5.1: Simplificar expresiones racionales
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El conjunto de números racionales es el conjunto de todos los números de la forma\(\dfrac{p}{q}\) donde ambos\(p\) y\(q\) son enteros y\(q \neq 0\).
¡Los números como\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y por lo tanto no\(\dfrac{\pi}{4}\) son números racionales! Los numeradores, en ambos casos, no son enteros. Aunque\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y\(\dfrac{\pi}{4}\) son números irracionales debido a sus numeradores irracionales, comúnmente nos referimos a ellos como fracciones, aunque eso es un poco de una mesada. Pero vamos a estar de acuerdo\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y no\(\dfrac{\pi}{4}\) son números racionales!
Mientras que un número racional describe un tipo de número, una expresión racional describe un tipo de expresión algebraica.
Las expresiones racionales son proporciones de polinomios,\(p(x)\) y\(q(x)\):
\[\dfrac{p(x)}{q(x)}\]
donde no\(q(x)\) es cero en sí mismo.
\(\textcolor{green}{\checkmark}\;\; \text{Examples of rational expressions: } \dfrac{2x+1}{3x+4}, −\dfrac{1}{x^2+1}, \dfrac{2−x^2}{5x}, \text{ or } \dfrac{5x^9−3x^4+x}{2x^2−7x}.\)
\(\textcolor{red}{\times}\;\; \text{Examples of expressions that are not rational expressions: } \dfrac{6x^2}{0}, \dfrac{x^{\pi}}{3x}, \dfrac{\sqrt{2x+9}}{5x}, \text{ or } \dfrac{x^2+2}{2^x} \)
¿Cómo estas últimas\(4\) expresiones no logran ser expresiones racionales? ¡Quizás tengas que revisar la definición de un polinomio del Capítulo 2 para articular por qué no son expresiones racionales!
Cancelación de Cantidades
Las fracciones denotan división. \(\dfrac{5}{5} = 5 ÷ 5 = 1\). Álgebraicamente,\(\dfrac{a}{a} = a ÷ a = 1\) para todos\(a ≠ 0\). La cancelación dentro de fracciones utiliza esta propiedad. Aunque la palabra “cancelar” sugiere que el número o cantidad “desaparece”, ¡no es un acto mágico! Probablemente deberíamos decir “cancela a uno” en su lugar, para que no perdamos de vista el sentido matemático.
Simplificar\(\dfrac{3a^3b^2}{12a^2b^5}\)
Solución
Al simplificar expresiones racionales, busque grupos de variables o números que puedan cancelarse a uno. Los números\(3\) y\(12\) tienen un factor común. La variable\(a\) se multiplica repetitivamente para crear una potencia. La variable también\(b\) se multiplica repetitivamente para crear una potencia. Cancelar tantas veces como permita dentro de una expresión racional.
\(\begin{array} &&\dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{a^3}{a^2} \cdot \dfrac{b^2}{b^5} &\text{Separating into groups sets up for cancelling.} \\ &=\dfrac{3}{3 \cdot 4} \cdot \dfrac{\cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot a}{\cancel{a} \cdot \cancel{a}} \cdot \dfrac{\cancel{b} \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot b \cdot b} &\text{You could also use rules of exponents. See Chapter 1.} \\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{a}{1} \cdot \dfrac{1}{b \cdot b \cdot b} &\text{The cancelations are complete.} \\ &=\dfrac{a}{4b^3} &\text{Simplify powers.} \end{array}\)
La misma propiedad de división se aplica a las cantidades. Los paréntesis agrupan expresiones algebraicas, agrupándolas como una caja empaquetada. Los contenidos dentro de los paréntesis actúan como un único valor, al que se hace referencia como cantidad.
Simplificar\(\dfrac{10(2y−1)^2(y+6)}{6(2y−1)(y+6)}\)
Solución
Dado que las cantidades se comportan como valores únicos, el problema es lógicamente equivalente a:\(\dfrac{10A^2B}{6AB}\). Al reenfocar la lente, este problema es muy parecido al Ejemplo 5.1.1.
\(\begin{array} &&\dfrac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} \cdot \dfrac{\cancel{(2y−1)}(2y−1)}{\cancel{(2y−1)}} \cdot \dfrac{\cancel{y+6}}{\cancel{y+6}} &\text{Separating into groups sets up for cancelling.} \\ &=\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2y-1}{1} \cdot 1 &\text{The cancelations are complete.} \\ &=\dfrac{5(2y-1)}{3} &\text{Write as a single fraction. This answer is okay!} \\ &=\dfrac{10y-5}{3} &\text{When multiplication is simple to do, it is often performed.} \end{array}\)
La respuesta final simplificada se puede multiplicar, ¡o no! Si no es una multiplicación rápida, a menudo se prefiere que dejes la respuesta como poderes o forma factorizada.
Simplificar\(\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}\)
Solución
Las cancelaciones ocurren solo sobre cantidades factorizadas. El numerador y denominador dados no están en forma factorizada. Para revisión de factorización, consulte el capítulo 2.
\(\begin{array} &\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}&= \dfrac{(x+5) \cancel{(x-3)}}{(x-2) \cancel{(x-3)}} &\text{Factor the numerator and the denominator.} \\ &=\dfrac{(x+5)}{(x-2)} \cdot 1 &\text{The quantities \((x − 3)\)cancel a uno.}\\ &=\ dfrac {x+5} {x-2} &\ text {La expresión racional está totalmente simplificada.} \ end {array}\)
La barra de fracción horizontal agrupa el numerador y agrupa el denominador. Los paréntesis se vuelven redundantes. Por lo tanto, se prefiere eliminar los paréntesis.
Si bien\(\dfrac{ab}{cd} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d}\), la suma y la resta son más persnickety. Puedes cometer errores aplicando incorrectamente propiedades de cancelación a suma o resta. Como demuestra el Ejemplo 5.1.3, la cancelación se puede aplicar después de factorizar.
Simplificar\(\dfrac{2p+14}{p+7}\)
Solución
Tanto el numerador como el denominador son expresiones que implican suma. Si las cantidades son factorizables, entonces factorizamos para comparar cantidades. Cantidades idénticas pueden ser canceladas después de factorizar.
\(\begin{array} &&\dfrac{2p+14}{p+7} = \dfrac{2(p+7)}{p+7} &\text{Factor the numerator using GCF \(= 2\).}\\ &= 2\ cdot\ dfrac {p+7} {p+7} &\ text {Las cantidades se\((p + 7)\) cancelan.}\\ &= 2\ cdot 1 &\ text {El valor después de cancelar es\(1\).}\\ &= 2\ end {array}\)
Simplificar\(\dfrac{12}{6t−4}\)
Solución
El denominador es una expresión factorizable. El numerador es un número factorizable.
\(\begin{array} &&\dfrac{12}{6t−4} = \dfrac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot 3}{\cancel{2}(3t−2)} &\text{Factor numerator and denominator. Cancel the common factor.} \\ &= \dfrac{6}{3t−2} &\text{Simplify.} \end{array}\)
Es tentador inspeccionar los términos individuales de la cantidad\((3t − 2)\) para nuevas cancelaciones, pero debido a que los términos se restan, no se multiplican, no es posible cancelar.
¡Pruébalo! (Ejercicios)
Para #1 -6, use la definición de un número racional para determinar si el número es racional o irracional.
- \(\dfrac{5}{9}\)
- \(1\)
- \(−4\)
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\pi\)
- \(\dfrac{3 \pi}{4}\)
Para #7 -12, utilizar la definición de una expresión racional para determinar si la expresión es una expresión racional o algo más.
- \(\dfrac{1}{x}\)
- \(\dfrac{5^x}{x}\)
- \(\dfrac{3x^5}{2x+1}\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
- \(\dfrac{4(2x−5)^2}{(x−7)(x+5)}\)
- \(7x^{−3}\)
Para #13 -34, simplificar la expresión racional.
- \(\dfrac{15a^4b^2}{6a^5b}\)
- \(\dfrac{7p^6q}{35p^7q^2}\)
- \(\dfrac{16x^4y^5z^2}{6x^3y^6z^2}\)
- \(−\dfrac{ 30u^7v^3w^9}{u^8v^8w^8}\)
- \(\dfrac{4(t−2)(3t+7)^3}{10(t−2)^2(3t+7)}\)
- \(\dfrac{40(6u+1)^2(4u−1)^5}{8(4u−1)^3(6u−1)}\)
- \(−\dfrac{ 2(8a−b)^3(2a+1)^2}{12(8a−b)^3(2a+1)^3}\)
- \(\dfrac{x^2+x−20}{x^2−5x+4}\)
- \(\dfrac{3q−6}{q^2−4}\)
- \(\dfrac{y^2−11y+30}{y^2−25}\)
- \(\dfrac{3c^2−14c−5}{3c^2+c}\)
- \(\dfrac{a^2+12a+36}{a^2+3a−18}\)
- \(\dfrac{5r^2−12r+4}{r^2−4r+4}\)
- \(\dfrac{w^2−81}{2w^2+18w}\)
- \(\dfrac{20y^2−5}{10y^2+35y−20}\)
- \(\dfrac{m^3−27}{2m^2−7m+3}\)
- \(\dfrac{10b^3+10}{10b^2−10}\)
- \(\dfrac{3p^4−48}{6p^2−24}\)
- \(\dfrac{2x^2+7x+6 }{4x^2+3x−6}\)
- \(\dfrac{5d(d+1)^3}{5d^3−5d}\)
- \(\dfrac{7v^3−28v}{7v(v−2)^3}\)
- \(\dfrac{3x^5−6x^4−105x^3}{6x^2+30x}\)
Para #35 -36, simplificar el numerador y denominador, luego simplificar la expresión racional.
- \(\dfrac{(3x+4)−(2x−4)}{(x+10)+(x+6)}\)
- \(\dfrac{(4x^2+5x+1)−(3x^2+3x+4)}{(2x^2+x+8)−(x^2−6x−4)}\)