9.6: Propiedades de Uso de Rectángulos, Triángulos y Trapecios (Parte 1)
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- Propiedades de uso de rectángulos
- Propiedades de uso de triángulos
- Propiedades de uso de trapecios
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- La longitud de un rectángulo es 3 menos que el ancho. Deje que w represente el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.4.14.
- Simplificar:\(\dfrac{1}{2}\) (6h). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 7.2.3.
- Simplificar:\(\dfrac{5}{2}\) (10.3 − 7.9). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.5.9.
En esta sección, continuaremos trabajando con aplicaciones de geometría. Añadiremos algunas propiedades más de los triángulos, y aprenderemos sobre las propiedades de los rectángulos y trapecios.
Comprender las medidas lineales, cuadradas y cúbicas
Cuando mides tu altura o la longitud de una manguera de jardín, usas una regla o cinta métrica (Figura\(\PageIndex{1}\)). Una cinta métrica puede recordarle una línea: la usa para medir lineal, que mide la longitud. Pulgadas, pie, yarda, milla, centímetro y metro son unidades de medida lineal.
Figura\(\PageIndex{1}\) - Esta cinta métrica mide pulgadas en la parte superior y centímetros a lo largo de la parte inferior.
Cuando quieres saber cuánto azulejo se necesita para cubrir un piso, o el tamaño de una pared a pintar, necesitas conocer el área, una medida de la región necesaria para cubrir una superficie. El área se mide en unidades cuadradas. A menudo usamos pulgadas cuadradas, pies cuadrados, centímetros cuadrados o millas cuadradas para medir el área. Un centímetro cuadrado es un cuadrado que es de un centímetro (cm) a cada lado. Una pulgada cuadrada es un cuadrado que es una pulgada en cada lado (Figura\(\PageIndex{2}\)).
Figura\(\PageIndex{2}\) - Las medidas cuadradas tienen lados que son cada uno de 1 unidad de longitud.
La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una alfombra rectangular que mide 2 pies de largo por 3 pies de ancho. Cada cuadrado tiene 1 pie de ancho por 1 pie de largo, o 1 pie cuadrado. La alfombra está hecha de 6 cuadrados. El área de la alfombra es de 6 pies cuadrados.
Figura\(\PageIndex{3}\) - La alfombra contiene seis cuadrados de 1 pie cuadrado cada uno, por lo que el área total de la alfombra es de 6 pies cuadrados.
Cuando mide cuánto se necesita para llenar un recipiente, como la cantidad de gasolina que puede caber en un tanque, o la cantidad de medicamento en una jeringa, está midiendo el volumen. El volumen se mide en unidades cúbicas como pulgadas cúbicas o centímetros cúbicos. Al medir el volumen de un sólido rectangular, se mide cuántos cubos llenan el contenedor. A menudo usamos centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas y pies cúbicos. Un centímetro cúbico es un cubo que mide un centímetro en cada lado, mientras que una pulgada cúbica es un cubo que mide una pulgada en cada lado (Figura\(\PageIndex{4}\)).
Figura\(\PageIndex{4}\) - Las medidas cúbicas tienen lados que son de 1 unidad de longitud.
Supongamos que el cubo de la Figura\(\PageIndex{5}\) mide 3 pulgadas en cada lado y se corta en las líneas mostradas. ¿Cuántos cubitos contiene? Si tuviéramos que desarmar el cubo grande, encontraríamos 27 cubitos pequeños, con cada uno midiendo una pulgada en todos los lados. Entonces cada pequeño cubo tiene un volumen de 1 pulgada cúbica, y el volumen del cubo grande es de 27 pulgadas cúbicas.
Figura\(\PageIndex{5}\) - Un cubo que mide 3 pulgadas en cada lado está compuesto por 27 cubos de una pulgada, o 27 pulgadas cúbicas.
Para cada artículo, indica si usarías medida lineal, cuadrada o cúbica: (a) cantidad de alfombra necesaria en una habitación (b) longitud del cable de extensión (c) cantidad de arena en una caja de arena (d) longitud de una barra de cortina (e) cantidad de harina en un bote (f) tamaño del techo de una caseta para perros.
Solución
| (a) Está midiendo cuánta superficie cubre la alfombra, cual es el área. | medida cuadrada |
| (b) Está midiendo la longitud del cable de extensión, que es la longitud. | medida lineal |
| (c) Usted está midiendo el volumen de la arena. | medida cúbica |
| (d) Está midiendo la longitud de la barra de cortina. | medida lineal |
| (e) Usted está midiendo el volumen de la harina. | medida cúbica |
| (f) Está midiendo el área de la cubierta. | medida cuadrada |
Determine si usaría medida lineal, cuadrada o cúbica para cada artículo. (a) cantidad de pintura en una lata (b) altura de un árbol (c) piso de su habitación (d) diámetro de rueda de bicicleta (e) tamaño de un trozo de hierba (f) cantidad de agua en una piscina
- Contestar a
-
cúbico
- Respuesta b
-
lineal
- Respuesta c
-
cuadrado
- Respuesta d
-
lineal
- Respuesta e
-
cuadrado
- Respuesta f
-
cúbico
Determine si usaría medida lineal, cuadrada o cúbica para cada artículo. (a) volumen de una caja de empaque (b) tamaño de patio (c) cantidad de medicamento en una jeringa (d) longitud de una pieza de hilo (e) tamaño del lote de alojamiento (f) altura de un asta de bandera
- Contestar a
-
cúbico
- Respuesta b
-
cuadrado
- Respuesta c
-
cúbico
- Respuesta d
-
lineal
- Respuesta e
-
cuadrado
- Respuesta f
-
lineal
Muchas aplicaciones de geometría implicarán encontrar el perímetro o el área de una figura. También hay muchas aplicaciones de perímetro y área en la vida cotidiana, por lo que es importante asegurarse de entender lo que significan cada uno.
Imagínese una habitación que necesita baldosas nuevas. Los azulejos vienen en cuadrados que son un pie a cada lado, un pie cuadrado. ¿Cuántas de esas plazas se necesitan para cubrir el piso? Esta es la zona del piso.
A continuación, piense en poner nuevo zócalo alrededor de la habitación, una vez que se hayan colocado las baldosas. Para averiguar cuántas tiras se necesitan, debes conocer la distancia alrededor de la habitación. Usarías una cinta métrica para medir el número de pies alrededor de la habitación. Esta distancia es el perímetro.
El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura.
El área es una medida de la superficie cubierta por una figura.
La figura\(\PageIndex{6}\) muestra una baldosa cuadrada que mide 1 pulgada en cada lado. Si una hormiga caminara alrededor del borde de la baldosa, caminaría 4 pulgadas. Esta distancia es el perímetro de la baldosa.
Dado que la loseta es un cuadrado que mide 1 pulgada en cada lado, su área es de una pulgada cuadrada. El área de una forma se mide determinando cuántas unidades cuadradas cubren la forma.
Figura\(\PageIndex{6}\) - Perímetro = 4 pulgadas, Área = 1 pulgada cuadrada. Cuando la hormiga camina completamente alrededor de la loseta en su borde, está trazando el perímetro de la loseta. El área de la loseta es de 1 pulgada cuadrada.
Cada una de las dos baldosas cuadradas es de 1 pulgada cuadrada. Dos baldosas se muestran juntas. a) ¿Cuál es el perímetro de la figura? b) ¿Cuál es la zona?
Solución
(a) El perímetro es la distancia alrededor de la figura. El perímetro es de 6 pulgadas.
b) El área es la superficie cubierta por la figura. Hay baldosas de 2 pulgadas cuadradas, por lo que el área es de 2 pulgadas cuadradas.
Encuentra el (a) perímetro y (b) área de la figura:
- Contestar a
-
8 pulgadas
- Respuesta b
- 3 pulgadas cuadradas
Encuentra el (a) perímetro y (b) área de la figura:
- Contestar a
-
8 centímetros
- Respuesta b
- 4 centímetros cuadrados
Usar las propiedades de los rectángulos
Un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, L, y el lado adyacente como el ancho, W. Ver Figura\(\PageIndex{7}\).
Figura\(\PageIndex{7}\) - Un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados están etiquetados como L para longitud y W para ancho.
El perímetro, P, del rectángulo es la distancia alrededor del rectángulo. Si empezaste en una esquina y caminabas alrededor del rectángulo, caminarías unidades L + W + L + W, o dos longitudes y dos anchos. El perímetro entonces es
\[\begin{split} P = L + &W + L + W \\ &or \\ P = 2L &+ 2W \end{split}\]
¿Qué pasa con el área de un rectángulo? Recuerda la alfombra rectangular desde el inicio de esta sección. Era de 2 pies de largo por 3 pies de ancho, y su área era de 6 pies cuadrados. Ver Figura\(\PageIndex{8}\). Ya que A = 2 • 3, vemos que el área, A, es la longitud, L, por el ancho, W, por lo que el área de un rectángulo es A = L • W.
Figura\(\PageIndex{8}\) - El área de esta alfombra rectangular es de 6 pies cuadrados, su longitud por su ancho.
- Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90°).
- Las longitudes de lados opuestos son iguales.
- El perímetro, P, de un rectángulo es la suma del doble de la longitud y del doble de la anchura. Ver Figura 9.19. $$P = 2L + 2W$$
- El área, A, de un rectángulo es la longitud por la anchura. $$A = L\ cdot W$$
Para una fácil referencia a medida que trabajamos los ejemplos en esta sección, vamos a reformular la Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones de Geometría aquí.
Paso 1. Lee el problema y asegúrate de entender todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada.
Paso 2. Identifica lo que buscas.
Paso 3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
Paso 4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.
La longitud de un rectángulo es de 32 metros y el ancho es de 20 metros. Encontrar (a) el perímetro, y (b) el área.
Solución
(a)
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el perímetro de un rectángulo |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Dejar P = el perímetro |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} P &= 64 + 40\\ P &= 104\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} P &\ stackrel {?} {=} 104\\ 20 + 32 + 20 + 32 &\ stackrel {?} {=} 104\\ 104 &= 104\;\ marca de verificación\ final {división} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El perímetro del rectángulo es de 104 metros. |
b)
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el área de un rectángulo |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Let A = el área |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$A = 640$$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} A &\ stackrel {?} {=} 640\\ 32\ cdot 20 &\ stackrel {?} {=} 640\\ 640 &= 640\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El área del rectángulo es de 60 metros cuadrados. |
La longitud de un rectángulo es de 120 yardas y el ancho es de 50 yardas. Encontrar (a) el perímetro y (b) el área.
- Contestar a
-
340 yd
- Respuesta b
- 6000 metros cuadrados
La longitud de un rectángulo es de 62 pies y el ancho es de 48 pies. Encontrar (a) el perímetro y (b) el área.
- Contestar a
-
220 pies
- Respuesta b
- 2976 pies cuadrados
Encuentra la longitud de un rectángulo con perímetro de 50 pulgadas y ancho 10 pulgadas.
Solución
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la longitud del rectángulo |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Let L = la longitud |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} 50\ textcolor {rojo} {-20} &= 2L + 20\ textcolor {rojo} {-20}\\ 30 &= 2L\\\ dfrac {30} {\ textcolor {rojo} {2}} &=\ dfrac {2L} {\ textcolor {rojo} {2}}\\ 15 &= L\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} P &\ stackrel {?} {=} 50\\ 15 + 10 + 15 + 10 &\ stackrel {?} {=} 50\\ 50 &= 50\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | La longitud es de 15 pulgadas. |
Encuentra la longitud de un rectángulo con un perímetro de 80 pulgadas y un ancho de 25 pulgadas.
- Contestar
-
15 pulgadas
Encuentra la longitud de un rectángulo con un perímetro de 30 yardas y un ancho de 6 yardas.
- Contestar
-
9 yd
En el siguiente ejemplo, el ancho se define en términos de la longitud. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos una expresión para el ancho para que podamos etiquetar un lado con esa expresión.
El ancho de un rectángulo es dos pulgadas menos que la longitud. El perímetro es de 52 pulgadas. Encuentra el largo y ancho.
Solución
| Paso 1. Lee el problema. | |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el largo y ancho del rectángulo |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Ahora podemos dibujar una figura usando estas expresiones para el largo y ancho. |
Dado que el ancho se define en términos de la longitud, dejamos que L = longitud. El ancho es dos pies menos que el largo, así que dejamos L − 2 = ancho.
|
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. La fórmula para el perímetro de un rectángulo relaciona toda la información. Sustituir en la información dada. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $52 = 2L + 2L - 4$$ |
| Combina términos similares. | $52 = 4L - 4$$ |
| Agrega 4 a cada lado. | $56 = 4L$$ |
| Dividir por 4. | $$\ begin {split}\ dfrac {56} {4} &=\ dfrac {4L} {4}\\ 14 &= L\\ 14 &= L\ end {split} $$La longitud es de 14 pulgadas. |
| Ahora necesitamos encontrar el ancho. El ancho es L − 2. | $$\ begin {split} &L - 2\\ &\ textcolor {rojo} {14} - 2\\ &12\ end {split} $$El ancho es de 12 pulgadas. |
| Paso 6. Cheque. | Desde 14 + 12 + 14 + 12 = 52, ¡esto funciona! |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | La longitud es de 14 pies y el ancho es de 12 pies. |
El ancho de un rectángulo es siete metros menos que la longitud. El perímetro es de 58 metros. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
18 m, 11 m
La longitud de un rectángulo es ocho pies más que el ancho. El perímetro es de 60 pies. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
11 pies, 19 pies
La longitud de un rectángulo es de cuatro centímetros más del doble del ancho. El perímetro es de 32 centímetros. Encuentra el largo y ancho.
Solución
| Paso 1. Lee el problema. | |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la longitud y el ancho |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. |
let W = ancho El largo es de cuatro más del doble de ancho. 2w + 4 = longitud
|
| Paso 4. Traducir. Escribir la fórmula apropiada y sustituirla en la información dada. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} 32 &= 4w + 8 + 2w\\ 32 &= 6w + 8\\ 24 &= 6w\\ 4 &= w\ quad width\\ 2w &+ 4\ quad length\\ 2 (\ textcolor {rojo} {4}) &+ 4\\ 12&\ quad La\; longitud\; es\; 12\; cm\ ldotp\ fin split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} p &= 2L + 2W\\ 32 &\ stackrel {?} {=} 2\ cdot 12 + 2\ cdot 4\\ 32 &= 32\;\ marca de verificación\ final {split} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El largo es de 12 cm y el ancho es de 4 cm. |
La longitud de un rectángulo es ocho más del doble del ancho. El perímetro es de 64 pies. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
8 pies, 24 pies
El ancho de un rectángulo es seis menos del doble de la longitud. El perímetro es de 18 centímetros. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
5 cm, 4 cm
El área de una habitación rectangular es de 168 pies cuadrados. La longitud es de 14 pies. ¿Cuál es el ancho?
Solución
| Paso 1. Lee el problema. |  |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el ancho de una habitación rectangular |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Let W = ancho |
| Paso 4. Traducir. Escribir la fórmula apropiada y sustituirla en la información dada. | $$\ begin {split} A &= LW\\ 168 &= 14W\ end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split}\ dfrac {168} {14} &=\ dfrac {14W} {14}\\ 12 &= W\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} A &= LW\\ 168 &\ stackrel {?} {=} 14\ cdot 12\\ 168 &= 168\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El ancho de la habitación es de 12 pies. |
El área de un rectángulo es de 598 pies cuadrados. La longitud es de 23 pies. ¿Cuál es el ancho?
- Contestar
-
26 pies
El ancho de un rectángulo es de 21 metros. El área es de 609 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud?
- Contestar
-
29 m
El perímetro de una piscina rectangular es de 150 pies. El largo es 15 pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho.
Solución
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el largo y ancho de la piscina |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. El largo es 15 pies más que el ancho. |
Let W = ancho W + 15 = longitud |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada y sustituya. |  |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} 150 &= 2w + 30 + 2w\\ 150 &= 4w + 30\\ 120 &= 4w\\ 30 &= w\ cuádruple el\; ancho\; de\; el\; pool\\ w &+ 15\ quad el\; largo\; de\; el\; pool\\\ textcolor {rojo} {30} &+ 15\\ 45&\ final {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | $$\ begin {split} p &= 2L + 2W\\ 150 &\ stackrel {?} {=} 2 (45) + 2 (30)\\ 150 &= 150\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$ |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | La longitud de la piscina es de 45 pies y el ancho es de 30 pies. |
El perímetro de una piscina rectangular es de 200 pies. El largo es 40 pies más que el ancho. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
30 pies, 70 pies
La longitud de un jardín rectangular es de 30 yardas más que el ancho. El perímetro es de 300 yardas. Encuentra el largo y ancho.
- Contestar
-
60 yd, 90 yd