2.3: Revisión de Factoring
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\(\begin{array} &36 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 40 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \\ 45 &= 3 \cdot 3 \cdot 5 \\ 455 &= 5 \cdot 7 \cdot 13 \end{array}\)
La factorización polinómica modela el mismo concepto: romper un polinomio en el producto de sus polinomios primos.
En esta sección se describirán las siguientes técnicas de factorización:
- Factor común más grande (GCF)
- Factorización trinomial:\(x^2 − bx + c\)
- Factorización trinomial:\(ax^2 − bx + c\) dónde\(a \neq 1\).
- Diferencia de Cuadrados
- Trinomios Cuadrados Perfectos
- Diferencia de Cubos
- Suma de Cubos
Factor común más grande (GCF)
Piense en la factorización GCF como revertir (o deshacer) la propiedad distributiva.
\(\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{multiply}} \\ a(b+c+d + ...) = a(b) + a(c) + a(d)+ ... \\ \xleftarrow[\text{factor}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;]{\text{}} \)
Para encontrar el GCF, enumere los factores de cada término. Identificar los factores en común. Luego factorizar usando el método GCF, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Factorizar el trinomio\(16x^5 + 8x^3 − 4x^2\).
Solución
Descomponer cada uno de los\(3\) términos del trinomio en sus factores de la siguiente manera
\(\begin{array} &16x^5 &= \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \textcolor{pink}{x} \cdot x \cdot x \cdot x \\ 8x^3 &= \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot 2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \textcolor{pink}{x} \cdot x \\ 4x^2 &= \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \textcolor{pink}{x} \end{array}\)
\(2 \cdot 2 \cdot x \cdot x = \textcolor{red}{4x^2 = \text{GCF}}\)
Siguiente paso: factorizar el GCF de cada uno de los términos.
Dentro de los paréntesis, preservar la colocación de los 3 términos y la suma y resta de las operaciones:
\(\textcolor{red}{\text{GCF}}(\textcolor{green}{\text{Term 1}} + \textcolor{green}{\text{Term 2}} - \textcolor{green}{\text{Term 3}} )\).
Respuesta La forma factorizada del polinomio es\(4x^2(4x^3 + 2x -1)\)
Nota: Puedes verificar tu respuesta usando la propiedad distributiva. Este paso es opcional, pero al multiplicar la forma factorizada, interiorizarás el concepto de que el producto es el polinomio original.
Consejo: La factorización GCF es siempre la primera técnica a buscar en cualquier polinomio. A veces un polinomio requerirá varias técnicas de factorización diferentes para factorizar completamente el polinomio.
Factorización trinomial x 2 + bx + c
Si el coeficiente principal de un trinomio de\(2^{\text{nd}}\) grado es\(1\), podemos factorizar el trinomio en el producto de dos binomios:\((x + m)(x + n)\). Dos condiciones sobre\(m\) y\(n\) deben mantener:
\(\left. \begin{array}{ll} mn = c\\ m + n =b \end{array} \right\} \text{Factoring Technique} \Longrightarrow x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) \)
Factorizar el trinomio\(x^2 −x − 12\).
Solución
Piense en un par de números enteros,\(m\) y\(n\), tal que las dos condiciones se mantengan:
\(\left. \begin{array}{ll} mn = -12\\ m + n = -1 \end{array} \right\}\)
Valores posibles\(m\), (n\):
| El producto es\(−12\) | Éxito si la suma es\(−1\), |
| \((−1)(12) = −12 \\ (1)(−12) = −12\) | \( \left.\begin{array}{ll} \textcolor{red}{\times}\;\; − 1+ 12 = −11\\ \textcolor{red}{\times} \;\;12 + (−1) = 11 \end{array} \right\} \text{opposites} \) |
| \((−2)(6) = −12 \\ (2)(−6) = −12\) | \( \left.\begin{array}{ll} \textcolor{red}{\times} \;\;− 2+ 6 = 4\\ \textcolor{red}{\times} \;\;2 + (−6) = −4 \end{array} \right\} \text{opposites} \) |
| \((−3)(4) = −12 \\ (3)(−4) = −12\) | \( \left.\begin{array}{ll} \textcolor{red}{\times} \;\;−3 + 4 = 1\\ \textcolor{green}{\checkmark} \;\;3 + (−4) = −1 \end{array} \right\} \text{opposites} \) |
Respuesta La forma factorizada de\(x^2 − x − 12\) es\((x + 3)(x − 4)\).
Nota: Puedes verificar tu respuesta usando el método FOIL. Este paso es opcional, pero al multiplicar la forma factorizada, interiorizarás el concepto de que el producto es el polinomio original.
Algunos polinomios son primos, lo que significa que el polinomio no puede ser factorizado. Si toda técnica de factorización posible falla, el polinomio es un polinomio primo.
Factorización trinomial ax 2 + bx + c donde a ≠ 1
Si el coeficiente principal de un\(2^{\text{nd}}\) grado trinomio no lo es\(1\), requerirá más prueba y error para factorizar el polinomio. El objetivo, como en el caso\(a=1\), es crear dos binomios que, al multiplicarse por el método FOIL, produzcan el polinomio dado. Sin embargo, el\(a\) valor −agregará más pruebas intentadas. No olvides que algunos polinomios son primos y no pueden ser factorizados. Los pasos a continuación guían su enfoque de factorización.
Paso 1: ¿Hay un GCF en el trinomio? Factorizar un valor común si encuentra uno.
Paso 2: Enumere los pares de factores de\(a\) y los pares de factores de\(c\).
Paso 3: Construir los binomios. Rellene las\(4\) cajas de manera apropiada.
Paso 4: F O IL: O uter = carita sonriente grande. Interior = carita sonriente pequeña. Multiplicar para encontrar Exterior e Interior de F O IL. Encuentra una combinación exitosa tal que Outer + Inner\(= bx =\) Target Sum.
Paso 5: Mantenga\(a\) -factores fijos, pero considere revertir\(c\) -factores si el ensayo no produce\(bx\).
Paso 6: Si todas las combinaciones de factores no logran producir la Suma Objetivo\(bx\), el trinomio es primo.
Factor\(2x^2 + 3x + 1\)
Solución
El primer término del trinomio es\(2x^2\). Ya que\(a \neq 1\), vamos a recorrer cada paso:
Paso 1: GCF\(= 1\), por lo que no hay factores comunes.
Paso 2: Enumerar pares de factores de\(a\) y de\(c\):
| \(a = 2\) | \(c = 1\) |
| \(\textcolor{red}{2 \cdot 1}\) | \(\textcolor{blue}{1 \cdot 1}\) |
Paso 3:\((\textcolor{red}{2}x + \textcolor{blue}{1})(\textcolor{red}{1}x + \textcolor{blue}{1}) \)
Paso 4: Comprobemos Exterior e Interior para asegurarnos de que su suma sea\(bx = 3x\).
\(\text{Outer } + \text{ Inner } = 2x + x = 3x\)
¡Éxito! ¡Encontramos la factorización correcta!
Respuesta La forma factorizada del trinomio\(2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)\)
Factor\(6t^2 − 28t + 16\)
Solución
Paso 1: GCF\(=2\). Factorizar el factor común:\(2(3t^2 − 14t + 8)\)
Paso 2: Enumerar pares de factores de\(a\) y de\(c\):
Observe que la Suma Objetivo es negativa.
\(bx = −14t\)
Sin embargo,\(c\) es positivo. Los\(c\) factores -deben ser ambos negativos (ver la tabla a continuación)
| \(a=3\) | \(c=8\) |
| \(\textcolor{red}{3 \cdot 1}\) | \(\textcolor{blue}{-8 \cdot -1}\) |
| \(\textcolor{blue}{-4 \cdot -2}\) |
Paso 3: Coloca los\(a\) -factores, luego elige un par de\(c\) -factores. Dado que la suma objetivo es\(−14t\), es más probable que los números más pequeños tengan éxito.
Juicio 1:\(2(\textcolor{red}{3}t − \textcolor{blue}{4})(\textcolor{red}{1}t − \textcolor{blue}{2})\)
Paso 4: Comprueben el Exterior y el Interior.
El Juicio 1 falla. \(−4t − 6t \neq −14t\)
Juicio 2:\(2(\textcolor{red}{3}t − \textcolor{blue}{2})(\textcolor{red}{1}t − \textcolor{blue}{4})\)
Paso 5: Comprueben el Exterior y el Interior
¡El juicio 2 es un éxito! \(−12t − 2t = −14t\)
Contestar\(6t^2 − 28t + 16 = 2(3t-2)(t-4)\). El trinomio está completamente factorizado.
Diferencia de Cuadrados
A continuación se presentan tres ejemplos que demuestran un patrón después de usar el método FOIL.
| Multiplicar los binomios | Método FOIL | Resultado simplificado | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((x + 3)(x − 3)\) | \(=\) | \(x^2 + \underbrace{−3x + 3x}_{\text{O + I cancels}} −3 \cdot 3\) | \(=\) | \(x^2 − 9\) | ||||||
| \((y-10)(y+10)\) | \(=\) | \(y^2 + \underbrace{+10y - 10y}_{\text{O + I cancels}} −10 \cdot 10\) | \(=\) | \(y^2 - 100\) | ||||||
| \((n^2 + 4)(n^2 − 4)\) | \(=\) | \(n^4 + \underbrace{-4n^2 + 4n^2}_{\text{O + I cancels}} −4 \cdot 4\) | \(=\) | \(n^4-16\) | ||||||
Se multiplican dos binomios. Uno es el conjugado del otro. Es decir, en un binomio\(x\) y\(a\) se suman, y en el otro\(x\) y\(a\) se restan. Observe que los términos externo e interno siempre se cancelan entre sí bajo este patrón.
Producto Especial = Diferencia de Cuadrados:\((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\)
La factorización es la inversa de multiplicar. Para factorizar, tenemos que descuadrar los cuadrados perfectos, creando un producto:
\(\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{multiply}} \\ (x+a)(x-a) = \underbrace{x^2-a^2}_{\text{difference of squares}} \\ \xleftarrow[\text{factor}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;]{\text{}} \)
Factor:\(n^2 − 64\)
Solución
Ambos términos son cuadrados perfectos. Utilizaremos la fórmula de Producto Especial a la inversa:\(A^2 − B^2 = (A + B)(A − B)\). Para factorizar, ¡necesitamos el unsquare de cada término!
Aquí,\(A=n\) y\(B=8\). La fórmula guía nuestro factoring:
\(\begin{array} &&(A+B)(A-B) \\ &(n+8)(n-8) \end{array}\)
Responder\(n^2 − 64 = (n+8)(n-8)\)
Factorizar completamente. \(4x^2y − 81x\)
Solución
Al factorizar, lo primero que hay que buscar es un factor común más grande (GCF). Ambos términos del polinomio comparten el factor\(y\). Después de factorizar el GCF, factorizamos los paréntesis como una diferencia de cuadrados.
\(4x^2y - 81y\)
\(= y\)Factor GCF hacia fuera GCF
\(=y(4x^2-81)\)
Diferencia de Cuadrados\(A=2x\) y\(B=9\)
\(=y(2x+9)(2x-9)\)
La palabra “diferencia” se traduce como “resta”. La Diferencia de Cuadrados requiere restar entre los dos términos cuadrados:\(A^2 − B^2\). Aparte de factores comunes, la suma de cuadrados no\(A^2 + B^2\) es factorizable.
Factor\(n^2 + 25\).
Solución
Aunque ambos términos son cuadrados perfectos, esto no es una diferencia de cuadrados. La operación entre los cuadrados no es resta. El GCF\(=1\). Como no podemos factorizar un factor común, concluimos que\(n^2 + 25\) es un polinomio primo.
Trinomios Cuadrados Perfectos
Otro patrón surge cuando se multiplican dos binomios idénticos. A continuación se presentan tres ejemplos que demuestran un patrón después de usar el método FOIL.
| Multiplicar los binomios | Método FOIL | Resultado simplificado | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((t + 5)(t + 5)\) | \(=\) | \(t^2 + \underbrace{−5t + 5t}_{\text{O + I} = 2(5t)} + 5^2\) | \(=\) | \(t^2 + 10t + 25\) | ||||||
| \((2y − 9)(2y − 9)\) | \(=\) | \((2y)^2 - \underbrace{18y - 18y}_{\text{O + I} =2(2y)(−10)} + 9^2\) | \(=\) | \(4y^2 − 36y + 81\) | ||||||
| \((pq + 7)(pq + 7)\) | \(=\) | \((pq)^2 + \underbrace{7pq + 7pq}_{\text{O + I} =2(7pq)} + 7^2\) | \(=\) | \(p^2q^2 + 14pq + 49\) | ||||||
Producto Especial = Trinomio Cuadrado Perfecto
\( \begin{array} &&(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + 2AB + B^2 \\ &(A − B)^2 = (A − B)(A − B) = A^2 − 2AB + B^2 \end{array} \)
La factorización es la inversa de multiplicar. Para factorizar, identificar el descuadrado del primer y último término. Es decir, encuentra\(A\) y\(B\), luego sigue las fórmulas anteriores.
Factor\(25n^2 − 90n + 81\)
Solución
El trinomio tiene GCF\(= 1\). Sin embargo, el primer y último término son cuadrados perfectos, y el polinomio es un trinomio. A ver si nos dieron un Trinomio Cuadrado Perfecto.
- Coinciden la fórmula con el trinomio dado.
- Determinar el valor de\(A\) y\(B\).
- Comprueba que\(2AB\) también coincide.
- El símbolo menos es una pista importante que nos dice qué fórmula de producto especial usaremos.
- \(A^2 − 2AB + B^2 = (A − B)^2\)
Asegúrese de verificar que\(2AB\) también coincida con el término medio dado. En Ejemplo\(2.3.8\), nos dieron un Trinomio Cuadrado Perfecto porque\(2AB\) coincidía con el término medio,\(90n\). Por lo tanto, podemos factorizar este trinomio usando la fórmula para factorizar Trinomios Cuadrados Perfectos.
Respuesta:\(25n^2 − 90n + 81 = (5n-9)^2\)
Precaución: Si un polinomio no puede ser factorizado usando una técnica de factorización, no significa necesariamente que el polinomio sea primo. ¡No te rindas! Agotar todas las técnicas de factorización posibles antes de concluir que el polinomio es primo.
Factor\(9y^2 + 15y + 4\)
Solución
El GCF\(=1\). Sin embargo, el primer y último término son cuadrados perfectos, y el polinomio es un trinomio. A ver si nos dieron un Trinomio Cuadrado Perfecto.
Al hacer coincidir los términos, determinamos\(A = 3y\) y\(B = 2\). Sin embargo,\(2AB = 12y\) no coincide con el término medio dado\(15y\). El trinomio no es un Trinomio Cuadrado Perfecto.
El trinomio no es primo, sin embargo. Se puede factorizar usando el método de prueba y error.
Paso 1: GCF\(=1\). No hay un factor común.
Paso 2: Enumerar pares de factores de\(a\) y de\(c\): (ver la tabla a continuación).
| \(a=9\) | \(c=4\) |
| \(\textcolor{red}{9 \cdot 1}\) | \(\textcolor{blue}{4 \cdot 1}\) |
| \(\textcolor{red}{3 \cdot 3}\) | \(\textcolor{blue}{2 \cdot 2}\) |
\(bx = 15y = \text{ Target Sum}\)
Paso 3: Coloca los factores a, luego elige un par\(c\) de factores. Ya sabemos que\((3y + 2)(3y + 2)\) no funciona. Intentemos:\((3y + 4)(3y + 1)\)
Paso 4: Comprueben el Exterior y el Interior
¡Este juicio es un éxito! \(12y + 3y = 15y\)
Otros juicios que fracasan:
| \((3y + 2)(3y + 2)\) | \(6y + 6y= 12y\) | \(\neq 15y\) |
| \((9y + 4)(y + 1)\) | \(4y + 9y = 13y\) | \(\neq 15y\) |
| \((9y + 1)(y + 4)\) | \(y+36y=37y\) | \(\neq 15y\) |
Contestar\(9y^2 + 15y + 4 = (3y+4)(3y+1)\).
Factor Suma de Cubos y Diferencia de Cubos
Para identificar la estrategia correcta de factorización, es una buena idea tener al menos los primeros cinco cubos memorizados. Las fórmulas que se muestran a continuación guían nuestro factoring.
\(\begin{array} &&1^3 = 1 \\ &2^3 = 8 \\ &3^3 = 27 \\&4^3 = 84 \\&5^3 = 125 \end{array}\)
Factorización de sumas y diferencias de cubos
\(\begin{array} &&A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 − AB + B^2 ) \\ &A^3 − B^3 = (A − B)(A^2 + AB + B^2 ) \end{array}\)
Factor\(27 − 8m^3\)
Solución
El binomio es una diferencia de cubos.
Usa la fórmula con\(A = 3\) y\(B = 2m\).
\(27 − 8m^3 = (3 − 2m)(9 + 6m + 4m^2)\)
¡Pruébalo! (Ejercicios)
Factor #1 -3 siguiendo usando factorización GCF:
- \(12u − 6u^2\)
- \(10x^3y + 15xy^2\)
- \(12z^3 − 9z^2 − 3z\)
Factor #4 -6 usando factorización trinomial:
- \(t^2 + 2t - 15\)
- \(h^2 − 12h + 20\)
- \(r^2 + 14r + 24\)
Factor #7 -12 usando factorización GCF y trinomial:
- \(3b^2 + 12b + 9\)
- \(4q^2 − 4q − 80\)
- \(x^3 − 11x^2 + 10x\)
- \(2a^2b + 24ab − 56b\)
- \(7x^4 + 49x^3 + 70x^2\)
- \(3n^2m − 12mn − 63m\)
Factor #13 -18 usando factorización trinomial donde se encontró el coeficiente principal\(\neq 1\).
- \(2d^2 − 9d − 18\)
- \(3h^2 − 29h + 18\)
- \(7t^2 + 17t − 12\)
- \(4y^2 − 3y − 7\)
- \(10n^2 − 11n − 8\)
- \(8x^2 + 6x − 9\)
Factor #19 -24 usando factorización de diferencia de cuadrados:
- \(r^2 − 100\)
- \(81 − h^2\)
- \(4t^2 − 1\)
- \(25 − n^4\)
- \(v^4 − 36\)
- \(16p^2 − 25q^2\)
Factor #25 -27 usando suma de cubos fórmula:
- \(c^3 + 125\)
- \(27 + 64n^3\)
- \(1 + a^6\)
Factor #28 -30 usando la diferencia de cubos fórmula:
- \(q^3 − 8\)
- \(125d^3 − 27\)
- \(64u^3 − v^3\)
Factor #31 -36 utilizando cualquier método apropiado. Factorizar completamente.
- \(30m^2 − 5m − 5\)
- \(2c^2 − 8\)
- \(h^4 − 81\)
- \(6p^3q + 6q\)
- \(15k^3 − 2k^2 − k\)
- \(a^2b^2 − a^2\)
- ¿Qué es un polinomio primo? Dar\(3\) ejemplos de trinomios primos.
- Dar un ejemplo de una suma de cuadrados. ¿Es factorizable? Explique.
- El número\(64\) es a la vez un cuadrado perfecto y un cubo. ¿Qué otros números son tanto un cuadrado como un cubo? ¿Crees que solo hay unos pocos o infinitamente muchos?