10.2: Usar propiedades de multiplicación de exponentes (Parte 1)
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- Simplifica expresiones con exponentes
- Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes
- Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes
- Simplificar expresiones usando la propiedad Product to a Power
- Simplificar expresiones aplicando varias propiedades
- Multiplicar monomios
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar:\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}\). Si te perdiste el problema, revisa el Ejemplo 4.3.7.
- Simplificar: (−2) (−2) (−2). Si te perdiste el problema, revisa el Ejemplo 3.7.6.
Simplificar expresiones con exponentes
Recuerda que un exponente indica multiplicación repetida de la misma cantidad. Por ejemplo, 2 4 significa multiplicar cuatro factores de 2, entonces 2 4 significa 2 • 2 • 2 • 2. Este formato se conoce como notación exponencial.
Esto se lee a la m ésima potencia.
En la expresión a m, el exponente nos dice cuántas veces usamos la base a como factor.
Antes de comenzar a trabajar con expresiones variables que contienen exponentes, simplifiquemos algunas expresiones que involucran solo números.
Simplificar: a) 5 3 b) 9 1
Solución
a) 5 3
| Multiplicar 3 factores de 5. | 5 • 5 • 5 |
| Simplificar. | 125 |
b) 9 1
| Multiplica 1 factor de 9. | 9 |
Simplificar: a) 4 3 b) 11 1
- Contestar a
-
64
- Respuesta b
-
11
Simplificar: a) 3 4 b) 21 1
- Contestar a
-
81
- Respuesta b
-
21
Simplificar: a)\(\left(\dfrac{7}{8}\right)^{2}\) b) (0.74) 2
Solución
(a)\(\left(\dfrac{7}{8}\right)^{2}\)
| Multiplicar dos factores. | $$\ izquierda (\ dfrac {7} {8}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {7} {8}\ derecha) $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {49} {64} $$ |
b) (0.74) 2
| Multiplicar dos factores. | (0.74) (0.74) |
| Simplificar. | 0.5476 |
Simplificar: a)\(\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}\) b) (0.67) 2
- Contestar a
-
\(\frac{25}{64}\)
- Respuesta b
-
0.4489
Simplificar: a)\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}\) b) (0.127) 2
- Contestar a
-
\(\frac{8}{125}\)
- Respuesta b
-
0.016129
Simplificar: (a) (−3) 4 (b) −3 4
Solución
(a) (−3) 4
| Multiplica cuatro factores de −3. | (−3) (−3) (−3) (−3) |
| Simplificar. | 81 |
b) −3 4
| Multiplicar dos factores. | − (3 • 3 • 3 • 3) |
| Simplificar. | −81 |
Observe las similitudes y diferencias en las partes (a) y (b). ¿Por qué son diferentes las respuestas? En la parte (a) los paréntesis nos dicen que elevemos la (−3) a la 4ª potencia. En la parte (b) elevamos solo la 3 a la 4ª potencia y luego encontramos lo contrario.
Simplificar: (a) (−2) 4 (b) −2 4
- Contestar a
-
16
- Respuesta b
-
-16
Simplificar: (a) (−8) 2 (b) −8 2
- Contestar a
-
64
- Respuesta b
-
-64
Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de exponentes
Has visto que cuando combinas términos similares sumando y restando, necesitas tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando multiplicas y divides, los exponentes pueden ser diferentes, y a veces las bases pueden ser diferentes, también. Derivaremos las propiedades de los exponentes buscando patrones en varios ejemplos. Todas las propiedades de exponente son verdaderas para cualquier número real, pero en este momento solo usaremos exponentes de números enteros.
Primero, veremos un ejemplo que lleva a la Propiedad del Producto.
| $$x^ {2}\ cdot x^ {2} $$ | |
| ¿Qué significa esto? ¿Cuántos factores en conjunto? |  |
| Entonces, tenemos | $$x^ {5} $$ |
| Observe que 5 es la suma de los exponentes, 2 y 3. | $$x^ {2}\ cdot x^ {3}\; es\; x^ {2+3},\; o\; x^ {5} $$ |
| Escribimos: | $$\ begin {split} &x^ {2}\ cdot x^ {3}\\ &x^ {2+3}\\ &x^ {5}\ end {split} $$ |
La base se mantuvo igual y agregamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad del Producto para Exponentes.
Si a es un número real y m, n están contando números, entonces
\[a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\]
Para multiplicar con bases similares, sumar los exponentes.
Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.
\[\begin{split} 2^{2} \cdot 2^{3} &\stackrel{?}{=} 2^{2+3} \\ 4 \cdot 8 &\stackrel{?}{=} 2^{5} \\ 32 &= 32\; \checkmark \end{split}\]
Simplificar: x 5 • x 7.
Solución
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n. | $$x^ {\ textcolor {rojo} {5+7}} $$ |
| Simplificar. | $$x^ {12} $$ |
Simplificar: x 7 • x 8.
- Contestar
-
x 15
Simplificar: x 5 • x 11.
- Contestar
-
x 16
Simplificar: b 4 • b.
Solución
| Reescribir, b = b 1. | $$b^ {4}\ cdot b^ {1} $$ |
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n. | $$b^ {\ textcolor {rojo} {4+1}} $$ |
| Simplificar. | $$b^ {5} $$ |
Simplificar: p 9 • p.
- Contestar
-
p 10
Simplificar: m • m 7.
- Contestar
-
m 8
Simplificar: 2 7 • 2 9.
Solución
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n. | $$2^ {\ textcolor {rojo} {7+9}} $$ |
| Simplificar. | $$2^ {16} $$ |
Simplificar: 6 • 6 9.
- Contestar
-
6 10
Simplificar: 9 6 • 9 9.
- Contestar
-
9 15
Simplificar: y 17 • y 23.
Solución
| Observe, las bases son las mismas, así que sumar los exponentes. | $$y^ {\ textcolor {rojo} {17+23}} $$ |
| Simplificar. | $$y^ {40} $$ |
Simplificar: y 24 • y 19.
- Contestar
-
y 43
Simplificar: z 15 • z 24.
- Contestar
-
z 39
Podemos extender la Propiedad del Producto de los Exponentes a más de dos factores.
Simplificar: x 3 • x 4 • x 2.
Solución
| Sumar los exponentes, ya que las bases son las mismas. | $$x^ {\ textcolor {rojo} {3+4+2}} $$ |
| Simplificar. | $$x^ {9} $$ |
Simplificar: x 7 • x 5 • x 9.
- Contestar
-
x 21
Simplificar: y 3 • y 8 • y 4.
- Contestar
-
y 15
Simplificar expresiones mediante la propiedad de potencia de los exponentes
Ahora veamos una expresión exponencial que contiene un poder elevado a un poder. Consulta si puedes descubrir una propiedad general.
| $$ (x^ {2}) ^ {3} $$ | |
| ¿Qué significa esto? | $$x^ {2}\ cdot x^ {2}\ cdot x^ {2} $$ |
| ¿Cuántos factores en conjunto? |  |
| Entonces, tenemos | $$x^ {6} $$ |
| Observe que 6 es producto de los exponentes, 2 y 3. | $$ (x^ {2}) ^ {3}\; es\; x^ {2\ cdot 3}\; o\; x^ {6} $$ |
| Escribimos: | $$\ begin {split} & (x^ {2}) ^ {3}\\ &x^ {2\ cdot 3}\\\ &x^ {6}\ end {split} $$ |
Multiplicamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad de Poder para Exponentes.
Si a es un número real y m, n son números enteros, entonces
\[(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\]
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes.
Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.
\[\begin{split} (5^{2})^{3} &\stackrel{?}{=} 5^{2 \cdot 3} \\ (25)^{3} &\stackrel{?}{=} 5^{6} \\ 15,625 &= 15,625\; \checkmark \end{split}\]
Simplificar: a) (x 5) 7 (b) (3 6) 8
Solución
(a) (x 5) 7
| Utilice la Propiedad de Potencia, (a m) n = a m • n. | $$x^ {\ textcolor {rojo} {5\ cdot 7}} $$ |
| Simplificar. | $$x^ {35} $$ |
b) (3 6) 8
| Utilice la Propiedad de Potencia, (a m) n = a m • n. | $$3^ {\ textcolor {rojo} {6\ cdot 8}} $$ |
| Simplificar. | $$x^ {48} $$ |
Simplificar: a) (x 7) 4 (b) (7 4) 8
- Contestar a
-
x 28
- Respuesta b
-
7 32
Simplificar: a) (x 6) 9 (b) (8 6) 7
- Contestar a
-
y 54
- Respuesta b
-
8 42