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2.1.3: Más sobre Constante de proporcionalidad

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    Lección

    Resolvamos más problemas que involucran relaciones proporcionales usando tablas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Equal Measures

    Usa los números y unidades de la lista para encontrar tantas medidas equivalentes como puedas. Por ejemplo, podrías escribir “30 minutos es\(\frac{1}{2}\) hora”.

    Puedes usar los números y unidades más de una vez.

    \(\begin{array}{llll}{1}&{\frac{1}{2}}&{0.3}&{\text{centimeter}}\\{12}&{40}&{24}&{\text{meter}}\\{0.4}&{0.01}&{\frac{1}{10}}&{\text{hour}}\\{60}&{3\frac{1}{3}}&{6}&{\text{feet}}\\{50}&{30}&{2}&{\text{minute}}\\{}&{}&{\frac{2}{5}}&{\text{inch}}\end{array}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Centimeters and Millimeters

    Existe una relación proporcional entre cualquier longitud medida en centímetros y la misma longitud medida en milímetros.

    clipboard_e63c8ba1afaf98c7ab9cad8815525e744.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Hay dos formas de pensar sobre esta relación proporcional.

    1. Si conoces la longitud de algo en centímetros, puedes calcular su longitud en milímetros.
      1. Completa la tabla.
      2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
        largo (cm) longitud (mm)
        9
        12.5
        50
        88.49
        Mesa\(\PageIndex{1}\)
    2. Si conoces la longitud de algo en milímetros, puedes calcular su longitud en centímetros.
      1. Completa la tabla.
      2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
        longitud (mm) largo (cm)
        70
        245
        4
        699.1
        Mesa\(\PageIndex{2}\)
    3. ¿Cómo se relacionan entre sí estas dos constantes de proporcionalidad?
    4. Completa cada oración:
      1. Para convertir de centímetros a milímetros, se puede multiplicar por ________.
      2. Para convertir de milímetros a centímetros, se puede dividir por ________ o multiplicar por ________.

    ¿Estás listo para más?

    1. ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?
    2. ¿Cómo se convierten centímetros cuadrados en milímetros cuadrados? ¿Cómo se convierte a la otra manera?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Pittsburgh to Phoenix

    En su camino de Nueva York a San Diego, un avión sobrevoló Pittsburgh, Saint Louis, Albuquerque y Phoenix viajando a una velocidad constante.

    Completa la tabla a medida que respondes las preguntas. Esté preparado para explicar su razonamiento.

    clipboard_e9f1ed6998d0fc2d4f0a141567ff5792e.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Un mapa de Estados Unidos con 5 segmentos que representan la distancia a la que voló un avión. Los segmentos son de Nueva York a Pittsburgh, Pittsburgh a Saint Louis, Saint Louis a Albuquerque, Albuquerque a Phoenix y Phoenix a San Diego. Por Oficina del Censo de Estados Unidos. Dominio Público. Buscador de hechos americano. Fuente.
    segmento tiempo distancia velocidad
    Pittsburgh a San Luis 1 hora 550 millas
    Saint Louis a Albuquerque 1 hora 42 minutos
    Albuquerque a Phoenix 330 millas
    Mesa\(\PageIndex{3}\)
    1. ¿Cuál es la distancia entre Saint Louis y Albuquerque?
    2. ¿Cuántos minutos tardó en volar entre Albuquerque y Phoenix?
    3. ¿Cuál es la relación proporcional que representa esta tabla?
    4. Diego dice que la constante de proporcionalidad es 550. Andre dice que la constante de proporcionalidad es\(9\frac{1}{6}\). ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

    Resumen

    Cuando algo viaja a una velocidad constante, existe una relación proporcional entre el tiempo que toma y la distancia recorrida. En la tabla se muestra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para un insecto que se arrastra en una acera.

    clipboard_e69f48494c55e2b4b39b58bba2c6d4b95.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Tabla con 2 columnas y 4 filas de datos. Las columnas son: distancia recorrida (cm) y tiempo transcurrido (seg). La tabla tiene los pares ordenados (la fracción 3 sobre 2 coma 1), (1 coma la fracción 2 sobre 3), (3 coma 2) y (10 coma la fracción 20 sobre 3). Cada par tiene una flecha que apunta desde el valor de la primera columna hasta el valor de la segunda columna. Veces la fracción 2 sobre 3 está debajo de la tabla.

    Podemos multiplicar cualquier número de la primera columna por\(\frac{2}{3}\) para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que el tiempo transcurrido es proporcional a la distancia recorrida, y la constante de proporcionalidad lo es\(\frac{2}{3}\). Esto quiere decir que el ritmo del bicho es de\(\frac{2}{3}\) segundos por centímetro.

    Esta tabla representa la misma situación, excepto que se conmutan las columnas.

    clipboard_e27326a7fc652841030d554dddb9608ff.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): Tabla con 2 columnas y 4 filas de datos. Las columnas son: tiempo transcurrido (seg) y distancia recorrida (cm). La tabla tiene los pares ordenados (1 coma la fracción 3 sobre 2), (la fracción 2 sobre 3 coma 1), (2 coma 3) y (la fracción 20 sobre 3 coma 10). Cada par tiene una flecha que apunta desde el valor de la primera columna hasta el valor de la segunda columna. Veces la fracción tres sobre 2 está debajo de la tabla.

    Podemos multiplicar cualquier número de la primera columna por\(\frac{3}{2}\) para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que la distancia recorrida es proporcional al tiempo transcurrido, y la constante de proporcionalidad lo es\(\frac{3}{2}\). Esto quiere decir que la velocidad del bicho es de\(\frac{3}{2}\) centímetros por segundo.

    Observe que\(\frac{3}{2}\) es el recíproco de\(\frac{2}{3}\). Cuando dos cantidades están en una relación proporcional, hay dos constantes de proporcionalidad, y siempre son recíprocas entre sí. Cuando representamos una relación proporcional con una tabla, decimos que la cantidad en la segunda columna es proporcional a la cantidad en la primera columna, y la constante de proporcionalidad correspondiente es el número multiplicamos valores en la primera columna para obtener los valores en la segunda.

    Entradas en el glosario

    Definición: Constante de proporcionalidad

    En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican cada uno por el mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. A este número se le llama la constante de proporcionalidad.

    En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, porque\(2\cdot 3=6\),\(3\cdot 3=9\), y\(5\cdot 3=15\). Esto significa que hay 3 manzanas por cada 1 naranja en la ensalada de frutas.

    número de naranjas número de manzanas
    2 6
    3 9
    5 15
    Mesa\(\PageIndex{4}\)

    Definición: Relaciones Equivalentes

    Dos ratios son equivalentes si puedes multiplicar cada uno de los números en la primera relación por el mismo factor para obtener los números en la segunda proporción. Por ejemplo,\(8:6\) es equivalente a\(4:3\), porque\(8\cdot\frac{1}{2}=4\) y\(6\cdot\frac{1}{2}=3\).

    Una receta de limonada dice usar 8 tazas de agua y 6 limones. Si usamos 4 tazas de agua y 3 limones, hará la mitad de limonada. Ambas recetas saben igual, porque y son proporciones equivalentes.

    tazas de agua número de limones
    8 6
    4 3
    Mesa\(\PageIndex{5}\)

    Definición: Relación Proporcional

    En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican cada uno por el mismo número para obtener los valores de la otra cantidad.

    Por ejemplo, en esta tabla cada valor de\(p\) es igual a 4 veces el valor de\(s\) en la misma fila.

    Podemos escribir esta relación como\(p=4s\). Esta ecuación muestra que\(s\) es proporcional a\(p\).

    \(s\) \(p\)
    \ (s\) ">2 \ (p\) ">8
    \ (s\) ">3 \ (p\) ">12
    \ (s\) ">5 \ (p\) ">20
    \ (s\) ">10 \ (p\) ">40
    Mesa\(\PageIndex{6}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Noé corre una porción de un maratón a una velocidad constante de 6 millas por hora.

    Completa la tabla para predecir cuánto tiempo le llevaría correr diferentes distancias a esa velocidad, y qué tan lejos correría en diferentes intervalos de tiempo.

    tiempo en horas millas recorridas a 6 millas por hora
    \(1\)
    \(\frac{1}{2}\)
    \(1\frac{1}{3}\)
    \(1\frac{1}{2}\)
    \(9\)
    \(4\frac{1}{2}\)
    Mesa\(\PageIndex{7}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Un kilómetro es de 1000 metros.

    1. Completa las tablas. ¿Cuál es la interpretación de la constante de proporcionalidad en cada caso?

    metros kilómetros
    1,000 1
    250
    12
    1
    Mesa\(\PageIndex{8}\)

    La constante de proporcionalidad nos dice que:

    kilómetros metros
    1 1,000
    5
    20
    0.3
    Mesa\(\PageIndex{9}\)

    La constante de proporcionalidad nos dice que:

    2. ¿Cuál es la relación entre dos constantes de proporcionalidad?

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Jada y Lin están comparando pulgadas y pies. Dice Jada que la constante de proporcionalidad es de 12. Lin dice que lo es\(\frac{1}{12}\). ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    El área del desierto de Mojave es de 25,000 millas cuadradas. Un dibujo a escala del desierto de Mojave tiene un área de 10 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la escala del mapa?

    (De la Unidad 1.2.6)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    ¿Cuál de estas escalas equivale a la escala de 1 cm a 5 km? Seleccione todas las que correspondan.

    1. 3 cm a 15 km
    2. 1 mm a 150 km
    3. 5 cm a 1 km
    4. 5 mm a 2.5 km
    5. 1 mm a 500 m

    (De la Unidad 1.2.5)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    ¿Cuál de estas fotos no es como las otras? Explique qué lo hace diferente usando ratios.

    clipboard_e582a4101651caa9746b887acc29961df.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    (De la Unidad 2.1.1)

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