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7.1: Números racionales e irracionales

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    114175
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    Objetivos de aprendizaje
    • Identificar números racionales y números irracionales
    • Clasificar diferentes tipos de números reales
    ¡prepárate!

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Escribe 3.19 como una fracción impropia. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.1.4.
    2. Escribir\(\dfrac{5}{11}\) como decimal. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.5.3.
    3. Simplificar:\(\sqrt{144}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.12.1.

    Identificar números racionales y números irracionales

    ¡Felicidades! ¡Has completado los primeros seis capítulos de este libro! Es momento de hacer un balance de lo que has hecho hasta el momento en este curso y pensar en lo que está por delante. Has aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, fracciones, enteros y decimales. Te has familiarizado con el lenguaje y los símbolos del álgebra, y has simplificado y evaluado expresiones algebraicas. Has resuelto muchos tipos diferentes de aplicaciones. Has establecido una buena base sólida que necesitas para que puedas tener éxito en álgebra.

    En este capítulo, nos aseguraremos de que tus habilidades estén firmemente establecidas. Echaremos otro vistazo a los tipos de números con los que hemos trabajado en todos los capítulos anteriores. Trabajaremos con propiedades de números que te ayudarán a mejorar tu sentido numérico. Y practicaremos su uso de formas que usaremos cuando resolvamos ecuaciones y completemos otros procedimientos en álgebra.

    Ya hemos descrito los números como números de conteo, números enteros y enteros. ¿Recuerdas cuál es la diferencia entre este tipo de números?

    contar números 1, 2, 3, 4...
    números enteros 0, 1, 2, 3, 4...
    enteros ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4...

    Números racionales

    ¿Qué tipo de números obtendrías si empezaras con todos los enteros y luego incluyeras todas las fracciones? Los números que tendrías forman el conjunto de números racionales. Un número racional es un número que se puede escribir como una relación de dos enteros.

    Definición: Números racionales

    Un número racional es un número que se puede escribir en la forma\(\dfrac{p}{q}\), donde p y q son enteros y q ≠ 0.

    Todas las fracciones, tanto positivas como negativas, son números racionales. Algunos ejemplos son

    \[\dfrac{4}{5}, - \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4},\; and\; - \dfrac{20}{3}\]

    Cada numerador y cada denominador es un entero.

    Tenemos que mirar todos los números que hemos utilizado hasta ahora y verificar que son racionales. La definición de números racionales nos dice que todas las fracciones son racionales. Ahora veremos los números de conteo, números enteros, enteros y decimales para asegurarnos de que sean racionales.

    ¿Los números enteros son racionales? Para decidir si un entero es un número racional, intentamos escribirlo como una relación de dos enteros. Una manera fácil de hacerlo es escribirlo como una fracción con denominador uno.

    \[3 = \dfrac{3}{1} \quad -8 = \dfrac{-8}{1} \quad 0 = \dfrac{0}{1}\]

    Dado que cualquier entero puede escribirse como la relación de dos enteros, todos los enteros son números racionales. Recuerda que todos los números de conteo y todos los números enteros también son enteros, y así ellos también son racionales.

    ¿Qué pasa con los decimales? ¿Son racionales? Veamos algunos para ver si podemos escribir cada uno de ellos como la proporción de dos enteros. Ya hemos visto que los enteros son números racionales. El entero −8 podría escribirse como el decimal −8.0. Entonces, claramente, algunos decimales son racionales.

    Piensa en el decimal 7.3. ¿Podemos escribirlo como una relación de dos enteros? Porque 7.3 significa\(7 \dfrac{3}{10}\), podemos escribirlo como una fracción impropia,\(7 \dfrac{3}{10}\). Entonces 7.3 es la relación de los enteros 73 y 10. Es un número racional.

    En general, cualquier decimal que termine después de un número de dígitos (como 7.3 o −1.2684) es un número racional. Podemos usar el recíproco (o inverso multiplicativo) del valor posicional del último dígito como denominador al escribir el decimal como fracción.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Escribe cada uno como la relación de dos enteros: (a) −15 (b) 6.81 (c)\(−3 \dfrac{6}{7}\).

    Solución

    (a) −15

    Escribe el entero como una fracción con denominador 1. $$\ dfrac {-15} {1} $$

    b) 6.81

    Escribe el decimal como un número mixto. $$6\ dfrac {81} {100} $$
    Después conviértelo en una fracción impropia. $$\ dfrac {681} {100} $$

    c)\(−3 \dfrac{6}{7}\)

    Convertir el número mixto en una fracción impropia. $$-\ dfrac {27} {7} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\):

    Escribe cada uno como la relación de dos enteros: (a) −24 (b) 3.57.

    Contestar a

    \(\frac{-24}{1}\)

    Respuesta b

    \(\frac{357}{100}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\):

    Escribe cada uno como la relación de dos enteros: (a) −19 (b) 8.41.

    Contestar a

    \(\frac{-19}{1}\)

    Respuesta b

    \(\frac{841}{100}\)

    Veamos la forma decimal de los números que sabemos que son racionales. Hemos visto que cada entero es un número racional, ya que a =\(\dfrac{a}{1}\) para cualquier entero, a. también podemos cambiar cualquier entero a un decimal añadiendo un punto decimal y un cero.

    \[\begin{split} Integer \qquad &-2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\; \; 2,\; 3 \\ Decimal \qquad &-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 \end{split}\]

    Estos números decimales se detienen.

    También hemos visto que cada fracción es un número racional. Mira la forma decimal de las fracciones que acabamos de considerar.

    \[\begin{split} Ratio\; of\; Integers \qquad \dfrac{4}{5},\quad -\dfrac{7}{8},\quad \dfrac{13}{4},\;&- \dfrac{20}{3} \\ Decimal\; forms \qquad 0.8, -0.875, 3.25, &-6.666 \ldots \\ &-6.\overline{66} \end{split}\]

    Estos decimales se detienen o repiten.

    ¿Qué te dicen estos ejemplos? Cada número racional se puede escribir tanto como una relación de enteros como como un decimal que se detiene o se repite. La siguiente tabla muestra los números que miramos expresados como una relación de enteros y como decimal.

    Números racionales
      Fracciones Enteros
    Número $$\ dfrac {4} {5}, -\ dfrac {7} {8},\ dfrac {13} {4},\ dfrac {-20} {3} $$ $-2, -1, 0, 1, 2, 3$$
    Relación de Enteros $$\ dfrac {4} {5},\ dfrac {-7} {8},\ dfrac {13} {4},\ dfrac {-20} {3} $$ $$\ dfrac {-2} {1},\ dfrac {-1} {1},\ dfrac {0} {1},\ dfrac {1} {1},\ dfrac {2} {1},\ dfrac {3} {1} $$
    Número decimal $0.8, -0.875, 3.25, -6. \ overline {6} $$ $-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$$

    Números irracionales

    ¿Hay decimales que no se detienen ni repiten? Sí. El número\(\pi\) (la letra griega pi, pronunciada 'pie'), que es muy importante para describir los círculos, tiene una forma decimal que no se detiene ni se repite.

    \[\pi = 3.141592654 \ldots \ldots\]

    De igual manera, las representaciones decimales de raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos nunca se detienen y nunca se repiten. Por ejemplo,

    \[\sqrt{5} = 2.236067978 \ldots \ldots\]

    Un decimal que no se detiene y no se repite no se puede escribir como la relación de enteros. Llamamos a este tipo de números un número irracional.

    Definición: Número irracional

    Un número irracional es un número que no se puede escribir como la relación de dos enteros. Su forma decimal no se detiene y no se repite.

    Resumamos un método que podemos usar para determinar si un número es racional o irracional.

    Si la forma decimal de un número

    • se detiene o repite, el número es racional.
    • no se detiene y no repite, el número es irracional.
    Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racional o irracional: a) 0.58\(\overline{3}\) (b) 0.475 (c) 3.605551275...

    Solución

    (a) 0.58\(\overline{3}\)

    La barra por encima de la 3 indica que se repite. Por lo tanto, 0.583 — es un decimal repetido, y por lo tanto es un número racional.

    b) 0.475

    Este decimal se detiene después del 5, por lo que es un número racional.

    (c) 3.605551275...

    La elipsis (...) significa que este número no se detiene. No hay un patrón repetitivo de dígitos. Como el número no se detiene y no se repite, es irracional.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racionales o irracionales: a) 0.29 (b) 0.81\(\overline{6}\) (c) 2.515115111...

    Contestar a

    racional

    Respuesta b

    racional

    Respuesta c

    irracional

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racionales o irracionales: a) 0.2\(\overline{3}\) (b) 0.125 (c) 0.418302...

    Contestar a

    racional

    Respuesta b

    racional

    Respuesta c

    irracional

    Pensemos ahora en las raíces cuadradas. Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos son siempre números enteros, por lo que son racionales. Pero las formas decimales de raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos nunca se detienen y nunca se repiten, por lo que estas raíces cuadradas son irracionales.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racionales o irracionales: (a) 36 (b) 44

    Solución

    (a) El número 36 es un cuadrado perfecto, ya que 6 2 = 36. Entonces\(\sqrt{36}\) = 6. Por lo tanto,\(\sqrt{36}\) es racional.

    (b) Recuerda que 6 2 = 36 y 7 2 = 49, por lo que 44 no es un cuadrado perfecto. Este medio\(\sqrt{44}\) es irracional.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racionales o irracionales: (a)\(\sqrt{81}\) (b)\(\sqrt{17}\)

    Contestar a

    racional

    Respuesta b

    irracional

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\):

    Identificar cada uno de los siguientes como racionales o irracionales: (a)\(\sqrt{116}\) (b)\(\sqrt{121}\)

    Contestar a

    irracional

    Respuesta b

    racional

    Clasificar números reales

    Hemos visto que todos los números de conteo son números enteros, todos los números enteros son números enteros, y todos los enteros son números racionales. Los números irracionales son una categoría separada de los suyos. Cuando armamos los números racionales y los números irracionales, obtenemos el conjunto de números reales. La figura\(\PageIndex{1}\) ilustra cómo se relacionan los conjuntos de números.

    La imagen muestra un rectángulo grande etiquetado como “Números reales”. El rectángulo se divide por la mitad verticalmente. La mitad derecha está etiquetada como “Números irracionales”. La mitad izquierda está etiquetada como “Números racionales” y contiene tres rectángulos concéntricos. El rectángulo más externo está etiquetado como “Enteros”, el siguiente rectángulo es “Números enteros” y el rectángulo más interno es “Números naturales”.

    Figura\(\PageIndex{1}\) - Este diagrama ilustra las relaciones entre los diferentes tipos de números reales.

    Definición: Números reales

    Los números reales son números que son racionales o irracionales.

    ¿Te parece extraño el término “números reales”? ¿Hay números que no sean “reales” y, de ser así, ¿cuáles podrían ser? Durante siglos, los únicos números que la gente conocía eran lo que ahora llamamos los números reales. Entonces los matemáticos descubrieron el conjunto de números imaginarios. No encontrarás números imaginarios en este curso, pero lo harás más adelante en tus estudios de álgebra.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

    Determinar si cada uno de los números de la siguiente lista es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional y (e) número real.

    \[−7, \dfrac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, − \sqrt{64}\]

    Solución

    1. Los números enteros son 0, 1, 2, 3,... El número 8 es el único número entero dado.
    2. Los enteros son los números enteros, sus opuestos y 0. De los números dados, −7 y 8 son números enteros. Además, observe que 64 es el cuadrado de 8 así que\(− \sqrt{64}\) = −8. Entonces los números enteros son −7, 8,\(− \sqrt{64}\).
    3. Como todos los enteros son racionales, los números −7, 8, y también\(− \sqrt{64}\) son racionales. Los números racionales también incluyen fracciones y decimales que terminan o repiten, así\(\dfrac{14}{5}\) y 5.9 son racionales.
    4. El número 5 no es un cuadrado perfecto, por lo que\(\sqrt{5}\) es irracional.
    5. Todos los números listados son reales.

    Resumiremos los resultados en una tabla.

    Número Entero Entero Racional Irracional Real
    -7   \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(\dfrac{14}{5}\)     \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    8 \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(\sqrt{5}\)       \(\checkmark\) \(\checkmark\)
    5.9     \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(- \sqrt{64}\)   \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\):

    Determinar si cada número es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional y (e) número real: −3,\(− \sqrt{2}, 0.\overline{3}, \dfrac{9}{5}\), 4,\(\sqrt{49}\).

    Contestar
    Número Entero Entero Racional Irracional Real
    -3   \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(-\sqrt{2}\)       \(\checkmark\) \(\checkmark\)
    \(0.\overline{3}\)     \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(\dfrac{9}{5}\)     \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(4\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(\sqrt{49}\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\):

    Determinar si cada número es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional, y (e) número real:\(− \sqrt{25}, − \dfrac{3}{8}\), −1, 6,\(\sqrt{121}\), 2.041975...

    Contestar
    Número Entero Entero Racional Irracional Real
    \(− \sqrt{25}\)   \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(-\dfrac{3}{8}\)     \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(-1\)   \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(6\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(\sqrt{121}\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\)   \(\checkmark\)
    \(2.041975…\)       \(\checkmark\) \(\checkmark\)

    La práctica hace la perfección

    Números racionales

    En los siguientes ejercicios, escribe como la relación de dos enteros.

    1. a) 5 b) 3.19
    2. (a) 8 (b) −1.61
    3. (a) −12 (b) 9.279
    4. (a) −16 (b) 4.399

    En los siguientes ejercicios, determinar cuáles de los números dados son racionales y cuáles son irracionales.

    1. 0.75, 0.22\(\overline{3}\), 1.39174...
    2. 0.36, 0.94729..., 2.52\(\overline{8}\)
    3. 0. \(\overline{45}\), 1.919293..., 3.59
    4. 0.1\(\overline{3}\), 0.42982..., 1.875

    En los siguientes ejercicios, identificar si cada número es racional o irracional.

    1. a) 25 b) 30
    2. a) 44 b) 49
    3. a) 164 b) 169
    4. a) 225 b) 216

    Clasificación de números reales

    En los siguientes ejercicios, determine si cada número es entero, entero, racional, irracional y real.

    1. −8, 0, 1.95286...,\(\dfrac{12}{5}, \sqrt{36}\), 9
    2. −9\(−3 \dfrac{4}{9}, − \sqrt{9}, 0.4\overline{09}, \dfrac{11}{6}\), 7
    3. \(− \sqrt{100}\), −7,\(− \dfrac{8}{3}\), −1, 0.77,\(3 \dfrac{1}{4}\)

    Matemáticas cotidianas

    1. Excursión Todos los alumnos de 5to grado de la Escuela Primaria Lincoln irán de excursión al museo de ciencias. Contando a todos los niños, maestros y chaperones, habrá 147 personas. Cada autobús tiene capacidad para 44 personas.
      1. ¿Cuántos autobuses se necesitarán?
      2. ¿Por qué la respuesta debe ser un número entero?
      3. ¿Por qué no deberías redondear la respuesta de la manera habitual?
    2. Cuidado infantil Serena quiere abrir un centro de cuidado infantil con licencia. Su estado requiere que no haya más de 12 niños por cada maestro. A ella le gustaría que su centro de cuidado infantil atienda a 40 niños.
      1. ¿Cuántos maestros se necesitarán?
      2. ¿Por qué la respuesta debe ser un número entero?
      3. ¿Por qué no deberías redondear la respuesta de la manera habitual?

    Ejercicios de escritura

    1. En sus propias palabras, explique la diferencia entre un número racional y un número irracional.
    2. Explicar cómo los conjuntos de números (contar, enteros, enteros, racionales, irracionales, reales) se relacionan entre sí.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) Si la mayoría de sus cheques fueron:

    ... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

    ... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

    ... no, ¡no lo consigo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Deberías obtener ayuda de inmediato o te sentirás abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.

    Colaboradores y Atribuciones


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