10.10: Introducción a los polinomios de factorización
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- Encuentra el mayor factor común de dos o más expresiones
- Factor el mayor factor común de un polinomio
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Factor 56 en primos. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.9.1.
- Multiplicar: −3 (6a + 11). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 7.4.9.
- Multiplicar: 4x 2 (x 2 + 3x − 1). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 10.4.5.
Encuentra el factor común más grande de dos o más expresiones
Antes multiplicamos factores juntos para obtener un producto. Ahora, vamos a estar invirtiendo este proceso; comenzaremos con un producto y luego lo descompondremos en sus factores. La división de un producto en factores se llama factorización.
En El lenguaje del álgebra factorizamos números para encontrar el múltiplo menos común (LCM) de dos o más números. Ahora vamos a factorizar expresiones y encontrar el mayor factor común de dos o más expresiones. El método que utilizamos es similar al que usamos para encontrar el LCM.
El mayor factor común (GCF) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.
Primero encontraremos el mayor factor común de dos números
Encuentra el mayor factor común de 24 y 36.
Solución
Paso 1: Factorizar cada coeficiente en primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida. | Factor 24 y 36. | |
Paso 2: Enumere todos los factores, coincidiendo con los factores comunes en una columna. | ||
En cada columna, circule los factores comunes. | Encierra en círculo los 2, 2 y 3 que son compartidos por ambos números. | |
Paso 3: Derribar los factores comunes que comparten todas las expresiones. | Derriba los 2, 2, 3 y luego multiplique. | |
Paso 4: Multiplicar los factores. | El GCF de 24 y 36 es 12. |
Observe que dado que el GCF es un factor de ambos números, 24 y 36 pueden escribirse como múltiplos de 12.
\[\begin{split} 24 &= 12 \cdot 2 \\ 36 &= 12 \cdot 3 \end{split}\]
Encuentra el mayor factor común: 54, 36.
- Contestar
-
18
Encuentra el mayor factor común: 48, 80.
- Contestar
-
16
En el ejemplo anterior, encontramos el mayor factor común de constantes. El mayor factor común de una expresión algebraica puede contener variables elevadas a potencias junto con coeficientes. Resumimos los pasos que utilizamos para encontrar el mayor factor común.
Paso 1. Facturar cada coeficiente en primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.
Paso 2. Enumere todos los factores: coincidan con los factores comunes en una columna. En cada columna, circule los factores comunes.
Paso 3. Derribar los factores comunes que comparten todas las expresiones.
Paso 4. Multiplicar los factores.
Encuentra el mayor factor común de 5x y 15.
Solución
Facturar cada número en primos. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. |
El GCF de 5x y 15 es 5.
Encuentra el mayor factor común: 7 años, 14.
- Contestar
-
7
Encuentra el mayor factor común: 22, 11m.
- Contestar
-
11
En los ejemplos hasta el momento, el mayor factor común fue una constante. En los siguientes dos ejemplos obtendremos variables en el mayor factor común.
Encuentra el mayor factor común de 12x 2 y 18x 3.
Solución
Factorizar cada coeficiente en primos y escribir las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. Multiplicar los factores. |
El GCF de 12x 2 y 18x 3 es 6x 2.
Encuentra el mayor factor común: 16x 2, 24x 3.
- Contestar
-
\(8x^2\)
Encuentra el mayor factor común: 27y 3, 18y 4.
- Contestar
-
\(9y^3\)
Encuentra el mayor factor común de 14x 3, 8x 2, 10x.
Solución
Factorizar cada coeficiente en primos y escribir las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. Derribar los factores comunes. Multiplicar los factores. |
El GCF de 14x 3 y 8x 2, y 10x es 2x.
Encuentra el mayor factor común: 21x 3, 9x 2, 15x.
- Contestar
-
3x
Encuentra el mayor factor común: 25m 4, 35m 3, 20m 2.
- Contestar
-
\(5m^2\)
Factor el mayor factor común de un polinomio
Al igual que en la aritmética, donde a veces es útil representar un número en forma factorizada (por ejemplo, 12 como 2 • 6 o 3 • 4), en álgebra puede ser útil representar un polinomio en forma factorizada. Una forma de hacerlo es encontrando el mayor factor común de todos los términos. Recuerda que puedes multiplicar un polinomio por un monomio de la siguiente manera:
\[\begin{split} 2(x &+ 7) \quad factors \\ 2 \cdot x &+ 2 \cdot 7 \\ 2x &+ 14 \quad product \end{split}\]
Aquí, comenzaremos con un producto, como 2x + 14, y terminaremos con sus factores, 2 (x + 7). Para ello aplicamos la Propiedad Distributiva “a la inversa”.
Si a, b, c son números reales, entonces a (b + c) = ab + ac y ab + ac = a (b + c).
El formulario de la izquierda se utiliza para multiplicar. El formulario de la derecha se utiliza para factorial.
Entonces, ¿cómo usamos la Propiedad Distributiva para factorizar un polinomio? ¡Encontramos el GCF de todos los términos y escribimos el polinomio como producto!
Factor: 2x + 14.
Solución
Paso 1: Encuentra el GCF de todos los términos del polinomio. | Encuentra el GCF de 2x y 14. | |
Paso 2: Reescribir cada término como un producto usando el GCF. | Reescribir 2x y 14 como productos de su GCF, 2. $$\ begin {split} 2x &= 2\ cdot x\\ 14 &= 2\ cdot 7\ end {split} $$ | $$\ begin {split} 2x &+ 14\\\ textcolor {rojo} {2}\ cdot x &+\ textcolor {rojo} {2}\ cdot 7\ end {split} $$ |
Paso 3: Utilice la Propiedad Distributiva 'a la reversa' para factorizar la expresión. | 2 (x + 7) | |
Paso 4: Verifique multiplicando los factores. | Cheque. | $$\ begin {split} 2 (x &+ 7)\\ 2\ cdot x &+ 2\ cdot 7\\ 2x &+ 14\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: 4x + 12.
- Contestar
-
4 (x + 3)
Factor: 6a + 24.
- Contestar
-
6 (a + 4)
Observe que en el Ejemplo 10.84, usamos la palabra factor tanto como sustantivo como verbo:
Sunoun | 7 es un factor de 14 |
Verbo | Factor 2 de 2x + 14 |
Paso 1. Encuentra el GCF de todos los términos del polinomio.
Paso 2. Reescribe cada término como un producto usando el GCF.
Paso 3. Utilice la Propiedad Distributiva 'en reversa' para factorizar la expresión.
Paso 4. Verificar multiplicando los factores.
Factor: 3a + 3.
Solución
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. | $$\ textcolor {rojo} {3}\ cdot a +\ textcolor {rojo} {3}\ cdot 1$$ |
Utilice la Propiedad Distributiva 'en reversa' para factorizar el GCF. | $$3 (a+1) $$ |
Verifica multiplicando los factores para obtener el polinomio original. | $$\ begin {split} 3 (a &+ 1)\\ 3\ cdot a &= 3\ cdot 1\\ 3a &+ 3\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: 9a + 9.
- Contestar
-
9 (a + 1)
Factor: 11x + 11.
- Contestar
-
11 (x + 1)
Las expresiones en el siguiente ejemplo tienen varios factores en común. Recuerda escribir el GCF como producto de todos los factores comunes.
Factor: 12x − 60.
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. | $$\ textcolor {rojo} {12}\ cdot x -\ textcolor {rojo} {12}\ cdot 5$$ |
Factorice el GCF. | $$12 (x-5) $$ |
Verificar multiplicando los factores. | $$\ begin {split} 12 (x &- 5)\\ 12\ cdot x &- 12\ cdot 5\\ 12x &- 60\;\ checkmark\ end {split} $$ |
Factor: 11x − 44.
- Contestar
-
11 (x - 4)
Factor: 13y − 52.
- Contestar
-
13 (y - 4)
Ahora vamos a factorizar el mayor factor común a partir de un trinomio. Comenzamos por encontrar el GCF de los tres términos.
Factor: 3 años 2 + 6 años + 9.
Solución
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. | $$\ textcolor {rojo} {3}\ cdot y^ {2} +\ textcolor {rojo} {3}\ cdot 2y +\ textcolor {rojo} {3}\ cdot 3$$ |
Factorice el GCF. | $$3 (y^ {2} + 2y + 3) $$ |
Verificar multiplicando. | $$\ begin {split} 3 (y^ {2} &+ 2y + 3)\\ 3\ cdot y^ {2} &+ 3\ cdot 2y + 3\ cdot 3\\ 3y^ {2} &+ 6y + 9\;\ checkmark\ end {split} $$ |
Factor: 4 años 2 + 8 años + 12.
- Contestar
-
\(4\left(y^{2}+2 y+3\right) \)
Factor: 6x 2 + 42x − 12.
- Contestar
-
\( 6\left(x^{2}+7 x-2\right) \)
En el siguiente ejemplo, factorizamos una variable a partir de un binomio.
Factor: 6x 2 + 5x.
Solución
Encuentra el GCF de 6x 2 y 5x y las matemáticas que lo acompaña. | |
Reescribir cada término como un producto. | $$\ textcolor {rojo} {x}\ cdot 6x +\ textcolor {rojo} {x}\ cdot 5$$ |
Facturar el GCF. | $$x (6x + 5) $$ |
Verificar multiplicando. | $$\ begin {split} x (6x &+ 5)\\ x\ cdot 6x &+ x\ cdot 5\\ 6x^ {2} &+ 5x\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: 9x 2 + 7x.
- Contestar
-
\( x(9x+7) \)
Factor: 5a 2 − 12a.
- Contestar
-
a (5a - 12)
Cuando hay varios factores comunes, como veremos en los siguientes dos ejemplos, ¡la buena organización y el trabajo ordenado ayudan!
Factor: 4x 3 − 20x 2.
Solución
Reescribir cada término. | $$\ textcolor {rojo} {4x^ {2}}\ cdot x -\ textcolor {rojo} {4x^ {2}}\ cdot 5$$ |
Facturar el GCF. | $$4x^ {2} (x-5) $$ |
Cheque. | $$\ begin {split} 4x^ {2} (x &- 5)\\ 4x^ {2}\ cdot x &- 4x^ {2}\ cdot 5\\ 4x^ {3} &- 20x^ {2}\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: 2x 3 + 12x 2.
- Contestar
-
\( 2 x^{2}(x+6) \)
Factor: 6y 3 − 15y 2.
- Contestar
-
\( 3 y^{2}(2 y-5) \)
Factor: 21 años 2 + 35 años.
Solución
Encuentra el GCF de 21y 2 y 35y. | |
Reescribir cada término. | $$\ textcolor {rojo} {7y}\ cdot 3y +\ textcolor {rojo} {7años}\ cdot 5$$ |
Facturar el GCF. | $$7y (3 años + 5) $$ |
Factor: 18 años 2 + 63 años.
- Contestar
-
9 años (2 años + 7)
Factor: 32k 2 + 56k.
- Contestar
-
8k (4k + 7)
Factor: 14x 3 + 8x 2 − 10x.
Solución
Anteriormente, encontramos que el GCF de 14x 3, 8x 2 y 10x era 2x.
Reescribe cada término usando el GCF, 2x. | $$\ textcolor {rojo} {2x}\ cdot 7x^ {2} +\ textcolor {rojo} {2x}\ cdot 4x -\ textcolor {rojo} {2x}\ cdot 5$$ |
Facturar el GCF. | $2x (7x^ {2} + 4x - 5) $$ |
Cheque. | $$\ begin {split} 2x (7x^ {2} &+ 4x - 5)\\ 2x\ cdot 7x^ {2} &+ 2x\ cdot 4x - 2x\ cdot 5\\ 14x^ {3} &+ 8x^ {2} - 10x\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: 18y 3 − 6y 2 − 24y.
- Contestar
-
\(6 y\left(3 y^{2}-y-4\right)\)
Factor: 16x 3 + 8x 2 − 12x.
- Contestar
-
\(4 x\left(4 x^{2}+2 x-3\right)\)
Cuando el coeficiente principal, el coeficiente del primer término, es negativo, factorizamos lo negativo como parte del GCF.
Factor: −9y − 27.
Solución
Cuando el coeficiente principal es negativo, el GCF será negativo. Ignorando los signos de los términos, primero encontramos el GCF de 9y y 27 es 9. | |
Dado que la expresión −9y − 27 tiene un coeficiente inicial negativo, usamos −9 como el GCF. | |
Reescribe cada término usando el GCF. | $$\ textcolor {rojo} {-9}\ cdot y + (\ textcolor {rojo} {-9})\ cdot 3$$ |
Facturar el GCF. | $$-9 (y+3) $$ |
Cheque. | $$\ begin {split} -9 (y &+ 3)\\ -9\ cdot y &+ (-9)\ cdot 3\\ -9y &- 27\;\ marca de verificación\ end {split} $$ |
Factor: −5y − 35.
- Contestar
-
-5 (y + 7)
Factor: −16z − 56.
- Contestar
-
-8 (2z + 7)
Preste mucha atención a los signos de los términos en el siguiente ejemplo.
Factor: −4a 2 + 16a.
Solución
El coeficiente principal es negativo, por lo que el GCF será negativo. | |
Dado que el coeficiente inicial es negativo, el GCF es negativo, −4a. | |
Reescribir cada término. | $$\ textcolor {rojo} {-4a}\ cdot a - (\ textcolor {rojo} {-4a})\ cdot 4$$ |
Facturar el GCF. | $$-4a (a-4) $$ |
Verifica por tu cuenta multiplicando. |
Factor: −7a 2 + 21a.
- Contestar
-
-7a (a - 3)
Factor: −6x 2 + x.
- Contestar
-
-x (6x - 1)
La práctica hace la perfección
Encuentra el factor común más grande de dos o más expresiones
En los siguientes ejercicios, encuentra el mayor factor común.
- 40, 56
- 45, 75
- 72, 162
- 150, 275
- 3x, 12
- 4 años, 28
- 10a, 50
- 5b, 30
- 16 años, 24 años 2
- 9x, 15x 2
- 18m 3, 36m 2
- 12p 4, 48p 3
- 10x, 25x 2, 15x 3
- 18a, 6a 2, 22a 3
- 24u, 6u 2, 30u 3
- 40 años, 10 años 2, 90 años 3
- 15a 4, 9a 5, 21a 6
- 35x 3, 10x 4, 5x 5
- 27y 2, 45y 3, 9y 4
- 14b 2, 35b 3, 63b 4
Factor el mayor factor común de un polinomio
En los siguientes ejercicios, factorizar el mayor factor común de cada polinomio.
- 2x + 8
- 5 años + 15
- 3a − 24
- 4b − 20
- 9y − 9
- 7x − 7
- 5m 2 + 20m + 35
- 3n 2 + 21n + 12
- 8p 2 + 32p + 48
- 6q 2 + 30q + 42
- 8q 2 + 15q
- 9c 2 + 22c
- 13k 2 + 5k
- 17x 2 + 7x
- 5c 2 + 9c
- 4q 2 + 7q
- 5p 2 + 25p
- 3r 2 + 27r
- 24q 2 − 12q
- 30u 2 − 10u
- yz + 4z
- ab + 8b
- 60x − 6x 3
- 55 años − 11 años 4
- 48r 4 − 12r 3
- 45c 3 − 15c 2
- 4a 3 − 4ab 2
- 6c 3 − 6cd 2
- 30u 3 + 80u 2
- 48x 3 + 72x 2
- 120y 6 + 48y 4
- 144a 6 + 90a 3
- 4q 2 + 24q + 28
- 10 años 2 + 50 años + 40
- 15z 2 − 30z − 90
- 12u 2 − 36u − 108
- 3a 4 − 24a 3 + 18a 2
- 5p 4 − 20p 3 − 15p 2
- 11x 6 + 44x 5 − 121x 4
- 8c 5 + 40c 4 − 56c 3
- −3n − 24
- −7p − 84
- −15a 2 − 40a
- −18b 2 − 66b
- −10y 3 + 60y 2
- −8a 3 + 32a 2
- −4u 5 + 56u 3
- −9b 5 + 63b 3
Matemáticas cotidianas
- Ingresos Un fabricante de hornos microondas ha encontrado que los ingresos recibidos por vender microondas un costo de p dólares cada uno los da el polinomio −5p 2 + 150p. Factorizar el mayor factor común de este polinomio.
- Altura de una pelota de béisbol La altura de un golpe de béisbol con velocidad 80 pies/segundo a 4 pies sobre el nivel del suelo es −16t 2 + 80t + 4, con t = el número de segundos desde que fue golpeado. Factorizar el mayor factor común de este polinomio.
Ejercicios de escritura
- El mayor factor común de 36 y 60 es 12. Explique lo que esto significa.
- ¿Cuál es el GCF de y 4, y 5, y y y 10? Escribir una regla general que diga cómo encontrar el GCF de y a, y b, y y c.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?