1.3.3: Congruencia

Lección

Busquemos formas de probar la congruencia de figuras interesantes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Not Just the Vertices

Trapezoides\(ABCD\) y\(A'B'C'D'\) son congruentes.

• Dibuja y etiqueta los puntos sobre\(A'B'C'D'\) los que corresponden a\(E\) y\(F\).
• Dibuja y etiqueta los puntos sobre\(ABCD\) los que corresponden a\(G'\) y\(H'\).
• Dibuja y etiqueta al menos tres pares más de puntos correspondientes.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos trapecios A B C D y su imagen A prima B prima C prima D prima en una cuadrícula cuadrada. Trapecio A B C D tiene punto E en A D y punto F en C D. Trapecio A primo B primo C primo D tiene punto H primo en A primo B primo y punto G primo en A primo D primo. Deje que la esquina inferior izquierda sea (0 coma 0). Entonces las coordenadas de A B C D son A (1 coma 3), B (2 coma 1), C (4 coma 1), F (4 punto 5 coma 1 punto 5), D (6 coma 3), E (2 coma 3). Las coordenadas de A primo B primo C primo D primo son A primo (7 coma 3), H primo (7 punto 5 coma 2), B primo (8 coma 1), C primo (10 coma 1), D primo (12 coma 3), G primo (10 coma 3).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Congruent Ovals

¿Alguno de los óvalos es congruente entre sí? Explique cómo sabe.

Figura\(\PageIndex{2}\)

¿Estás listo para más?

Puedes usar 12 palillos de dientes para crear un polígono con un área de cinco palillos cuadrados, así:

¿Puedes usar exactamente 12 palillos de dientes para crear un polígono con un área de cuatro palillos cuadrados?

La figura tiene un vértice a 1 unidad derecha, 2 unidades hacia arriba. Otro vértice a 1 unidad derecha, 3 unidades arriba. Otro vértice a 2 unidades a la derecha, 3 unidades arriba. Otro vértice a 2 unidades a la derecha, 4 unidades arriba. Otro vértice a 3 unidades a la derecha, 4 unidades arriba. Otro vértice a 3 unidades a la derecha, 3 unidades arriba. Otro vértice a 4 unidades derecha y 3 unidades arriba. Otro vértice a 4 unidades derecha y 2 unidades arriba. Otro vértice a 3 unidades a la derecha, 2 unidades arriba. Otro vértice a 3 unidades a la derecha, 1 unidad arriba. Otro vértice a 2 unidades derecha, 1 unidad arriba. Otro vértice a 2 unidades a la derecha, 2 unidades arriba.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Corresponding Points in Congruent Figures

Aquí hay dos formas congruentes con algunos puntos correspondientes etiquetados.

Figura\(\PageIndex{4}\)

1. Dibujar los puntos correspondientes a\(B\)\(D\),, y\(E\), y etiquetarlos\(B'\),\(D'\), y\(E'\).
2. Dibuja segmentos de línea\(AD\)\(A'D'\) y mídalos. Haga lo mismo para los segmentos\(BC\) y\(B'C'\) y para los segmentos\(AE\) y\(A'E'\). ¿Qué notas?
3. ¿Crees que podría haber un par de segmentos correspondientes con diferentes longitudes? Explique.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Astonished Faces

¿Estos rostros son congruentes? Explica tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Resumen

Para mostrar que dos figuras son congruentes, alineas una con la otra por una secuencia de transformaciones rígidas. Esto es cierto incluso para figuras con lados curvos. Las distancias entre los puntos correspondientes en figuras congruentes son siempre iguales, incluso para formas curvas. Por ejemplo, los segmentos correspondientes\(AB\) y\(A'B\) sobre estos óvalos congruentes tienen la misma longitud:

Figura\(\PageIndex{6}\): Dos óvalos congruentes en una cuadrícula cuadrada. En el primer óvalo, dos puntos en lados opuestos más largos del óvalo están etiquetados A y B y están conectados por un segmento de línea. En el segundo óvalo, dos puntos en lados opuestos más largos del óvalo están etiquetados como A primo y B primo y están conectados por un segmento de línea. Deje que la esquina inferior izquierda sea (0 coma 0). Entonces el punto A está cerca (5 coma 4 punto 75) y el punto B está cerca (1 coma 3 punto 7 5). El punto A primo está cerca (9 coma 5) y el punto B primo está cerca (10 punto 5 coma 1 punto 3).

Para mostrar dos figuras no son congruentes, se pueden encontrar partes de las figuras que deben corresponder pero que tienen diferentes medidas.

Por ejemplo, estos dos óvalos no parecen congruentes.

Figura\(\PageIndex{7}\)

En ambos, la distancia más larga es de 5 unidades de ancho, y la distancia más larga de arriba a abajo es de 4 unidades. El segmento de línea del punto más alto al más bajo se encuentra en el centro del óvalo izquierdo, pero en el óvalo derecho, son 2 unidades desde el extremo derecho y 3 unidades desde el extremo izquierdo. Esto demuestra que no son congruentes.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Entradas en el glosario

Definición: Congruente

Una figura es congruente con otra si se puede mover con traslaciones, rotaciones y reflejos para encajar exactamente sobre la otra.

En la figura, el Triángulo A es congruente con los Triángulos B, C y D. Una traslación toma el Triángulo A al Triángulo B, una rotación toma el Triángulo B al Triángulo C y una reflexión lleva al Triángulo C al Triángulo D.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Definición: Ángulo recto

Un ángulo recto es la mitad de un ángulo recto. Mide 90 grados.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Cuál de estas cuatro cifras es congruente con la figura superior?

La figura A tiene puntos más extendidos, la figura B tiene un polígono ligeramente mayor, la figura C se gira en dirección opuesta y la figura D tiene puntos que van en dirección opuesta a la primera figura.

A: A

B: B

C: C

D: D

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Estas dos cifras son congruentes, con los puntos correspondientes marcados.

Figura\(\PageIndex{12}\)

1. ¿Son los ángulos\(ABC\) y\(A'B'C'\) congruentes? Explica tu razonamiento.
2. Mida los ángulos\(ABC\) y\(A'B'C'\) para verificar su respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay dos cifras.

Figura\(\PageIndex{13}\)

Demostrar, utilizando la medición, que estas dos cifras no son congruentes.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Cada imagen muestra dos polígonos, uno etiquetado Polígono A y otro etiquetado Polígono B. Describe cómo mover el Polígono A a la posición del Polígono B usando una transformación.

1.

Figura\(\PageIndex{14}\)

2.

Figura\(\PageIndex{15}\)

3.

Figura\(\PageIndex{16}\)

(De la Unidad 1.1.3)