9.2: Usar una estrategia de resolución de problemas (Parte 2)

Algunos problemas de palabras numéricas te piden que encuentres dos o más números. Puede ser tentador nombrarlos a todos con diferentes variables, pero hasta ahora solo hemos resuelto ecuaciones con una variable. Vamos a definir los números en términos de la misma variable. Asegúrese de leer el problema detenidamente para descubrir cómo todos los números se relacionan entre sí.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Un número es cinco más que otro. La suma de los números es veintiuno. Encuentra los números.

Solución

Paso 1. Lee el problema.
Paso 2. Identifica lo que buscas.	Estás buscando dos números.
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar el primer número. ¿Qué sabes del segundo número? Traducir.	Dejar n = 1 ^er número. Un número es cinco más que otro. x + 5 = ^2º número
Paso 4. Traducir. Reafirmar el problema como una frase con toda la información importante. Traducir en una ecuación. Sustituir las expresiones variables.	La suma de los números es 21. La suma del número 1 y el número 2 es 21.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$n + n + 5 = 21\ tag {9.1.15} $$
Combina términos similares.	$$2n + 5 = 21\ tag {9.1.16} $$
Restar cinco de ambos lados y simplificar.	$$2n = 16\ tag {9.1.17} $$
Dividir por dos y simplificar.	$$n = 8\ qquad 1^ {st}\; número\ etiqueta {9.1.18} $$
Encuentra el segundo número también.	$$n + 5\ qquad 2^ {nd}\; número\ etiqueta {9.1.19} $$
Sustituto n = 8.	$$\ textcolor {rojo} {8} + 5\ tag {9.1.20} $$
Paso 6. Cheque: ¿Estos números revisan el problema? ¿Un número 5 es más que el otro? ¿Son trece, 5 más de 8? Sí.	$$\ begin {split} 13 &\ stackrel {?} {=} 8 + 5\\ 13 &= 13\;\ marca de verificación\ end {split} $$
¿La suma de los dos números es 21?	$$\ begin {split} 8 + 13 &= 21\\ 21 &= 21\;\ marca de verificación\ end {split} $$
Paso 7. Contesta la pregunta.	Los números son 8 y 13.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\):

Un número es seis más que otro. La suma de los números es veinticuatro. Encuentra los números.

Contestar

9, 15

Ejercicio\(\PageIndex{12}\):

La suma de dos números es cincuenta y ocho. Un número es cuatro más que el otro. Encuentra los números.

Contestar

27, 31

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

La suma de dos números es de catorce negativos. Un número es cuatro menos que el otro. Encuentra los números.

Solución

Paso 1. Lee el problema.
Paso 2. Identifica lo que buscas.	dos números
Paso 3. Nombre. Elija una variable. ¿Qué sabes del segundo número? Traducir.	Let n = 1 ^st número Un número es 4 menos que el otro. n - 4 = ^2º número
Paso 4. Traducir. Escribe como una sola oración. Traducir en una ecuación. Sustituir las expresiones variables.	La suma de dos números es de catorce negativos.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$n + n - 4 = -14\ tag {9.1.21} $$
Combina términos similares.	$$2n - 4 = -14\ tag {9.1.22} $$
Agrega 4 a cada lado y simplifica.	$$2n = -10\ tag {9.1.23} $$
Dividir por 2.	$$n = -5\ qquad 1^ {st}\; número\ etiqueta {9.1.24} $$
Sustituye n = −5 para encontrar el ^2º número.	$$\ begin {split} n - &4\ qquad 2^ {nd}\; número\\\ textcolor {rojo} {-5} - &4\\ - &9\ end {split} $$
Paso 6. Comprobar: ¿−9 cuatro es menor que −5?	$$\ begin {split} -5 - 4 &\ stackrel {?} {=} -9\\ -9&= -9\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
¿Su suma es −14?	$$\ begin {split} -5 + (-9) &\ stackrel {?} {=} -14\\ -14 &= -14\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
Paso 7. Contesta la pregunta.	Los números son −5 y −9.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\):

La suma de dos números es negativa veintitrés. Un número es 7 menos que el otro. Encuentra los números.

Contestar

-8, -15

Ejercicio\(\PageIndex{14}\):

La suma de dos números es negativa dieciocho. Un número es 40 más que el otro. Encuentra los números.

Contestar

-29, 11

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Un número es diez más que dos veces otro. Su suma es una. Encuentra los números.

Solución

Paso 1. Lee el problema.
Paso 2. Identifica lo que buscas.	dos números
Paso 3. Nombre. Elija una variable. Un número es diez más que dos veces otro.	Let x = 1 ^st número 2x + 10 = ^2º número
Paso 4. Traducir. Reafirmar como una sola oración.	Su suma es una.
Traducir en una ecuación.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$x + 2x + 10 = 1\ tag {9.1.25} $$
Combina términos similares.	$$3x + 10 = 1\ tag {9.1.26} $$
Restar 10 de cada lado.	$$3x = -9\ tag {9.1.27} $$
Divide cada lado por 3 para obtener el primer número.	$$x = -3\ tag {9.1.28} $$
Sustituto para obtener el segundo número.	$$\ begin {split} 2x + &10\\ 2 (\ textcolor {rojo} {-3}) + &10\\ &4\ end {split} $$
Paso 6. Comprobar: ¿4 diez es más del doble −3?	$$\ begin {split} 2 (-3) + 10 &\ stackrel {?} {=} 4\\ -6 + 10 &= 4\\ 4 &= 4\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
¿Su suma es 1?	$$\ begin {split} -3 + 4 &\ stackrel {?} {=} 1\\ 1 &= 1\;\ marca de verificación\ end {split} $$
Paso 7. Contesta la pregunta.	Los números son −3 y 4.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\):

Un número es ocho más que dos veces otro. Su suma es negativa cuatro. Encuentra los números.

Contestar

-4, 0

Ejercicio\(\PageIndex{16}\):

Un número es tres más de tres veces otro. Su suma es negativa cinco. Encuentra los números.

Contestar

-2, -3

Los enteros consecutivos son enteros que se suceden inmediatamente entre sí. Algunos ejemplos de números enteros consecutivos son:

\[\ldots 1, 2, 3, 4, \ldots \tag{9.1.29}\]

\[\ldots -10, -9, -8, -7, \ldots \tag{9.1.30}\]

\[\ldots 150, 151, 152, 153, \ldots \tag{9.1.31}\]

Observe que cada número es uno más que el número que lo precede. Entonces, si definimos el primer entero como n, el siguiente entero consecutivo es n + 1. El posterior a eso es uno más de n + 1, por lo que es n + 1 + 1, o n + 2.

\[\begin{split} n \qquad &1^{st}\; integer \\ n + 1 \qquad &2^{nd}\; consecutive\; integer \\ n + 2 \qquad &3^{rd}\; consecutive\; integer \end{split}\]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

La suma de dos enteros consecutivos es 47. Encuentra los números.

Solución

Paso 1. Lee el problema.
Paso 2. Identifica lo que buscas.	dos enteros consecutivos
Paso 3. Nombre.	Dejar n = 1 ^st entero n + 1 = siguiente entero consecutivo
Paso 4. Traducir. Reafirmar como una sola oración. Traducir en una ecuación.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$n + n + 1 = 47\ tag {9.1.32} $$
Combina términos similares.	$$2n + 1 = 47\ tag {9.1.33} $$
Restar 1 de cada lado.	$$2n = 46\ tag {9.1.34} $$
Divide cada lado por 2.	$$n = 23\ qquad 1^ {st}\; entero\ tag {9.1.35} $$
Sustituto para obtener el segundo número.	$$\ begin {split} n + 1&\ qquad 2^ {nd}\; entero\\\ textcolor {rojo} {23} + 1&\\ 24&\ end {split} $$
Paso 6. Cheque.	$$\ begin {split} 23 + 24 &\ stackrel {?} {=} 47\\ 47 &= 47\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
Paso 7. Contesta la pregunta.	Los dos números enteros consecutivos son 23 y 24.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\):

La suma de dos enteros consecutivos es 95. Encuentra los números.

Contestar

47, 48

Ejercicio\(\PageIndex{18}\):

La suma de dos números enteros consecutivos es −31. Encuentra los números.

Contestar

-15, -16

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es 42.

Solución

Paso 1. Lee el problema.
Paso 2. Identifica lo que buscas.	tres enteros consecutivos
Paso 3. Nombre.	Dejar n = 1 ^st entero n + 1 = 2 ^nd entero consecutivo n + 2 = 3 ^º entero consecutivo
Paso 4. Traducir. Reafirmar como una sola oración. Traducir en una ecuación.
Paso 5. Resuelve la ecuación.	$$n + n + 1 + n + 2 = 42\ tag {9.1.36} $$
Combina términos similares.	$$3n + 3 = 42\ tag {9.1.37} $$
Restar 3 de cada lado.	$$3n = 39\ tag {9.1.38} $$
Divide cada lado por 3.	$$n = 13\ qquad 1^ {st}\; entero\ tag {9.1.39} $$
Sustituto para obtener el segundo número.	$$\ begin {split} n + 1&\ qquad 2^ {nd}\; entero\\\ textcolor {rojo} {13} + 1&\\ 24&\ end {split} $$
Sustituto para obtener el tercer número.	$$\ begin {split} n + 2&\ qquad 3^ {rd}\; entero\\\ textcolor {rojo} {13} + 2&\\ 15&\ end {split} $$
Paso 6. Cheque.	$$\ begin {split} 13 + 14 + 15 &\ stackrel {?} {=} 42\\ 42 &= 42\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
Paso 7. Contesta la pregunta.	Los tres números enteros consecutivos son 13, 14 y 15.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es 96.

Contestar

31, 32, 33

Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es −36.

Contestar

-11, -12, -13

La práctica hace la perfección

Usar una estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras

En los siguientes ejercicios, utilice la estrategia de resolución de problemas para resolver problemas de palabras. Contesta en oraciones completas.

1. Dos tercios de los niños de la clase de cuarto grado son niñas. Si hay 20 niñas, ¿cuál es el número total de niños en la clase?
2. Tres quintas partes de los integrantes del coro escolar son mujeres. Si hay 24 mujeres, ¿cuál es el número total de miembros del coro?
3. Zachary tiene 25 CDs de música country, que es una quinta parte de su colección de CD. ¿Cuántos CDs tiene Zachary?
4. Una cuarta parte de los caramelos en una bolsa de son rojos. Si hay 23 caramelos rojos, ¿cuántos caramelos hay en la bolsa?
5. Hay 16 niñas en un club escolar. El número de niñas es 4 más del doble que el número de niños. Encuentra el número de chicos en el club.
6. Hay 18 Cub Scouts en la Tropa 645. El número de exploradores es 3 más de cinco veces el número de líderes adultos. Encuentra el número de líderes adultos.
7. Lee está vaciando platos y vasos del lavavajillas. El número de platillos es 8 menos que el número de vasos. Si hay 9 platillos, ¿cuál es el número de vasos?
8. El número de cachorros en el escaparate de la tienda de mascotas es doce menos que el número de perros en la tienda. Si hay 6 cachorros en la ventana, ¿cuál es el número de perros en la tienda?
9. Después de 3 meses a dieta, Lisa había perdido 12% de su peso original. Perdió 21 libras. ¿Cuál era el peso original de Lisa?
10. Tricia obtuvo un aumento del 6% sobre su salario semanal. El aumento fue de $30 semanales. ¿Cuál era su salario semanal original?
11. Tim dejó una propina de $9 por una factura de restaurante de $50. ¿Qué porcentaje de propina dejó?
12. Rashid dejó una propina de 15 dólares por una factura de restaurante de 75 dólares. ¿Qué porcentaje de propina dejó?
13. Yuki compró un vestido a la venta por 72 dólares. El precio de venta fue del 60% del precio original. ¿Cuál era el precio original del vestido?
14. Kim compró un par de zapatos a la venta por 40.50 dólares. El precio de venta fue 45% del precio original. ¿Cuál era el precio original de los zapatos?

Resolver problemas de números

En los siguientes ejercicios, resuelve cada problema de palabra numérica.

15. La suma de un número y ocho es 12. Encuentra el número.
16. La suma de un número y nueve es 17. Encuentra el número.
17. La diferencia de un número y doce es 3. Encuentra el número.
18. La diferencia de un número y ocho es 4. Encuentra el número.
19. La suma de tres veces un número y ocho es 23. Encuentra el número.
20. La suma de dos veces por número y seis es 14. Encuentra el número.
21. La diferencia de dos veces por número y siete es de 17. Encuentra el número.
22. La diferencia de cuatro veces un número y siete es 21. Encuentra el número.
23. Tres veces la suma de un número y nueve es 12. Encuentra el número.
24. Seis veces la suma de un número y ocho es 30. Encuentra el número.
25. Un número es seis más que el otro. Su suma es cuarenta y dos. Encuentra los números.
26. Un número es cinco más que el otro. Su suma es de treinta y tres. Encuentra los números.
27. La suma de dos números es veinte. Un número es cuatro menos que el otro. Encuentra los números.
28. La suma de dos números es veintisiete. Un número es siete menos que el otro. Encuentra los números.
29. Un número es uno más del doble de otro número. Su suma es negativa cinco. Encuentra los números.
30. Un número es seis más de cinco veces otro. Su suma es de seis. Encuentra los números.
31. La suma de dos números es catorce. Un número es dos menos que tres veces el otro. Encuentra los números.
32. La suma de dos números es cero. Un número es nueve menos que el doble que el otro. Encuentra los números.
33. Un número es catorce menos que otro. Si su suma se incrementa en siete, el resultado es 85. Encuentra los números.
34. Un número es once menos que otro. Si su suma se incrementa en ocho, el resultado es 71. Encuentra los números.
35. La suma de dos enteros consecutivos es 77. Encuentra los enteros.
36. La suma de dos enteros consecutivos es 89. Encuentra los enteros.
37. La suma de dos números enteros consecutivos es −23. Encuentra los enteros.
38. La suma de dos números enteros consecutivos es −37. Encuentra los enteros.
39. La suma de tres enteros consecutivos es 78. Encuentra los enteros.
40. La suma de tres enteros consecutivos es 60. Encuentra los enteros.
41. Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es −36.
42. Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es −3.

Matemáticas cotidianas

43. Shopping Patty pagó 35 dólares por un monedero a la venta por $10 de descuento sobre el precio original. ¿Cuál era el precio original del monedero?
44. Compras Travis compró un par de botas a la venta por $25 de descuento sobre el precio original. Pagó 60 dólares por las botas. ¿Cuál era el precio original de las botas?
45. Shopping Minh gastó $6.25 dólares en 5 libros de pegatinas para regalar a sus sobrinos. Encuentra el costo de cada libro de pegatinas.
46. Compras Alicia compró un paquete de 8 melocotones por $3.20. Encuentra el costo de cada durazno.
47. Shopping Tom pagó $1,166.40 por un refrigerador nuevo, incluyendo $86.40 de impuestos. ¿Cuál era el precio del refrigerador antes de impuestos?
48. Shopping Kenji pagó $2,279 por un nuevo juego de sala, incluyendo $129 de impuestos. ¿Cuál era el precio del salón fijado antes de impuestos?

Ejercicios de escritura

49. Escribe algunas frases sobre tus pensamientos y opiniones sobre problemas de palabras. ¿Estos pensamientos son positivos, negativos o neutrales? Si son negativos, ¿cómo podrías cambiar tu forma de pensar para hacerlo mejor?
50. Cuando empiezas a resolver un problema de palabras, ¿cómo decides qué dejar que represente la variable?

Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no, ¡no lo comprendo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.

Colaboradores y Atribuciones

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