1.5: Aritmética de funciones

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En la sección anterior usamos la notación de función recién definida para dar sentido a expresiones como$\ \text{‘}f(x)+2\text{’}$ y$\ \text{‘}2f (x)\text{’}$ para una función dada$\ f$. Parecería natural, entonces, que las funciones tengan su propia aritmética que es consistente con la aritmética de los números reales. Las siguientes definiciones nos permiten sumar, restar, multiplicar y dividir funciones usando la aritmética que ya conocemos para números reales.

Aritmética de funciones

Supongamos$\ f$ y$\ g$ son funciones y$\ x$ está tanto en el dominio de$\ f$ como en el dominio de$\ g$. ^a

La suma de$\ f$ y$\ g$, denotada$\ f + g$, es la función definida por la fórmula
$\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)$
La diferencia de$\ f$ y$\ g$, denotada$\ f − g$, es la función definida por la fórmula
$\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)$
El producto de$\ f$ y$\ g$, denotado$\ fg$, es la función definida por la fórmula
$\ (f g)(x)=f(x) g(x)$
El cociente de$\ f$ y$\ g$, denotado$\ \frac{f}{g}$, es la función definida por la fórmula
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$

siempre$\ g(x) \neq 0$.

^a Así$\ x$ es un elemento de la intersección de los dos dominios.

Es decir, para sumar dos funciones, sumamos sus salidas; para restar dos funciones, restamos sus salidas, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que si bien la fórmula$\ (f + g)(x) = f(x) + g(x)$ se ve sospechosamente como algún tipo de propiedad distributiva, no es nada por el estilo; la adición en el lado izquierdo de la ecuación es la suma de función, y estamos usando esta ecuación para definir la salida de la nueva función$\ f + g$ como la suma del número real salidas de$\ f$ y$\ g$.

Ejemplo 1.5.1

Dejar$\ f(x)=6 x^{2}-2 x$ y$\ g(x)=3-\frac{1}{x}$.

Encuentra$\ (f+g)(-1)$
Encuentra$\ (f g)(2)$
Encuentra el dominio de$\ g − f$ luego encuentra y simplifica una fórmula para$\ (g − f)(x)$.
Encuentra el dominio de$\ \left(\frac{g}{f}\right)$ luego encuentra y simplifica una fórmula para$\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)$.

Solución

Para encontrar primero$\ (f+g)(-1)$ encontramos$\ f(−1) = 8$ y$\ g(−1) = 4$. Por definición, tenemos eso$\ (f + g)(−1) = f(−1) + g(−1) = 8 + 4 = 12$.
Para encontrar$\ (fg)(2)$, primero necesitamos$\ f(2)$ y$\ g(2)$. Desde$\ f(2) = 20$ y$\ g(2)=\frac{5}{2}$, nuestra fórmula rinde$\ (f g)(2)=f(2) g(2)=(20)\left(\frac{5}{2}\right)=50$.
Un método para encontrar el dominio de$\ g−f$ es encontrar el dominio de$\ g$ y de$\ f$ por separado, luego encontrar la intersección de estos dos conjuntos. Debido al denominador en la expresión$\ g(x)=3-\frac{1}{x}$, obtenemos que el dominio de$\ g$ es$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$. Ya que$\ f(x)=6 x^{2}-2 x$ es válido para todos los números reales, no tenemos más restricciones. Así el dominio de$\ g − f$ coincide con el dominio de$\ g$, es decir,$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$.
Un segundo método es analizar la fórmula para$\ (g − f)(x)$ antes de simplificar y buscar los temas de dominio habituales. En este caso

$\ (g-f)(x)=g(x)-f(x)=\left(3-\frac{1}{x}\right)-\left(6 x^{2}-2 x\right),$

por lo que encontramos, como antes, el dominio$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$.

Avanzando, necesitamos simplificar una fórmula para$\ (g − f)(x)$. En este caso, obtenemos denominadores comunes e intentamos reducir la fracción resultante. Al hacerlo, obtenemos

\ (\\ comenzar {alineado}
(g-f) (x) &=g (x) -f (x)\\
&=\ izquierda (3-\ frac {1} {x}\ derecha) -\ izquierda (6 x^ {2} -2 x\ derecha)\\
&=3-\ frac {1} {x} -6 x^ {2} +2 x\\
&=\ frac {3 x} {x} -\ frac {1} {x} -\ frac {6 x^ {3}} {x} +\ frac {2 x^ {2}} {x}\ cuádruple\ cuádruple\ texto { obtener denominadores comunes}\\
&=\ frac {3 x-1-6 x^ {3} -2 x^ {2}} {x}\\
&=\ frac {-6 x^ {3} -2 x^ {2} +3 x-1} {x}
\ end {alineado}\)
Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos dos formas de acercarnos a encontrar el dominio$\ \frac{g}{f}$. Primero, podemos encontrar el dominio de$\ g$ y$\ f$ por separado, y encontrar la intersección de estos dos conjuntos. Además, ya que$\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$, estamos introduciendo un nuevo denominador, es decir$\ f(x)$, por lo que tenemos que protegernos de que este sea 0 también. Nuestro trabajo anterior nos dice que el dominio de$\ g$ es$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$ y el dominio de$\ f$ es$\ (-\infty, \infty)$. Ajuste$\ f(x) = 0$ da$\ 6 x^{2}-2 x=0$ o$\ x=0, \frac{1}{3}$. Como resultado, el dominio de$\ \frac{g}{f}$ es todos los números reales excepto$\ x = 0$ y$\ x=\frac{1}{3}$, o$\ (-\infty, 0) \cup\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3}, \infty\right)$.
Alternativamente, podemos proceder como antes y analizar la expresión$\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$ antes de simplificar. En este caso,

$\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{3-\frac{1}{x}}{6 x^{2}-2 x}$

Vemos inmediatamente desde el 'pequeño' denominador que$\ x \neq 0$. Para mantener el 'gran' denominador alejado de 0, resolvemos$\ 6 x^{2}-2 x=0$ y obtenemos$\ x=0$ o$\ x=\frac{1}{3}$. De ahí que, como antes, encontremos el dominio del$\ \frac{g}{f}$ ser$\ (-\infty, 0) \cup\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3}, \infty\right)$.

A continuación, encontramos y simplificamos una fórmula para$\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)$.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ izquierda (\ frac {g} {f}\ derecha) (x) &=\ frac {g (x)} {f (x)}\\
&=\ frac {3-\ frac {1} {x}} {6 x^ {2} -2 x}\
&=\ frac {3-\ frac {1} {x}} 6 x^ {2} -2 x}\ cdot\ frac {x} {x} &\ quad\ texto {simplificar fracciones compuestas}\\
&=\ frac {\ izquierda (3-\ frac {1} {x}\ derecha) x} {\ izquierda (6 x^ {2} -2 x\ derecha) x}\\
&=\ frac {3 x-1} {\ izquierda (6 x^ {2} -2 x\ derecha) x}\\
&=\ frac {3 x-1} {2 x^ {2} (3 x-1)} &\\ text {factor}\\
&=\ frac {\ cancelto {~} {(3 x-1) ^1}} {\ cancel {2 x^ {2} (3 x-1)}} &\ quad\ texto { cancelar}\\
&=\ frac {1} {2 x^ {2}}\\
\ final {alineado}\)

Tenga en cuenta la importancia de encontrar el dominio de una función antes de simplificar su expresión. En el número 4 del Ejemplo 1.5.1 anterior, si hubiéramos esperado encontrar el dominio de$\ \frac{g}{f}$ hasta después de simplificar, solo tendríamos la fórmula$\ \frac{1}{2 x^{2}}$ para pasar, y lo haríamos (¡incorrectamente!) declarar el dominio como$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$, ya que el otro número problemático,$\ x=\frac{1}{3}$, fue cancelado de distancia. ¹

A continuación, volvemos nuestra atención hacia el cociente diferencial de una función.

Definición 1.8

Dada una función$\ f$, el cociente de diferencia de$\ f$ es la expresión

$\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Revisaremos este concepto en la Sección 2.1, pero por ahora, lo usamos como una forma de practicar la notación de funciones y la aritmética de funciones. Por razones que quedarán claras en Cálculo, 'simplificar' un cociente de diferencia significa reescribirlo en una forma donde el$\ \text{‘}h^\text{’}$ en la definición del cociente de diferencia se cancela del denominador. Una vez que eso suceda, consideramos que nuestro trabajo está hecho.

Ejemplo 1.5.2

Encuentre y simplifique los cocientes de diferencia para las siguientes funciones

$\ f(x)=x^{2}-x-2$
$\ g(x)=\frac{3}{2 x+1}$
$\ r(x)=\sqrt{x}$

Solución

Para encontrar$\ f(x+h)$, reemplazamos cada ocurrencia de$\ x$ en la fórmula$\ f(x)=x^{2}-x-2$ con la cantidad$\ (x + h)$ a obtener
\ (\\ begin {alineado}
f (x+h) & =( x+h) ^ {2} - (x+h) -2\\
&=x^ {2} +2 x h+h^ {2} -x-h-2.
\ end {alineado}\)

Entonces el cociente de diferencia es

\ (\\ begin {array} {rlr}
\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} & =\ frac {\ izquierda (x^ {2} +2 x h+h^ {2} -x-h-2\ derecha) -\ izquierda (x^ {2} -x-2\ derecha)} {h} &\\
& =\ frac {x^ {2} +2 x h+h^ {2} -x-h-2-x^ {2} +x+2} {h} &\\
& =\ frac {2 x h+h^ {2} -h} {h}\\
& =\ frac { h (2 x+h-1)} {h} &\ texto {factor}\\
& =\ frac {\ cancel {h} (2 x+h-1)} {\ cancel {h}} &\ text {cancelar}\\
& =2 x+h-1. &
\ end {matriz}\)
Para encontrar$\ g(x + h)$, reemplazamos cada ocurrencia de$\ x$ en la fórmula$\ g(x)=\frac{3}{2 x+1}$ con la cantidad$\ (x + h)$ a obtener
\ (\\ comenzar {alineado}
g (x+h) &=\ frac {3} {2 (x+h) +1}\\
&=\ frac {3} {2 x+2 h+1},
\ end {alineado}\)

que rinde

\ (\\ comenzar {alineado}
\ frac {g (x+h) -g (x)} {h} &=\ frac {\ frac {3} {2 x+2 h+1} -\ frac {3} {2 x+1}} {h}\\
&=\ frac {\ frac {3} {2 x+2 h+1} -\ frac {3} {2 x+1}}} {h}\ cdot\ frac {(2 x+2 h+1) (2 x+1)} {(2 x+2 h+1) (2 x+1)}\\
&=\ frac {3 (2 x+1) -3 (2 x+2 h+1)} {h (2 x+2 h+1)} {h (2 x+2 h+1) (2 x+1) )}\\
&=\ frac {6 x+3-6 x-6 h-3} {h (2 x+2 h+1) (2 x+1)}\\
&=\ frac {-6 h} {h (2 x+2 h+1) (2 x+1)}\\
&=\ frac {-6\ cancel {h}} {\ cancel {h} (2 x+2 h+1) (2 x+1)}\\
&=\ frac {-6} {(2 x+2 h+1) (2 x+1)}
\ final {alineado}\)

Ya que hemos logrado cancelar el original$\ \text{‘}h\text{’}$ del denominador, ya terminamos.
Porque$\ r(x)=\sqrt{x}$, obtenemos$\ r(x+h)=\sqrt{x+h}$ así que el cociente de diferencia es
$\ \frac{r(x+h)-r(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

Para cancelar el$\ \text{‘}h\text{’}$ desde el denominador, racionalizamos el numerador multiplicando por su conjugado. ²

\ (\\ comenzar {alineado}
\ frac {r (x+h) -r (x)} {h} &=\ frac {\ sqrt {x+h} -\ sqrt {x}} {h}\\
&=\ frac {(\ sqrt {x+h} -\ sqrt {x})} {h}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x})} {h}\ cdot\ frac {(\ sqrt {xrt {+h} +\ sqrt {x})} {(\ sqrt {x+h} +\ sqrt {x})}\ quad &\ text {Multiplicar por el conjugado.}\\
&=\ frac {(\ sqrt {x+h}) ^ {2} - (\ sqrt {x}) ^ {2}} {h (\ sqrt {x+h} +\ sqrt {x})}\ quad &\ text {Diferencia de Cuadrados.}\\
&=\ frac {(x+h) -x} {h (\ sqrt {x+h} +\ sqrt {x})}\\
&=\ frac {\ cancelto {~} h^1} {\ cancel {h} (\ sqrt {x+h} +\ sqrt {x})}\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {x+h} +\ sqrt {x}}
\ fin {alineado}\)

Como hemos eliminado el original$\ \text{‘}h\text{’}$ del denominador, tenemos un

hecho. Como se mencionó anteriormente, revisaremos los cocientes de diferencia en la Sección 2.1 donde los explicaremos geométricamente. Por ahora, queremos pasar a algunas aplicaciones clásicas de la aritmética de funciones desde Economía y para ello, necesitamos pensar como un emprendedor. ³

neur.3 Supongamos que eres un fabricante que fabrica un determinado producto. ⁴ Dejar$\ x$ ser el nivel de producción, es decir, el número de artículos producidos en un periodo de tiempo determinado. Es costumbre dejar$\ C(x)$ denotar la función que calcula el costo total de producción de los$\ x$ artículos. La cantidad$\ C(0)$, que representa el costo de no producir artículos, se denomina costo fijo, y representa la cantidad de dinero requerida para comenzar la producción. Asociado al costo total$\ C(x)$ está el costo por artículo, o costo promedio, denotado$\ \overline{C}(x)$ y leído$\ \text {‘C-bar’}$$\ x$. Para calcular$\ \overline{C}(x)$, tomamos el costo total$\ C(x)$ y dividimos por el número de artículos producidos$\ x$ para obtener

$\ \overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}$

En el lado minorista, tenemos el precio$\ p$ cobrado por artículo. Para simplificar el diálogo y los cálculos en este texto, asumimos que el número de artículos vendidos es igual al número de artículos producidos. Desde una perspectiva minorista, parece natural pensar en el número de artículos vendidos,$\ x$, en función del precio cobrado,$\ p$. Después de todo, el minorista puede ajustar fácilmente el precio para vender más producto. En el lenguaje de funciones,$\ x$ sería la variable dependiente y$\ p$ sería la variable independiente o, usando notación de función, tenemos una función$\ x(p)$. Si bien adoptaremos esta convención más adelante en el texto, ⁵ sostendremos con tradición en este punto y consideraremos el precio$\ p$ en función del número de artículos vendidos,$\ x$. Es decir, vemos$\ x$ como la variable independiente y$\ p$ como la variable dependiente y hablamos de la función precio-demanda,$\ p(x)$. De ahí,$\ p(x)$ devuelve el precio cobrado por artículo cuando$\ x$ los artículos son producidos y vendidos. Nuestra siguiente función a considerar es la función de ingresos,$\ R(x)$. La función$\ R(x)$ calcula la cantidad de dinero recaudado como resultado de la venta de$\ x$ artículos. Ya que p (x) es el precio cobrado por artículo, tenemos$\ R(x) = xp(x)$. Por último, la función de ganancia,$\ P(x)$ calcula cuánto dinero se gana después de pagar los costos. Es decir,$\ P(x) = (R − C)(x) = R(x) − C(x)$. Resumimos todas estas funciones a continuación.

Resumen de Funciones Económicas Comunes

Supongamos que$\ x$ representa la cantidad de artículos producidos y vendidos.

La función precio-demanda$\ p(x)$ calcula el precio por artículo.
La función de ingresos$\ R(x)$ calcula el dinero total recaudado por la venta de$\ x$ artículos a un precio$\ p(x)$,$\ R(x) = x p(x)$.
La función de costo$\ C(x)$ calcula el costo para producir$\ x$ artículos. El valor$\ C(0)$ se llama costo fijo o costo inicial.
La función de costo promedio$\ \overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}$ calcula el costo por artículo al realizar$\ x$ artículos. Aquí, necesariamente asumimos$\ x > 0$.
La función de ganancia$\ P(x)$ calcula el dinero ganado después de que se pagan los costos cuando se producen y venden$\ x$ artículos,$\ P(x) = (R − C)(x) = R(x) − C(x)$.

Ya es hora de que se dé un ejemplo.

Ejemplo 1.5.3

Let$\ x$ representar el número de reproductores multimedia DoPi ('DoPis' ⁶) producidos y vendidos en una semana típica. Supongamos que el costo, en dólares, para producir$\ x$ DOPI viene dado por$\ C(x) = 100x+ 2000$$\ x ≥ 0$, para, y el precio, en dólares por DOPi, viene dado por$\ p(x) = 450 − 15x for 0 ≤ x ≤ 30$.

Encontrar e interpretar$\ C(0)$.
Encontrar e interpretar$\ \overline{C}(10)$.
Encontrar e interpretar$\ p(0)$ y$\ p(20)$.
Resolver$\ p(x) = 0$ e interpretar el resultado.
Encuentre y simplifique expresiones para la función de ingresos$\ R(x)$ y la función de ganancias$\ P(x)$.
Encontrar e interpretar$\ R(0)$ y$\ P(0)$.
Resolver$\ P(x) = 0$ e interpretar el resultado.

Solución

Sustituimos$\ x = 0$ en la fórmula para$\ C(x)$ y obtenemos$\ C(0) = 100(0) + 2000 = 2000$. Esto significa producir 0 DOPIs, cuesta $2000. Es decir, los costos fijos (o de puesta en marcha) son de 2000 dólares. Se anima al lector a contemplar qué tipo de gastos podrían ser estos.
Ya que$\ \overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}, \overline{C}(10)=\frac{C(10)}{10}=\frac{3000}{10}=300$. Esto significa que cuando se producen 10 DOPI, el costo para fabricarlos asciende a $300 por DOPI.
Conectarse$\ x = 0$ a la expresión para$\ p(x)$ da$\ p(0) = 450 − 15(0) = 450$. Esto significa que no se venden DOPI si el precio es de $450 por DOPi. Por otro lado,$\ p(20) = 450 − 15(20) = 150$ lo que significa vender 20 DOPI en una semana típica, el precio debería fijarse en $150 por DOPI.
Ajuste$\ p(x) = 0$ da$\ 450 − 15x = 0$. Resolver da$\ x = 30$. Esto significa que para poder vender 30 DOPI en una semana típica, el precio debe establecerse en $0. Además, esto significa que incluso si los DOPI se regalaran de forma gratuita, el minorista solo podría mover 30 de ellos. ⁷
Para encontrar los ingresos, calculamos$\ R(x)=x p(x)=x(450-15 x)=450 x-15 x^{2}$. Dado que la fórmula para$\ p(x)$ es válida solo para$\ 0 ≤ x ≤ 30$, nuestra fórmula también$\ R(x)$ está restringida a$\ 0 ≤ x ≤ 30$. Dado que la fórmula para$\ p(x)$ es válida solo para$\ 0 ≤ x ≤ 30$, nuestra fórmula también$\ R(x)$ está restringida a$\ 0 ≤ x ≤ 30$. Usando la fórmula dada para$\ C(x)$ y la fórmula derivada para$\ R(x)$, obtenemos$\ P(x)=\left(450 x-15 x^{2}\right)-(100 x+2000)=-15 x^{2}+350 x-2000$. Como antes, la validez de esta fórmula es por$\ 0 ≤ x ≤ 30$ sólo.
Encontramos$\ R(0) = 0$ lo que significa que si no se venden DOPI, no tenemos ingresos, lo cual tiene sentido. Volviendo a la ganancia,$\ P(0) = −2000 since P(x) = R(x)−C(x) and P(0) = R(0)−C(0) = −2000$. Esto significa que si no se venden DOPI, más dinero (¡$2000 para ser exactos!) se puso en la producción de los DOPI que se recuperó en ventas. En el número 1, encontramos que los costos fijos son de 2000 dólares, por lo que tiene sentido que si no vendemos DOPI, estemos fuera de esos costos iniciales.
Ajuste$\ P(x) = 0$ dar$\ -15 x^{2}+350 x-2000=0$. Factoring dar$\ -5(x-10)(3 x-40)=0$ así$\ x = 10$ o$\ x=\frac{40}{3}$. ¿Qué significan estos valores en el contexto del problema? Ya que$\ P(x) = R(x) − C(x)$, resolver$\ P(x) = 0$ es lo mismo que resolver$\ R(x) = C(x)$. Esto significa que las soluciones a$\ P(x) = 0$ son las cifras de producción (y ventas) para las cuales los ingresos por ventas equilibra exactamente los costos totales de producción. Estos son los llamados puntos de 'break even'. La solución$\ x = 10$ significa que se deben producir (y vender) 10 DOPI durante la semana para recuperar el costo de producción. Porque$\ x=\frac{40}{3}=13 . \overline{3}$, las cosas son un poco más complicadas. A pesar de$\ x=13 . \overline{3}$ que satisface$\ 0 ≤ x ≤ 30$, y por lo tanto está en el dominio de$\ P$, no tiene sentido en el contexto de este problema producir una parte fraccionaria de un DoPi. ⁸ Evaluando$\ P(13) = 15$ y$\ P(14) = −40$, vemos que producir y vender 13 DOPI por semana genera una (leve) ganancia, mientras que producir solo uno más nos vuelve a poner en rojo. Si bien romper el par es agradable, en última instancia nos gustaría encontrar qué nivel de producción (y precio) dará como resultado la mayor ganancia, y vamos a hacer precisamente eso... en la Sección 2.3.

1.5.1 Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 10, usa el par de funciones$\ f$ y$\ g$ para encontrar los siguientes valores si existen.

$\ (f + g)(2)$
$\ (f − g)(−1) $
$\ (g − f)(1)$
$\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)$

$\ f(x) = 3x + 1$y$\ g(x) = 4 − x$
$\ f(x)=x^{2}$y$\ g(x) = −2x + 1$
$\ f(x)=x^{2}-x$y$\ g(x)=12-x^{2}$
$\ f(x)=2 x^{3}$y$\ g(x)=-x^{2}-2 x-3$
$\ f(x)=\sqrt{x+3}$y$\ g(x) = 2x − 1$
$\ f(x)=\sqrt{4-x}$y$\ g(x)=\sqrt{x+2}$
$\ f(x)=2 x$y$\ g(x)=\frac{1}{2 x+1}$
$\ f(x)=x^{2}$y$\ g(x)=\frac{3}{2 x-3}$
$\ f(x)=x^{2}$y$\ g(x)=\frac{1}{x^{2}}$
$\ f(x)=x^{2}+1$y$\ g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$

En los Ejercicios 11 - 20, usa el par de funciones$\ f$ y$\ g$ para encontrar el dominio de la función indicada luego encuentra y simplifica una expresión para ella.

$\ (f + g)(x)$
$\ (f − g)(x)$
$\ (fg)(x)$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)$

$\ f(x) = 2x + 1$y$\ g(x) = x − 2$
$\ f(x) = 1 − 4x$y$\ g(x) = 2x − 1$
$\ f(x)=x^{2}$y$\ g(x) = 3x − 1$
$\ f(x)=x^{2}-x$y$\ g(x) = 7x$
$\ f(x)=x^{2}-4$y$\ g(x) = 3x + 6$
$\ f(x)=-x^{2}+x+6$y$\ g(x)=x^{2}-9$
$\ f(x)=\frac{x}{2}$y$\ g(x)=\frac{2}{x}$
$\ f(x) = x − 1$y$\ g(x)=\frac{1}{x-1}$
$\ f(x) = x$y$\ g(x)=\sqrt{x+1}$
$\ f(x)=\sqrt{x-5}$y$\ g(x)=f(x)=\sqrt{x-5}$

En los Ejercicios 21 - 45, encuentra y simplifica el cociente de diferencia$\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para la función dada.

$\ f(x) = 2x − 5$
$\ f(x) = −3x + 5$
$\ f(x) = 6$
$\ f(x)=3 x^{2}-x$
$\ f(x)=-x^{2}+2 x-1$
$\ f(x)=4 x^{2}$
$\ f(x)=x-x^{2}$
$\ f(x)=x^{3}+1$
$\ f(x) = mx + b$donde$\ m \neq 0$
$\ f(x)=a x^{2}+b x+c$donde$\ a \neq 0$
$\ f(x)=\frac{2}{x}$
$\ f(x)=\frac{3}{1-x}$
$\ f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
$\ f(x)=\frac{2}{x+5}$
$\ f(x)=\frac{1}{4 x-3}$
$\ f(x)=\frac{3 x}{x+1}$
$\ f(x)=\frac{x}{x-9}$
$\ f(x)=\frac{x^{2}}{2 x+1}$
$\ f(x)=\sqrt{x-9}$
$\ f(x)=\sqrt{2 x+1}$
$\ f(x)=\sqrt{-4 x+5}$
$\ f(x)=\sqrt{4-x}$
$\ f(x)=\sqrt{a x+b}$, donde$\ a \neq 0$.
$\ f(x)=x \sqrt{x}$
$\ f(x)=\sqrt[3]{x}$. SUMINACIÓN:$\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}$

En los Ejercicios 46 - 50,$\ C(x)$ denota el costo para producir$\ x$ artículos y$\ p(x)$ denota la función precio-demanda en el escenario económico dado. En cada Ejercicio, haz lo siguiente

Encontrar e interpretar$\ C(0)$.
Encontrar e interpretar$\ \overline{C}(10)$.
Encontrar e interpretar$\ p(5)$.
Encuentre y simplifique$\ R(x)$.
Encuentre y simplifique$\ P(x)$.
Resolver$\ P(x) = 0$ e interpretar.

El costo, en dólares, de producir camisetas$\ x$ “Prefiero ser un Sasquatch” es$\ C(x) = 2x + 26$,$\ x ≥ 0$ y la función precio-demanda, en dólares por camisa, es$\ p(x) = 30 − 2x$,$\ 0 ≤ x ≤ 15$.
El costo, en dólares, para producir$\ x$ botellas de 100% All-Natural Certified Free-Trade Organic Sasquatch Tonic es$\ C(x) = 10x + 100$,$\ x ≥ 0$ y la función precio-demanda, en dólares por botella, lo es$\ p(x) = 35 − x, 0 ≤ x ≤ 35$.
El costo, en centavos, para producir x tazas de Mountain Thunder Lemonade en el Puesto de Limonada Junior es$\ C(x) = 18x + 240$,$\ x ≥ 0$ y la función precio-demanda, en centavos por taza, lo es$\ p(x) = 90 − 3x, 0 ≤ x ≤ 30$.
El costo diario, en dólares, para producir$\ x$ Sasquatch Berry Pies$\ C(x) = 3x + 36$,$\ x ≥ 0$ y la función precio-demanda, en dólares por pastel, es$\ p(x) = 12 − 0.5x$,$\ 0 ≤ x ≤ 24$.
El costo mensual, en cientos de dólares, para producir x scooters eléctricos a medida es$\ C(x) = 20x + 1000$,$\ x ≥ 0$ y la función precio-demanda, en cientos de dólares por scooter, es$\ p(x) = 140 − 2x$,$\ 0 ≤ x ≤ 70$.

En los Ejercicios 51 - 62, deja que f sea la función definida por

$\ f=\{(-3,4),(-2,2),(-1,0),(0,1),(1,3),(2,4),(3,-1)\}$

y dejar que$\ g$ se defina la función

$\ g=\{(-3,-2),(-2,0),(-1,-4),(0,0),(1,-3),(2,1),(3,2)\}$

Calcular el valor indicado si existe.

$\ (f + g)(−3)$
$\ (f − g)(2)$
$\ (fg)(−1)$
$\ (g + f)(1)$
$\ (g − f)(3)$
$\ (gf)(−3)$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(-2)$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(-1)$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(2)$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(-1)$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(3)$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(-3)$

1.5.2 Respuestas

Para$\ f(x) = 3x + 1$ y$\ g(x) = 4 − x$
- $\ (f + g)(2) = 9$
- $\ (f − g)(−1) = −7$
- $\ (g − f)(1) = −1$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{35}{4}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{4}$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=-\frac{6}{5}$
Para$\ f(x)=x^{2}$ y$\ g(x)=-2 x+1$
- $\ (f + g)(2) = 1$
- $\ (f − g)(−1) = − 2$
- $\ (g − f)(1) = − 2$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=0$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=0$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{5}{4}$
Para$\ f(x)=x^{2}-x$ y$\ g(x)=12-x^{2}$
- $\ (f + g)(2) = 10$
- $\ (f − g)(−1) = − 9$
- $\ (g − f)(1) = 11$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{47}{16}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=0$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{4}{3}$
Para$\ f(x)=2 x^{3}$ y$\ g(x)=-x^{2}-2 x-3$
- $\ (f + g)(2) = 5$
- $\ (f − g)(−1) = 0$
- $\ (g − f)(1) = − 8$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{16}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=0$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{3}{16}$
Para$\ f(x)=\sqrt{x+3}$ y$\ g(x) = 2x - 1$
- $\ (f+g)(2)=3+\sqrt{5}$
- $\ (f-g)(-1)=3+\sqrt{2}$
- $\ (g − f)(1) = -1$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=0$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=-\sqrt{3}$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=-5$
Para$\ f(x)=\sqrt{4-x}$ y$\ g(x)=\sqrt{x+2}$
- $\ (f+g)(2)=2+\sqrt{2}$
- $\ (f-g)(-1)=-1+\sqrt{5}$
- $\ (g − f)(1) = 0$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{35}}{2}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=\sqrt{2}$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=0$
Para$\ f(x) = 2x$ y$\ g(x)=\frac{1}{2 x+1}$
- $\ (f+g)(2)=\frac{21}{5}$
- $\ (f − g)(−1) = −1$
- $\ (g-f)(1)=-\frac{5}{3}$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=0$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{1}{12}$
Para$\ f(x)=x^{2}$ y$\ g(x)=\frac{3}{2 x-3}$
- $\ (f + g)(2) = 7$
- $\ (f-g)(-1)=\frac{8}{5}$
- $\ (g − f)(1) = −4$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{8}$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=0$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=-\frac{3}{28}$
Para$\ f(x)=x^{2}$ y$\ g(x)=\frac{1}{x^{2}}$
- $\ (f+g)(2)=\frac{17}{4}$
- $\ (f − g)(−1) = 0$
- $\ (g − f)(1) = 0$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=1$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)$está indefinido.
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{1}{16}$
Para$\ f(x)=x^{2}+1$ y$\ g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$
- $\ (f+g)(2)=\frac{26}{5}$
- $\ (f-g)(-1)=\frac{3}{2}$
- $\ (g-f)(1)=-\frac{3}{2}$
- $\ (f g)\left(\frac{1}{2}\right)=1$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(0)=1$
- $\ \left(\frac{g}{f}\right)(-2)=\frac{1}{25}$
Para$\ f(x) = 2x + 1$ y$\ g(x) = x - 2$
- $\ (f + g)(x) = 3x - 1$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- ·$\ (f − g)(x) = x + 3$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=2 x^{2}-3 x-2$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{2 x+1}{x-2}$
  Dominio:$\ (-\infty, 2) \cup(2, \infty)$
Para$\ f(x) = 1 − 4x$ y$\ g(x) = 2x - 1$
- · (f + g) (x) = -2x
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- ·$\ (f − g)(x) = 2 - 6x$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=-8 x^{2}+6 x-1$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{1-4 x}{2 x-1}$
  Dominio:$\ \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, \infty\right)$
Para$\ f(x)=x^{2}$ y$\ g(x) = 3x − 1$
- $\ (f+g)(x)=x^{2}+3 x-1$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=x^{2}-3 x+1$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=3 x^{3}-x^{2}$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^{2}}{3 x-1}$
  Dominio:$\ \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3}, \infty\right)$
Para$\ f(x)=x^{2}-x$ y$\ g(x) = 7x$
- $\ (f+g)(x)=x^{2}+6 x$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=x^{2}-8 x$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=7 x^{3}-7 x^{2}$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x-1}{7}$
  Dominio:$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
Para$\ f(x)=x^{2}-4$ y$\ g(x) = 3x + 6$
- $\ (f+g)(x)=x^{2}+3 x+2$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=x^{2}-3 x-10$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=3 x^{3}+6 x^{2}-12 x-24$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x-2}{3}$
  Dominio:$\ (-\infty,-2) \cup(-2, \infty)$
Para$\ f(x)=-x^{2}+x+6$ y$\ g(x)=x^{2}-9$
- ·$\ (f + g)(x) = x − 3$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=-2 x^{2}+x+15$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ (f g)(x)=-x^{4}+x^{3}+15 x^{2}-9 x-54$
  Dominio:$\ (-\infty, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=-\frac{x+2}{x+3}$
  Dominio:$\ (-\infty,-3) \cup(-3,3) \cup(3, \infty)$
Para$\ f(x)=\frac{x}{2}$ y$\ g(x)=\frac{2}{x}$
- $\ (f+g)(x)=\frac{x^{2}+4}{2 x}$
  Dominio:$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=\frac{x^{2}-4}{2 x}$
  Dominio:$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
- ·$\ (fg)(x) = 1$
  Dominio:$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^{2}}{4}$
  Dominio:$\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
Para$\ f(x) = x − 1$ y$\ g(x)=\frac{1}{x-1}$
- $\ (f+g)(x)=\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}$
  Dominio:$\ (-\infty, 1) \cup(1, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=\frac{x^{2}-2 x}{x-1}$
  Dominio:$\ (-\infty, 1) \cup(1, \infty)$
- $\ (fg)(x) = 1$
  Dominio:$\ (-\infty, 1) \cup(1, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=x^{2}-2 x+1$
  Dominio:$\ (-\infty, 1) \cup(1, \infty)$
Para$\ f(x) = x$ y$\ g(x)=\sqrt{x+1}$
- $\ (f+g)(x)=x+\sqrt{x+1}$
  Dominio:$\ [-1, \infty)$
- $\ (f-g)(x)=x-\sqrt{x+1}$
  Dominio:$\ [-1, \infty)$
- $\ (f g)(x)=x \sqrt{x+1}$
  Dominio:$\ [-1, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$
  Dominio:$\ (-1, \infty)$
Para$\ f(x)=\sqrt{x-5}$ y$\ g(x)=f(x)=\sqrt{x-5}$
- $\ (f+g)(x)=2 \sqrt{x-5}$
  Dominio:$\ [5, \infty)$
- (f − g) (x) = 0
  Dominio:$\ [5, \infty)$
- $\ (fg)(x) = x − 5$
  Dominio:$\ [5, \infty)$
- $\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=1$
  Dominio:$\ (5, \infty)$
2
-3
0
$\ 6x + 3h − 1$
$\ −2x − h + 2$
$\ 8x + 4h$
$\ −2x − h + 1$
$\ 3 x^{2}+3 x h+h^{2}$
$\ m$
$\ 2ax + ah + b$
$\ \frac{-2}{x(x+h)}$
$\ \frac{3}{(1-x-h)(1-x)}$
$\ \frac{-(2 x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}$
$\ \frac{-2}{(x+5)(x+h+5)}$
$\ \frac{-4}{(4 x-3)(4 x+4 h-3)}$
$\ \frac{3}{(x+1)(x+h+1)}$
$\ \frac{-9}{(x-9)(x+h-9)}$
$\ \frac{2 x^{2}+2 x h+2 x+h}{(2 x+1)(2 x+2 h+1)}$
$\ \frac{1}{\sqrt{x+h-9}+\sqrt{x-9}}$
$\ \frac{2}{\sqrt{2 x+2 h+1}+\sqrt{2 x+1}}$
$\ \frac{-4}{\sqrt{-4 x-4 h+5}+\sqrt{-4 x+5}}$
$\ \frac{-1}{\sqrt{4-x-h}+\sqrt{4-x}}$
$\ \frac{a}{\sqrt{a x+a h+b}+\sqrt{a x+b}}$
$\ \frac{3 x^{2}+3 x h+h^{2}}{(x+h)^{3 / 2}+x^{3 / 2}}$
$\ \frac{1}{(x+h)^{2 / 3}+(x+h)^{1 / 3} x^{1 / 3}+x^{2 / 3}}$
- $\ C(0)=26$, por lo que los costos fijos son de 26 dólares.
- $\ \overline{C}(10)=4.6$, por lo que cuando se producen 10 camisas, el costo por camisa es de $4.60.
- $\ p(5) = 20$, así que para vender 5 playeras, fija el precio en $20 por camisa.
- $\ R(x)=-2 x^{2}+30 x$,$\ 0 ≤ x ≤ 15$
- $\ P(x)=-2 x^{2}+28 x-26$,$\ 0 ≤ x ≤ 15$
- $\ P(x) = 0$cuándo$\ x = 1$ y$\ x = 13$. Estos son los puntos de 'break even', por lo que vender 1 playera o 13 playeras garantizará que los ingresos obtenidos recuperen exactamente el costo de producción.
- $\ C(0)=100$, por lo que los costos fijos son de $100.
- $\ \overline{C}(10)=20$, por lo que cuando se producen 10 botellas de tónico, el costo por botella es de $20.
- $\ p(5) = 30$, así que para vender 5 botellas de tónico, fija el precio en $30 por botella.
- $\ R(x)=-x^{2}+35 x, 0 \leq x \leq 35$
- $\ P(x)=-x^{2}+25 x-100,0 \leq x \leq 35$
- $\ P(x)=0$, cuándo$\ x = 5$ y$\ x = 20$. Estos son los puntos de 'break even', por lo que vender 5 botellas de tónico o 20 botellas de tónico garantizará que los ingresos obtenidos recuperen exactamente el costo de producción.
- $\ C(0)=240$, por lo que los costos fijos son 240¢ o $2.40.
- $\ \overline{C}(10)=42$, por lo que cuando se hacen 10 tazas de limonada, el costo por taza es de 42¢.
- $\ p(5) = 75$, así que para vender 5 tazas de limonada, establece el precio en 75¢ por taza.
- $\ R(x)=-3 x^{2}+90 x, 0 \leq x \leq 30$
- $\ P(x)=-3 x^{2}+72 x-240,0 \leq x \leq 30$
- $\ P(x) = 0$cuándo$\ x = 4$ y$\ x = 20$. Estos son los puntos de 'break even', por lo que vender 4 tazas de limonada o 20 tazas de limonada garantizará que los ingresos obtenidos recuperen exactamente el costo de producción.
- $\ C(0) = 36$, por lo que los costos fijos diarios son de 36 dólares.
- $\ \overline{C}(10)=6.6$, por lo que cuando se hacen 10 tartas, el costo por pastel es de $6.60.
- $\ p(5) = 9.5$, así que para vender 5 tartas al día, establece el precio en $9.50 por pastel.
- $\ R(x)=-0.5 x^{2}+12 x, 0 \leq x \leq 24$
- $\ P(x)=-0.5 x^{2}+9 x-36,0 \leq x \leq 24$
- $\ P(x) = 0$cuándo$\ x = 6$ y$\ x = 12$. Estos son los puntos de 'break even', por lo que vender 6 pasteles o 12 pasteles al día garantizará que los ingresos obtenidos recuperen exactamente el costo de producción.
- $\ C(0) = 1000$, por lo que los costos fijos mensuales son de mil cientos de dólares, o 100.000 dólares.
- $\ \overline{C}(10)=120$, por lo que cuando se fabrican 10 scooters, el costo por scooter es de 120cientos dólares, o $12,000.
- $\ p(5) = 130$, por lo que para vender 5 scooters al mes, establece el precio en 130 cientos dólares, o $13,000 por scooter.
- $\ R(x)=-2 x^{2}+140 x, 0 \leq x \leq 70$
- $\ P(x)=-2 x^{2}+120 x-1000,0 \leq x \leq 70$
- P (x) = 0 cuando x = 10 y x = 50. Estos son los puntos de 'break even', por lo que vender 10 scooters o 50 scooters al mes garantizará que los ingresos obtenidos recuperen exactamente el costo de producción.
$\ (f + g)(−3) = 2$
$\ (f − g)(2) = 3$
$\ (fg)(−1) = 0$
$\ (g + f)(1) = 0$
$\ (g − f)(3) = 3$
$\ (gf)(−3) = −8$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(-2)$no existe
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(-1)=0$
$\ \left(\frac{f}{g}\right)(2)=4$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(-1)$no existe
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(3)=-2$
$\ \left(\frac{g}{f}\right)(-3)=-\frac{1}{2}$

Referencia

¹ Veremos lo que esto significa geométricamente en el Capítulo 4.

² ¡Racionalizando el numerador!? ¡Cómo es eso para darle un giro!

³ Realmente no, pero “emprendedor” es la palabra de moda del día y estamos tratando de estar a la moda.

⁴ Estatuas de Sasquatch de resina mal diseñadas, por ejemplo. Siéntase libre de elegir su propia fantasía emprendedora.

⁵ Véase el Ejemplo 5.2.4 en la Sección 5.2.

⁶ Se pronuncia 'dopeys'.

⁷ ¡Imagínate eso! Regalando algo gratis y casi nadie lo aprovecha.

⁸ Ya hemos visto este tipo de cosas antes en la Sección 1.4.1.