7.5: Propiedades de Identidad, Inversa y Cero
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- Utilizar las propiedades inversas de suma y multiplicación
- Usa las propiedades de cero
- Simplificar expresiones usando las propiedades de identidades, inversas y cero
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Encuentra lo contrario de −4. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.1.3.
- Encuentra el recíproco de\(\dfrac{5}{2}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.4.11.
- Multiplicar:\(\dfrac{3a}{5} \cdot \dfrac{9}{2a}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.3.9.
Reconocer las propiedades de identidad de la suma y la multiplicación
¿Qué pasa cuando agregamos cero a cualquier número? Agregar cero no cambia el valor. Por esta razón, llamamos a 0 la identidad aditiva. Por ejemplo,
\[\begin{split} 13 + 0 \qquad -14 &+ 0 \qquad 0 + (-3x) \\ 13 \qquad \qquad -&14 \qquad \; -3x \end{split}\]
La identidad propiedad de adición: para cualquier número real a,
\[a + 0 = a \qquad 0 + a = a\]
0 se llama la identidad aditiva
La propiedad identitaria de la multiplicación: para cualquier número real a
\[a \cdot 1 = a \qquad 1 \cdot a = a\]
1 se llama la identidad multiplicativa
Identificar si cada ecuación demuestra la propiedad de identidad de suma o multiplicación. (a) 7 + 0 = 7 (b) −16 (1) = −16
Solución
(a) 7 + 0 = 7
| Estamos sumando 0. | Estamos utilizando la propiedad de identidad de adición. |
(b) −16 (1) = −16
| Estamos multiplicando por 1. | Estamos utilizando la propiedad identitaria de la multiplicación. |
Identificar si cada ecuación demuestra la propiedad de identidad de suma o multiplicación: (a) 23 + 0 = 23 (b) −37 (1) = −37.
- Contestar a
-
identidad propiedad de adición
- Respuesta b
-
identidad propiedad de multiplicación
Identificar si cada ecuación demuestra la propiedad de identidad de suma o multiplicación: (a) 1 • 29 = 29 (b) 14 + 0 = 14.
- Contestar a
-
identidad propiedad de multiplicación
- Respuesta b
-
identidad aditiva
Utilizar las propiedades inversas de la suma y la multiplicación
¿Qué número sumado a 5 da la identidad aditiva, 0?
| 5 + _____ = 0 | Sabemos\(5 + (\textcolor{red}{-5}) = 0\) |
¿Qué número agregado a −6 da la identidad aditiva, 0?
| -6 + _____ = 0 | Sabemos\(-6 + (\textcolor{red}{6}) = 0\) |
Observe que en cada caso, el número faltante era el opuesto al número. Llamamos −a la inversa aditiva de a. Lo opuesto de un número es su inversa aditiva. Un número y su opuesto se suman a 0, que es la identidad aditiva.
¿Qué número multiplicado por\(\dfrac{2}{3}\) da la identidad multiplicativa, 1? En otras palabras, ¿dos tercios de veces lo que resulta en 1?
| \(\dfrac{2}{3} \cdot\)_____ = 1 | Sabemos\(\dfrac{2}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} = 1\) |
¿Qué número multiplicado por 2 da la identidad multiplicativa, 1? En otras palabras, dos veces lo que resulta en 1?
| 2 • _____ = 1 | Sabemos\(2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = 1\) |
Observe que en cada caso, el número faltante era el recíproco del número.
Llamamos a\(\dfrac{1}{a}\) la inversa multiplicativa de a (a ≠ 0). El recíproco de un número es su inverso multiplicativo. Un número y su recíproco se multiplican a 1, que es la identidad multiplicativa.
Aquí declararemos formalmente las propiedades inversas:
Propiedad inversa de suma para cualquier número real a,
\[a + (−a) = 0\]
−a es la inversa aditiva de a.
Propiedad inversa de multiplicación para cualquier número real a ≠ 0,
\[a \cdot \dfrac{1}{a} = 1\]
\(\dfrac{1}{a}\)es la inversa multiplicativa de a.
Encuentra la inversa aditiva de cada expresión: (a) 13 (b)\(− \dfrac{5}{8}\) (c) 0.6.
Solución
Para encontrar el inverso aditivo, encontramos lo contrario.
- El inverso aditivo de 13 es su opuesto, −13.
- El inverso aditivo de\(− \dfrac{5}{8}\) es su opuesto,\(\dfrac{5}{8}\).
- La inversa aditiva de 0.6 es su opuesto, −0.6.
Encuentra la inversa aditiva de cada expresión: (a) 18 (b)\(\dfrac{7}{9}\) (c) 1.2.
- Contestar a
-
\(-18\)
- Respuesta b
-
\(-\frac{7}{9}\)
- Respuesta c
-
\(-1.2\)
Encuentra la inversa aditiva de cada expresión: (a) 47 (b)\(\dfrac{7}{13}\) (c) 8.4.
- Contestar a
-
\(-47\)
- Respuesta b
-
\(-\frac{7}{13}\)
- Respuesta c
-
\(-8.4\)
Encuentra la inversa multiplicativa: (a) 9 (b)\(− \dfrac{1}{9}\) (c) 0.9.
Solución
Para encontrar el inverso aditivo, encontramos lo contrario.
- El inverso multiplicativo de 9 es su recíproco,\(\dfrac{1}{9}\).
- El inverso multiplicativo de\(− \dfrac{1}{9}\) es su recíproco, -9.
- Para encontrar la inversa multiplicativa de 0.9, primero convertimos 0.9 a una fracción,\(\dfrac{9}{10}\). Entonces nos encontramos con el recíproco,\(\dfrac{10}{9}\).
Encuentra el inverso multiplicativo: (a) 5 (b)\(− \dfrac{1}{7}\) (c) 0.3.
- Contestar a
-
\(\frac{1}{5}\)
- Respuesta b
-
\(-7\)
- Respuesta c
-
\(\frac{10}{3}\)
Encuentra la inversa multiplicativa: (a) 18 (b)\(− \dfrac{4}{5}\) (c) 0.6.
- Contestar a
-
\(\frac{1}{18}\)
- Respuesta b
-
\(-\frac{5}{4}\)
- Respuesta c
-
\(\frac{5}{3}\)
Usa las Propiedades de Zero
Ya hemos aprendido que cero es la identidad aditiva, ya que se puede agregar a cualquier número sin cambiar la identidad del número. Pero el cero también tiene algunas propiedades especiales a la hora de multiplicar y división.
Multiplicación por Cero
¿Qué sucede cuando multiplicas un número por 0? Multiplicar por 0 hace que el producto sea igual a cero. El producto de cualquier número real y 0 es 0.
Para cualquier número real a,
\[a \cdot 0 = 0 \qquad 0 \cdot a = 0\]
Simplificar: (a) −8 • 0 (b)\(\dfrac{5}{12} \cdot 0\) (c) 0 (2.94).
Solución
(a) −8 • 0
| El producto de cualquier número real y 0 es 0. | 0 |
b)\(\dfrac{5}{12} \cdot 0\)
| El producto de cualquier número real y 0 es 0. | 0 |
c) 0 (2.94)
| El producto de cualquier número real y 0 es 0. | 0 |
Simplificar: (a) −14 • 0 (b)\(0 \cdot \dfrac{2}{3}\) (c) (16.5) • 0.
- Contestar a
-
\(0\)
- Respuesta b
-
\(0\)
- Respuesta c
-
\(0\)
Simplificar: a) (1.95) • 0 (b) 0 (-17) (c)\(0 \cdot \dfrac{5}{4}\).
- Contestar a
-
\(0\)
- Respuesta b
-
\(0\)
- Respuesta c
-
\(0\)
Dividiendo con cero
¿Qué hay de dividir con 0? Piensa en un ejemplo real: si no hay galletas en el tarro de galletas y tres personas quieren compartirlas, ¿cuántas galletas obtendría cada persona? Hay 0 cookies para compartir, por lo que cada persona obtiene 0 cookies.
\[0 \div 3 = 0\]
Recuerda que siempre podemos verificar la división con el hecho de multiplicación relacionado. Entonces, sabemos que
\[0 \div 3 = 0\; because\; 0 \cdot 3 = 0 \ldotp\]
Para cualquier número real a, excepto 0,\(\dfrac{0}{a}\) = 0 y 0 ÷ a = 0.
Cero dividido por cualquier número real excepto cero es cero.
Simplificar: (a) 0 ÷ 5 (b)\(\dfrac{0}{−2}\) (c) 0 ÷\(\dfrac{7}{8}\).
Solución
(a) 0 ÷ 5
| El cero dividido por cualquier número real, excepto 0, es cero. | 0 |
b)\(\dfrac{0}{−2}\)
| El cero dividido por cualquier número real, excepto 0, es cero. | 0 |
(c) 0 ÷\(\dfrac{7}{8}\)
| El cero dividido por cualquier número real, excepto 0, es cero. | 0 |
Simplificar: (a) 0 ÷ 11 (b)\(\dfrac{0}{−6}\) (c) 0 ÷\(\dfrac{3}{10}\).
- Contestar a
-
\(0\)
- Respuesta b
-
\(0\)
- Respuesta c
-
\(0\)
Simplificar: (a) 0 ÷\(\dfrac{8}{3}\) (b) 0 ÷ (-10) (c) 0 ÷ 12.75.
- Contestar a
-
\(0\)
- Respuesta b
-
\(0\)
- Respuesta c
-
\(0\)
Ahora pensemos en dividir un número por cero. ¿Cuál es el resultado de dividir 4 por 0? Piense en el hecho de multiplicación relacionado. ¿Hay un número que multiplicado por 0 da 4?
4 ÷ 0 = ___ significa ___ • 0 = 4
Dado que cualquier número real multiplicado por 0 es igual a 0, no hay un número real que pueda multiplicarse por 0 para obtener 4. Podemos concluir que no hay respuesta a 4 ÷ 0, y así decimos que la división por cero es indefinida.
Para cualquier número real a,\(\dfrac{a}{0}\), y a ÷ 0 son indefinidos.
La división por cero no está definida.
Simplificar: a) 7.5 ÷ 0 (b)\(\dfrac{−32}{0}\) (c)\(\dfrac{4}{9}\) ÷ 0.
Solución
(a) 7.5 ÷ 0
| La división por cero no está definida. | undefined |
b)\(\dfrac{−32}{0}\)
| La división por cero no está definida. | undefined |
(c)\(\dfrac{4}{9}\) ÷ 0
| La división por cero no está definida. | undefined |
Simplificar: (a) 16.4 ÷ 0 (b)\(\dfrac{−2}{0}\) (c)\(\dfrac{1}{5}\) ÷ 0.
- Contestar a
-
undefined
- Respuesta b
-
undefined
- Respuesta c
-
undefined
Simplificar: (a)\(\dfrac{−5}{0}\) (b) 96.9 ÷ 0 (c)\(\dfrac{4}{15}\) ÷ 0.
- Contestar a
-
undefined
- Respuesta b
-
undefined
- Respuesta c
-
undefined
Resumimos las propiedades de cero.
Multiplicación por Cero: Para cualquier número real a,
\[a \cdot 0 = 0 \qquad 0 \cdot a = 0\]
El producto de cualquier número y 0 es 0.
División por Cero: Para cualquier número real a, a ≠ 0
\[\dfrac{0}{a} = 0\]
Cero dividido por cualquier número real, excepto él mismo, es cero.
\[\dfrac{a}{0}\; is\; undefined \ldotp\]
La división por cero no está definida.
Simplificar expresiones usando las propiedades de identidades, inversas y cero
Ahora vamos a practicar el uso de las propiedades de identidades, inversos y cero para simplificar las expresiones.
Simplifica: 3x + 15 − 3x.
Solución
| Observe las inversiones aditivas, 3x y −3x. | 0 + 15 |
| Agregar. | 15 |
Simplificar: −12z + 9 + 12z.
- Contestar
-
9
Simplificar: −25u − 18 + 25u.
- Contestar
-
-18
Simplificar: 4 (0.25q).
Solución
| Reagruparse, utilizando la propiedad asociativa. | [4 (0.25)] q |
| Multiplicar. | 1.00q |
| Simplificar; 1 es la identidad multiplicativa. | q |
Simplificar: 2 (0.5p).
- Contestar
-
p
Simplificar: 25 (0.04r).
- Contestar
-
r
Simplificar:\(\dfrac{0}{n + 5}\), donde n ≠ −5.
Solución
| El cero dividido por cualquier número real excepto él mismo es cero. | 0 |
Simplificar:\(\dfrac{0}{m + 7}\), donde m ≠ −7.
- Contestar
-
0
Simplificar:\(\dfrac{0}{d - 4}\), donde d ≠ 4.
- Contestar
-
0
Simplificar:\(\dfrac{10 − 3p}{0}\).
Solución
| La división por cero no está definida. | undefined |
Simplificar:\(\dfrac{18 − 6c}{0}\).
- Contestar
-
undefined
Simplificar:\(\dfrac{15 − 4q}{0}\).
- Contestar
-
undefined
Simplifica:\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3}\) (6x + 12).
Solución
No podemos combinar los términos entre paréntesis, por lo que multiplicamos primero las dos fracciones.
| Multiplicar; el producto de los recíprocos es 1. | 1 (6x + 12) |
| Simplificar reconociendo la identidad multiplicativa. | 6x + 12 |
Simplifica:\(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{2}\) (20y+ 50).
- Contestar
-
20 años + 50
Simplifica:\(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{3}\) (12z+ 16).
- Contestar
-
12z + 16
Todas las propiedades de los números reales que hemos utilizado en este capítulo se resumen en Tabla\(\PageIndex{1}\).
| Propiedad | De Adición | De Multiplicación |
|---|---|---|
| Propiedad conmutativa | ||
| Si a y b son números reales entonces... | a + b = b + a | a • b = b • a |
| Propiedad asociativa | ||
| Si a, b y c son números reales entonces... | (a + b) + c = a + (b + c) | (a • b) • c = (b • c) |
| Propiedad Identidad | 0 es la identidad aditiva | 1 es la identidad multiplicativa |
| Para cualquier número real a, |
a + 0 = a 0 + a = a |
a • 1 = a 1 • a = a |
| Inverse (propiedad) | −a es la inversa aditiva de a |
a, a ≠ 0 1/a es la inversa multiplicativa de a |
| Para cualquier número real a, | a + (−a) = 0 | a • 1/a = 1 |
| Propiedad distributiva | ||
| Si a, b, c son números reales, entonces a (b + c) = ab + ac | ||
| Inmuebles de Zero | ||
| Para cualquier número real a, |
a • 0 = 0 0 • a = 0 |
|
| Para cualquier número real a donde a ≠ 0 |
\(\dfrac{0}{a} = 0\) \(\dfrac{a}{0}\)está indefinido |
|
La práctica hace la perfección
Reconocer las propiedades de identidad de la suma y la multiplicación
En los siguientes ejercicios, identifique si cada ejemplo está utilizando la propiedad de identidad de suma o multiplicación.
- 101 + 0 = 101
- \(\dfrac{3}{5}(1) = \dfrac{3}{5}\)
- −9 • 1 = −9
- 0 + 64 = 64
Utilizar las propiedades inversas de la suma y la multiplicación
En los siguientes ejercicios, encuentra el inverso multiplicativo.
- 8
- 14
- −17
- −19
- \(\dfrac{7}{12}\)
- \(\dfrac{8}{13}\)
- \(− \dfrac{3}{10}\)
- \(− \dfrac{5}{12}\)
- 0.8
- 0.4
- −0.2
- −0.5
Usa las Propiedades de Zero
En los siguientes ejercicios, simplifique usando las propiedades de cero.
- 48 • 0
- \(\dfrac{0}{6}\)
- \(\dfrac{3}{0}\)
- 22 • 0
- 0 ÷\(\dfrac{11}{12}\)
- \(\dfrac{6}{0}\)
- \(\dfrac{0}{3}\)
- 0 ÷\(\dfrac{7}{15}\)
- 0 •\(\dfrac{8}{15}\)
- (−3.14) (0)
- 5.72 ÷ 0
- \(\dfrac{\dfrac{1}{10}}{0}\)
Simplificar expresiones usando las propiedades de identidades, inversas y cero
En los siguientes ejercicios, simplifique el uso de las propiedades de identidades, inversos y cero.
- 19a + 44 − 19a
- 27c + 16 − 27c
- 38 + 11r − 38
- 92 + 31s − 92
- 10 (0.1d)
- 100 (0.01p)
- 5 (0.6q)
- 40 (0.05n)
- \(\dfrac{0}{r + 20}\), donde r ≠ −20
- \(\dfrac{0}{s + 13}\), donde s ≠ −13
- \(\dfrac{0}{u − 4.99}\), donde u ≠ 4.99
- \(\dfrac{0}{v − 65.1}\), donde v ≠ 65.1
- 0 ÷\(\left(x − \dfrac{1}{2}\right)\), donde x ≠\(\dfrac{1}{2}\)
- 0 ÷\(\left(y − \dfrac{1}{6}\right)\), donde y ≠\(\dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{32 − 5a}{0}\), donde 32 − 5a ≠ 0
- \(\dfrac{28 − 9b}{0}\), donde 28 − 9b ≠ 0
- \(\dfrac{2.1 + 0.4c}{0}\), donde 2.1 + 0.4c ≠ 0
- \(\dfrac{1.75 + 9 f}{0}\), donde 1.75 + 9 f ≠ 0
- \(\left\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{10}m \right) \div 0\), donde\(\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{10}m \neq 0\)
- \(\left(\dfrac{5}{16}n − \dfrac{3}{7}\right) \div 0\), donde\(\dfrac{5}{16}n − \dfrac{3}{7} \neq 0\)
- \(\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{10}{9}\)(18p − 21)
- \(\dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{7}{5}\)(20q − 35)
- 15\(\cdot \dfrac{3}{5}\) (4d + 10)
- 18\(\cdot \dfrac{5}{6}\) (15h + 24)
Matemáticas cotidianas
- Copago de seguros Carrie tuvo que tener 5 empastes hechos. Cada llenado costó $80. Su seguro dental le obligó a pagar el 20% del costo. Calcular el costo de Carrie
- encontrando su copago por cada llenado, luego encontrando su costo total para 5 rellenos, y
- multiplicando 5 (0.20) (80).
- ¿Cuál de las Propiedades de Números Reales utilizó para la parte (b)?
- Tiempo de cocción Helen compró un pavo de 24 libras para la cena de Acción de Gracias de su familia y quiere saber a qué hora poner el pavo en el horno. Ella quiere permitir 20 minutos por libra de tiempo de cocción.
- Calcula el tiempo necesario para asar el pavo multiplicando 24 · 20 para encontrar el número de minutos y luego multiplicando el producto por 1 60 para convertir minutos en horas.
- Multiplicar 24\(\left(20 \cdot \dfrac{1}{60}\right)\).
- ¿Cuál de las Propiedades de los Números Reales permite multiplicar 24\(\left(20 \cdot \dfrac{1}{60}\right)\) en vez de (24 • 20)\(\dfrac{1}{60}\)?
Ejercicios de escritura
- En sus propias palabras, describa la diferencia entre la inversa aditiva y la inversa multiplicativa de un número.
- ¿Cómo puede el uso de las propiedades de los números reales facilitar la simplificación de las expresiones?
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?