7.1.1: Revisión de exponentes
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Revisemos exponentes.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Doesn't Belong: Twos
¿Qué expresión no pertenece? Esté preparado para compartir su razonamiento.
\[\begin{array}{cc}{2^{3}}&{\qquad }&{3^{2}}\\{8}&{\qquad }&{2^{2}\cdot 2^{1}}\end{array}\nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Return of the Genie
Mai y Andre encontraron una vieja botella de latón que contenía un genio mágico. Ellos liberaron al genio, y les ofreció a cada uno una mágica moneda de $1 como agradecimiento.
- La moneda mágica se convirtió en 2 monedas el primer día.
- Las 2 monedas se convirtieron en 4 monedas el segundo día.
- Las 4 monedas se convirtieron en 8 monedas, al tercer día.
Este patrón de duplicación continuó durante 28 días.
Da click en la flecha para ver que las monedas empiezan a multiplicarse mágicamente.
Mai estaba tratando de calcular cuántas monedas tendría y recordó que en lugar de escribir\(1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \) para el número de monedas en el sexto día, podía escribir\(2^{6}\).
- El número de monedas que Mai tenía el día 28 es muy, muy grande. Escribe una expresión para representar este número sin computar su valor.
- Las monedas de Andre perdieron su magia el día 25, así que Mai tiene muchas más monedas que él. ¿Cuántas veces más monedas tiene Mai que Andre?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Broken Coin
Después de un rato, Jada recoge una moneda que parece diferente a las demás. Ella nota que al día siguiente, ¡solo queda la mitad de la moneda!
- Al segundo día, solo queda\(\frac{1}{4}\) de la moneda.
- Al tercer día,\(\frac{1}{8}\) de la moneda permanece.
- ¿Qué fracción de la moneda queda después de 6 días?
- ¿Qué fracción de la moneda queda después de 28 días? Escribe una expresión para describirlo sin computar su valor.
- ¿La moneda desaparece por completo? Si es así, ¿después de cuántos días?
Observa cómo la moneda mágica cambia durante diez días con este applet.
¿Estás listo para más?
Cada animal tiene dos padres. Cada uno de sus padres también tiene dos padres.
- Dibuja un árbol genealógico que muestre a un animal, sus padres, sus abuelos y sus bisabuelos.
- Decimos que los ocho bisabuelos del animal son “tres generaciones atrás” del animal. ¿En qué generación atrás tendría 262,144 ancestros un animal?
Resumen
Los exponentes facilitan mostrar multiplicación repetida. Por ejemplo,\(2^{6}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \) Una ventaja de escribir\(2^{6}\) es que podemos ver enseguida que este es del 2 al sexto poder. Cuando esto se escribe usando la multiplicación\(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot\),, necesitamos contar el número de factores. ¡Imagina escribir\(2^{100}\) usando la multiplicación!
Digamos que comienzas con un grano de arroz y que cada día se duplica la cantidad de granos de arroz que tienes. Entonces el primer día, tienes 2 granos, el día dos, tienes 4 granos, y así sucesivamente. Cuando escribimos\(2^{25}\), podemos ver por la expresión que el arroz se ha duplicado 25 veces. Entonces esta notación no sólo es conveniente, sino que también nos ayuda a ver estructura: en este caso, podemos ver de inmediato que es en el día 25 cuando el número de granos de arroz se ha duplicado! ¡Eso es mucho arroz (más de un metro cúbico)!
Entradas en el glosario
Definición: Exponente
En expresiones como\(5^{3}\) y\(8^{2}\), el 3 y el 2 se llaman exponentes. Te dicen cuántos factores multiplicar. Por ejemplo,\(5^{3} = 5\cdot 5\cdot 5\cdot\), y\(8^{2}=8\cdot 8\).
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Escribe cada expresión usando un exponente:
- \(1\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\)
- \(1\cdot \left(\frac{4}{5}\right)\cdot\left(\frac{4}{5}\right)\cdot \left(\frac{4}{5}\right)\cdot \left(\frac{4}{5}\right)\cdot \left(\frac{4}{5}\right)\)
- \(1\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\cdot (9.3)\)
- El número de monedas que Jada tendrá al octavo día, si Jada comienza con una moneda y el número de monedas se duplica cada día. (Tiene dos monedas el primer día de la duplicación.)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Evaluar cada expresión:
- \(2^{5}\)
- \(3^{3}\)
- \(4^{3}\)
- \(6^{2}\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\)
- \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Clare hizo $160 cuidando niños el verano pasado. Ella puso el dinero en una cuenta de ahorro que paga 3% de interés anual. Si Clare no toca el dinero de su cuenta, puede encontrar la cantidad que tendrá al año siguiente multiplicando su monto actual por 1.03.
- ¿Cuánto dinero tendrá Clare en su cuenta después de 1 año? ¿Después de 2 años?
- ¿Cuánto dinero tendrá Clare en su cuenta después de 5 años? Explica tu razonamiento.
- Escribe una expresión de la cantidad de dinero que Clare tendría después de 30 años si nunca retira dinero de la cuenta.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
La ecuación\(y=5,280x\) da el número de pies,\(y\), en\(x\) millas. ¿Qué representa el número 5,280 en esta relación?
(De la Unidad 3.1.1)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Los puntos\((2,4)\) y\((6,7)\) se encuentran en una línea. ¿Cuál es la pendiente de la línea?
- \(2\)
- \(1\)
- \(\frac{4}{3}\)
- \(\frac{3}{4}\)
(De la Unidad 3.2.1)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
El diagrama muestra un par de figuras similares, una contenida en la otra. Nombra un punto y un factor de escala para una dilatación que mueva la figura más grande a la más pequeña.
(De la Unidad 2.2.1)