3.4: Los ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 119517

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En la Sección 3.3, nos enfocamos en encontrar los ceros reales de una función polinómica. En esta sección, ampliamos nuestros horizontes y buscamos también los ceros no reales. Considera el polinomio$p(x) = x^2+1$. Los ceros de$p$ son las soluciones a$x^2+1=0$, o$x^2=-1$. Esta ecuación no tiene soluciones reales, pero tal vez recuerden de Álgebra Intermedia que podemos extraer formalmente las raíces cuadradas de ambos lados para obtener$x = \pm \sqrt{-1}$. La cantidad$\sqrt{-1}$ suele ser re-etiquetada$i$, la llamada unidad imaginaria. ¹ El número$i$, aunque no es un número real, juega bien con los números reales, y actúa muy parecido a cualquier otra expresión radical. Por ejemplo,$3(2i) = 6i$,$7i-3i = 4i$,$(2-7i) + (3 + 4i) = 5-3i$, y así sucesivamente. A continuación se enumeran las propiedades clave que distinguen$i$ de los números reales.

Definición 3.4: Unidad imaginaria

La unidad imaginaria$i$ satisface las dos propiedades siguientes

$i^2 = -1$
Si$c$ es un número real con$c \geq 0$ entonces$\sqrt{-c} = i \sqrt{c}$

La propiedad 1 en la Definición 3.4 establece que$i$ sí actúa como raíz cuadrada ² de$-1$, y la propiedad 2 establece lo que entendemos por la 'raíz cuadrada principal' de un número real negativo. En la propiedad 2, es importante recordar la restricción sobre$c$. Por ejemplo, es perfectamente aceptable decirlo$\sqrt{-4} = i \sqrt{4} = i(2) = 2i$. Sin embargo$\sqrt{-(-4)} \neq i \sqrt{-4}$, de lo contrario, obtendríamos

$2 = \sqrt{4} = \sqrt{-(-4)} = i \sqrt{-4} = i (2i) = 2i^2 = 2(-1) = -2,$

lo cual es inaceptable. ³ Ahora estamos en condiciones de definir los números complejos.

Definición 3.5: Números complejos

Un número complejo es un número de la forma$a+bi$, donde$a$ y$b$ son números reales y$i$ es la unidad imaginaria.

Los números complejos incluyen cosas que normalmente esperarías, como$3+2i$ y$\frac{2}{5} - i\sqrt{3}$. Sin embargo, no olvides eso$a$ o$b$ podría ser cero, lo que significa números como$3i$ y también$6$ son números complejos. Es decir, no hay que olvidar que los números complejos incluyen los números reales, por lo que$0$ y$\pi - \sqrt{21}$ ambos se consideran números complejos. ⁴ La aritmética de los números complejos es como cabría esperar. Lo único que hay que recordar son las dos propiedades de la Definición 3.4. El siguiente ejemplo debería ayudar a recordar cómo se comportan estos animales.

Ejemplo 3.4.1

Realizar las operaciones indicadas. Escribe tu respuesta en el formulario ⁵$a+bi$.

$(1-2i) - (3+4i)$
$(1-2i)(3+4i)$
$\dfrac{1-2i}{3-4i}$
$\sqrt{-3} \sqrt{-12}$
$\sqrt{(-3)(-12)}$
$(x-[1+2i])(x-[1-2i])$

Solución.

Como se mencionó anteriormente, tratamos las expresiones que involucran$i$ como lo haríamos con cualquier otro radical. Combinamos términos similares para conseguir$(1-2i) - (3+4i) = 1-2i-3-4i = -2-6i$.
Usando la propiedad distributiva, obtenemos$(1-2i)(3+4i) = (1)(3) + (1)(4i) - (2i)(3) - (2i)(4i) = 3+4i-6i-8i^2$. Ya que$i^2=-1$, obtenemos$3+4i-6i-8i^2 = 3-2i-(-8) = 11-2i$.
¿Cómo en el mundo se supone que debemos simplificar$\frac{1-2i}{3-4i}$? Bueno, nos ocupamos del denominador$3-4i$ como lo haríamos con cualquier otro denominador que contenga un radical, y multiplicamos tanto el numerador como el denominador por$3+4i$ (el conjugado de$3 - 4i$). ⁶ Hacerlo produce
$\dfrac{1-2i}{3-4i} \cdot \dfrac{3+4i}{3+4i} = \dfrac{(1-2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \dfrac{11-2i}{25} = \dfrac{11}{25} - \dfrac{2}{25} \, i$
Utilizamos primero la propiedad 2 de la Definición 3.4, luego aplicamos las reglas de los radicales aplicables a los radicales reales para obtener$\sqrt{-3} \sqrt{-12} = \left(i \sqrt{3}\right) \left(i \sqrt{12}\right) = i^2 \sqrt{3\cdot 12} = -\sqrt{36} = -6$.
Nos adherimos al orden de las operaciones aquí y realizamos la multiplicación ante el radical para conseguir$\sqrt{(-3)(-12)} = \sqrt{36} = 6$.
Podemos multiplicar la fuerza bruta usando la propiedad distributiva y ver que
$\begin{array}{rclr} (x-[1+2i])(x-[1-2i]) & = & x^2 -x[1-2i]-x[1+2i]+[1-2i][1+2i] & \\ & = & x^2-x+2ix-x-2ix+1-2i+2i-4i^2 & \\ & = & x^2 -2x +5 & \end{array}$

Un par de comentarios sobre el último ejemplo están en orden. Primero, el conjugado de un número complejo$a+bi$ es el número$a-bi$. La notación comúnmente utilizada para la conjugación es una 'barra':$\overline{a+bi} = a-bi$. Por ejemplo,$\overline{3+2i} = 3-2i$,$\overline{3-2i} = 3+2i$,$\overline{6} = 6$,$\overline{4i} = -4i$, y$\overline{3+\sqrt{5}} = 3+\sqrt{5}$. Las propiedades del conjugado se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 3.12. Propiedades del Conjugado Complejo

Dejar$z$ y$w$ ser números complejos.

$\overline{\overline{z}} = z$
$\overline{z} + \overline{w} = \overline{z+w}$
$\overline{z} \, \overline{w} = \overline{zw}$
$\left(\overline{z}\right)^n = \overline{z^{n}}$, para cualquier número natural$n$
$z$es un número real si y solo si$\overline{z} = z$.

Esencialmente, el Teorema 3.12 dice que la conjugación compleja funciona bien con la suma, la multiplicación y los poderes. La prueba de estas propiedades se puede lograr mejor escribiendo$z = a+bi$ y$w = c+di$ para números reales$a$,$b$,$c$ y$d$. A continuación, calculamos los lados izquierdo y derecho de cada ecuación y verificamos para ver que son iguales. El comprobante de la primera propiedad es un ejercicio muy rápido. ⁷ Para acreditar el segundo inmueble, comparamos$\overline{z} + \overline{w}$ y$\overline{z+w}$. Tenemos$\overline{z} + \overline{w} = \overline{a+bi} + \overline{c+di} = a-bi + c-di$. Para encontrar$\overline{z+w}$, primero calculamos

$z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i$

entonces

$\overline{z+w} = \overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c) - (b+d)i = a - bi + c - di$

Como tal, hemos establecido$\overline{z}+\overline{w} = \overline{z+w}$. La prueba para la multiplicación funciona de manera similar. La prueba de que el conjugado funciona bien con potencias puede verse como una aplicación repetida de la regla del producto, y se prueba mejor usando una técnica llamada Inducción Matemática. ⁸ La última propiedad es una caracterización de números reales. Si$z$ es real, entonces$z = a + 0i$, entonces$\overline{z} = a - 0i = a = z$. Por otro lado, si$z=\overline{z}$, entonces$a+bi = a - bi$ lo que significa$b=-b$ así$b=0$. De ahí,$z = a +0i = a$ y es real.

Ahora volvemos al negocio de los ceros. Supongamos que deseamos encontrar los ceros de$f(x) = x^2-2x+5$. Para resolver la ecuación$x^2-2x+5 = 0$, observamos que la cuadrática no factoriza muy bien, por lo que recurrimos a la Fórmula Cuadrática, Ecuación 2.5 y obtenemos

$x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(5)}}{2(1)} = \dfrac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.$

Dos cosas son importantes a tener en cuenta. Primero, los ceros$1+2i$ y$1-2i$ son conjugados complejos. Si alguna vez obtenemos ceros no reales a una función cuadrática con coeficientes, los ceros serán un par conjugado complejo. (¿Ves por qué?) A continuación, observamos que en el Ejemplo 3.4.1, parte 6, encontramos$(x-[1+2i])(x-[1-2i])=x^2-2x+5$. Esto demuestra que el teorema del factor se mantiene incluso para ceros no reales, es decir,$x=1+2i$ es un cero de$f$, y, efectivamente,$(x-[1+2i])$ es un factor de$f(x)$. Resulta que la división polinómica funciona de la misma manera para todos los números complejos, reales y no reales por igual, por lo que los Teoremas de Factor y Resto también se mantienen. Pero, ¿cómo sabemos si un polinomio general tiene ceros complejos? Tenemos muchos ejemplos de polinomios sin ceros reales. ¿Puede haber polinomios sin ceros en absoluto? La respuesta a esa última pregunta es “No” y el teorema que proporciona esa respuesta es El teorema fundamental del álgebra.

Teorema 3.13. El teorema fundamental del álgebra

Supongamos que$f$ es una función polinómica con coeficientes numéricos complejos de grado$n \geq 1$, entonces$f$ tiene al menos un cero complejo.

El Teorema Fundamental del Álgebra es un ejemplo de un teorema de 'existencia' en Matemáticas. Al igual que el Teorema del Valor Intermedio, el Teorema 3.1, el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza la existencia de al menos un cero, pero no nos da ningún algoritmo para utilizarlo para encontrarlo. De hecho, como mencionamos en la Sección 3.3, existen polinomios cuyos ceros reales, aunque existan, no pueden expresarse utilizando las combinaciones 'usuales' de símbolos aritméticos, y deben ser aproximados. Los autores son plenamente conscientes de que el impacto total y la naturaleza profunda del Teorema Fundamental del Álgebra se pierde en la mayoría de los estudiantes que estudian Álgebra Universitaria, y eso está bien. Los matemáticos tardaron literalmente cientos de años en probar el teorema en toda su generalidad, y parte de esa historia se registra aquí. Tenga en cuenta que el Teorema Fundamental del Álgebra se aplica no sólo a las funciones polinómicas con coeficientes reales, sino también a aquellas con coeficientes numéricos complejos.

Supongamos que$f$ es un polinomio de grado$n \geq 1$. El Teorema Fundamental del Álgebra nos garantiza al menos un cero complejo$z_{1}$,, y como tal, el Teorema Factor garantiza que$f(x)$ factores como$f(x) = \left(x - z_{1}\right) q_{1}(x)$ para una función polinómica$q_{1}$, de grado exactamente$n-1$. Si$n-1 \geq 1$, entonces el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza un cero complejo de$q_{1}$ también, digamos$z_{2}$, entonces el Teorema del Factor nos da$q_{1}(x) = \left(x - z_{2}\right) q_{2}(x)$, y por lo tanto$f(x) = \left(x - z_{1}\right) \left(x - z_{2}\right) q_{2}(x)$. Podemos continuar este proceso exactamente en$n$ tiempos, momento en el que nuestro polinomio cociente$q_{n}$ tiene grado$0$ por lo que es una constante. Este argumento nos da el siguiente teorema de factorización.

Teorema 3.14. Teorema de factorización compleja

Supongamos que$f$ es una función polinómica con coeficientes numéricos complejos. Si el grado de$f$ es$n$ y$n \geq 1$, entonces$f$ tiene ceros exactamente$n$ complejos, contando multiplicidad. Si$z_{1}$,$z_{2}$,...,$z_{k}$ son los ceros distintos de$f$, con multiplicidades$m_{1}$,$m_{2}$,...$m_{k}$, respectivamente, entonces$f(x) = a\left(x - z_{1} \right)^{m_{1}}\left(x - z_{2} \right)^{m_{2}} \cdots \left(x - z_{k} \right)^{m_{k}}$.

Tenga en cuenta que el valor$a$ en el Teorema 3.14 es el coeficiente principal de$f(x)$ (¿Ves por qué?) y como tal, vemos que un polinomio está completamente determinado por sus ceros, sus multiplicidades y su coeficiente inicial. Ponemos a buen uso este teorema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.4.2

Vamos$f(x) = 12x^5 - 20x^4+19x^3-6x^2-2x+1$.

Encuentra todos los ceros complejos de$f$ y establece sus multiplicidades.
Factor$f(x)$ usando Teorema 3.14

Solución.

Dado que$f$ es un polinomio de quinto grado, sabemos que necesitamos realizar al menos tres divisiones exitosas para bajar el cociente a una función cuadrática. En ese punto, podemos encontrar los ceros restantes usando la Fórmula Cuadrática, si es necesario. Utilizando las técnicas desarrolladas en la Sección 3.3, obtenemos
$\begin{array}{rrrrrrr} \frac{1}{2} \, \, \mid& 12 & -20& 19 & -6 & -2 &1 \\ & \downarrow & 6 & -7 & 6 & 0 & -1\\ \hline \frac{1}{2} \, \, \mid& 12 & -14 & 12 & 0 & -2 & \fbox{$0$} \\ & \downarrow & 6 & -4 & 4 & 2 &\\ \hline -\frac{1}{3} \, \, \mid& 12 & -8 & 8 & 4 & \fbox{0} & \\ & \downarrow & -4 & 4 & -4 & & \\ \hline & 12 & -12 & 12& \fbox{0} && \\ \end{array}$

Nuestro cociente es$12x^2 - 12x + 12$, cuyos ceros encontramos que son$\frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$. Del Teorema 3.14, sabemos que$f$ tiene exactamente$5$ ceros, contando multiplicidades, y como tal tenemos el cero$\frac{1}{2}$ con multiplicidad$2$, y los ceros$-\frac{1}{3}$,$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ y$\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$, cada uno de multiplicidad$1$.
Aplicando el Teorema 3.14, se nos garantiza que$f$ factores como
$f(x) = 12 \left(x- \dfrac{1}{2}\right)^2 \left(x + \dfrac{1}{3}\right) \left(x - \left[\dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2}\right]\right) \left(x - \left[\dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2}\right]\right)$

Una verdadera prueba del teorema 3.14 (¡y la valía de un estudiante!) sería tomar la forma factorizada de$f(x)$ en el ejemplo anterior y multiplicarlo ⁹ para ver que realmente se reduce a la fórmula original$f(x) = 12x^5 - 20x^4+19x^3-6x^2-2x+1$. Al factorizar un polinomio usando el Teorema 3.14, decimos que se factoriza completamente sobre los números complejos, lo que significa que es imposible factorizar el polinomio más usando números complejos. Si quisiéramos$f(x)$ factorizar completamente los números reales entonces nos habríamos detenido a la hora de encontrar los ceros no reales de$f$ y$f$ factorizado usando nuestro trabajo de la división sintética para escribir$f(x) = \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 \left(x + \frac{1}{3} \right)\left(12x^2 - 12x + 12\right)$, o$f(x) = 12\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 \left(x + \frac{1}{3} \right)\left(x^2 - x + 1\right)$. Dado que los ceros de$x^2-x+1$ son irreales, llamamos$x^2-x+1$ cuadrático irreducible, lo que significa que es imposible desglosarlo más usando números reales.

Los dos últimos resultados de la sección nos muestran que, al menos en teoría, si tenemos una función polinómica con coeficientes reales, siempre podemos factorizarla lo suficiente para que cualquier ceros no reales provenga de cuadráticas irreducibles.

Teorema 3.15. Teorema de pares conjugados

Si$f$ es una función polinómica con coeficientes de número real y$z$ es un cero de$f$, entonces así es$\overline{z}$.

Para probar el teorema, supongamos que$f$ es un polinomio con coeficientes numéricos reales. Específicamente, vamos$f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$. Si$z$ es un cero de$f$, entonces$f(z) = 0$, lo que significa$a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots+a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}=0$. A continuación, consideramos$f\left(\overline{z}\right)$ y aplicamos el Teorema 3.12 a continuación.

\ (\ begin {alineado}
&f (\ bar {z}) =a_ {n} (\ bar {z}) ^ {n} +a_ {n-1} (\ bar {z}) ^ {n-1} +\ lpuntos+a_ {2} (\ bar {z}) ^ {2} +a_ {1}\ bar {z} +a_ {0}\
=a_ {n}\ overline {z^ {n}} +a_ {n-1}\ overline {z^ {n-1}} +\ ldots+a_ {2}\ overline {z^ {2}} +a_ {1}\ bar {z} +a_ {0}\ quad\ text {since} (\ bar {z}) ^ {n} =\ overline {z^ {n}}\\
&=\ overline {a_ {n}}\ overline {z^ {n}} +\ overline {a_ {n-1}}\ overline {z^ {n-1}} +\ ldots+\ overline {a_ {2}}\ overline {z^ {2}} +\ overline {a_ {1}}\ bar z {} +\ overline {a_ {0}}\ quad\ text {ya que los coeficientes son reales}\\
&=\ overline {a_ {n} z^ {n}} +\ overline {a_ {n-1} z^ {n-1}} +\ ldots+\ overline {a_ {2} z^ {2}} +\ overline {a_ {1} z} +\ overline {a_ {0}}\ quad\ texto {desde}\ bar {z}\ bar {w} =\ overline {z w}\\
&=\ overline {a_ {n} z^ {n} z^ {n} +a_ {n-1} z^ {n-1} +\ lpuntos+a_ {2} z^ {2} +a_ {1} z+a_ {0}}\ quad\ texto {desde}\ bar {z} +\ bar {w} =\ overline {z+w}\\
&=\ overline {f (z)}\\
&= overline {0}\\
&=0
\ end {alineado}\)

Esto demuestra que$\overline{z}$ es un cero de$f$. Entonces, si$f$ es una función polinómica con coeficientes numéricos reales, el Teorema 3.15 nos dice que si$a+bi$ es un cero no real de$f$, entonces así es$a-bi$. En otras palabras, los ceros no reales de$f$ vienen en pares conjugados. El Teorema de los Factores entra en acción para darnos ambos$(x-[a+bi])$ y$(x-[a-bi])$ como factores de los$f(x)$ cuales significa$(x-[a+bi])(x-[a-bi]) = x^2 + 2a x + \left(a^2+b^2\right)$ es un factor cuadrático irreducible de$f$. Como resultado, tenemos nuestro último teorema de la sección.

Teorema 3.16. Teorema de factorización real

Supongamos que$f$ es una función polinómica con coeficientes numéricos reales. Entonces se$f(x)$ puede factorizar en un producto de factores lineales correspondientes a los ceros reales de$f$ y factores cuadráticos irreducibles que dan los ceros no reales de$f$.

Presentamos ahora un ejemplo que reúne todas las ideas principales de esta sección.

Ejemplo 3.4.3

Vamos$f(x) = x^4+64$.

Usa división sintética para mostrar que$x=2+2i$ es un cero de$f$.
Encuentra los ceros complejos restantes de$f$.
$f(x)$Completamente factorizar los números complejos.
Completamente factorizar$f(x)$ sobre los números reales.

Solución

Recordando insertar los$0$'s en el cuadro de división sintética que tenemos
$\begin{array}{cccccr} 2+2i \, \, \mid& 1 & 0 & 0 & 0 & 64 \\ & \downarrow & 2+2i & 8i & -16+16i & -64\\ \hline & 1 & 2+2i & 8i & -16+16i & \fbox{0} \\ \end{array}$
Dado que$f$ es un polinomio de cuarto grado, necesitamos hacer dos divisiones exitosas para obtener un cociente cuadrático. Ya que$2+2i$ es un cero, sabemos por el Teorema 3.15 que también$2-2i$ es un cero. Continuamos con nuestro cuadro de división sintética.
$\begin{array}{cccccr} 2+2i \, \, \mid& 1 & 0 & 0 & 0 & 64 \\ & \downarrow & 2+2i & 8i & -16+16i & -64\\ \hline 2-2i \, \, \mid & 1 & 2+2i & 8i & -16+16i & \fbox{0} \\ & \downarrow & 2-2i & 8-8i & 16-16i &\\ \hline & 1 & 4 & 8& \fbox{0} & \\ \end{array}$

Nuestro polinomio cociente es$x^2+4x+8$. Usando la fórmula cuadrática, obtenemos los ceros restantes$-2+2i$ y$-2-2i$.
Usando el Teorema 3.14, obtenemos$f(x) = (x-[2-2i])(x-[2+2i])(x-[-2+2i])(x-[-2-2i])$.
Multiplicamos los factores lineales de los$f(x)$ cuales corresponden a pares conjugados complejos. Nos encontramos$(x-[2-2i])(x-[2+2i]) = x^2-4x+8$, y$(x-[-2+2i])(x-[-2-2i]) = x^2+4x+8$. Nuestra respuesta final es$f(x) = \left(x^2-4x+8\right) \left(x^2+4x+8\right)$.

Nuestro último ejemplo gira las tornas y nos pide fabricar un polinomio con ciertas propiedades de su gráfica y ceros.

Ejemplo 3.4.4

Encuentre un polinomio$p$ de grado más bajo que tenga coeficientes enteros y satisfaga todos los siguientes criterios:

la gráfica de$y=p(x)$ toques (pero no cruza) el$x$ eje -en$\left(\frac{1}{3}, 0\right)$
$x=3i$es un cero de$p$.
como$x \rightarrow -\infty$,$p(x) \rightarrow -\infty$
como$x \rightarrow \infty$,$p(x) \rightarrow -\infty$

Solución

Para resolver este problema, necesitaremos una buena comprensión de la relación entre las$x$ -intercepciones de la gráfica de una función y los ceros de una función, el Teorema Factor, el papel de la multiplicidad, los conjugados complejos, el Teorema de Factorización Compleja y el comportamiento final de las funciones polinómicas. (En resumen, necesitarás la mayoría de los conceptos principales de este capítulo). Dado que la gráfica de$p$ toca el$x$ eje en$\left(\frac{1}{3}, 0\right)$, sabemos que$x=\frac{1}{3}$ es un cero de multiplicidad par. Ya que estamos tras un polinomio de grado más bajo, necesitamos$x=\frac{1}{3}$ tener multiplicidad exactamente$2$. El Teorema del Factor ahora nos dice$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2$ es un factor de$p(x)$. Ya que$x=3i$ es un cero y nuestra respuesta final es tener coeficientes enteros (reales), también$x=-3i$ es un cero. El Teorema de los Factores vuelve a entrar en acción para darnos$(x-3i)$ y$(x+3i)$ como factores de$p(x)$. No se nos da más información sobre ceros o intercepciones por lo que concluimos, por el Teorema de Factorización Compleja que$p(x) = a \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 (x-3i)(x+3i)$ para algún número real$a$. Ampliando esto, obtenemos$p(x) = ax^4-\frac{2a}{3} x^3+\frac{82a}{9} x^2-6ax+a$. Para obtener coeficientes enteros, sabemos que$a$ debe ser un múltiplo entero de$9$. Nuestra última preocupación es el comportamiento final. Dado que el término principal de$p(x)$ es$ax^4$, necesitamos$a < 0$ obtener$p(x) \rightarrow -\infty$ como$x \rightarrow \pm \infty$. De ahí, si elegimos$x=-9$, obtenemos$p(x) = -9x^4+ 6 x^3 - 82 x^2+54x-9$. Podemos verificar nuestra obra utilizando las técnicas desarrolladas en este capítulo.

Este ejemplo concluye nuestro estudio de las funciones polinómicas. ¹⁰ Las últimas secciones han contenido lo que muchos consideran Matemáticas 'pesadas'. Al igual que una comida pesada, las matemáticas pesadas tardan en digerir. No se preocupe demasiado si no parece hundirse en todos a la vez, y el ritmo en los Ejercicios o es probable que tenga calambres mentales. Pero antes de llegar a los Ejercicios, nos gustaría ofrecer un poco de epílogo.

Nuestro principal objetivo al presentar el material sobre los ceros complejos de un polinomio fue darle al capítulo una sensación de integridad. Dado que se puede demostrar que algunos polinomios tienen ceros reales que no se pueden expresar usando las operaciones algebraicas habituales, y aún otros no tienen ceros reales en absoluto, fue agradable descubrir que cada polinomio de grado$n \geq 1$ tiene ceros$n$ complejos. Entonces, como dijimos, nos da una sensación de cierre. Pero el lector observador notará que no dimos ningún ejemplo de aplicaciones que involucren números complejos. Los estudiantes a menudo se preguntan cuándo se usarán números complejos en aplicaciones del “mundo real”. Después de todo, ¿no llamamos a$i$ la unidad? ¿Cómo se pueden usar las cosas imaginarias en la realidad? Resulta que los números complejos son muy útiles en muchos campos aplicados como la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica, pero la mayoría de las aplicaciones requieren de Matemáticas mucho más allá del Álgebra Universitaria para entenderlas completamente. Eso no significa que nunca los vas a poder entender; de hecho, es la sincera esperanza de los autores de que todos ustedes lleguen a un punto en sus estudios en el que se les revele la gloria, el asombro y el esplendor de los números complejos. Por ahora, sin embargo, lo realmente bueno está más allá del alcance de este texto. Te invitamos a ti y a tus compañeros de clase a encontrar algunos ejemplos de aplicaciones de números complejos y ver qué puedes hacer con ellas. Una simple búsqueda en Internet con la frase 'números complejos en la vida real' debería comenzar. Las clases de electrónica básica son otro lugar para buscar, pero recuerden, podrían usar la letra$j$ donde hemos usado$i$.

Para lo que resta del texto, con excepción de la Sección 11.7 y algunos ejercicios exploratorios dispersos, limitaremos nuestra atención a los números reales. Esto lo hacemos principalmente porque la primera secuencia de Cálculo que tomarás, ostensiblemente la que te está preparando este texto, estudia solo funciones de variables reales. Además, muchas cosas científicas realmente geniales no requieren ningún conocimiento profundo de los números complejos para estudiarlas, pero sí necesitan más Matemáticas como funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Creemos que tiene más sentido pedagógicamente que aprendas sobre esas funciones ahora y luego tomar un curso de Teoría de Funciones Complejas en tu tercer o último año una vez que hayas completado la secuencia de Cálculo. Es en ese curso donde se libera el verdadero poder de los números complejos. Pero por ahora, para prepararte completamente para la vida inmediatamente después del Álgebra Universitaria, diremos que funciona como$f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ tener un dominio de todos los números reales, aunque sabemos que$x^{2} + 1 = 0$ tiene dos soluciones complejas, a saber$x = \pm i$. Porque$x^{2} + 1 > 0$ para todos los números reales$x$, la fracción nunca$\frac{1}{x^{2} + 1}$ está indefinida en la configuración de la variable real.

3.4.1 Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 10, utilice los números complejos dados$z$ y$w$ para encontrar y simplificar los siguientes. Escribe tus respuestas en el formulario$a+bi$.

$z+w$
$zw$
$z^2$
$\dfrac{1}{z}$
$\dfrac{z}{w}$
$\dfrac{w}{z}$
$\overline{z}$
$z\overline{z}$
$(\overline{z})^2$

$z = 2+3i$,$w = 4i$
$z = 1+i$,$w = -i$
$z = i$,$w = -1+2i$
$z = 4i$,$w = 2-2i$
$z = 3-5i$,$w = 2+7i$
$z = -5+i$,$w = 4+2i$
$z = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$,$w = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
$z = 1 - i\sqrt{3}$,$w = -1 - i\sqrt{3}$
$z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \, i$,$w = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \,i$
$z = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, i$,$w = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, i$

En los Ejercicios 11 - 18, simplificar la cantidad.

$\sqrt{-49}$
$\sqrt{-9}$
$\sqrt{-25}\sqrt{-4}$
$\sqrt{(-25)(-4)}$
$\sqrt{-9}\sqrt{-16}$
$\sqrt{(-9)(-16)}$
$\sqrt{-(-9)}$
$-\sqrt{(-9)}$

Sabemos lo$i^{2} = -1$ que significa$i^{3} = i^{2} \cdot i = (-1) \cdot i = -i$ y$i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = (-1)(-1) = 1$. En los Ejercicios 19 - 26, utilice esta información para simplificar el poder dado de$i$.

$i^{5}$
$i ^{6}$
$i^{7}$
$i^{8}$
$i^{15}$
$i^{26}$
$i^{117}$
$i^{304}$

En los Ejercicios 27 - 48, encuentra todos los ceros del polinomio luego factorizarlo completamente sobre los números reales y factorizarlo completamente sobre los números complejos.

$f(x) = x^{2} - 4x + 13$
$f(x) = x^2 - 2x + 5$
$f(x) = 3x^{2} + 2x + 10$
$f(x) = x^3-2x^2+9x-18$
$f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 6x + 5$
$f(x) = 3x^{3} - 13x^{2} + 43x - 13$
$f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 12$
$f(x) = 4x^3-6x^2-8x+15$
$f(x) = x^3 + 7x^2+9x-2$
$f(x) = 9x^3+2x+1$
$f(x) = 4x^{4} - 4x^{3} + 13x^{2} - 12x + 3$
$f(x) = 2x^4-7x^3+14x^2-15x+6$
$f(x) = x^4+x^3+7x^2+9x-18$
$f(x) = 6x^4+17x^3-55x^2+16x+12$
$f(x) = -3x^4-8x^3-12x^2-12x-5$
$f(x) = 8x^4+50x^3+43x^2+2x-4$
$f(x) = x^4+9x^2+20$
$f(x) = x^4 + 5x^2 - 24$
$f(x) = x^5 - x^4+7x^3-7x^2+12x-12$
$f(x) = x^6-64$
$f(x) = x^{4} - 2x^{3} + 27x^{2} - 2x + 26$(Pista:$x = i$ es uno de los ceros.)
$f(x) = 2x^4+5x^3+13x^2+7x+5$(Pista:$x = -1+2i$ es un cero.)

En los Ejercicios 49 - 53, crear un polinomio$f$ con coeficientes numéricos reales que tenga todas las características deseadas. Se puede dejar el polinomio en forma factorizada.

- Los ceros de$f$ son$c=\pm 1$ y$c = \pm i$
- El término principal de$f(x)$ es$42x^4$
- $c=2i$es un cero.
- el punto$(-1,0)$ es un mínimo local en la gráfica de$y=f(x)$
- el término principal de$f(x)$ es$117x^4$
- Las soluciones$f(x) = 0$ son$x = \pm 2$ y$x=\pm 7i$
- El término principal de$f(x)$ es$-3x^5$
- El punto$(2,0)$ es un máximo local en la gráfica de$y=f(x)$.
- $f$es grado$5$.
- $x=6$,$x = i$ y$x = 1-3i$ son ceros de$f$
- como$x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow \infty$
- El término principal de$f(x)$ es$-2x^3$
- $c=2i$es un cero
- $f(0) = -16$
Dejar$z$ y$w$ ser arbitrarios números complejos. Demuestre eso$\overline{z} \, \overline{w} = \overline{zw}$ y$\overline{\overline{z}} = z$.

3.4.2 Respuestas

Para$z = 2+3i$ y$w = 4i$
- $z+w = 2+7i$
- $zw = -12+8i$
- $z^2 = -5 + 12i$
- $\overline{z} = 2-3i$
- $z\overline{z} = 13$
- $(\overline{z})^2 = -5-12i$
- $\frac{1}{z} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13} \, i$
- $\frac{z}{w} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \, i$
- $\frac{w}{z} = \frac{12}{13} + \frac{8}{13} \,i$
Para$z = 1+i$ y$w = -i$
- $z+w = 1$
- $zw = 1-i$
- $z^2 = 2i$
- $\overline{z} = 1-i$
- $z\overline{z} = 2$
- $(\overline{z})^2 = -2i$
- $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \, i$
- $\frac{z}{w} = -1+i$
- $\frac{w}{z} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \, i$
Para$z = i$ y$w = -1+2i$
- $z+w = -1+3i$
- $zw = -2-i$
- $z^2 = -1$
- $\overline{z} = -i$
- $z\overline{z} = 1$
- $(\overline{z})^2 = -1$
- $\frac{1}{z} = -i$
- $\frac{z}{w} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} \, i$
- $\frac{w}{z} = 2+i$
Para$z = 4i$ y$w = 2-2i$
- $z+w = 2+2i$
- $zw = 8+8i$
- $z^2 = -16$
- $\overline{z} = -4i$
- $z\overline{z} = 16$
- $(\overline{z})^2 = -16$
- $\frac{1}{z} = -\frac{1}{4} \,i$
- $\frac{z}{w} = -1+i$
- $\frac{w}{z} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \,i$
Para$z = 3-5i$ y$w = 2+7i$
- $z+w = 5+2i$
- $zw = 41+11i$
- $z^2 = -16-30i$
- $\overline{z} = 3+5i$
- $z\overline{z} = 34$
- $(\overline{z})^2 = -16+30i$
- $\frac{1}{z} = \frac{3}{34} + \frac{5}{34} \,i$
- $\frac{z}{w} = -\frac{29}{53} - \frac{31}{53} \, i$
- $\frac{w}{z} = -\frac{29}{34} + \frac{31}{34} \,i$
Para$z = -5+i$ y$w = 4+2i$
- $z+w = -1+3i$
- $zw = -22-6i$
- $z^2 = 24-10i$
- $\overline{z} = -5-i$
- $z\overline{z} = 26$
- $(\overline{z})^2 = 24+10i$
- $\frac{1}{z} = -\frac{5}{26} - \frac{1}{26} \,i$
- $\frac{z}{w} = -\frac{9}{10} + \frac{7}{10} \, i$
- $\frac{w}{z} = -\frac{9}{13} - \frac{7}{13} \,i$
Para$z = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$ y$w = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
- $z+w = 2\sqrt{2}$
- $zw = 4$
- $z^2 = -4i$
- $\overline{z} = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$
- $z\overline{z} = 4$
- $(\overline{z})^2 = 4i$
- $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \,i$
- $\frac{z}{w} = -i$
- $\frac{w}{z} = i$
Para$z = 1 - i\sqrt{3}$ y$w = -1-i\sqrt{3}$
- $z+w = -2i\sqrt{3}$
- $zw = -4$
- $z^2 = -2-2i\sqrt{3}$
- $\overline{z} = 1+i\sqrt{3}$
- $z\overline{z} = 4$
- $(\overline{z})^2 = -2+2i\sqrt{3}$
- $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \,i$
- $\frac{z}{w} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \,i$
- $\frac{w}{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \,i$
Para$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$ y$w = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \,i$
- $z+w = i\sqrt{3}$
- $zw = -1$
- $z^2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \,i$
- $\overline{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$
- $z\overline{z} = 1$
- $(\overline{z})^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$
- $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$
- $\frac{z}{w} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$
- $\frac{w}{z} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, i$
Para$z = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \, i$ y$w = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, i$
- $-\sqrt{2}$
- $zw = 1$
- $z^2 =-i$
- $\overline{z} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, i$
- $z\overline{z} = 1$
- $(\overline{z})^2 = i$
- $\frac{1}{z} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, i$
- $\frac{z}{w} = -i$
- $\frac{w}{z} = i$
$7i$
$3i$
$-10$
$10$
$-12$
$12$
$3$
$-3i$
$i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i$
$i ^{6} = i^{4} \cdot i^{2} = 1 \cdot (-1) = -1$
$i^{7} = i^{4} \cdot i^{3} = 1 \cdot (-i) = -i$
$i^{8} = i^{4} \cdot i^{4} = \left(i^{4}\right)^{2} = (1)^{2} =1$
$i^{15} = \left(i^{4}\right)^{3} \cdot i^{3} = 1 \cdot (-i) = -i$
$i ^{26} = \left(i^{4}\right)^{6} \cdot i^{2} = 1\cdot (-1) = -1$
$i^{117} = \left(i^{4}\right)^{29} \cdot i = 1 \cdot i = i$
$i ^{304} = \left(i^{4}\right)^{76} = 1^{76} = 1$
$f(x) = x^2-4x+13 = (x-(2+3i)) (x-(2-3i))$
Ceros:$x = 2 \pm 3i$
$f(x) = x^2 - 2x + 5 = (x-(1+2i))(x-(1-2i))$
Ceros:$x = 1 \pm 2i$
$f(x) = 3x^2 + 2x +10 = 3\left(x-\left(-\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{29}}{3} i\right) \right) \left(x-\left(-\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{29}}{3} i\right) \right)$
Ceros:$x = -\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{29}}{3} i$
$f(x) = x^3-2x^2+9x-18 = (x-2) \left(x^2+9\right) = (x-2)(x-3i)(x+3i)$
Ceros:$x=2, \pm 3i$
$f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 6x + 5 = (x + 5)(x^{2} + x + 1) = (x + 5) \left( x - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \right) \left( x - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \right)$
Ceros:$x = -5, \; x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$
$f(x) = 3x^{3} - 13x^{2} + 43x - 13 = (3x - 1)(x^{2} - 4x + 13) = (3x - 1)(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i))$
Ceros:$x = \frac{1}{3}, \; x = 2 \pm 3i$
$f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 12 = (x+3) \left(x^2 + 4 \right) = (x+3)(x+2i)(x-2i)$
Ceros:$x = -3, \; \pm 2i$
$f(x) = 4x^3-6x^2-8x+15 = \left(x + \frac{3}{2} \right) \left(4x^2-12x+10\right) \\ \phantom{f(x)} = 4 \left(x + \frac{3}{2} \right) \left(x - \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i \right) \right) \left(x - \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \right) \right)$
Ceros:$x = - \frac{3}{2}, \; x = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}i$
$f(x) = x^3 + 7x^2+9x-2 = (x+2) \left(x - \left( -\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\right) \right) \left(x - \left( -\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}\right) \right)$
Ceros:$x = -2, \; x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$f(x) = 9x^3+2x+1 = \left(x + \frac{1}{3}\right) \left(9x^2 - 3x + 3\right) \\ \phantom{f(x)}= 9\left(x + \frac{1}{3}\right) \left(x - \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{11}}{6} i \right) \right) \left(x - \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{11}}{6} i \right) \right)$
Ceros:$x = -\frac{1}{3}, \; x = \frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{11}}{6} i$
$f(x) = 4x^{4} - 4x^{3} + 13x^{2} - 12x + 3 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}\left(4x^{2} + 12\right) = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}(x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})$
Ceros:$x = \frac{1}{2}, \; x = \pm \sqrt{3}i$
$f(x) = 2x^4-7x^3+14x^2-15x+6 = (x-1)^2 \left(2x^2 - 3x + 6\right) \\ \phantom{f(x)} = 2 (x-1)^2 \left( x - \left( \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{39}}{4} i \right) \right) \left( x - \left( \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{39}}{4} i \right) \right)$
Ceros:$x = 1, \; x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{39}}{4} i$
$f(x) = x^4+x^3+7x^2+9x-18 = (x+2)(x-1)\left(x^2+9\right) = (x+2)(x-1)(x+3i)(x-3i)$
Ceros:$x = -2, \; 1, \; \pm 3i$
$f(x) = 6x^4+17x^3-55x^2+16x+12 = 6 \left(x + \frac{1}{3} \right) \left(x - \frac{3}{2} \right) \left(x - \left( -2 + 2 \sqrt{2}\right)\right) \left(x - \left( -2 - 2 \sqrt{2}\right)\right)$
Ceros:$x = -\frac{1}{3}, \; x = \frac{3}{2}, \; x = -2 \pm 2 \sqrt{2}$
$f(x) = -3x^4-8x^3-12x^2-12x-5 = (x+1)^2 \left(-3x^2-2x-5\right) \\ \phantom{f(x)}= -3(x+1)^2\left(x - \left( -\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{14}}{3} i\right) \right) \left(x - \left( -\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{14}}{3} i\right) \right)$
Ceros:$x = -1, \; x = -\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{14}}{3} i$
$f(x) = 8x^4+50x^3+43x^2+2x-4 = 8\left(x + \frac{1}{2}\right) \left(x - \frac{1}{4}\right)(x - (-3 + \sqrt{5}))(x - (-3 - \sqrt{5}))$
Ceros:$x = -\frac{1}{2}, \; \frac{1}{4}, \; x = -3 \pm \sqrt{5}$
$f(x) = x^4+9x^2+20 = \left(x^2+4\right) \left(x^2+5\right) = (x-2i)(x+2i)\left(x - i \sqrt{5}\right)\left(x + i \sqrt{5}\right)$
Ceros:$x = \pm 2i, \pm i \sqrt{5}$
$f(x) = x^4+5x^2-24 = \left(x^2-3 \right) \left(x^2+8\right) = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\left(x - 2i \sqrt{2}\right)\left(x + 2i \sqrt{2}\right)$
Ceros:$x = \pm \sqrt{3}, \pm 2i \sqrt{2}$
$f(x) = x^5 - x^4+7x^3-7x^2+12x-12 = (x-1) \left(x^2 + 3\right) \left(x^2 + 4 \right) \\ \phantom{f(x)} = (x-1)(x - i \sqrt{3})(x + i \sqrt{3})(x-2i)(x+2i)$
Ceros:$x = 1, \; \pm \sqrt{3}i, \; \pm 2i$
$f(x) = x^6 - 64 = (x-2)(x+2)\left(x^2+2x+4\right)\left(x^2-2x+4\right) \\ \phantom{f(x)} = (x-2)(x+2)\left( x - \left( -1+i\sqrt{3} \right) \right)\left( x - \left( -1-i\sqrt{3} \right) \right)\left( x - \left( 1+i\sqrt{3} \right) \right)\left( x - \left( 1-i\sqrt{3} \right) \right)$
Ceros:$x = \pm 2$,$x = -1 \pm i\sqrt{3}$,$x = 1 \pm i\sqrt{3}$
$f(x) = x^{4} - 2x^{3} + 27x^{2} - 2x + 26 = (x^{2} - 2x + 26)(x^{2} + 1) = (x - (1 + 5i))(x - (1 - 5i))(x + i)(x - i)$
Ceros:$x = 1 \pm 5i, \; x = \pm i$
$f(x) = 2x^4+5x^3+13x^2+7x+5 = \left(x^2+2x+5\right) \left(2x^2+x+1\right) \\ \phantom{f(x)} = 2 (x-(-1+2i))(x-(-1-2i))\left(x - \left(-\frac{1}{4} + i \frac{\sqrt{7}}{4}\right) \right)\left(x - \left(-\frac{1}{4} - i \frac{\sqrt{7}}{4}\right) \right)$
Ceros:$x = -1 \pm 2i, -\frac{1}{4} \pm i \frac{\sqrt{7}}{4}$
$f(x) = 42(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$
$f(x) = 117(x+1)^2(x-2i)(x+2i)$
$f(x) = -3(x-2)^2(x+2)(x-7i)(x+7i)$
$f(x) = a(x-6)(x-i)(x+i)(x-(1-3i))(x-(1+3i))$donde$a$ está cualquier número real,$a < 0$
$f(x) = -2(x-2i)(x+2i)(x+2)$

Referencia

¹ Algunos libros de texto de Matemáticas Técnicas lo etiquetan como '$j$'.

² Anotar el uso del artículo indefinido 'a'. Cualquiera que sea la bestia elegida para ser$i$,$−i$ es la otra raíz cuadrada de −1.

³ Queremos ampliar el sistema de números para que podamos resolver cosas como$x^{2}=-1$, pero no a costa de las reglas establecidas ya establecidas. Por esa razón, las propiedades generales de los radicales simplemente no aplican para raíces incluso de cantidades negativas.

⁴ Ver las observaciones en la Sección 1.1.1.

⁵ Bien, aceptaremos cosas como$3 − 2i$ aunque se pueda escribir como$3 + (−2)i$.

⁶ Hablaremos más de esto en un momento.

⁷ Confía en nosotros en esto.

⁸ Véase la Sección 9.3.

⁹ ¡Realmente deberías hacer esto una vez en tu vida para convencerte de que toda la teoría realmente funciona!

¹⁰ A excepción de los Ejercicios de la página siguiente, por supuesto.