4.7: Suma y resta fracciones con denominadores comunes
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- Sumar fracciones con denominador común
- Modelo de sustracción de fracciones
- Restar fracciones con un denominador común
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar:\(2x + 9 + 3x − 4\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.10.
- Dibuja un modelo de la fracción\(\dfrac{3}{4}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.1.2.
- Simplificar:\(\dfrac{3 + 2}{6}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.3.12.
Adición de Fracción Modelo
¿Cuántos cuartos se muestran en la foto? Un cuarto más\(2\) trimestres equivale a\(3\) trimestres.
Figura\(\PageIndex{1}\)
Recuerden, los trimestres son realmente fracciones de un dólar. Los cuartos son otra forma de decir cuartos. Entonces la imagen de las monedas muestra que
\[\begin{split} \dfrac{1}{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{2}{4} \qquad & \qquad \qquad \dfrac{3}{4} \\ one \; quarter + two \; quarters &= three\; quarters \end{split} \nonumber \]
Usemos círculos de fracciones para modelar el mismo ejemplo,\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}\).
| Comienza con una sola\(\dfrac{1}{4}\) pieza. |  |
\(\dfrac{1}{4}\) |
| Agrega dos\(\dfrac{1}{4}\) piezas más. |  |
\(+ \dfrac{2}{4}\) |
| El resultado es\(\dfrac{3}{4}\). |  |
\(\dfrac{3}{4}\) |
Así que de nuevo, vemos que
\[\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4} \nonumber \]
Usa un modelo para encontrar la suma\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\).
Solución
| Comienza con tres\(\dfrac{1}{8}\) piezas. |  |
\(\dfrac{3}{8}\) |
| Agrega dos\(\dfrac{1}{8}\) piezas. |  |
\(+ \dfrac{2}{8}\) |
| ¿Cuántas\(\dfrac{1}{8}\) piezas hay? |  |
\(\dfrac{5}{8}\) |
Hay cinco\(\dfrac{1}{8}\) piezas, o cinco octavos. El modelo lo demuestra\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\).
Usa un modelo para encontrar cada suma. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo. \[\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} \nonumber \]
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{8}\)
Usa un modelo para encontrar cada suma. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo. \[\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} \nonumber \]
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{6}\)
Añadir Fracciones con un Denominador Común
El ejemplo\(\PageIndex{1}\) muestra que para agregar las piezas del mismo tamaño, es decir, que las fracciones tienen el mismo denominador, simplemente agregamos el número de piezas.
Si\(a\),\(b\), y\(c\) son los números donde\(c ≠ 0\), entonces
\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\]
Para sumar fracciones con denominador común, sumar los numeradores y colocar la suma sobre el denominador común.
Encuentra la suma:\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\).
Solución
| Agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. | \(\dfrac{3 + 1}{5}\) |
| Simplificar. | \(\dfrac{4}{5}\) |
Encuentra cada suma:\(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{6}\)
Encuentra cada suma:\(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10}\).
- Contestar
-
\(1\)
Encuentra la suma:\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}\).
Solución
| Agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. | \(\dfrac{x + 2}{3}\) |
Tenga en cuenta que ya no podemos simplificar esta fracción. Ya que\(x\) y no\(2\) son como términos, no podemos combinarlos.
Encuentra la suma:\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{x+3}{4}\)
Encuentra la suma:\(\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{y+5}{8}\)
Encuentra la suma:\(− \dfrac{9}{d} + \dfrac{3}{d}\).
Solución
Comenzaremos reescribiendo la primera fracción con el signo negativo en el numerador.
\[− \dfrac{a}{b} = \dfrac{−a}{b} \nonumber \]
| Reescribe la primera fracción con el negativo en el numerador. | \(\dfrac{-9}{d} + \dfrac{3}{d}\) |
| Agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. | \(\dfrac{-9 + 3}{d}\) |
| Simplifica el numerador. | \(\dfrac{-6}{d}\) |
| Reescribir con signo negativo delante de la fracción. | \(- \dfrac{6}{d}\) |
Encuentra la suma:\(− \dfrac{7}{d} + \dfrac{8}{d}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{d}\)
Encuentra la suma:\(− \dfrac{6}{m} + \dfrac{9}{m}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{m}\)
Encuentra la suma:\(\dfrac{2n}{11} + \dfrac{5n}{11}\).
Solución
| Agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. | \(\dfrac{2n + 5n}{11}\) |
| Combina términos similares. | \(\dfrac{7n}{11}\) |
Encuentra la suma:\(\dfrac{3p}{8} + \dfrac{6p}{8}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{9p}{8}\)
Encuentra la suma:\(\dfrac{2q}{5} + \dfrac{7q}{5}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{9q}{5}\)
Encuentra la suma:\(− \dfrac{3}{12} + \left(− \dfrac{5}{12}\right)\).
Solución
| Agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. | \(\dfrac{-3 + (-5)}{12}\) |
| Agregar. | \(\dfrac{-8}{12}\) |
| Simplifica la fracción. | \(-\dfrac{2}{3}\) |
Encuentra cada suma:\(− \dfrac{4}{15} + \left(− \dfrac{6}{15}\right)\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{2}{3}\)
Encuentra cada suma:\(− \dfrac{5}{21} + \left(− \dfrac{9}{21}\right)\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{2}{3}\)
Modelo de sustracción de fracciones
Restar dos fracciones con denominadores comunes es muy parecido a sumar fracciones. Piensa en una pizza que se cortó en\(12\) rodajas. Supongamos que se comen cinco piezas para la cena. Esto quiere decir que, después de la cena, quedan siete piezas (o\(\dfrac{7}{12}\) de la pizza) en la caja. Si Leonardo come\(2\) de estas piezas restantes (o\(\dfrac{2}{12}\) de la pizza), ¿cuánto queda? Quedarían\(5\) piezas (o\(\dfrac{5}{12}\) de la pizza).
\[\dfrac{7}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12} \nonumber \]
Usemos círculos de fracciones para modelar el mismo ejemplo,\(\dfrac{7}{12} − \dfrac{2}{12}\). Comienza con siete\(\dfrac{1}{12}\) piezas. Llévate dos\(\dfrac{1}{12}\) piezas. ¿Cuántas doceavos quedan?
Figura\(\PageIndex{2}\)
Nuevamente, tenemos cinco doceavos,\(\dfrac{5}{12}\).
Usa círculos de fracciones para encontrar la diferencia:\(\dfrac{4}{5} − \dfrac{1}{5}\).
Solución
Comienza con cuatro\(\dfrac{1}{5}\) piezas. Llévate una\(\dfrac{1}{5}\) pieza. Cuente cuántas quintas partes quedan. Quedan tres\(\dfrac{1}{5}\) piezas.
Usa un modelo para encontrar cada diferencia. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo. \(\dfrac{7}{8} − \dfrac{4}{8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{8}\), los modelos pueden diferir.
Usa un modelo para encontrar cada diferencia. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo. \(\dfrac{5}{6} − \dfrac{4}{6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{6}\), los modelos pueden diferir.
Restar fracciones con un denominador común
Restamos fracciones con un denominador común de la misma manera que sumamos fracciones con un denominador común.
Si\(a\),\(b\), y\(c\) son los números donde\(c ≠ 0\), entonces
\[\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\]
Para restar fracciones con un denominador común, restamos los numeradores y colocamos la diferencia sobre el denominador común.
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{23}{24} − \dfrac{14}{24}\).
Solución
| Restar los numeradores y colocar la diferencia sobre el denominador común. | \(\dfrac{23 - 14}{24}\) |
| Simplifica el numerador. | \(\dfrac{9}{24}\) |
| Simplifica la fracción eliminando factores comunes. | \(\dfrac{3}{8}\) |
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{19}{28} − \dfrac{7}{28}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{7}\)
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{27}{32} − \dfrac{11}{32}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{2}\)
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{y}{6} − \dfrac{1}{6}\).
Solución
| Restar los numeradores y colocar la diferencia sobre el denominador común. | \(\dfrac{y - 1}{6}\) |
La fracción se simplifica porque no podemos combinar los términos en el numerador.
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{x}{7} − \dfrac{2}{7}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{x-2}{7}\)
Encuentra la diferencia:\(\dfrac{y}{14} − \dfrac{13}{14}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{y-13}{14}\)
Encuentra la diferencia:\(− \dfrac{10}{x} − \dfrac{4}{x}\).
Solución
Recuerda, la fracción se\(− \dfrac{10}{x}\) puede escribir como\(\dfrac{−10}{x}\).
| Restar los numeradores. | \(\dfrac{-10 - 4}{x}\) |
| Simplificar. | \(\dfrac{-14}{x}\) |
| Reescribir con el signo negativo delante de la fracción. | \(- \dfrac{14}{x}\) |
Encuentra la diferencia:\(− \dfrac{9}{x} − \dfrac{7}{x}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{16}{x}\)
Encuentra la diferencia:\(− \dfrac{17}{a} − \dfrac{5}{a}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{22}{a}\)
Ahora hagamos un ejemplo que implique tanto suma como resta.
Simplificar:\(\dfrac{3}{8} + \left(- \dfrac{5}{8}\right) − \dfrac{1}{8}\).
Solución
| Combina los numeradores sobre el denominador común. | \(\dfrac{3 + (-5) - 1}{8}\) |
| Simplifica el numerador, trabajando de izquierda a derecha. | \(\dfrac{-2 - 1}{8}\) |
| Restar los términos en el numerador. | \(\dfrac{-3}{8}\) |
| Reescribir con el signo negativo delante de la fracción. | \(- \dfrac{3}{8}\) |
Simplificar:\(\dfrac{2}{5} + \left(− \dfrac{4}{5}\right) − \dfrac{3}{5}\).
- Contestar
-
\(-1\)
Simplificar:\(\dfrac{5}{9} + \left(− \dfrac{4}{9}\right) − \dfrac{7}{9}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{2}{3}\)
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Conceptos clave
- Adición de Fracción
- Si\(a,b,\)y\(c\) son los números donde\(c\neq 0\), entonces\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)
- Para sumar fracciones, sumar los numeradores y colocar la suma sobre el denominador común.
- Resta de Fracciones
- Si\(a,b,\)y\(c\) son los números donde\(c\neq 0\), entonces\(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
- Para restar fracciones, restar los numeradores y colocar la diferencia sobre el denominador común.
La práctica hace la perfección
Adición de Fracción Modelo
En los siguientes ejercicios, utilice un modelo para sumar las fracciones. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo.
- \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\)
- \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}\)
- \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6}\)
- \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8}\)
Añadir Fracciones con un Denominador Común
En los siguientes ejercicios, encuentra cada suma.
- \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9}\)
- \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}\)
- \(\dfrac{6}{13} + \dfrac{7}{13}\)
- \(\dfrac{9}{15} + \dfrac{7}{15}\)
- \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\)
- \(\dfrac{y}{3} + \dfrac{2}{3}\)
- \(\dfrac{7}{p} + \dfrac{9}{p}\)
- \(\dfrac{8}{q} + \dfrac{6}{q}\)
- \(\dfrac{8b}{9} + \dfrac{3b}{9}\)
- \(\dfrac{5a}{7} + \dfrac{4a}{7}\)
- \(\dfrac{-12y}{8} + \dfrac{3y}{8}\)
- \(\dfrac{-11x}{5} + \dfrac{7x}{5}\)
- \(− \dfrac{1}{8} + \left(− \dfrac{3}{8}\right)\)
- \(− \dfrac{1}{8} + \left(− \dfrac{5}{8}\right)\)
- \(− \dfrac{3}{16} + \left(− \dfrac{7}{16}\right)\)
- \(− \dfrac{5}{16} + \left(− \dfrac{9}{16}\right)\)
- \(− \dfrac{8}{17} + \dfrac{15}{17}\)
- \(− \dfrac{9}{19} + \dfrac{17}{19}\)
- \(− \dfrac{6}{13} + \left(− \dfrac{10}{13}\right) + \left(- \dfrac{12}{13}\right)\)
- \(− \dfrac{5}{12} + \left(− \dfrac{7}{12}\right) + \left(- \dfrac{11}{12}\right)\)
Modelo de sustracción de fracciones
En los siguientes ejercicios, utilice un modelo para restar las fracciones. Muestra un diagrama para ilustrar tu modelo.
- \(\dfrac{5}{8} − \dfrac{2}{8}\)
- \(\dfrac{5}{6} − \dfrac{2}{6}\)
Restar fracciones con un denominador común
En los siguientes ejercicios, encuentra la diferencia.
- \(\dfrac{4}{5} − \dfrac{1}{5}\)
- \(\dfrac{4}{5} − \dfrac{3}{5}\)
- \(\dfrac{11}{15} − \dfrac{7}{15}\)
- \(\dfrac{9}{13} − \dfrac{4}{13}\)
- \(\dfrac{11}{12} − \dfrac{5}{12}\)
- \(\dfrac{7}{12} − \dfrac{5}{12}\)
- \(\dfrac{4}{21} − \dfrac{19}{21}\)
- \(- \dfrac{8}{9} − \dfrac{16}{9}\)
- \(\dfrac{y}{17} − \dfrac{9}{17}\)
- \(\dfrac{x}{19} − \dfrac{8}{19}\)
- \(\dfrac{5y}{8} − \dfrac{7}{8}\)
- \(\dfrac{11z}{13} − \dfrac{8}{13}\)
- \(- \dfrac{8}{d} − \dfrac{3}{d}\)
- \(- \dfrac{7}{c} − \dfrac{7}{c}\)
- \(- \dfrac{23}{u} − \dfrac{15}{u}\)
- \(- \dfrac{29}{v} − \dfrac{26}{v}\)
- \(- \dfrac{6c}{7} − \dfrac{5c}{7}\)
- \(- \dfrac{12d}{11} − \dfrac{9d}{11}\)
- \(\dfrac{-4r}{13} − \dfrac{5r}{13}\)
- \(\dfrac{-7s}{3} − \dfrac{7s}{3}\)
- \(- \dfrac{3}{5} − \left(- \dfrac{4}{5}\right)\)
- \(- \dfrac{3}{7} − \left(- \dfrac{5}{7}\right)\)
- \(- \dfrac{7}{9} − \left(- \dfrac{5}{9}\right)\)
- \(- \dfrac{8}{11} − \left(- \dfrac{5}{11}\right)\)
Práctica Mixta
En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y escriba sus respuestas en forma simplificada.
- \(− \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{9}{10}\)
- \(− \dfrac{3}{14} \cdot \dfrac{7}{12}\)
- \(\dfrac{n}{5} − \dfrac{4}{5}\)
- \(\dfrac{6}{11} − \dfrac{s}{11}\)
- \(- \dfrac{7}{24} − \dfrac{2}{24}\)
- \(- \dfrac{5}{18} − \dfrac{1}{18}\)
- \(\dfrac{8}{15} \div \dfrac{12}{5}\)
- \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{9}{28}\)
Matemáticas cotidianas
- Trail Mix Jacob está mezclando nueces y pasas para hacer trail mix. Tiene\(\dfrac{6}{10}\) de una libra de nueces y\(\dfrac{3}{10}\) de una libra de pasas. ¿Cuánta mezcla de trail puede hacer?
- Para hornear Janet necesita\(\dfrac{5}{8}\) una taza de harina para una receta que está haciendo. Ella sólo tiene\(\dfrac{3}{8}\) de una taza de harina y le pedirá prestado el resto a su vecina de al lado. ¿Cuánta harina tiene que pedir prestada?
Ejercicios de escritura
- Greg dejó caer su caja de brocas y tres de las brocas se cayeron. La caja tiene ranuras para las brocas, y las ranuras están dispuestas en orden de menor a mayor. Greg necesita poner los bits que se cayeron de nuevo en la caja en las ranuras vacías. ¿A dónde van los tres bits? Explique cómo sabe.
Bits en caso de:\(\dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{8}\), ___, ___\(\dfrac{5}{16}, \dfrac{3}{8}\), ___,\(\dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{16}, \dfrac{5}{8}\).
Bits que se cayeron:\(\dfrac{7}{16}, \dfrac{3}{16}, \dfrac{1}{4}\).
- Después de una fiesta, Lupe tiene\(\dfrac{5}{12}\) de una pizza de queso,\(\dfrac{4}{12}\) de una pizza de peperoni, y\(\dfrac{4}{12}\) de una pizza vegetariana a la izquierda. ¿Todas las rebanadas caben en 1 caja de pizza? Explica tu razonamiento.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?