1.2.4: Componer figuras
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Usemos el razonamiento sobre transformaciones rígidas para encontrar mediciones sin medir.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Angles of an Isosceles Triangle
Aquí hay un triángulo.
- Refleja\(ABC\) el triángulo sobre la línea\(AB\). Etiquetar la imagen de\(C\) como\(C'\).
- Gire\(ABC'\) el triángulo alrededor\(A\) para que\(C'\) coincida con\(B\).
- ¿Qué se puede decir de las medidas de los ángulos\(B\) y\(C\)?
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Triangle Plus One
Aquí está el triángulo\(ABC\).
- Dibuja el punto medio\(M\) del lado\(AC\).
- Gire el triángulo\(ABC\) 180 grados usando el centro\(M\) para formar el triángulo\(CDA\). Dibuja y etiqueta este triángulo.
- ¿Qué tipo de cuadrilátero es\(ABCD\)? Explique cómo sabe.
¿Estás listo para más?
En la actividad, hicimos un paralelogramo tomando un triángulo y su imagen bajo una rotación de 180 grados alrededor del punto medio de un lado. Esta imagen te ayuda a justificar una fórmula bien conocida para el área de un triángulo. ¿Cuál es la fórmula y cómo ayuda la cifra a justificarla?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Triangle Plus Two
En la imagen se muestran 3 triángulos. Triángulo 2 y Triángulo 3 son imágenes del Triángulo 1 bajo transformaciones rígidas.
- Describir una transformación rígida que lleva el Triángulo 1 al Triángulo 2. ¿Qué puntos en el Triángulo 2 corresponden a los puntos\(A\)\(B\),, y\(C\) en el triángulo original?
- Describir una transformación rígida que lleva el Triángulo 1 al Triángulo 3. ¿Qué puntos en el Triángulo 3 corresponden a los puntos\(A\)\(B\),, y\(C\) en el triángulo original?
- Encuentra dos pares de segmentos de línea en el diagrama que tengan la misma longitud, y explica cómo sabes que son de la misma longitud.
- Encuentra dos pares de ángulos en el diagrama que tengan la misma medida, y explica cómo sabes que tienen la misma medida.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Triangle ONE Plus
Aquí está el triángulo isósceles\(ONE\). Sus lados\(ON\) y\(OE\) tienen longitudes iguales. \(O\)El ángulo es de 30 grados. La longitud de\(ON\) es de 5 unidades.
- Reflejar triángulo\(ONE\) a través del segmento\(ON\). Etiquete el nuevo vértice\(M\).
- ¿Cuál es la medida del ángulo\(MON\)?
- ¿Cuál es la medida del ángulo\(MOE\)?
- Reflejar triángulo\(MON\) a través del segmento\(OM\). Etiquetar el punto que corresponde a\(N\) como\(T\).
- ¿Cuánto tiempo es\(\overline{OT}\)? ¿Cómo lo sabes?
- ¿Cuál es la medida del ángulo\(TOE\)?
- Si sigues reflejando cada nuevo triángulo de esta manera para hacer un patrón, ¿cómo será el patrón?
Resumen
Anteriormente, aprendimos que si aplicamos una secuencia de transformaciones rígidas a una figura, entonces los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos correspondientes tienen la misma medida. ¡Estos hechos nos permiten averiguar las cosas sin tener que medirlas!
Por ejemplo, aquí está el triángulo\(ABC\).
Podemos reflejar el triángulo\(ABC\) a través de\(AC\) los lados para formar un nuevo triángulo:
Porque los puntos\(A\) y\(C\) están en la línea de reflexión, no se mueven. Entonces la imagen del triángulo\(ABC\) es\(AB'C\). También sabemos que:
- El ángulo\(B'AC\) mide\(36^{\circ}\) porque es la imagen del ángulo\(BAC\).
- El segmento\(AB'\) tiene la misma longitud que el segmento\(AB\).
Cuando construimos figuras usando copias de una figura hecha con transformaciones rígidas, sabemos que las medidas de las imágenes de segmentos y ángulos serán iguales a las medidas de los segmentos y ángulos originales.
Entradas en el glosario
Definición: Correspondiente
Cuando parte de una figura original coincide con parte de una copia, las llamamos partes correspondientes. Estos podrían ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.
Por ejemplo, el punto\(B\) en el primer triángulo corresponde al punto\(E\) en el segundo triángulo. Segmento\(AC\) corresponde al segmento\(DF\).
Definición: Transformación Rígida
Una transformación rígida es un movimiento que no cambia ninguna medida de una figura. Las traducciones, las rotaciones y las reflexiones son transformaciones rígidas, al igual que cualquier secuencia de éstas.
Definición: Ángulos Verticales
Los ángulos verticales son ángulos opuestos que comparten el mismo vértice. Están formados por un par de líneas que se cruzan. Sus medidas de ángulo son iguales.
Por ejemplo, los ángulos\(AEC\) y\(DEB\) son ángulos verticales. Si el ángulo\(AEC\) mide\(120^{\circ}\), entonces el ángulo también\(DEB\) debe medir\(120^{\circ}\).
Ángulos\(AED\) y\(BEC\) son otro par de ángulos verticales.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Aquí está el diseño para la bandera de Trinidad y Tobago.
Describir una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones que llevan el triángulo inferior izquierdo al triángulo superior derecho.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Aquí hay una imagen de una versión más antigua de la bandera de Gran Bretaña. Hay una transformación rígida que lleva al Triángulo 1 al Triángulo 2, otra que lleva al Triángulo 1 al Triángulo 3, y otra que lleva al Triángulo 1 al Triángulo 4.
- Mida las longitudes de los lados en los Triángulos 1 y 2. ¿Qué notas?
- ¿Cuáles son las longitudes laterales del Triángulo 3? Explique cómo sabe.
- ¿Los ocho triángulos de la bandera tienen la misma área? Explique cómo sabe.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
1. ¿Cuál de las líneas de la imagen es paralela a línea\(l\)? Explique cómo sabe.
2. Explicar cómo traducir, rotar o reflejar la línea\(l\) para obtener la línea\(k\).
3. Explicar cómo traducir, rotar o reflejar la línea\(l\) para obtener la línea\(p\).
(De la Unidad 1.2.3)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
\(A\)El punto tiene coordenadas\((3,4)\). Después de una traslación 4 unidades a la izquierda, una reflexión a través del\(x\) eje -y una traslación 2 unidades hacia abajo, ¿cuáles son las coordenadas de la imagen?
(De la Unidad 1.1.6)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Aquí hay un triángulo\(XYZ\):
Dibuja estas tres rotaciones de triángulo\(XYZ\) juntas.
- Gire el triángulo\(XYZ\) 90 grados en sentido horario alrededor\(Z\).
- Gire el triángulo\(XYZ\) 180 grados alrededor\(Z\).
- Gire el triángulo\(XYZ\) 270 grados en sentido horario alrededor\(Z\).
(De la Unidad 1.2.2)