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8.4: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados (Parte 1)

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    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver una ecuación con constantes en ambos lados
    • Resolver una ecuación con variables en ambos lados
    • Resolver una ecuación con variables y constantes en ambos lados
    • Resolver ecuaciones usando una estrategia general
    ¡prepárate!

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: 4y − 9 + 9. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.3.10.
    2. Resolver: y + 12 = 16. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.5.4.
    3. Resolver: −3y = 63. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.9.6.

    Resolver una ecuación con constantes en ambos lados

    Habrás notado que en todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora, todos los términos variables estaban en un solo lado de la ecuación con las constantes en el otro lado. Esto no sucede todo el tiempo, así que ahora veremos cómo resolver ecuaciones donde los términos variables y/o términos constantes están en ambos lados de la ecuación.

    Nuestra estrategia implicará elegir un lado de la ecuación para que sea el lado variable, y el otro lado de la ecuación para que sea el lado constante. Entonces, usaremos las Propiedades de Resta y Sudición de Igualdad, paso a paso, para juntar todos los términos variables en un lado de la ecuación y los términos constantes juntos en el otro lado.

    Al hacer esto, transformaremos la ecuación que inició con variables y constantes en ambos lados en la forma ax = b Ya sabemos cómo resolver ecuaciones de esta forma usando las Propiedades de División o Multiplicación de Igualdad.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Resolver: 4x + 6 = −14.

    Solución

    En esta ecuación, la variable está sólo en el lado izquierdo. Tiene sentido llamar al lado izquierdo el lado variable. Por lo tanto, el lado derecho será el lado constante. Escribiremos las etiquetas encima de la ecuación para ayudarnos a recordar qué va a dónde va.

    Dado que el lado izquierdo es el lado variable, el 6 está fuera de lugar. Debemos “deshacer” sumando 6 restando 6, y para mantener la igualdad debemos restar 6 de ambos lados. Utilizar la Propiedad de Sustracción de Igualdad. $$4x + 6\ textcolor {rojo} {-6} = -14\ textcolor {rojo} {-6} $$
    Simplificar. $$4x = -20$$
    Ahora todas las x están a la izquierda y la constante a la derecha.  
    Utilizar la División Propiedad de Igualdad. $$\ dfrac {4x} {\ textcolor {rojo} {4}} =\ dfrac {-20} {\ textcolor {rojo} {4}} $$
    Simplificar. $$x = -5$$
    Comprobar: Dejar x = −5. $$\ begin {split} 4x + 6 &= -14\\ 4 (\ textcolor {rojo} {-5}) + 6 &= -14\\ -20 + 6 &= -14\\ -14 &= -14\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\):

    Resolver: 3x + 4 = −8.

    Contestar

    x = -4

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\):

    Resolver: 5a + 3 = −37.

    Contestar

    a = -8

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

    Resolver: 2y − 7 = 15.

    Solución

    Observe que la variable está sólo en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que este será el lado variable y el lado derecho será el lado constante. Dado que el lado izquierdo es el lado variable, el 7 está fuera de lugar. Se resta del 2y, por lo tanto, para 'deshacer' la resta, sumar 7 a ambos lados.

    Agrega 7 a ambos lados. $$2y - 7\ textcolor {rojo} {+7} = 15\ textcolor {rojo} {+7} $$
    Simplificar. $$2y = 22$$
    Las variables están ahora en un lado y las constantes en el otro.  
    Divide ambos lados por 2. $$\ dfrac {2y} {\ textcolor {rojo} {2}} =\ dfrac {22} {\ textcolor {rojo} {2}} $$
    Simplificar. $$y = 11$$
    Cheque: Sustituto: y = 11. $$\ begin {split} 2y - 7 &= 15\\ 2\ cdot\ textcolor {rojo} {11} - 7 &\ stackrel {?} {=} 15\\ 22 - 7 &\ stackrel {?} {=} 15\\ 15 &= 15\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\):

    Resolver: 5y − 9 = 16.

    Contestar

    y = 5

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\):

    Resolver: 3m − 8 = 19.

    Contestar

    m = 9

    Resolver una ecuación con variables en ambos lados

    ¿Y si hay variables en ambos lados de la ecuación? Comenzaremos como lo hicimos anteriormente, eligiendo un lado variable y un lado constante, y luego usaremos las Propiedades de Sudición y Sumición de Igualdad para recopilar todas las variables en un lado y todas las constantes en el otro lado. Recuerda, lo que haces al lado izquierdo de la ecuación, debes hacer también al lado derecho.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

    Resolver: 5x = 4x + 7.

    Solución

    Aquí la variable, x, está en ambos lados, pero las constantes aparecen sólo en el lado derecho, así que hagamos del lado derecho el lado “constante”. Entonces el lado izquierdo será el lado “variable”.

    No queremos ninguna variable a la derecha, así que resta el 4x. $$5x\ textcolor {rojo} {-4x} = 4x\ textcolor {rojo} {-4x} + 7$$
    Simplificar. $$x = 7$$
    Tenemos todas las variables en un lado y las constantes en el otro. Hemos resuelto la ecuación.  
    Cheque: Sustituye 7 por x. $$\ begin {split} 5x &= 4x + 7\\ 5 (\ textcolor {rojo} {7}) &\ stackrel {?} {=} 4 (\ textcolor {rojo} {7}) + 7\\ 35 &\ stackrel {?} {=} 28 + 7\\ 35 &= 35\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\):

    Resolver: 6n = 5n + 10.

    Contestar

    n = 10

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\):

    Resolver: −6c = −7c + 1.

    Contestar

    c = 1

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

    Resolver: 5y − 8 = 7y.

    Solución

    La única constante, −8, está en el lado izquierdo de la ecuación y la variable, y, está en ambos lados. Dejemos la constante a la izquierda y recojamos las variables a la derecha.

    Restar 5y de ambos lados. $$5y\ textcolor {rojo} {-5y} -8 = 7y\ textcolor {rojo} {-5y} $$
    Simplificar. $$-8 = 2y$$
    Tenemos las variables a la derecha y las constantes a la izquierda. Divide ambos lados por 2. $$\ dfrac {-8} {\ textcolor {rojo} {2}} =\ dfrac {2y} {\ textcolor {rojo} {2}} $$
    Simplificar. $$-4 = y$$
    Reescribe con la variable de la izquierda. $$y = -4$$
    Comprobar: Dejar y = −4. $$\ begin {split} 5y - 8 &= 7y\\ 5 (\ textcolor {rojo} {-4}) -8 &\ stackrel {?} {=} 7 (\ textcolor {rojo} {-4})\\ -20 - 8 &\ stackrel {?} {=} -28\\ -28 &= -28\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\):

    Resolver: 3p − 14 = 5p.

    Contestar

    p = -7

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\):

    Resolver: 8m + 9 = 5m.

    Contestar

    m = -3

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

    Resolver: 7x = − x + 24.

    Solución

    La única constante, 24, está a la derecha, así que deja que el lado izquierdo sea el lado variable.

    Retire el −x del lado derecho agregando x a ambos lados. $$7x\ textcolor {rojo} {+x} = -x\ textcolor {rojo} {+x} + 24$$
    Simplificar. $$8x = 24$$
    Todas las variables están a la izquierda y las constantes a la derecha. Divide ambos lados por 8. $$\ dfrac {8x} {\ textcolor {rojo} {8}} =\ dfrac {24} {\ textcolor {rojo} {8}} $$
    Simplificar. $$x = 3$$
    Comprobar: Sustituto x = 3. $$\ begin {split} 7x &= -x + 24\\ 7 (\ textcolor {rojo} {3}) &\ stackrel {?} {=} - (\ textcolor {rojo} {3}) + 24\\ 21 &= 21\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{9}\):

    Resolver: 12j = −4j + 32.

    Contestar

    j = 2

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\):

    Resolver: 8h = −4h + 12.

    Contestar

    h = 1

    Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

    El siguiente ejemplo será el primero en tener variables y constantes en ambos lados de la ecuación. Como hicimos antes, recopilaremos los términos variables a un lado y las constantes al otro lado.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

    Resolver: 7x + 5 = 6x + 2.

    Solución

    Comience eligiendo qué lado será el lado variable y cuál será el lado constante. Los términos variables son 7x y 6x. Dado que 7 es mayor que 6, haga del lado izquierdo el lado variable y así el lado derecho será el lado constante.

    Recoge los términos variables al lado izquierdo restando 6x de ambos lados. $$7x\ textcolor {rojo} {-6x} + 5 = 6x\ textcolor {rojo} {-6x} +2$$
    Simplificar. $$x + 5 = 2$$
    Ahora, recoge las constantes al lado derecho restando 5 de ambos lados. $$x + 5\ textcolor {rojo} {-5} = 2\ textcolor {rojo} {-5} $$
    Simplificar. $$x = -3$$
    La solución es x = −3.  
    Comprobar: Dejar x = −3. $$\ begin {split} 7x + 5 &= 6x + 2\\ 7 (\ textcolor {rojo} {-3}) + 5 &\ stackrel {?} {=} 6 (\ textcolor {rojo} {-3}) + 2\\ -21 + 5 &\ stackrel {?} {=} -18 + 2\\ -16 &= -16\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\):

    Resolver: 12x + 8 = 6x + 2.

    Contestar

    x = -1

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\):

    Resolver: 9y + 4 = 7y + 12.

    Contestar

    y = 4

    Resumiremos los pasos que tomamos para que puedas consultarlos fácilmente.

    CÓMO: RESOLVER UNA ECUACIÓN CON VARIABLES Y CONSTANTES EN

    Paso 1. Elige un lado para ser el lado variable y luego el otro será el lado constante.

    Paso 2. Recoger los términos variables al lado de la variable, utilizando la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    Paso 3. Recoge las constantes al otro lado, usando la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    Paso 4. Hacer el coeficiente de la variable 1, utilizando la Multiplicación o División Propiedad de Igualdad.

    Paso 5. Verifique la solución sustituyéndola en la ecuación original.

    Es una buena idea hacer que el lado de la variable sea aquel en el que la variable tenga el coeficiente mayor. Esto suele facilitar la aritmética.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

    Resolver: 6n − 2 = −3n + 7.

    Solución

    Tenemos 6n a la izquierda y −3n a la derecha. Desde 6 > − 3, haga del lado izquierdo el lado “variable”.

    No queremos variables en el lado derecho: agregue 3n a ambos lados para dejar solo constantes a la derecha. $$6n\ textcolor {rojo} {+3n} - 2 = -3n\ textcolor {rojo} {+3n} +7$$
    Combina términos similares. $$9n - 2 = 7$$
    No queremos ninguna constante en el lado izquierdo, así que agrega 2 a ambos lados. $$9n - 2\ textcolor {rojo} {+2} = 7\ textcolor {rojo} {+2} $$
    Simplificar. $$9n = 9$$
    El término variable está a la izquierda y el término constante está a la derecha. Para que el coeficiente de n sea uno, divida ambos lados por 9. $$\ dfrac {9n} {\ textcolor {rojo} {9}} =\ dfrac {9} {\ textcolor {rojo} {9}} $$
    Simplificar. $$n = 1$$
    Cheque: Sustituya 1 por n. $$\ begin {split} 6n - 2 &= -3n + 7\\ 6 (\ textcolor {rojo} {1}) - 2 &\ stackrel {?} {=} + 7\\ 4 &= 4\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\):

    Resolver: 8q − 5 = −4q + 7.

    Contestar

    q = 1

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\):

    Resolver: 7n − 3 = n + 3.

    Contestar

    n = 1

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

    Resolver: 2a − 7 = 5a + 8.

    Solución

    Esta ecuación tiene 2a a la izquierda y 5a a la derecha. Desde 5 > 2, haga del lado derecho el lado variable y el lado izquierdo el lado constante.

    Restar 2a de ambos lados para eliminar el término variable de la izquierda. $$2a\ textcolor {rojo} {-2a} - 7 = 5a\ textcolor {rojo} {-2a} + 8$$
    Combina términos similares. $$-7 = 3a + 8$$
    Restar 8 de ambos lados para eliminar la constante de la derecha. $$-7\ textcolor {rojo} {-8} = 3a + 8\ textcolor {rojo} {-8} $$
    Simplificar. $$-15 = 3a$$
    Divide ambos lados por 3 para que 1 sea el coeficiente de a. $$\ dfrac {-15} {\ textcolor {rojo} {3}} =\ dfrac {3a} {\ textcolor {rojo} {3}} $$
    Simplificar. $$-5 = a$$
    Comprobar: Dejar a = −5. $$\ begin {split} 2a - 7 &= 5a + 8\\ 2 (\ textcolor {rojo} {-5}) - 7 &\ stackrel {?} {=} 5 (\ textcolor {rojo} {-5}) + 8\\ -10 - 7 &\ stackrel {?} {=} -25 + 8\\ -17 &= -17\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$

    Tenga en cuenta que podríamos haber hecho del lado izquierdo el lado variable en lugar del lado derecho, pero habría llevado a un coeficiente negativo en el término variable. Si bien podríamos trabajar con lo negativo, hay menos posibilidades de error al trabajar con positivos. ¡La estrategia esbozada anteriormente ayuda a evitar los negativos!

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\):

    Resolver: 2a − 2 = 6a + 18.

    Contestar

    a = -5

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\):

    Resolver: 4k − 1 = 7k + 17.

    Contestar

    k = -6

    Para resolver una ecuación con fracciones, seguimos los mismos pasos para obtener la solución.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Resolver:\(\dfrac{3}{2}\) x + 5 =\(\dfrac{1}{2}\) x − 3.

    Solución

    Ya que\(\dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}\), hacer el lado izquierdo el lado variable y el lado derecho el lado constante.

    Restar\(\dfrac{1}{2}\) x de ambos lados. $$\ dfrac {3} {2} x\ textcolor {rojo} {-\ dfrac {1} {2} x} + 5 =\ dfrac {1} {2} {2} x\ textcolor {rojo} {\ dfrac {1} {2} x} - 3$$
    Combina términos similares. $$x + 5 = -3$$
    Restar 5 de ambos lados. $$x + 5\ textcolor {rojo} {-5} = -3\ textcolor {rojo} {-5} $$
    Simplificar. $$x = -8$$
    Comprobar: Dejar x = −8. $$\ begin {split}\ dfrac {3} {2} x + 5 &=\ dfrac {1} {2} x - 3\\\ dfrac {3} {2} (\ textcolor {rojo} {-8}) + 5 &\ stackrel {?} {=}\ dfrac {1} {2} (\ textcolor {rojo} {-8}) - 3\\ -12 + 5 &\ stackrel {?} {=} -4 - 3\\ -7 &= -7\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\):

    Resolver:\(\dfrac{7}{8}\) x - 12 =\(- \dfrac{1}{8}\) x − 2.

    Contestar

    x = 10

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\):

    Resolver:\(\dfrac{7}{6}\) y + 11 =\(\dfrac{1}{6}\) y + 8.

    Contestar

    y = -3

    Seguimos los mismos pasos cuando la ecuación tiene decimales, también.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

    Resolver: 3.4x + 4 = 1.6x − 5.

    Solución

    Desde 3.4 > 1.6, haga del lado izquierdo el lado variable y el lado derecho el lado constante.

    Resta 1.6x de ambos lados. $$3.4x\ textcolor {rojo} {-1.6x} + 4 = 1.6x\ textcolor {rojo} {-1.6x} - 5$$
    Combina términos similares. $1,8x + 4 = -5$$
    Restar 4 de ambos lados. $$1.8x + 4\ textcolor {rojo} {-4} = -5\ textcolor {rojo} {-4} $$
    Simplificar. $1.8x = -9$$
    Utilizar la División Propiedad de Igualdad. $$\ dfrac {1.8x} {\ textcolor {rojo} {1.8}} =\ dfrac {-9} {\ textcolor {rojo} {1.8}} $$
    Simplificar. $$x = -5$$
    Comprobar: Dejar x = −5. $$\ begin {split} 3.4x + 4 &= 1.6x - 5\\ 3.4 (\ textcolor {rojo} {-5}) + 4 &\ stackrel {?} {=} 1.6 (\ textcolor {rojo} {-5}) - 5\\ -17 + 4 &\ stackrel {?} {=} -8 - 5\\ -13 &= -13\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

    Resolver: 2.8x + 12 = −1.4x − 9.

    Contestar

    x = -5

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

    Resolver: 3.6y + 8 = 1.2y − 4.

    Contestar

    y = -5

    Colaboradores y Atribuciones


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