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8.5: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados (Parte 2)

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    Resolver ecuaciones usando una estrategia general

    Cada una de las primeras secciones de este capítulo se ha ocupado de resolver una forma específica de una ecuación lineal. Ahora es el momento de diseñar una estrategia general que pueda ser utilizada para resolver cualquier ecuación lineal. A esto lo llamamos la estrategia general. Algunas ecuaciones no requerirán todos los pasos para resolverlas, pero muchas lo harán. Simplificar cada lado de la ecuación tanto como sea posible primero facilita el resto de los pasos.

    CÓMO: Usar una estrategia general para resolver ecuaciones lineales

    Paso 1. Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Utilice la Propiedad Distributiva para eliminar cualquier paréntesis. Combina términos similares.

    Paso 2. Recoge todos los términos variables a un lado de la ecuación. Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    Paso 3. Recoge todos los términos constantes al otro lado de la ecuación. Utilice la Propiedad de Suma o Resta de Igualdad.

    Paso 4. Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1. Utilizar el Propiedad de Multiplicación o División de Igualdad. Afirma la solución a la ecuación.

    Paso 5. Consulta la solución. Sustituya la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado es una declaración verdadera.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

    Resolver: 3 (x + 2) = 18.

    Solución

    Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Utilice la Propiedad Distributiva. $$3x + 6 = 18\ tag {8.3.46} $$
    Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación—todas las x ya están en el lado izquierdo.  
    Recoger términos constantes en el otro lado de la ecuación. Restar 6 de cada lado. $$3x + 6\ textcolor {rojo} {-6} = 18\ textcolor {rojo} {-6}\ tag {8.3.47} $$
    Simplificar. $$3x = 12\ tag {8.3.48} $$
    Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1. Divide cada lado por 3. $$\ dfrac {3x} {\ textcolor {rojo} {3}} =\ dfrac {12} {\ textcolor {rojo} {3}}\ tag {8.3.49} $$
    Simplificar. $$x = 4\ tag {8.3.50} $$
    Comprobar: Dejar x = 4. $$\ begin {split} 3 (x + 2) &= 18\\ 3 (\ textcolor {rojo} {4} + 2 &\ stackrel {?} {=} 18\\ 3 (6) &\ stackrel {?} {=} 18\\ 18 &\ stackrel {?} {=} 18\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\):

    Resolver: 5 (x + 3) = 35.

    Contestar

    x = 4

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\):

    Resolver: 6 (y − 4) = −18.

    Contestar

    y = 1

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Resolver: − (x + 5) = 7.

    Solución

    Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible distribuyendo. El único término x está en el lado izquierdo, por lo que todos los términos variables están en el lado izquierdo de la ecuación. $$-x - 5 = 7\ tag {8.3.51} $$
    Agrega 5 a ambos lados para obtener todos los términos constantes en el lado derecho de la ecuación. $$-x - 5\ textcolor {rojo} {+5} = 7\ textcolor {rojo} {+5}\ tag {8.3.52} $$
    Simplificar. $$-x = 12\ tag {8.3.53} $$
    Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1 multiplicando ambos lados por -1. $$\ textcolor {rojo} {-1} (-x) =\ textcolor {rojo} {-1} (12)\ tag {8.3.54} $$
    Simplificar. $$x = -12\ tag {8.3.55} $$
    Comprobar: Dejar x = −12. $$\ begin {split} - (x + 5) &= 7\\ - (\ textcolor {rojo} {-12} + 5) &\ stackrel {?} {=} 7\\ - (-7) &\ stackrel {?} {=} 7\\ 7 &= 7\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\):

    Resolver: − (y + 8) = −2.

    Contestar

    y = -6

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\):

    Resolver: − (z + 4) = −12.

    Contestar

    z = 8

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Resolver: 4 (x − 2) + 5 = −3.

    Solución

    Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Distribuir. $$4x - 8 + 5 = -3\ tag {8.3.56} $$
    Combina términos similares. $$4x - 3 = -3\ tag {8.3.57} $$
    La única x está en el lado izquierdo, por lo que todos los términos variables están en un lado de la ecuación.  
    Agrega 3 a ambos lados para obtener todos los términos constantes en el otro lado de la ecuación. $$4x - 3\ textcolor {rojo} {+3} = -3\ textcolor {rojo} {+3}\ tag {8.3.58} $$
    Simplificar. $$4x = 0\ tag {8.3.59} $$
    Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1 dividiendo ambos lados por 4. $$\ dfrac {4x} {\ textcolor {rojo} {4}} =\ dfrac {0} {\ textcolor {rojo} {4}}\ tag {8.3.60} $$
    Simplificar. $$x = 0\ tag {8.3.61} $$
    Comprobar: Dejar x = 0. $$\ begin {split} 4 (x - 2) + 5 &= -3\\ 4 (\ textcolor {rojo} {0} - 2) + 5 &\ stackrel {?} {=} -3\\ 4 (-2) + 5 &\ stackrel {?} {=} -3\\ -8 + 5 &\ stackrel {?} {=} -3\\ -3 &= -3\;\ marca de verificación\ final {división} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\):

    Resolver: 2 (a − 4) + 3 = −1.

    Contestar

    a = 2

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\):

    Resolver: 7 (n − 3) − 8 = −15.

    Contestar

    n = 2

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

    Resolver: 8 − 2 (3y + 5) = 0.

    Solución

    Tenga cuidado a la hora de distribuir lo negativo.

    Simplificar: utilice la propiedad distributiva. $$8 - 6 años - 10 = 0\ tag {8.3.62} $$
    Combina términos similares. $$-6año - 2 = 0\ tag {8.3.63} $$
    Agrega 2 a ambos lados para recolectar constantes a la derecha. $$-6año - 2\ textcolor {rojo} {+2} = 0\ textcolor {rojo} {+2}\ tag {8.3.64} $$
    Simplificar. $$y = -\ dfrac {1} {3}\ tag {8.3.65} $$
    Divide ambos lados por −6. $$\ dfrac {-6y} {\ textcolor {rojo} {-6}} =\ dfrac {2} {\ textcolor {rojo} {-6}}\ tag {8.3.66} $$
    Simplificar. $$y = -\ dfrac {1} {3}\ tag {8.3.67} $$
    Comprobar: Dejar y =\(− \dfrac{1}{3}\). \ [\ begin {split} 8 - 2 (3y + 5) &= 0\\ 8 - 2\ Bigg [3\ left (\ textcolor {rojo} {-\ dfrac {1} {3}}\ derecha) + 5\ Bigg] &= 0\\ 8 - 2 (-1 + 5) &\ stackrel {?} {=} 0\\ 8 - 2 (4) &\ stackrel {?} {=} 0\\ 8 - 8 &\ stackrel {?} {=} 0\\ 0 &= 0;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{27}\):

    Resolver: 12 − 3 (4j + 3) = −17.

    Contestar

    \(j = \frac{5}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\):

    Resolver: −6 − 8 (k − 2) = −10.

    Contestar

    \(k = \frac{5}{2}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

    Resolver: 3 (x − 2) − 5 = 4 (2x + 1) + 5.

    Solución

    Distribuir. $$3x - 6 - 5 = 8x + 4 + 5\ tag {8.3.68} $$
    Combina términos similares. $$3x - 11 = 8x + 9\ tag {8.3.69} $$
    Restar 3x para obtener todas las variables a la derecha desde 8 > 3. $$3x\ textcolor {rojo} {-3x} - 11 = 8x\ textcolor {rojo} {-3x} + 9\ tag {8.3.70} $$
    Simplificar. $$-11 = 5x + 9\ tag {8.3.71} $$
    Resta 9 para obtener las constantes de la izquierda. $$-11\ textcolor {rojo} {-9} = 5x + 9\ textcolor {rojo} {-9}\ tag {8.3.72} $$
    Simplificar. $$-20 = 5x\ tag {8.3.73} $$
    Dividir por 5. $$\ dfrac {-20} {\ textcolor {rojo} {5}} =\ dfrac {5x} {\ textcolor {rojo} {5}}\ tag {8.3.74} $$
    Simplificar. $$-4 = x\ tag {8.3.75} $$
    Comprobación: Sustituto: −4 = x. \ [\ begin {split} 3 (x - 2) - 5 &= 4 (2x + 1) + 5\\ 3 (\ textcolor {rojo} {-4} - 2) - 5 &\ stackrel {?} {=} 4 [2 (\ textcolor {rojo} {-4}) + 1] + 5\\ 3 (-6) - 5 &\ stackrel {?} {=} 4 (-8 + 1) + 5\\ -18 - 5 &\ stackrel {?} {=} 4 (-7) + 5\\ -23 &\ stackrel {?} {=} -28 + 5\\ -23 &= -23\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\):

    Resolver: 6 (p − 3) − 7 = 5 (4p + 3) − 12.

    Contestar

    p = -2

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\):

    Resolver: 8 (q + 1) − 5 = 3 (2q − 4) − 1.

    Contestar

    q = -8

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\):

    Resolver:\(\dfrac{1}{2}\) (6x − 2) = 5 − x.

    Solución

    Distribuir. $$3x - 1 = 5 - x\ tag {8.3.76} $$
    Agrega x para obtener todas las variables de la izquierda. $$3x - 1\ textcolor {rojo} {+x} = 5 - x\ textcolor {rojo} {+x}\ tag {8.3.77} $$
    Simplificar. $$4x - 1 = 5\ tag {8.3.78} $$
    Agrega 1 para obtener constantes a la derecha. $$4x - 1\ textcolor {rojo} {+1} = 5\ textcolor {rojo} {+1}\ tag {8.3.79} $$
    Simplificar. $$4x = 6\ tag {8.3.80} $$
    Dividir por 4. $$\ dfrac {4x} {\ textcolor {rojo} {4}} =\ dfrac {6} {\ textcolor {rojo} {4}}\ tag {8.3.81} $$
    Simplificar. $$x =\ dfrac {3} {2}\ tag {8.3.82} $$
    Comprobar: Dejar x =\(\dfrac{3}{2}\). $$\ begin {split}\ dfrac {1} {2} (6x - 2) &= 5 - x\\\ dfrac {1} {2}\ left (6\ cdot\ textcolor {rojo} {\ dfrac {3} {2}} - 2\ derecha) &\ stackrel {?} {=} 5 -\ textcolor {rojo} {\ dfrac {3} {2}}\\ dfrac {1} {2} (9 - 2) &\ stackrel {?} {=}\ dfrac {10} {2} -\ dfrac {3} {2}\\ dfrac {1} {2} (7) &\ stackrel {?} {=}\ dfrac {7} {2}\\\ dfrac {7} {2} &=\ dfrac {7} {2}\;\ marca de verificación\ final {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{31}\):

    Resolver:\(\dfrac{1}{3}\) (6u + 3) = 7 − u.

    Contestar

    u = 2

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\):

    Resolver:\(\dfrac{2}{3}\) (9x − 12) = 8 + 2x.

    Contestar

    x = 4

    En muchas aplicaciones, tendremos que resolver ecuaciones con decimales. La misma estrategia general funcionará para estas ecuaciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\):

    Resolver: 0.24 (100x + 5) = 0.4 (30x + 15).

    Solución

    Distribuir. $$24x + 1.2 = 12x + 6\ tag {8.3.83} $$
    Resta 12x para obtener todas las x s a la izquierda. $$24x + 1.2\ textcolor {rojo} {-12x} = 12x + 6\ textcolor {rojo} {-12x}\ tag {8.3.84} $$
    Simplificar. $$12x + 1.2 = 6\ tag {8.3.85} $$
    Restar 1.2 para obtener las constantes a la derecha. $$12x + 1.2\ textcolor {rojo} {-1.2} = 6\ textcolor {rojo} {-1.2}\ tag {8.3.86} $$
    Simplificar. $$12x = 4.8\ tag {8.3.87} $$
    Dividir. $$\ dfrac {12x} {\ textcolor {rojo} {12}} =\ dfrac {4.8} {\ textcolor {rojo} {12}}\ tag {8.3.88} $$
    Simplificar. $$x = 0.4\ tag {8.3.89} $$
    Comprobar: Dejar x = 0.4. \ [\ begin {split} 0.24 (100x + 5) &= 0.4 (30x + 15)\\ 0.24 [100 (\ textcolor {rojo} {0.4}) + 5] &\ stackrel {?} {=} 0.4 [30 (\ textcolor {rojo} {0.4}) + 15]\\ 0.24 (40 + 5) &\ stackrel {?} {=} 0.4 (12 + 15)\\ 0.24 (45) &\ stackrel {?} {=} 0.4 (27)\\ 10.8 &= 10.8\;\ marca de verificación\ end {split} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{33}\):

    Resolver: 0.55 (100n + 8) = 0.6 (85n + 14).

    Contestar

    n = 1

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\):

    Resolver: 0.15 (40m − 120) = 0.5 (60m + 12).

    n = -1

    ACCEDE A RECURSOS

    Resolver ecuaciones de varios pasos

    Resolver una ecuación con términos variables en ambos lados

    Resolver ecuaciones de varios pasos (L5.4)

    Resolver una ecuación con variables y paréntesis en ambos lados

    La práctica hace la perfección

    Resolver una ecuación con constantes en ambos lados

    En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación para la variable.

    1. 6x − 2 = 40
    2. 7x − 8 = 34
    3. 11w + 6 = 93
    4. 14 años + 7 = 91
    5. 3a + 8 = −46
    6. 4m + 9 = −23
    7. −50 = 7n − 1
    8. −47 = 6b + 1
    9. 25 = −9y + 7
    10. 29 = −8x − 3
    11. −12p − 3 = 15
    12. −14q − 15 = 13

    Resolver una ecuación con variables en ambos lados

    En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación para la variable.

    1. 8z = 7z − 7
    2. 9k = 8k − 11
    3. 4x + 36 = 10x
    4. 6x + 27 = 9x
    5. c = −3c − 20
    6. b = −4b − 15
    7. 5q = 44 − 6q
    8. 7z = 39 − 6z
    9. 3 años +\(\dfrac{1}{2}\) = 2 años
    10. 8x +\(\dfrac{3}{4}\) = 7x
    11. −12a − 8 = −16a
    12. −15r − 8 = −11r

    Resolver una ecuación con variables y constantes en ambos lados

    En los siguientes ejercicios, resuelve las ecuaciones para la variable.

    1. 6x − 15 = 5x + 3
    2. 4x − 17 = 3x + 2
    3. 26 + 8d = 9d + 11
    4. 21 + 6 f = 7 f + 14
    5. 3p − 1 = 5p − 33
    6. 8q − 5 = 5q − 20
    7. 4a + 5 = − a − 40
    8. 9c + 7 = −2c − 37
    9. 8y − 30 = −2y + 30
    10. 12x − 17 = −3x + 13
    11. 2z − 4 = 23 − z
    12. 3y − 4 = 12 − y
    13. \(\dfrac{5}{4}\)c − 3 =\(\dfrac{1}{4}\) c − 16
    14. \(\dfrac{4}{3}\)m − 7 =\(\dfrac{1}{3}\) m − 13
    15. 8 −\(\dfrac{2}{5}\) q =\(\dfrac{3}{5}\) q + 6
    16. 11 −\(\dfrac{1}{4}\) a =\(\dfrac{3}{4}\) a + 4
    17. \(\dfrac{4}{3}\)n + 9 =\(\dfrac{1}{3}\) n − 9
    18. \(\dfrac{5}{4}\)a + 15 =\(\dfrac{3}{4}\) a − 5
    19. \(\dfrac{1}{4}\)y + 7 =\(\dfrac{3}{4}\) y − 3
    20. \(\dfrac{3}{5}\)p + 2 =\(\dfrac{4}{5}\) p − 1
    21. 14n + 8.25 = 9n + 19.60
    22. 13z + 6.45 = 8z + 23.75
    23. 2.4w − 100 = 0.8w + 28
    24. 2.7w − 80 = 1.2w + 10
    25. 5.6r + 13.1 = 3.5r + 57.2
    26. 6.6x − 18.9 = 3.4x + 54.7

    Resolver una ecuación usando la estrategia general

    En los siguientes ejercicios, resolver la ecuación lineal utilizando la estrategia general.

    1. 5 (x + 3) = 75
    2. 4 (y + 7) = 64
    3. 8 = 4 (x − 3)
    4. 9 = 3 (x − 3)
    5. 20 (y − 8) = −60
    6. 14 (y − 6) = −42
    7. −4 (2n + 1) = 16
    8. −7 (3n + 4) = 14
    9. 3 (10 + 5r) = 0
    10. 8 (3 + 3p) = 0
    11. \(\dfrac{2}{3}\)(9c − 3) = 22
    12. \(\dfrac{3}{5}\)(10x − 5) = 27
    13. 5 (1.2u − 4.8) = −12
    14. 4 (2.5v − 0.6) = 7.6
    15. 0.2 (30n + 50) = 28
    16. 0.5 (16m + 34) = −15
    17. − (w − 6) = 24
    18. − (t − 8) = 17
    19. 9 (3a + 5) + 9 = 54
    20. 8 (6b − 7) + 23 = 63
    21. 10 + 3 (z + 4) = 19
    22. 13 + 2 (m − 4) = 17
    23. 7 + 5 (4 − q) = 12
    24. −9 + 6 (5 − k) = 12
    25. 15 − (3r + 8) = 28
    26. 18 − (9r + 7) = −16
    27. 11 − 4 (y − 8) = 43
    28. 18 − 2 (y − 3) = 32
    29. 9 (p − 1) = 6 (2p − 1)
    30. 3 (4n − 1) − 2 = 8n + 3
    31. 9 (2m − 3) − 8 = 4m + 7
    32. 5 (x − 4) − 4x = 14
    33. 8 (x − 4) − 7x = 14
    34. 5 + 6 (3s − 5) = −3 + 2 (8s − 1)
    35. −12 + 8 (x − 5) = −4 + 3 (5x − 2)
    36. 4 (x − 1) − 8 = 6 (3x − 2) − 7
    37. 7 (2x − 5) = 8 (4x − 1) − 9

    Matemáticas cotidianas

    1. Haciendo una barda Jovani tiene una barda alrededor del jardín rectangular en su patio trasero. El perímetro de la barda es de 150 pies. La longitud es de 15 pies más que el ancho. Encuentra el ancho, w, resolviendo la ecuación 150 = 2 (w + 15) + 2w.
    2. Boletos para conciertos En un concierto escolar, el valor total de los boletos vendidos fue de 1.506 dólares. Los boletos de estudiante se venden por $6 y los boletos para adultos se venden por $9. El número de boletos de adulto vendidos fue 5 menos que 3 veces el número de boletos de estudiante. Encuentra el número de boletos de estudiante vendidos, s, resolviendo la ecuación 6s + 9 (3s − 5) = 1506.
    3. Coins Rhonda tiene $1.90 en monedas de cinco centavos y diez centavos. El número de monedas de diez centavos es uno menos del doble del número de monedas de cinco centavos. Encuentra el número de níqueles, n, resolviendo la ecuación 0.05n + 0.10 (2n − 1) = 1.90.
    4. Esgrima Micah tiene 74 pies de esgrima para hacer un corral rectangular para perros en su patio. Quiere que el largo sea 25 pies más que el ancho. Encuentra la longitud, L, resolviendo la ecuación 2L + 2 (L − 25) = 74.

    Ejercicios de escritura

    203. Al resolver una ecuación con variables en ambos lados, ¿por qué suele ser mejor elegir el lado con el coeficiente mayor como el lado variable? 204. Resuelve la ecuación 10x + 14 = −2x + 38, explicando todos los pasos de tu solución. 205. ¿Cuál es el primer paso que das al resolver la ecuación 3 − 7 (y − 4) = 38? Explica por qué este es tu primer paso. 206. Resuelve la ecuación 1 4 (8x + 20) = 3x − 4 explicando todos los pasos de tu solución como en los ejemplos de esta sección. 207. Usando sus propias palabras, enumere los pasos en la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales. 208. Explique por qué debe simplificar ambos lados de una ecuación tanto como sea posible antes de recopilar los términos variables a un lado y los términos constantes al otro lado.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

    Colaboradores y Atribuciones

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