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10.3: Usar propiedades de multiplicación de exponentes (Parte 2)

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Simplifique las expresiones usando el producto a una propiedad de alimentación

    Ahora veremos una expresión que contiene un producto que se eleva a una potencia. Busca un patrón.

      (2x) 3
    ¿Qué significa esto? 2x • 2x • 2x
    Agrupamos los factores similares juntos. 2 • 2 • 2 • x • x • x
    ¿Cuántos factores de 2 y de x? 2 3 • x 3
    Observe que cada factor fue elevado al poder. (2x) 3 es 2 3 • x 3
    Escribimos: $$\ begin {split} & (2x) ^ {3}\\ &2^ {3}\ cdot x^ {3}\ end {split} $$

    El exponente aplica a cada uno de los factores. Esto lleva al Producto a una Propiedad de Potencia para Exponentes.

    Definición: Producto a una propiedad de potencia de exponentes

    Si a y b son números reales y m es un número entero, entonces

    \[(ab)^{m} = a^{m} b^{m} \tag{10.2.27}\]

    Para elevar un producto a una potencia, elevar cada factor a esa potencia.

    Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad:

    \[\begin{split} (2 \cdot 3)^{2} &\stackrel{?}{=} 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} &\stackrel{?}{=} 4 \cdot 9 \\ 36 &\stackrel{?}{=} 36\; \checkmark \end{split}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

    Simplificar: (−11x) 2.

    Solución

    Utilice el Poder de una Propiedad de Producto, (ab) m = a m b m. $$ (-11) ^ {\ textcolor {rojo} {2}} x^ {\ textcolor {rojo} {2}}\ tag {10.2.28} $$
    Simplificar. $$121x^ {2}\ tag {10.2.29} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

    Simplificar: (−14x) 2.

    Responder

    196x 2

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

    Simplificar: (−12a) 2.

    Responder

    144a 2

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

    Simplificar: (3xy) 3.

    Solución

    Elevar cada factor a la tercera potencia. $$3^ {\ textcolor {rojo} {3}} x^ {\ textcolor {rojo} {3}} y^ {\ textcolor {rojo} {3}}\ tag {10.2.30} $$
    Simplificar. $27x^ {3} y^ {3}\ tag {10.2.31} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\):

    Simplificar: (−4xy) 4.

    Responder

    256x 4 y 4

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\):

    Simplificar: (6xy) 3.

    Responder

    216x 3 y 3

    Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

    Ahora tenemos tres propiedades para multiplicar expresiones con exponentes. Vamos a resumirlos y luego haremos algunos ejemplos que utilizan más de una de las propiedades.

    Definición: Propiedades de los Exponentes

    Si a, b son números reales y m, n son números enteros, entonces

    Propiedad del producto a m • a n = a m + n
    Propiedad Power (a m) n = a m • n
    Producto a una propiedad de potencia (ab) m = a m b m
    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Simplificar: (x 2) 6 (x 5) 4.

    Solución

    Utilice la Propiedad Power. x 12 • x 20
    Sumar los exponentes. x 32
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\):

    Simplificar: (x 4) 3 (x 7) 4.

    Responder

    x 40

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\):

    Simplificar: (y 9) 2 (y 8) 3.

    Responder

    y 42

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Simplificar: (−7x 3 y 4) 2.

    Solución

    Lleva cada factor a la segunda potencia. (−7) 2 (x 3) 2 (y 4) 2
    Utilice la Propiedad Power. 49x 6 y 8
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\):

    Simplificar: (−8x 4 y 7) 3.

    Responder

    -512x 12 y 21

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\):

    Simplificar: (−3a 5 b 6) 4.

    Responder

    81a 20 b 24

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

    Simplificar: (6n) 2 (4n 3).

    Solución

    Elevar 6n a la segunda potencia. 6 2 n 2 • 4n 3
    Simplificar. 36n 2 • 4n 3
    Utilice la Propiedad Conmutativa. 36 • 4 • n 2 • n 3
    Multiplicar las constantes y sumar los exponentes. 144n 5

    Observe que en el primer monomio, el exponente estaba fuera de los paréntesis y se aplicó a ambos factores en su interior. En el segundo monomio, el exponente estaba dentro de los paréntesis y así sólo se aplicó a la n.

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\):

    Simplificar: (7n) 2 (2n 12).

    Responder

    98n 14

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\):

    Simplificar: (4m) 2 (3m 3).

    Responder

    48m 5

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

    Simplificar: (3p 2 q) 4 (2pq 2) 3.

    Solución

    Utilice el Poder de una Propiedad de Producto. 3 4 (p 2) 4 q 4 • 2 3 p 3 (q 2) 3
    Utilice la Propiedad Power. 81p 8 q 4 • 8p 3 q 6
    Utilice la Propiedad Conmutativa. 81 • 8 • p 8 • p 3 • q 4 • q 6
    Multiplica las constantes y suma los exponentes para cada variable. 648p 11 q 10
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\):

    Simplificar: (u 3 v 2) 5 (4uv 4) 3.

    Responder

    64 u 18 v 22

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\):

    Simplificar: (5x 2 y 3) 2 (3xy 4) 3.

    Responder

    675x 7 y 18

    Multiplicar monomios

    Dado que un monomio es una expresión algebraica, podemos usar las propiedades para simplificar expresiones con exponentes para multiplicar los monomios.

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\):

    Multiplicar: (4x 2) (−5x 3).

    Solución

    Utilice la Propiedad Conmutativa para reorganizar los factores. 4 • (−5) • x 2 • x 3
    Multiplicar. −20x 5
    Ejercicio\(\PageIndex{31}\):

    Multiplicar: (7x 7) (−8x 4).

    Responder

    -56x 11

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\):

    Multiplicar: (−9y 4) (−6y 5).

    Responder

    54 y 9

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\):

    Multiplicar:\(\left(\dfrac{3}{4} c^{3} d\right)\) (12cd 2).

    Solución

    Utilice la Propiedad Conmutativa para reorganizar los factores. \(\dfrac{3}{4}\)• 12 • c 3 • c • d • d 2
    Multiplicar. 9c 4 d 3
    Ejercicio\(\PageIndex{33}\):

    Multiplicar:\(\left(\dfrac{4}{5} m^{4} n^{3} d\right)\) (15mn 3).

    Responder

    12m 5 n 6

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\):

    Multiplicar:\(\left(\dfrac{2}{3} p^{5} q d\right)\) (18p 6 q 7).

    Responder

    12p 11 q 8

    La práctica hace la perfección

    Simplificar expresiones con exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifica cada expresión con exponentes.

    1. 4 5
    2. 10 3
    3. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\)
    4. \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}\)
    5. (0.2) 3
    6. (0.4) 3
    7. (−5) 4
    8. (−3) 5
    9. −5 4
    10. −3 5
    11. −10 4
    12. −2 6
    13. \(- \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\)
    14. \(- \left(\dfrac{1}{4}\right)^{4}\)
    15. −0.5 2
    16. −0.1 4

    Simplifique las expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión utilizando la Propiedad Producto de los Exponentes.

    1. x 3 • x 6
    2. m 4 • m 2
    3. a • a 4
    4. y 12 • y
    5. 3 5 • 3 9
    6. 5 10 • 5 6
    7. z • z 2 • z 3
    8. a • a 3 • a 5
    9. x a • x 2
    10. y p • y 3
    11. y a • y b
    12. x p • x q

    Simplifique las expresiones mediante la propiedad de potencia de los exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la Propiedad de Potencia de los Exponentes.

    1. (u 4) 2
    2. (x 2) 7
    3. (y 5) 4
    4. (a 3) 2
    5. (10 2) 6
    6. (2 8) 3
    7. (x 15) 6
    8. (y 12) 8
    9. (x 2) y
    10. (y 3) x
    11. (5 x) y
    12. (7 a) b

    Simplifique las expresiones usando el producto a una propiedad de alimentación

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la Propiedad Product to a Power.

    1. (5a) 2
    2. (7x) 2
    3. (−6m) 3
    4. (−9n) 3
    5. (4rs) 2
    6. (5ab) 3
    7. (4xyz) 4
    8. (−5abc) 3

    Simplificar expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

    1. (x 2) 4 • (x 3) 2
    2. (y 4) 3 • (y 5) 2
    3. (a 2) 6 • (a 3) 8
    4. b 7) 5 • b 2) 6
    5. (3x) 2 (5x)
    6. (2 años) 3 (6 años)
    7. (5a) 2 (2a) 3
    8. (4b) 2 (3b) 3
    9. (2m 6) 3
    10. (3 y 2) 4
    11. (10x 2 y) 3
    12. (2mn 4) 5
    13. (−2a 3 b 2) 4
    14. (−10u 2 v 4) 3
    15. \(\left(\dfrac{2}{3} x^{2} y \right)^{3}\)
    16. \(\left(\dfrac{7}{9} p q^{4} \right)^{2}\)
    17. (8a 3) 2 (2a) 4
    18. (5r 2) 3 (3r) 2
    19. (10p 4) 3 (5p 6) 2
    20. (4x 3) 3 (2x 5) 4
    21. \(\left(\dfrac{1}{2} x^{2} y^{3} \right)^{4}\)(4x 5 y 3) 2
    22. \(\left(\dfrac{1}{3} m^{3} n^{2} \right)^{4}\)(9m 8 n 3) 2
    23. (3m 2 n) 2 (2mn 5) 4
    24. (2pq 4) 3 (5p 6 q) 2

    Multiplicar monomios

    En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes monomios.

    1. (12x 2) (−5x 4)
    2. (−10y 3) (7y 2)
    3. (−8u 6) (−9u)
    4. (−6c 4) (−12c)
    5. \(\left(\dfrac{1}{5} r^{8} \right)\)(20r 3)
    6. \(\left(\dfrac{1}{4} a^{5} \right)\)(36a 2)
    7. (4a 3 b) (9a 2 b 6)
    8. (6m 4 n 3) (7mn 5)
    9. \(\left(\dfrac{4}{7} x y^{2} \right)\)(14xy 3)
    10. \(\left(\dfrac{5}{8} u^{3} v \right)^{3}\)(24u 5 v)
    11. \(\left(\dfrac{2}{3} x^{2} y \right) \left(\dfrac{3}{4} x y^{2} \right)\)
    12. \(\left(\dfrac{3}{5} m^{3} n^{2} \right) \left(\dfrac{5}{9} m^{2} n^{3} \right)\)

    Matemáticas cotidianas

    1. Correo electrónico Janet envía un chiste por correo electrónico a seis de sus amigas y les dice que lo reenvíen a seis de sus amigos, quienes se lo reenvían a seis de sus amigos, y así sucesivamente. El número de personas que reciben el correo electrónico en la segunda ronda es de 6 2, en la tercera ronda es de 6 3, como se muestra en la tabla. ¿Cuántas personas recibirán el correo electrónico en la octava ronda? Simplifica la expresión para mostrar el número de personas que reciben el correo electrónico.
    Redondo Número de personas
    1 6
    2 6 2
    3 6 3
    ... ...
    8 ?
    1. Salario El jefe de Raúl le da un aumento del 5% cada año en su cumpleaños. Esto quiere decir que cada año, el salario de Raúl es 1.05 veces su salario del año pasado. Si su salario original era de 40 mil dólares, su salario después de 1 año era de 40 mil (1.05), después de 2 años era de 40 mil (1.05) 2, después de 3 años era de 40 mil (1.05) 3, como se muestra en la tabla siguiente. ¿Cuál será el salario de Raúl después de 10 años? Simplificar la expresión, para mostrar el salario de Raúl en dólares.
    Año Sueldo
    1 $40,000 (1.05)
    2 $40,000 (1.05) 2
    3 $40,000 (1.05) 3
    ... ...
    10 ?

    Ejercicios de escritura

    1. Utilice la Propiedad del Producto para Exponentes para explicar por qué x • x = x 2.
    2. Explica por qué −5 3 = (−5) 3 pero −5 4 ≠ (−5) 4.
    3. Jorge piensa que\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\) es 1. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
    4. Explica por qué x 3 • x 5 es x 8, y no x 15.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

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    (b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para confiar en todos los objetivos?

    Colaboradores y Atribuciones


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