Matemáticas cotidianas

    1. Hornear Una receta de galletas con chispas de chocolate requiere\(2 \dfrac{1}{4}\) tazas de harina. Graciela quiere duplicar la receta.
      1. ¿Cuánta harina necesitará Graciela? Muestra tu cálculo. Escribe tu resultado como una fracción impropia y como un número mixto.
      2. Las tazas medidoras generalmente vienen en juegos con tazas para\(\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\), y 1 taza. Dibuja un diagrama para mostrar dos formas diferentes en las que Graciela podría medir la harina necesaria para duplicar la receta.
    2. Hornear Una caseta en la feria del condado vende dulce de azúcar por libra. Su galardonado dulce de azúcar “Sobredosis de Chocolate” contiene\(2 \dfrac{2}{3}\) tazas de chispas de chocolate por libra.
      1. ¿Cuántas tazas de chispas de chocolate hay en media libra del dulce de azúcar?
      2. Los dueños de la caseta hacen el dulce de azúcar en lotes de 10 libras. ¿Cuántas chispas de chocolate necesitan para hacer un lote de 10 libras? Escribe tus resultados como fracciones impropias y como números mixtos.

    Ejercicios de escritura

    1. Explicar cómo encontrar el recíproco de un número mixto.
    2. Explicar cómo multiplicar números mixtos.
    3. Randy piensa que\(3 \dfrac{1}{2} \cdot 5 \dfrac{1}{4}\) es así\(15 \dfrac{1}{8}\). Explique qué tiene de malo el pensamiento de Randy.
    4. Explique por qué\(− \dfrac{1}{2}, \dfrac{−1}{2}\), y\(\dfrac{1}{−2}\) son equivalentes.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

    Colaboradores y Atribuciones


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