1.1.3: Movimientos de rejilla

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Illustrative Mathematics
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Lección

Transformemos algunas figuras en cuadrículas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Notice and Wonder: The Isometric Grid

¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Transformation Information

Sigue las indicaciones que aparecen debajo de cada declaración para decirle a GeoGebra cómo quieres que se mueva la figura. Es importante notar que GeoGebra utiliza vectores para mostrar traducciones. Un vector es una cantidad que tiene magnitud (tamaño) y dirección. Por lo general, está representado por una flecha.

Estos applets son sensibles a los clics. Asegúrese de hacer un clic rápido, de lo contrario puede contar un doble clic.

Después de cada ejemplo, haga clic en el botón de reinicio y luego mueva el control deslizante para la siguiente pregunta.

Traducir triángulo$ABC$ para que$A$ vaya a$A'$.
1. Seleccione la herramienta Vector.
  $clipboard_edb406b33e4b5531b1879ff08dc813e5a.png$
2. Da click en el punto original$A$ y luego en el punto nuevo$A'$. Deberías ver un vector.
3. Seleccione la herramienta Traducir por vector.
  $clipboard_e1a36e2eefdfd5d02dc98ed0c455b399b.png$
4. Haga clic en la figura para traducir, y luego haga clic en el vector.
Traducir triángulo$ABC$ para que$C$ vaya a$C'$.
Gire el triángulo hacia la$ABC\: 90^{\circ}$ izquierda usando el centro$O$.
1. Seleccione la herramienta Rotar alrededor del punto.
  $clipboard_e1684fd4d67dc5cc4f1a9e13e4e71e18b.png$
2. Haga clic en la figura para rotar, y luego haga clic en el punto central.
3. Se abrirá un cuadro de diálogo; escriba el ángulo por el cual rotar y seleccione la dirección de rotación.
4. Haga clic en Aceptar.
Reflejar triángulo$ABC$ usando línea$l$.
1. Seleccione la herramienta Reflejar sobre la línea.
  $clipboard_ee8e4a7274d0a254841da8d98a275e361.png$
2. Haga clic en la figura para reflexionar, y luego haga clic en la línea de reflexión.
Gire cuadrilátero en$ABCD\: 60^{\circ}$ sentido antihorario usando el centro$B$.
Gire cuadrilátero$ABCD\: 60^{\circ}$ en sentido horario usando el centro$C$.
Refleja cuadrilátero$ABCD$ usando línea$l$.
Traducir cuadrilátero$ABCD$ para que$A$ vaya a$C$.

Pruebe sus propias traducciones, reflexiones y rotaciones.

Haz tu propio polígono para transformar, y elige una transformación.
Predice lo que sucederá cuando transforme la imagen. Pruébalo. ¿Tenías razón?
¡Desafía a tu pareja! Haga clic derecho en cualquier vector o línea y desmarque Mostrar objeto. ¿Pueden adivinar qué transformación usaste?

Visita GGBM.at/efee2veu para ver el applet.

Resumen

Cuando una figura está en una cuadrícula, podemos usar la cuadrícula para describir una transformación. Por ejemplo, aquí hay una figura y una imagen de la figura después de un movimiento.

El cuadrilátero$ABCD$ se traslada 4 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo a la posición de cuadrilátero$A'B'C'D'$.

Figura$\PageIndex{2}$: Dos cuadriláteros idénticos en una cuadrícula etiquetada$B\: D\: C\: A$ y$B$ prime$D$ prime$C$ prime$A$ prime. En cuadrilátero$B\: D\: C\: A$, el punto$B$ es de 3 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo desde el borde de la rejilla. $D$El punto es 1 unidad izquierda y 1 unidad arriba del punto$B$. $C$El punto es 2 unidades arriba del punto$B$. $A$El punto es de 2 unidades a la derecha del punto$B$. En el$B$ primo primo$D$$C$ primo$A$ cuadrilátero, el punto$B$ primo es 3 unidades hacia abajo y 4 unidades a la derecha del punto$B$. $D$El punto primo es 3 unidades abajo y 4 unidades justo desde el punto$D$. $C$El punto primo es 3 unidades abajo y 4 unidades justo desde el punto$C$. $A$El punto primo es 3 unidades abajo y 4 unidades justo desde el punto$A$.

Un segundo tipo de cuadrícula se llama cuadrícula isométrica. La rejilla isométrica está conformada por triángulos equiláteros. Todos los ángulos en los triángulos miden 60 grados, lo que hace que la cuadrícula isométrica sea conveniente para mostrar rotaciones de 60 grados.

Aquí está el cuadrilátero$KLMN$ y su imagen$K'L'M'N'$ después de una rotación de 60 grados en sentido antihorario alrededor de un punto$P$.

Entradas en el glosario

Definición: en sentido horario

Un objeto está girando en el sentido de las agujas del reloj si gira de la misma manera que la manecilla de horas o minutos gira alrededor de un reloj.

El cuadrado inclinado se gira en$15^{\circ}$ sentido horario desde el cuadrado sentado horizontalmente sobre su base.

Definición: Correspondiente

Si una parte de la figura original coincide con una parte de la copia, las llamamos partes correspondientes. La pieza podría ser un ángulo, punto o lado, y usted puede tener ángulos correspondientes, puntos correspondientes o lados correspondientes.

Si tienes una distancia entre dos puntos en la figura original, entonces la distancia entre los puntos correspondientes en la copia se llama la distancia correspondiente.

Definición: En sentido antihorario

Un objeto gira en sentido contrario a las agujas del reloj si gira de manera opuesta a la forma en que la manecilla de horas o minutos gira alrededor de un reloj.

El cuadrado inclinado se gira en$15^{\circ}$ sentido antihorario desde el cuadrado con una base horizontal.

Definición: Imagen

Las traducciones, las rotaciones y los reflejos mueven objetos en el plano. Los puntos, segmentos y otras partes del original tienen partes correspondientes en el “objeto movido”. El objeto movido se llama la imagen.

Por ejemplo, aquí hay triángulo$ABC$ y una traducción a la derecha y hacia arriba que está etiquetada$DEF$.

El punto$F$ en la imagen corresponde al punto$C$, el segmento$EF$ en la imagen corresponde al segmento$BD$ y el ángulo$DEF$ corresponde al ángulo$ABC$.

Definición: Reflexión

El reflejo de una figura a través de una línea lleva cada punto de la figura a un punto directamente opuesto a él en el otro lado de la línea y la misma distancia de la línea. En la figura, el triángulo$B$ es el reflejo del triángulo$A$ a través de la línea$l$.

Definición: Rotación

Una rotación tiene un centro, un ángulo y una dirección. Mueve cada punto de una figura en un círculo alrededor del centro, en la dirección especificada (en sentido horario o antihorario), y por una distancia especificada por el ángulo. Por ejemplo, en la figura, el triángulo$A$ se gira en$55^{\circ}$ sentido horario alrededor del centro$O$ para obtener triángulo$B$.

Definición: Traducción

Una traslación tiene una distancia y una dirección. Mueve cada punto de una figura la distancia dada en la dirección dada.

La figura de la izquierda se traduce a la figura de la derecha en la dirección de$A$ a$B$, utilizando la distancia de$A$ a$B$.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Aplica cada transformación descrita en la Figura A. Si te quedas atascado, intenta usar papel de calco.

La figura$A$ es un paralelogramo y el punto$P$ está en la esquina superior derecha. $l$La línea está a una unidad de distancia y paralela al lado derecho de la figura$A$. $P$El punto primo es de 4 unidades horizontales desde el punto$P$.

Una traducción que lleva$P$ a$P'$
Una rotación en sentido antihorario de$A$, usando el centro$P$, de 60 grados
Un reflejo de la línea$A$ transversal$l$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Aquí está el triángulo$ABC$ dibujado en una cuadrícula.

En la cuadrícula, dibuje una rotación de triángulo$ABC$, una traslación de triángulo$ABC$ y un reflejo de triángulo$ABC$. Describa claramente cómo se hizo cada uno.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

1. Dibuja la imagen traducida de$ABCDE$ para que el vértice$C$ se mueva a$C'$. El papel de calco puede ser útil.

2. Dibuja la imagen reflejada del Pentágono$ABCDE$ con línea de reflexión$l$. El papel de calco puede ser útil.

3. Dibuja la rotación del Pentágono$ABCDE$ alrededor de$C$ las agujas del reloj en un ángulo de 150 grados. El papel de calcar y un traslador pueden ser útiles.

(De la Unidad 1.1.2)

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