10.8: Exponentes enteros y notación científica (Parte 1)
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- Usar la definición de un exponente negativo
- Simplificar expresiones con exponentes enteros
- Convertir de notación decimal a notación científica
- Convertir notación científica en forma decimal
- Multiplicar y dividir usando notación científica
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- ¿Cuál es el valor posicional del 6 en el número 64,891? Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.1.3.
- Nombra el decimal 0.0012. Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 5.1.1.
- Restar: 5 − (−3). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.5.8.
Usar la definición de un exponente negativo
La propiedad de cociente de exponentes, introducida en Dividir monomios, tenía dos formas dependiendo de si el exponente en el numerador o denominador era mayor.
Si a es un número real, a ≠ 0, y m, n son números enteros, entonces
\[\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\; m>n \quad and \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}},\; n>m\]
¿Y si simplemente restamos exponentes, independientemente de cuál sea más grande? Consideremos\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\). Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador.
\[\begin{split} &\; \dfrac{x^{2}}{x^{5}} \\ &x^{2-5} \\ &x^{-3} \end{split}\]
También podemos simplificar\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\) dividiendo factores comunes:\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\).
\[\begin{split} &\dfrac{\cancel{x} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot x} \\ &\qquad \quad \dfrac{1}{x^{3}} \end{split}\]
Esto implica eso\(x^{-3} = \dfrac{1}{x^{3}}\) y nos lleva a la definición de un exponente negativo.
Si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\).
El exponente negativo nos dice que reescribamos la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente. Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en la forma más simple. Utilizaremos la definición de un exponente negativo y otras propiedades de exponentes para escribir una expresión con solo exponentes positivos.
Simplificar: (a) 4 −2 (b) 10 −3
Solución
(a) 4 −2
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {4^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {16} $$ |
b) 10-3
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {10^ {3}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {1000} $$ |
Simplificar: (a) 2 −3 (b) 10 −2
- Responder a
-
\(\frac{1}{8}\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{100}\)
Simplificar: (a) 3 −2 (b) 10 −4
- Responder a
-
\(\frac{1}{9}\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{10,000}\)
Al simplificar cualquier expresión con exponentes, debemos tener cuidado de identificar correctamente la base que se eleva a cada exponente.
Simplificar: (a) (−3) −2 (b) −3 −2
Solución
El negativo en el exponente no afecta el signo de la base.
a) (−3) −2
| El exponente aplica a la base, −3. | $$ (-3) ^ {-2} $$ |
| Toma el recíproco de la base y cambia el signo del exponente. | $$\ dfrac {1} {(-3) ^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {9} $$ |
(b) −3 −2
| La expresión −3 −2 significa “encontrar lo opuesto de 3 −2. El exponente aplica sólo a la base, 3. | $$-3^ {-2} $$ |
| Reescribe como un producto con −1. | $$-1\ cdot 3^ {-2} $$ |
| Toma el recíproco de la base y cambia el signo del exponente. | $$-1\ cdot\ dfrac {1} {3^ {2}} $$ |
| Simplificar. | $$-\ dfrac {1} {9} $$ |
Simplificar: (a) (−5) −2 (b) −5 −2
- Responder a
-
\(\frac{1}{25}\)
- Respuesta b
-
\(-\frac{1}{25}\)
Simplificar: (a) (−2) −2 (b) −2 −2
- Responder a
-
\(\frac{1}{4}\)
- Respuesta b
-
\(-\frac{1}{4}\)
Debemos tener cuidado de seguir el orden de las operaciones. En el siguiente ejemplo, las partes (a) y (b) se ven similares, pero obtenemos resultados diferentes.
Simplificar: (a) 4 • 2 −1 (b) (4 • 2) −1
Solución
Recuerda seguir siempre el orden de las operaciones.
(a) 4 • 2 −1
| Hacer exponentes antes de multiplicar. | $$4\ cdot 2^ {-1} $$ |
| Uso\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$4\ cdot\ dfrac {1} {2^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$2$$ |
(b) (4 • 2) −1
| Simplifique primero dentro de los paréntesis. | $$ (8) ^ {-1} $$ |
| Uso\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {8^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {8} $$ |
Simplificar: (a) 6 • 3 −1 (b) (6 • 3) −1
- Responder a
-
\(2\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{18}\)
Simplificar: (a) 8 • 2 −2 (b) (8 • 2) −2
- Responder a
-
\(2\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{256}\)
Cuando una variable se eleva a un exponente negativo, aplicamos la definición de la misma manera que lo hicimos con los números.
Simplificar: x −6.
Solución
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {x^ {6}} $$ |
Simplificar: y −7.
- Responder
-
\(\frac{1}{y^7}\)
Simplificar: z -8.
- Responder
-
\(\frac{1}{z^8}\)
Cuando hay un producto y un exponente tenemos que tener cuidado para aplicar el exponente a la cantidad correcta. Según el orden de las operaciones, las expresiones entre paréntesis se simplifican antes de aplicar los exponentes. Veremos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo.
Simplificar: (a) 5y −1 (b) (5y) −1 (c) (−5y) −1
Solución
(a) 5y −1
| Observe que el exponente se aplica solo a la base y. | $$5y^ {-1} $$ |
| Toma el recíproco de y y cambia el signo del exponente. | $$5\ cdot\ dfrac {1} {y^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {5} {y} $$ |
(b) (5y) −1
| Aquí los paréntesis hacen que el exponente se aplique a la base 5y. | $$ (5 años) ^ {-1} $$ |
| Toma el recíproco de 5y y cambia el signo del exponente. | $$\ dfrac {1} {(5 años) ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {5y} $$ |
(c) (−5y) −1
| La base es −5y. Toma el recíproco de −5y y cambia el signo del exponente. | $$\ dfrac {1} {(-5años) ^ {1}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {-5y} $$ |
| Uso\(\dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}\). | $$-\ dfrac {1} {5y} $$ |
Simplificar: (a) 8p −1 (b) (8p) −1 (c) (−8p) −1
- Responder a
-
\(\frac{8}{p}\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{8p}\)
- Respuesta c
-
\(-\frac{1}{8p}\)
Simplificar: (a) 11q −1 (b) (11q) −1 (c) (−11q) −1
- Responder a
-
\(\frac{11}{q}\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{11q}\)
- Respuesta c
-
\(-\frac{1}{11q}\)
Ahora que hemos definido exponentes negativos, la Propiedad Cociente de Exponentes necesita sólo una forma,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}\), donde a ≠ 0 y m y n son enteros.
Cuando el exponente en el denominador es mayor que el exponente en el numerador, el exponente del cociente será negativo. Si el resultado nos da un exponente negativo, lo reescribiremos usando la definición de exponentes negativos,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\).
Simplificar expresiones con exponentes enteros
Todas las propiedades de exponentes que desarrollamos anteriormente en este capítulo con exponentes de número entero también se aplican a exponentes enteros. Los reformulamos aquí para referencia.
Si a, b son números reales y m, n son números enteros, entonces
| Propiedad del producto | a m • a n = a m + n |
| Propiedad Power | (a m) n = a m • n |
| Producto a una propiedad de potencia | (ab) m = a m b m |
| Propiedad del cociente | \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\)= a m − n, a ≠ 0, m > n |
| \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}\), a ≠ 0, n > m | |
| Propiedad de exponente cero | a 0 = 1, a ≠ 0 |
| Cociente a una propiedad de energía | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\), b ≠ 0 |
| Definición de un exponente negativo | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) |
Simplificar: (a) x −4 • x 6 (b) y −6 • y 4 (c) z −5 • z −3
Solución
(a) x −4 • x 6
| Utilice la Propiedad del Producto, a m • a n = a m + n. | $$x^ {-4+6} $$ |
| Simplificar. | $$x^ {2} $$ |
(b) y −6 • y 4
| Las bases son las mismas, así que suman los exponentes. | $$y^ {-6+4} $$ |
| Simplificar. | $$y^ {-2} $$ |
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {y^ {2}} $$ |
(c) z −5 • z −3
| Las bases son las mismas, así que suman los exponentes. | $$z^ {-5-3} $$ |
| Simplificar. | $$z^ {-8} $$ |
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ dfrac {1} {z^ {8}} $$ |
Simplificar: (a) x −3 • x 7 (b) y −7 • y 2 (c) z −4 • z −5
- Responder a
-
\(x^4\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{y^5}\)
- Respuesta c
-
\(\frac{1}{z^9}\)
Simplificar: (a) a −1 • a 6 (b) b −6 • b 4 (c) c −8 • c −7
- Responder a
-
\(a^5\)
- Respuesta b
-
\(\frac{1}{b^4}\)
- Respuesta c
-
\(\frac{1}{c^{15}}\)
En los siguientes dos ejemplos, comenzaremos usando la Propiedad Conmutativa para agrupar las mismas variables juntas. Esto facilita la identificación de las bases similares antes de usar la Propiedad del Producto de los Exponentes.
Simplificar: (m 4 n −3) (m −5 n −2).
Solución
| Usa la Propiedad Conmutativa para juntar como bases. | $$m^ {4} m^ {-5}\ cdot n^ {-2} n^ {-3} $$ |
| Suma los exponentes para cada base. | $$m^ {-1}\ cdot n^ {-5} $$ |
| Toma recíprocos y cambia los signos de los exponentes. | $$\ dfrac {1} {m^ {1}}\ cdot\ dfrac {1} {n^ {5}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {1} {mn^ {5}} $$ |
Simplificar: (p 6 q −2) (p −9 q −1).
- Responder
-
\(\frac{1}{p^3q^3}\)
Simplificar: (r 5 s −3) (r −7 s −5).
- Responder
-
\(\frac{1}{r^2 s^8}\)
Si los monomios tienen coeficientes numéricos, multiplicamos los coeficientes, tal como lo hicimos en Usar propiedades de multiplicación de exponentes.
Simplificar: (2x −6 y 8) (−5x 5 y −3).
Solución
| Reescribir con las bases similares juntas. | $$2 (-5)\ cdot (x^ {-6} x^ {5})\ cdot (y^ {8} y^ {-3}) $$ |
| Simplificar. | $$-10\ cdot x^ {-1}\ cdot y^ {5} $$ |
| Utilice la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$-10\ cdot\ dfrac {1} {x^ {1}}\ cdot y^ {5} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {-10y^ {5}} {x} $$ |
Simplificar: (3u −5 v 7) (−4u 4 v −2).
- Responder
-
\(-\frac{12v^5}{u}\)
Simplificar: (−6c −6 d 4) (−5c −2 d −1).
- Responder
-
\(\frac{30d^3}{c^8}\)
En los siguientes dos ejemplos, usaremos la propiedad de energía y el producto para una propiedad de energía.
Simplificar: (k 3) −2.
Solución
| Utilice el Producto a una Propiedad de Potencia, (ab) m = a m b m. | $$k^ {3 (-2)} $$ |
| Simplificar. | $$k^ {-6} $$ |
| Reescribir con un exponente positivo. | $$\ dfrac {1} {k^ {6}} $$ |
Simplificar: (x 4) −1.
- Responder
-
\(\frac{1}{x^4}\)
Simplificar: (y 2) −2.
- Responder
-
\(\frac{1}{y^4}\)
Simplificar: (5x −3) 2.
Solución
| Utilice el Producto a una Propiedad de Potencia, (ab) m = a m b m. | $$5^ {2} (x^ {-3}) ^ {2} $$ |
| Simplifica 5 2 y multiplica los exponentes de x usando la Propiedad de Potencia, (a m) n = a m • n. | $$25k^ {-6} $$ |
| Reescribir x −6 usando la definición de un exponente negativo,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$25\ cdot\ dfrac {1} {x^ {6}} $$ |
| Simplificar. | $$\ dfrac {25} {x^ {6}} $$ |
Simplificar: (8a −4) 2.
- Responder
-
\(\frac{64}{a^8}\)
Simplificar: (2c −4) 3.
- Responder
-
\(\frac{8}{c^12}\)
Para simplificar una fracción, utilizamos la Propiedad Cociente.
Simplificar:\(\dfrac{r^{5}}{r^{−4}}\).
Solución
| Utilizar la Propiedad Cociente,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\). | $$r^ {5- (\ textcolor {rojo} {-4})} $$ |
| Tenga cuidado de restar 5 - (\ textcolor {rojo} {-4}). | |
| Simplificar. | $$r^ {9} $$ |
Simplificar:\(\dfrac{x^{8}}{x^{−3}}\).
- Responder
-
\(x^{11}\)
Simplificar:\(\dfrac{y^{7}}{y^{-6}}\).
- Responder
-
\(y^{13}\)