8.2: Resolver ecuaciones usando las propiedades de resta y suma de igualdad (Parte 2)
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Traducir una ecuación y resolver
En capítulos anteriores, traducimos oraciones de palabras en ecuaciones. El primer paso es buscar la palabra (o palabras) que traducen (n) al signo igual. Tabla nos\(\PageIndex{1}\) recuerda algunas de las palabras que se traducen al signo igual.
| Igual a (=) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| es | es igual a | es lo mismo que | el resultado es | da | fue | será |
Revisemos los pasos que usamos para traducir una oración en una ecuación.
Paso 1. Localice la (s) palabra (s) “iguales”. Traducir a un signo igual.
Paso 2. Traducir las palabras a la izquierda de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
Paso 3. Traducir las palabras a la derecha de las palabras “iguales” en una expresión algebraica.
Ahora estamos listos para probar un ejemplo.
Traducir y resolver: cinco más que x es igual a 26.
Solución
| Traducir. |  |
| Restar 5 de ambos lados. | $$x + 5\ textcolor {rojo} {-5} = 26\ textcolor {rojo} {-5} $$ |
| Simplificar. | $$x = 21$$ |
| Cheque: ¿Son 26 cinco más de 21? | $$\ begin {split} 21 + 5 &\ stackrel {?} {=} 26\\ 26 &= 26\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
La solución comprueba.
Traducir y resolver: Once más de x es igual a 41.
- Responder
-
x + 11 = 41; x = 30
Traducir y resolver: Doce menos de y es igual a 51.
- Responder
-
y - 12 = 51; y = 63
Traducir y resolver: La diferencia de 5p y 4p es 23.
Solución
| Traducir. |  |
| Simplificar. | p = 23 |
| Cheque. | $$\ begin {split} 5p - 4p &= 23\\ 5 (23) - 4 (23) &\ stackrel {?} {=} 23\\ 115 - 22 &\ stackrel {?} {=} 23\\ 23 &= 23\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
La solución comprueba.
Traducir y resolver: La diferencia de 4x y 3x es 14.
- Responder
-
4x - 3x = 14; x = 14
Traducir y resolver: La diferencia de 7a y 6a es −8.
- Responder
-
7a - 6a = -8; a = -8
Traducir y resolver aplicaciones
En la mayoría de los problemas de aplicación que resolvimos anteriormente, pudimos encontrar la cantidad que buscábamos simplificando una expresión algebraica. Ahora vamos a estar usando ecuaciones para resolver problemas de aplicación. Comenzaremos reformulando el problema en una sola oración, asignaremos una variable y luego traduciremos la oración en una ecuación para resolverla. Al asignar una variable, elija una letra que le recuerde lo que está buscando.
La familia Robles tiene dos perros, Buster y Chandler. En conjunto, pesan 71 libras. Chandler pesa 28 libras. ¿Cuánto pesa Buster?
Solución
| Lea atentamente el problema. | |
| Identifica lo que te piden encontrar, y elige una variable para representarlo. | ¿Cuánto pesa Buster? Deja que b = el peso de Buster. |
| Escribe una frase que dé la información para encontrarla. | El peso de Buster más el peso de Chandler equivale a 71 libras. |
| Replantearemos el problema, y luego incluiremos la información dada. | El peso de Buster más 28 equivale a 71. |
| Traducir la oración en una ecuación, utilizando la variable b. | $$b + 28 = 71$$ |
| Resolver la ecuación usando buenas técnicas algebraicas. | $$\ begin {split} b + 28 - 28 &= 71 - 28\\ b &= 43\ end {split} $$ |
| Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido. | |
| ¿43 libras es un peso razonable para un perro? Sí. ¿El peso de Buster más el peso de Chandler equivalen a 71 libras? | $$\ begin {split} 43 + 28 &\ stackrel {?} {=} 71\\ 71 &= 71\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta, “¿Cuánto pesa Buster?” | Buster pesa 43 libras |
Traducir en una ecuación algebraica y resolver: La familia Pappas tiene dos gatos, Zeus y Atenea. Juntos, pesan 13 libras. Zeus pesa 6 libras. ¿Cuánto pesa Atenea?
- Responder
-
a + 6 = 13; Atenea pesa 7 libras
Traducir en una ecuación algebraica y resolver: Sam y Henry son compañeros de cuarto. Juntos, tienen 68 libros. Sam tiene 26 libros. ¿Cuántos libros tiene Henry?
- Responder
-
26 + h = 68; Henry tiene 42 libros.
Paso 1. Lee el problema. Asegúrate de entender todas las palabras e ideas.
Paso 2. Identifica lo que buscas.
Paso 3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad
Paso 4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil reafirmar el problema en una oración con toda la información importante. Después, traducir la oración en inglés a una ecuación álgebra.
Paso 5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.
Shayla pagó $24,575 por su auto nuevo. Esto fue $875 menos que el precio de la pegatina. ¿Cuál era el precio de la pegatina del auto?
Solución
| ¿Qué se le pide que encuentre? | “¿Cuál era el precio de la pegatina del auto?” |
| Asignar una variable. | Vamos s = el precio de la pegatina del auto. |
| Escribe una frase que dé la información para encontrarla. |
$24,575 es $875 menos que el precio de la pegatina $24,575 es $875 menos que s |
| Traducir en una ecuación. | $24,575 = s - 875$$ |
| Resolver. | $$\ begin {split} 24,575 + 876 &= s - 875 + 875\\ 24,575 &= s\ end {split} $$ |
| Cheque: ¿Es $875 menos de $25,450 igual a $24,575? | $$\ begin {split} 25.450 - 875 &\ stackrel {?} {=} 24,575\\ 24,575 &= 24,575\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
| Escribe una oración que responda a la pregunta. | El precio de la pegatina fue de 25.450 dólares. |
Traducir en una ecuación algebraica y resolver: Eddie pagó $19,875 por su nuevo auto. Esto fue $1,025 menos que el precio de la pegatina. ¿Cuál era el precio de la pegatina del auto?
- Responder
-
19,875 = s − 1025; el precio de la pegatina es de $20.900.
Traducir en una ecuación algebraica y resolver: El precio de entrada para las películas durante el día es de $7.75. Esto es $3.25 menos que el precio por la noche. ¿Cuánto cuesta la película por la noche?
- Responder
-
7.75 = n − 3.25; el precio por la noche es de $11.00.
La práctica hace la perfección
Resolver ecuaciones usando las propiedades de resta y suma de la igualdad
En los siguientes ejercicios, determinar si el valor dado es una solución a la ecuación.
- ¿Y =\(\dfrac{1}{3}\) una solución de 4y + 2 = 10y?
- ¿Es x =\(\dfrac{3}{4}\) una solución de 5x + 3 = 9x?
- ¿Es u =\(− \dfrac{1}{2}\) una solución de 8u − 1 = 6u?
- ¿Es v =\(− \dfrac{1}{3}\) una solución de 9v − 2 = 3v?
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.
- x + 7 = 12
- y + 5 = −6
- b +\(\dfrac{1}{4}\) =\(\dfrac{3}{4}\)
- a +\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{4}{5}\)
- p + 2.4 = −9.3
- m + 7.9 = 11.6
- a − 3 = 7
- m − 8 = −20
- x −\(\dfrac{1}{3}\) = 2
- x −\(\dfrac{1}{5}\) = 4
- y − 3.8 = 10
- y − 7.2 = 5
- x − 15 = −42
- z + 5.2 = −8.5
- q +\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{1}{2}\)
- p −\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{2}{3}\)
- y −\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{3}{5}\)
Resolver ecuaciones que necesitan simplificarse
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.
- c + 3 − 10 = 18
- m + 6 − 8 = 15
- 9x + 5 − 8x + 14 = 20
- 6x + 8 − 5x + 16 = 32
- −6x − 11 + 7x − 5 = −16
- −8n − 17 + 9n − 4 = −41
- 3 (y − 5) − 2y = −7
- 4 (y − 2) − 3y = −6
- 8 (u + 1.5) − 7u = 4.9
- 5 (w + 2.2) − 4w = 9.3
- −5 (y − 2) + 6y = −7 + 4
- −8 (x − 1) + 9x = −3 + 9
- 3 (5n − 1) − 14n + 9 = 1 − 2
- 2 (8m + 3) − 15m − 4 = 3 − 5
- − (j + 2) + 2j − 1 = 5
- − (k + 7) + 2k + 8 = 7
- 6a − 5 (a − 2) + 9 = −11
- 8c − 7 (c − 3) + 4 = −16
- 8 (4x + 5) − 5 (6x) − x = 53
- 6 (9y − 1) − 10 (5y) − 3y = 22
Traducir a una ecuación y resolver
En los siguientes ejercicios, traduzca a una ecuación y luego resuelva.
- Cinco más que x es igual a 21.
- La suma de x y −5 es 33.
- Diez menos que m es −14.
- Tres menos que y es −19.
- La suma de y y −3 es 40.
- Ocho más que p es igual a 52.
- La diferencia de 9x y 8x es 17.
- La diferencia de 5c y 4c es 60.
- La diferencia de n y\(\dfrac{1}{6}\) es\(\dfrac{1}{2}\).
- La diferencia de f y\(\dfrac{1}{3}\) es\(\dfrac{1}{12}\).
- La suma de −4n y 5n es −32.
- La suma de −9m y 10m es −25.
Traducir y resolver aplicaciones
En los siguientes ejercicios, traduzca en una ecuación y resuelva.
- Pilar condujo de su casa a la escuela y luego a la casa de su tía, un total de 18 millas. La distancia de la casa de Pilar a la escuela es de 7 millas. ¿Cuál es la distancia de la escuela a la casa de su tía?
- Jeff leyó un total de 54 páginas en sus libros de texto de inglés y psicología. Leyó 41 páginas en su libro de texto en inglés. ¿Cuántas páginas leyó en su libro de texto de Psicología?
- El padre de Pablo es 3 años mayor que su madre. La madre de Pablo tiene 42 años. ¿Cuántos años tiene su padre?
- La hija de Eva es 5 años menor que su hijo. El hijo de Eva tiene 12 años. ¿Cuántos años tiene su hija?
- Allie pesa 8 libras menos que su hermana gemela Lorrie. Allie pesa 124 libras. ¿Cuánto pesa Lorrie?
- Para una cena familiar de cumpleaños, Celeste compró un pavo que pesaba 5 libras menos que el que compró para Acción de Gracias. El pavo de la cena de cumpleaños pesaba 16 libras. ¿Cuánto pesó el pavo de Acción de Gracias?
- El enfermero informó que la hija de Tricia había ganado 4.2 libras desde su último chequeo y ahora pesa 31.6 libras. ¿Cuánto pesó la hija de Tricia en su último chequeo?
- La temperatura de Connor era 0.7 grados más alta esta mañana de lo que había sido anoche. Su temperatura esta mañana era de 101.2 grados. ¿Cuál era su temperatura anoche?
- El libro de matemáticas de Melissa costó 22.85 dólares menos que el costo de su libro de arte. Su libro de matemáticas costó $93.75. ¿Cuánto costó su libro de arte?
- El sueldo de Ron esta semana fue 17.43 dólares menos que su sueldo de la semana pasada. Su sueldo esta semana fue de 103.76 dólares. ¿Cuánto costó el sueldo de Ron la semana pasada?
Matemáticas cotidianas
- Hornear Kelsey necesita una\(\dfrac{2}{3}\) taza de azúcar para la receta de galletas que quiere hacer. Ella sólo tiene\(\dfrac{1}{4}\) taza de azúcar y le tomará prestada el resto a su vecina. Vamos a igualar la cantidad de azúcar que va a pedir prestada. Resuelve la ecuación\(\dfrac{1}{4}\) + s =\(\dfrac{2}{3}\) para encontrar la cantidad de azúcar que debe pedir prestada.
- Construcción Miguel quiere perforar un agujero para un tornillo de\(\dfrac{5}{8}\) -pulgada. El tornillo debe ser\(\dfrac{1}{12}\) pulgadas más grande que el orificio. Dejar d igual al tamaño del agujero que debe perforar. Resuelve la ecuación d +\(\dfrac{1}{12}\) =\(\dfrac{5}{8}\) para ver qué tamaño debe ser el agujero.
Ejercicios de escritura
- ¿Es −18 una solución a la ecuación 3x = 16 − 5x? ¿Cómo lo sabes?
- Escribir una frase de palabra que traduzca la ecuación y − 18 = 41 y luego conformar una aplicación que utilice esta ecuación en su solución.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) Si la mayoría de sus cheques fueron:
... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.
... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?
... no, ¡no lo pillo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.