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5.13: Simplificar y Usar Raíces Cuadradas (Parte 2)

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    114291
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    Raíces Cuadradas Aproximadas con una Calculadora

    Existen métodos matemáticos para aproximar raíces cuadradas, pero es mucho más conveniente usar una calculadora para encontrar raíces cuadradas. Encuentra la\(\sqrt{x}\) clave\(\sqrt{\text{ }}\) o en tu calculadora. Utilizarás esta clave para aproximar raíces cuadradas. Cuando usas tu calculadora para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto, la respuesta que ves no es el número exacto. Se trata de una aproximación, al número de dígitos que se muestran en la pantalla de tu calculadora. El símbolo para una aproximación es ≈ y se lee aproximadamente.

    Supongamos que su calculadora tiene una pantalla de 10 dígitos. Usarlo para encontrar la raíz cuadrada de 5 dará 2.236067977. Esta es la raíz cuadrada aproximada de 5. Cuando informamos la respuesta, debemos usar el signo “aproximadamente igual a” en lugar de un signo igual.

    \[\sqrt{5} \approx 2.236067978\]

    Rara vez usará tantos dígitos para aplicaciones en álgebra. Entonces, si quisieras redondear\(\sqrt{5}\) a dos decimales, escribirías

    \[\sqrt{5} \approx 2.24\]

    ¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no los valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos.

    \[\begin{split} 2.236067978^{2} & = 5.000000002 \\ 2.24^{2} & = 5.0176 \end{split}\]

    Los cuadrados están cerca, pero no exactamente iguales, a 5.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

    Redondear\(\sqrt{17}\) a dos decimales usando una calculadora.

    Solución

    Utilice la clave de raíz cuadrada de la calculadora. 4.123105626
    Redondear a dos decimales. 4.12
      $$\ sqrt {17}\ aprox 4.12$$
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\):

    Redondear\(\sqrt{11}\) a dos decimales.

    Responder

    \( \approx 3.32\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\):

    Redondear\(\sqrt{13}\) a dos decimales

    Responder

    \( \approx 3.61\)

    Simplifique las expresiones variables con raíces cuadradas

    Las expresiones con raíz cuadrada que hemos mirado hasta ahora no han tenido ninguna variable. ¿Qué sucede cuando tenemos que encontrar una raíz cuadrada de una expresión variable?

    Considerar\(\sqrt{9x^{2}}\), donde x ≥ 0. ¿Se te ocurre una expresión cuyo cuadrado es 9x 2?

    \[\begin{split} (?)^{2} & = 9x^{2} \\ (3x)^{2} & = 9x^{2} \\ so\; \sqrt{9x^{2}} & = 3x \end{split}\]

    Cuando usamos una variable en una expresión de raíz cuadrada, para nuestro trabajo, asumiremos que la variable representa un número no negativo. En cada ejemplo y ejercicio que sigue, cada variable en una expresión de raíz cuadrada es mayor o igual a cero.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

    Simplificar: x 2.

    Solución

    Piensa en lo que tendríamos que cuadrar para conseguir x 2. Álgebraicamente, (?) 2 = x 2

    Desde (x) 2 = x 2 x
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\):

    Simplificar:\(\sqrt{y^{2}}\).

    Responder

    \(y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\):

    Simplificar:\(\sqrt{m^{2}}\).

    Responder

    \(m\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

    Simplificar:\(\sqrt{16x^{2}}\).

    Solución

    Desde (4x) 2 = 16x 2 4x
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\):

    Simplificar:\(\sqrt{64x^{2}}\).

    Responder

    \(8x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\):

    Simplificar:\(\sqrt{169y^{2}}\).

    Responder

    \(13y\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Simplificar:\(- \sqrt{81y^{2}}\).

    Solución

    Desde (9 años) 2 = 81 años 2 -9y
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\):

    Simplificar:\(- \sqrt{121y^{2}}\).

    Responder

    \(-11y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\):

    Simplificar:\(- \sqrt{100p^{2}}\).

    Responder

    \(-10p\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

    Simplificar:\(\sqrt{36x^{2} y^{2}}\).

    Solución

    Desde (6xy) 2 = 36x 2 y 2 6xy
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

    Simplificar:\(\sqrt{100a^{2} b^{2}}\).

    Responder

    \(10ab\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

    Simplificar:\(\sqrt{225m^{2} n^{2}}\).

    Responder

    \(10mn\)

    Uso de Raíces Cuadradas en Aplicaciones

    A medida que avanzas en tus cursos universitarios, encontrarás varias aplicaciones de raíces cuadradas. Una vez más, si utilizamos nuestra estrategia para aplicaciones, ¡nos dará un plan para encontrar la respuesta!

    CÓMO: USAR UNA ESTRATEGIA PARA APLICACIONES CON RAÍCES

    Paso 1. Identifique lo que se le pide que encuentre.

    Paso 2. Escribe una frase que dé la información para encontrarla.

    Paso 3. Traducir la frase a una expresión.

    Paso 4. Simplifica la expresión.

    Paso 5. Escribe una oración completa que responda a la pregunta.

    Raíces Cuadradas y Área

    Hemos resuelto aplicaciones con área antes. Si nos dieran la longitud de los lados de un cuadrado, podríamos encontrar su área al cuadrar la longitud de sus lados. Ahora podemos encontrar la longitud de los lados de un cuadrado si se nos da el área, al encontrar la raíz cuadrada de la zona.

    Si el área del cuadrado es A unidades cuadradas, la longitud de un lado es A unidades. Ver Tabla\(\PageIndex{1}\).

    Mesa\(\PageIndex{1}\)
    Área (unidades cuadradas) Largo del lado (unidades)
    9 $$\ sqrt {9} = 3$$
    144 $$\ sqrt {144} = 12$$
    A $$\ sqrt {A} $$
    Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

    Mike y Lychelle quieren hacer un patio cuadrado. Tienen suficiente concreto para una superficie de 200 pies cuadrados. A la décima de pie más cercana, ¿cuánto tiempo puede ser un costado de su patio cuadrado?

    Solución

    Sabemos que el área de la plaza es de 200 pies cuadrados y queremos encontrar la longitud del lado. Si el área del cuadrado es A unidades cuadradas, la longitud de un lado es\(\sqrt{A}\) unidades.

    ¿Qué se le pide que encuentre? La longitud de cada lado de un patio cuadrado
    Escribe una frase. La longitud de un lado
    Traducir a una expresión. $$\ sqrt {A} $$
    Evaluar\(\sqrt{A}\) cuando A = 200. $$\ sqrt {200} $$
    Usa tu calculadora. 14.142135...
    Redondear a una posición decimal. 14.1 pies
    Escribe una oración. Cada lado del patio debe ser de 14.1 pies.
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\):

    Katie quiere plantar un césped cuadrado en su patio delantero. Tiene suficiente césped para cubrir un área de 370 pies cuadrados. A la décima de pie más cercana, ¿cuánto tiempo puede durar un costado de su césped cuadrado?

    Responder

    19.2 pies

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\):

    Sergio quiere hacer un mosaico cuadrado como incrustación para una mesa que está construyendo. Tiene loseta suficiente para cubrir un área de 2704 centímetros cuadrados. ¿Cuánto tiempo puede durar un lado de su mosaico?

    Responder

    52 centímetros

    Raíces Cuadradas y Gravedad

    Otra aplicación de raíces cuadradas implica la gravedad. En la Tierra, si un objeto se deja caer desde una altura de h pies, el tiempo en segundos que tardará en llegar al suelo se encuentra evaluando la expresión\(\dfrac{\sqrt{h}}{4}\). Por ejemplo, si un objeto se deja caer desde una altura de 64 pies, podemos encontrar el tiempo que lleva llegar al suelo evaluando\(\dfrac{\sqrt{64}}{4}\).

    Toma la raíz cuadrada de 64. $$\ dfrac {8} {4} $$
    Simplifica la fracción. 2

    Tomaría 2 segundos para que un objeto caído desde una altura de 64 pies llegue al suelo.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Christy dejó caer sus gafas de sol desde un puente a 400 pies sobre un río. ¿Cuántos segundos tardan las gafas de sol en llegar al río?

    Solución

    ¿Qué se le pide que encuentre? El número de segundos que tardan las gafas de sol en llegar al río
    Escribe una frase. El tiempo que tardará en llegar al río
    Traducir a una expresión. $$\ dfrac {\ sqrt {h}} {4} $$
    Evaluar\(\dfrac{\sqrt{h}}{4}\) cuando h = 400. $$\ dfrac {\ sqrt {400}} {4} $$
    Encuentra la raíz cuadrada de 400. 14.142135...
    Simplificar. 14.1 pies
    Escribe una oración. Cada lado del patio debe ser de 14.1 pies.
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\):

    Un helicóptero deja caer un paquete de rescate desde una altura de 1296 pies. ¿Cuántos segundos tarda el paquete en llegar al suelo?

    Responder

    9 segundos

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\):

    Un lavacristales deja caer una escobilla de goma desde una plataforma a 196 pies por encima de la acera. ¿Cuántos segundos tarda la escobilla de goma en llegar a la acera?

    Responder

    3.5 segundos

    Raíces Cuadradas e Investigaciones de Accidentes

    Los policías que investigan accidentes automovilísticos miden la longitud de las marcas de derrape en el pavimento. Entonces usan raíces cuadradas para determinar la velocidad, en millas por hora, un automóvil iba antes de aplicar los frenos. Según algunas fórmulas, si la longitud de las marcas de derrape es d pies, entonces la velocidad del automóvil se puede encontrar evaluando\(\sqrt{24d}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Después de un accidente automovilístico, las marcas de derrape de un auto medían 190 pies. A la décima más cercana, ¿cuál era la velocidad del auto (en mph) antes de que se aplicaran los frenos?

    Solución

    ¿Qué se le pide que encuentre? La velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos
    Escribe una frase. La velocidad del auto
    Traducir a una expresión. $$\ sqrt {24d} $$
    Evaluar\(\sqrt{24d}\) cuando d = 190. $$\ sqrt {24\ cdot 190} $$
    Multiplicar. $$\ sqrt {4,560} $$
    Usa tu calculadora. 67.527772...
    Redondear a décimas. 67.5
    Escribe una oración. La velocidad del auto era de aproximadamente 67.5 millas por hora.
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\):

    Un investigador de accidentes midió las marcas de derrape de un automóvil y encontró que su longitud era de 76 pies. A la décima más cercana, ¿cuál era la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos?

    Responder

    42.7 mph

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\):

    Las marcas de derrape de un vehículo involucrado en un accidente fueron de 122 pies de largo. A la décima más cercana, ¿qué tan rápido había ido el vehículo antes de que se aplicaran los frenos?

    Responder

    54.1 mph

    La práctica hace la perfección

    Simplifique las expresiones con raíces cuadradas

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. \(\sqrt{36}\)
    2. \(\sqrt{4}\)
    3. \(\sqrt{64}\)
    4. \(\sqrt{144}\)
    5. \(- \sqrt{4}\)
    6. \(- \sqrt{100}\)
    7. \(- \sqrt{1}\)
    8. \(- \sqrt{121}\)
    9. \(\sqrt{-121}\)
    10. \(\sqrt{-36}\)
    11. \(\sqrt{-9}\)
    12. \(\sqrt{-49}\)
    13. \(\sqrt{9+16}\)
    14. \(\sqrt{25+144}\)
    15. \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\)
    16. \(\sqrt{25} + \sqrt{144}\)

    Estimar raíces cuadradas

    En los siguientes ejercicios, estime cada raíz cuadrada entre dos números enteros consecutivos.

    1. \(\sqrt{70}\)
    2. \(\sqrt{5}\)
    3. \(\sqrt{200}\)
    4. \(\sqrt{172}\)

    Raíces Cuadradas Aproximadas con una Calculadora

    En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para aproximar cada raíz cuadrada y redondear a dos decimales.

    1. \(\sqrt{19}\)
    2. \(\sqrt{21}\)
    3. \(\sqrt{53}\)
    4. \(\sqrt{47}\)

    Simplifique las expresiones variables con raíces cuadradas

    En los siguientes ejercicios, simplifique. (Supongamos que todas las variables son mayores o iguales a cero.)

    1. \(\sqrt{y^{2}}\)
    2. \(\sqrt{b^{2}}\)
    3. \(\sqrt{49x^{2}}\)
    4. \(\sqrt{100y^{2}}\)
    5. \(- \sqrt{64a^{2}}\)
    6. \(- \sqrt{25x^{2}}\)
    7. \(\sqrt{144x^{2} y^{2}}\)
    8. \(\sqrt{196a^{2} b^{2}}\)

    Uso de Raíces Cuadradas en Aplicaciones

    En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondear a una posición decimal.

    1. Paisajismo Reed quiere tener una parcela ajardinada cuadrada en su patio trasero. Tiene suficiente compost para cubrir un área de 75 pies cuadrados. ¿Cuánto tiempo puede durar un lado de su jardín?
    2. Paisajismo Vince quiere hacer un patio cuadrado en su patio. Tiene suficiente concreto para pavimentar un área de 130 pies cuadrados. ¿Cuánto tiempo puede durar un lado de su patio?
    3. Gravedad Un avión lanzó una bengala desde una altura de 1,024 pies sobre un lago. ¿Cuántos segundos tardó la bengala en llegar al agua?
    4. Gravedad Un ala delta dejó caer su celular desde una altura de 350 pies. ¿Cuántos segundos tardó el celular en llegar al suelo?
    5. Gravedad Un trabajador de la construcción dejó caer un martillo mientras construía la pasarela del Gran Cañón, a 4,000 pies sobre el río Colorado. ¿Cuántos segundos tardó el martillo en llegar al río?
    6. Investigación de accidentes Las marcas de derrape de un automóvil involucrado en un accidente medían 54 pies. ¿Cuál era la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos?
    7. Investigación de accidentes Las marcas de derrape de un automóvil involucrado en un accidente medían 216 pies. ¿Cuál era la velocidad del auto antes de que se aplicaran los frenos?
    8. Investigación de accidentes Un investigador de accidentes midió las marcas de derrape de uno de los vehículos involucrados en un accidente. La longitud de las marcas de derrape era de 175 pies. ¿Cuál era la velocidad del vehículo antes de que se aplicaran los frenos?
    9. Investigación de accidentes Un investigador de accidentes midió las marcas de derrape de uno de los vehículos involucrados en un accidente. La longitud de las marcas de derrape era de 117 pies. ¿Cuál era la velocidad del vehículo antes de que se aplicaran los frenos?

    Matemáticas cotidianas

    1. Decorando Denise quiere instalar un acento cuadrado de azulejos de diseño en su nueva ducha. Ella puede darse el lujo de comprar 625 centímetros cuadrados de los azulejos de diseño. ¿Cuánto tiempo puede durar un lado del acento?
    2. Decorando Morris quiere tener un mosaico cuadrado con incrustaciones en su nuevo patio. Su presupuesto permite 2,025 azulejos. Cada baldosa es cuadrada con un área de una pulgada cuadrada. ¿Cuánto tiempo puede durar un lado del mosaico?

    Ejercicios de escritura

    1. ¿Por qué no hay un número real igual a\(\sqrt{−64}\)?
    2. ¿Cuál es la diferencia entre 9 2 y\(\sqrt{9}\)?

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

    Colaboradores y Atribuciones


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