5.2: Funciones inversas

Pensando en una función como un proceso como lo hicimos en la Sección 1.4, en esta sección buscamos otra función que pudiera revertir ese proceso. Como en la vida real, encontraremos que algunos procesos (como ponerse calcetines y zapatos) son reversibles mientras que algunos (como cocinar un bistec) no lo son. Comenzamos discutiendo una función muy básica que es reversible,\(f(x) = 3x+4\). Pensando en\(f\) como un proceso, comenzamos con una entrada\(x\) y aplicamos dos pasos, como vimos en la Sección 1.4

1. multiplicar por\(3\)
2. agregar\(4\)

Para revertir este proceso, buscamos una función\(g\) que deshaga cada uno de estos pasos y tome la salida de\(f\),\(3x+4\), y devuelva la entrada\(x\). Si pensamos en el proceso reversible de dos pasos del mundo real de primero ponerse los calcetines y luego ponerse los zapatos, para revertir el proceso, primero nos quitamos los zapatos, y luego nos quitamos los calcetines. De la misma manera, la función\(g\) debería deshacer el segundo paso de\(f\) primero. Es decir, la función\(g\) debería

1. restar\(4\)
2. dividir por\(3\)

Siguiendo este procedimiento, obtenemos\(g(x) = \frac{x-4}{3}\). Comprobemos para ver si la función\(g\) hace el trabajo. Si\(x=5\), entonces\(f(5) = 3(5)+4 = 15+4 = 19\). Tomando la salida\(19\) de\(f\), la sustituimos en\(g\) para obtener\(g(19) = \frac{19-4}{3} = \frac{15}{3} = 5\), que es nuestra entrada original a\(f\). Para verificar que\(g\) hace el trabajo para todos\(x\) en el dominio de\(f\), tomamos la salida genérica de\(f\),\(f(x) = 3x+4\), y sustituimos eso en\(g\). Es decir,\(g(f(x)) = g(3x+4) = \frac{(3x+4)-4}{3} = \frac{3x}{3} = x\), que es nuestra aportación original a\(f\). Si examinamos cuidadosamente la aritmética a medida que simplificamos\(g(f(x))\), en realidad vemos\(g\) primero 'deshacer' la adición de\(4\), y luego 'deshacer' la multiplicación por\(3\). No sólo\(g\) deshace\(f\), sino que\(f\) también deshace\(g\). Es decir, si tomamos la salida de\(g\),\(g(x) = \frac{x-4}{3}\), y ponemos eso en\(f\), obtenemos\(f(g(x)) = f\left(\frac{x-4}{3}\right) = 3 \left(\frac{x-4}{3}\right) + 4 = (x-4) + 4 = x\). Utilizando el lenguaje de composición de funciones desarrollado en la Sección 5.1, los enunciados\(g(f(x)) = x\) y\(f(g(x)) = x\) pueden escribirse como\((g \circ f)(x) = x\) y\((f \circ g)(x) = x\), respectivamente. De manera abstracta, podemos visualizar la relación entre\(f\) y\(g\) en el siguiente diagrama.

La idea principal a obtener del diagrama es que\(g\) toma las salidas\(f\) y las devuelve a sus respectivas entradas, y a la inversa,\(f\) toma salidas de\(g\) y las devuelve a sus respectivas entradas. Ahora tenemos los antecedentes suficientes para exponer la definición central de la sección.

Definición 5.2.

Supongamos\(f\) y\(g\) son dos funciones tales que

1. \((g \circ f)(x) = x\)para todos\(x\) en el dominio de\(f\) y
2. \((f \circ g)(x) = x\)para todos\(x\) en el dominio de\(g\)

entonces\(f\) y\(g\) son inversos entre sí y las funciones\(f\) y\(g\) se dice que son invertibles.

Ahora formalizamos el concepto de que las funciones inversas intercambian entradas y salidas.

Teorema 5.2. Propiedades de las funciones inversas

Supongamos\(f\) y\(g\) son funciones inversas.

• El rango ^a de\(f\) es el dominio de\(g\) y el dominio de\(f\) es el rango de\(g\)
• \(f(a) = b\)si y solo si\(g(b) = a\)
• \((a,b)\)está en la gráfica de\(f\) si y solo si\((b,a)\) está en la gráfica de\(g\)

---

^a Recordar este es el conjunto de todas las salidas de una función.

El Teorema 5.2 es una consecuencia de la Definición 5.2 y del Principio Fundamental de Gráfica para Funciones. Observamos que la tercera propiedad en el Teorema 5.2 nos dice que las gráficas de funciones inversas son reflexiones sobre la línea\(y=x\). Para una prueba de ello, véase el Ejemplo 1.1.7 en la Sección 1.1 y el Ejercicio 72 en la Sección 2.1. Por ejemplo, trazamos las funciones inversas\(f(x) = 3x+4\) y\(g(x) = \frac{x-4}{3}\) abajo.

Si abstracemos un paso más, podemos expresar el sentimiento en la Definición 5.2 diciendo que\(f\) y\(g\) son inversos si y solo si\(g \circ f = I_{1}\) y\(f \circ g = I_{2}\) dónde\(I_{1}\) está restringida la función de identidad ¹ al dominio de\(f\) y \(I_{2}\)es la función de identidad restringida al dominio de\(g\). Es decir,\(I_{1}(x) = x\) para todos\(x\) en el dominio de\(f\) y\(I_{2}(x) = x\) para todos\(x\) en el dominio de\(g\). Usando esta descripción de inversos junto con las propiedades de composición de funciones enumeradas en el Teorema 5.1, podemos demostrar que las inversas de función son únicas. ² Supongamos\(g\) y\(h\) son ambos inversos de una función\(f\). Por Teorema 5.2, el dominio de\(g\) es igual al dominio de\(h\), ya que ambos son el rango de\(f\). Esto significa que la función de identidad\(I_{2}\) se aplica tanto al dominio\(h\) de como al dominio de\(g\). Por lo tanto\(h = h \circ I_{2} = h \circ (f \circ g) = (h \circ f) \circ g = I_{1} \circ g = g\), según se requiera. ³ Resumimos la discusión de los dos últimos párrafos en el siguiente teorema. ⁴

Teorema 5.3. Singularidad de las funciones inversas y sus gráficas

Supongamos que\(f\) es una función invertible.

• Hay exactamente una función inversa para\(f\), denotada\(f^{-1}\) (lectura\(f\) -inversa)
• La gráfica de\(y=f^{-1}(x)\) es el reflejo de la gráfica de\(y=f(x)\) a través de la línea\(y=x\).

La notación\(f^{-1}\) es una elección desafortunada ya que has sido programado desde Álgebra Primaria para pensar en esto como\(\frac{1}{f}\). Este definitivamente no es el caso ya que, por ejemplo,\(f(x) = 3x+4\) tiene como su inversa\(f^{-1}(x) = \frac{x-4}{3}\), que sin duda es diferente a la\(\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{3x+4}\). ¿Por qué persiste esta confusa notación? Como mencionamos en la Sección 5.1, la función de identidad\(I\) es la función de composición cuál\(1\) es el número real a la multiplicación de números reales. La elección de la notación\(f^{-1}\) alude a la propiedad que\(f^{-1} \circ f = I_{1}\) y\(f \circ f^{-1} = I_{2}\), de la misma manera que\(3^{-1} \cdot 3 = 1\) y\(3 \cdot 3^{-1} = 1\).

Volvamos nuestra atención a la función\(f(x) = x^2\). ¿Es\(f\) invertible? Un candidato probable para la inversa es la función\(g(x) = \sqrt{x}\). Comprobando los rendimientos de la composición\((g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|\), que no es igual a\(x\) para todos\(x\) en el dominio\((-\infty, \infty)\). Por ejemplo, cuando\(x=-2\), pero\(f(-2)= (-2)^2 = 4\)\(g(4) = \sqrt{4}=2\), lo que significa que\(g\) no pudo devolver la entrada\(-2\) de su salida\(4\). Lo que\(g\) hizo, sin embargo, es hacer coincidir la salida\(4\) con una entrada diferente\(2\), es decir, que satisface\(f(2) = 4\). Este número se presenta esquemáticamente en la imagen de abajo.

Vemos a partir del diagrama que ya que ambos\(f(-2)\) y\(f(2)\) son\(4\), es imposible construir una función que lleve de\(4\) vuelta a ambos\(x=2\) y\(x=-2\). (Por definición, una función coincide con un número real con exactamente otro número real). Desde un punto de vista gráfico, sabemos que si\(y=f^{-1}(x)\) existe, su gráfica se puede obtener reflexionando\(y=x^2\) sobre la línea\(y=x\), de acuerdo con el Teorema 5.3. Hacerlo produce

Vemos que la línea\(x=4\) cruza la gráfica de la supuesta inversa dos veces - es decir, la gráfica falla la Prueba de Línea Vertical, Teorema 1.1, y como tal, no representa\(y\) como una función de\(x\). La línea vertical\(x=4\) en la gráfica de la derecha corresponde a la línea horizontal\(y=4\) en la gráfica de\(y=f(x)\). El hecho de que la línea horizontal\(y=4\) intersecta la gráfica de dos\(f\) veces significa que dos entradas diferentes, es decir\(x=-2\) y\(x=2\), se emparejan con la misma salida\(4\), que es la causa de todos los problemas. En general, para que una función tenga una inversa, diferentes entradas deben ir a diferentes salidas, o de lo contrario nos encontraremos con el mismo problema que hicimos con\(f(x) = x^2\). Le damos un nombre a esta propiedad.

Definición 5.3.

Se dice que una función\(f\) es uno a uno si\(f\) coincide con diferentes entradas con diferentes salidas. Equivalentemente,\(f\) es uno a uno si y solo si siempre y cuando sea\(f(c) = f(d)\), entonces\(c=d\).

Gráficamente, detectamos funciones uno a uno usando la prueba a continuación.

Teorema 5.4. La Prueba de Línea Horizontal

Una función\(f\) es uno a uno si y solo si ninguna línea horizontal interseca la gráfica de\(f\) más de una vez.

Decimos que la gráfica de una función pasa la Prueba de Línea Horizontal si ninguna línea horizontal cruza la gráfica más de una vez; de lo contrario, decimos que la gráfica de la función falla en la Prueba de Línea Horizontal. Hemos argumentado que si\(f\) es invertible, entonces\(f\) debe ser uno a uno, de lo contrario la gráfica dada al reflejar la gráfica de\(y = f(x)\) alrededor de la línea\(y = x\) fallará la Prueba de Línea Vertical. Resulta que ser uno a uno también es suficiente para garantizar la invertibilidad. Para ver esto, pensamos en\(f\) como el conjunto de pares ordenados que constituyen su gráfica. Si cambiar las\(y\) coordenadas\(x\) - y -de los puntos resulta en una función, entonces\(f\) es invertible y hemos encontrado\(f^{-1}\). Esto es precisamente lo que la Prueba de Línea Horizontal hace por nosotros: comprueba para ver si un conjunto de puntos describe o no\(x\) como una función de\(y\). A continuación resumimos estos resultados.

Teorema 5.5. Condiciones equivalentes para la invertibilidad

Condiciones Equivalentes para la Invertibilidad: Supongamos que\(f\) es una función. Las siguientes declaraciones son equivalentes.

• \(f\)es invertible
• \(f\)es uno a uno
• La gráfica de\(f\) pasa la Prueba de Línea Horizontal

Ponemos a trabajar este resultado en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.2.1

Determinar si las siguientes funciones son uno a uno de dos maneras: (a) analíticamente usando la Definición 5.3 y (b) gráficamente usando la Prueba de Línea Horizontal.

1. \(f(x) = \dfrac{1-2x}{5}\)
2. \(g(x) = \dfrac{2x}{1-x}\)
3. \(h(x) = x^2 - 2x+4\)
4. \(F = \{(-1,1), (0,2), (2,1)\}\)

Solución

1. 1. Para determinar si\(f\) es uno a uno analíticamente, asumimos\(f(c) = f(d)\) e intentamos deducir eso\(c=d\).

      \[\begin{array}{rclr} f(c) & = & f(d) & \\[4pt] \dfrac{1-2c}{5} & = & \dfrac{1-2d}{5} & \\[4pt] 1-2c & = & 1-2d & \\ -2c & = & -2d & \\ c & = & d \, \, \checkmark & \\ \end{array}\nonumber\]

      De ahí,\(f\) es uno a uno.

   2. Para verificar si\(f\) es uno a uno gráficamente, buscamos ver si la gráfica de\(y=f(x)\) pasa la Prueba de Línea Horizontal. Tenemos que\(f\) es una función lineal no constante, lo que significa que su gráfica es una línea no horizontal. Así la gráfica de\(f\) pasa la Prueba de Línea Horizontal.
2. 1. Comenzamos con la suposición de que\(g(c) = g(d)\) e intentamos mostrar\(c=d\).

      \[\begin{array}{rclr} g(c) & = & g(d) & \\[4pt] \dfrac{2c}{1-c} & = & \dfrac{2d}{1-d} & \\ [6pt] 2c(1-d) & = & 2d(1-c) & \\ 2c - 2cd & = & 2d - 2dc & \\ 2c & = & 2d & \\ c & = & d \, \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

      Hemos demostrado que\(g\) es uno a uno.

   2. Podemos graficar\(g\) usando el procedimiento de seis pasos que se describe en la Sección 4.2. Obtenemos la única intercepción en\((0,0)\), una asíntota vertical\(x=1\) y una asíntota horizontal (que la gráfica nunca cruza)\(y = -2\). Vemos a partir de eso la gráfica de\(g\) pasa la Prueba de Línea Horizontal.

      

3. 1. Empezamos con\(h(c) = h(d)\). A medida que nos abrimos camino a través del problema, nos encontramos con una ecuación no lineal. Movemos los términos distintos de cero hacia la izquierda, dejamos a a la\(0\) derecha y facetamos en consecuencia.

      \[\begin{array}{rclr} h(c) & = & h(d) & \\ c^2 - 2c+4 & = & d^2 - 2d+4 & \\ c^2 - 2c & = & d^2 - 2d & \\ c^2 - d^2 - 2c + 2d & = & 0 & \\ (c+d)(c-d) - 2(c-d) & = & 0 & \\ (c-d)((c+d) -2) & = & 0 & \mbox{factor by grouping} \\ c-d = 0 & \mbox{or} & c+d -2 = 0 & \\ c = d & \mbox{or} & c = 2-d & \\ \end{array}\nonumber\]

      Obtenemos\(c=d\) como una posibilidad, pero también tenemos la posibilidad de que\(c=2-d\). Esto sugiere que\(f\) puede no ser uno a uno. Tomando\(d=0\), obtenemos\(c = 0\) o\(c = 2\). Con\(f(0) = 4\) y\(f(2) = 4\), hemos producido dos entradas diferentes con el mismo significado de salida no\(f\) es uno a uno.

   2. Observamos que\(h\) es una función cuadrática y graficamos\(y=h(x)\) utilizando las técnicas presentadas en la Sección 2.3. El vértice es\((1,3)\) y la parábola se abre hacia arriba. Vemos inmediatamente de la gráfica que no\(h\) es uno a uno, ya que hay varias líneas horizontales que cruzan la gráfica más de una vez.
4. 1. La función\(F\) se nos da como un conjunto de pares ordenados. La condición\(F(c)=F(d)\) significa que las salidas de la función (las\(y\) coordenadas -de los pares ordenados) son las mismas. Vemos que los puntos\((-1,1)\) y\((2,1)\) son ambos elementos de\(F\) con\(F(-1)=1\) y\(F(2) = 1\). Ya que\(-1 \neq 2\), hemos establecido que no\(F\) es uno a uno.
   2. Gráficamente, vemos que la línea horizontal\(y=1\) cruza la gráfica más de una vez. De ahí que la gráfica de\(F\) falle la Prueba de Línea Horizontal.

      

Hemos demostrado que las funciones\(f\) y\(g\) en el Ejemplo 5.2.1 son uno-a-uno. Esto quiere decir que son invertibles, por lo que es natural preguntarse qué\(f^{-1}(x)\) y\(g^{-1}(x)\) sería. Porque\(f(x) = \frac{1-2x}{5}\), podemos pensar nuestro camino a través de lo inverso ya que solo hay una ocurrencia de\(x\). Podemos rastrear paso a paso lo que se hace\(x\) e invertir esos pasos como lo hicimos al inicio del capítulo. La función\(g(x) = \frac{2x}{1-x}\) es un poco más complicado ya que\(x\) ocurre en dos lugares. Cuando se evalúa\(g(x)\) para un valor específico de\(x\), cual es primero, el\(2x\) o el\(1-x\)? Podemos imaginar funciones más complicadas que estas por lo que necesitamos desarrollar una metodología general para atacar este problema. El teorema 5.2 nos dice\(y = f^{-1}(x)\) que la ecuación es equivalente a\(f(y) = x\) y esta es la base de nuestro algoritmo.

Pasos para encontrar la inversa de una función de una vez a una

1. Escribir\(y=f(x)\)
2. Intercambio\(x\) y\(y\)
3. Resolver\(x = f(y)\)\(y\) para obtener\(y=f^{-1}(x)\)

Tenga en cuenta que podríamos haber escrito simplemente 'Resolver\(x=f(y)\) para\(y\) 'y haber terminado con él. El acto de intercambiar el\(x\) y\(y\) está ahí para recordarnos que estamos encontrando la función inversa cambiando las entradas y salidas.

Ejemplo 5.2.2

Encuentra la inversa de las siguientes funciones uno a uno. Revisa tus respuestas analíticamente usando la composición de funciones y gráficamente.

1. \(f(x) = \dfrac{1-2x}{5}\)
2. \(g(x) = \dfrac{2x}{1-x}\)

Solución

1. Como mencionamos anteriormente, es posible pensar nuestro camino a través de la inversa de\(f\) registrando los pasos a los que aplicamos\(x\) y el orden en que los aplicamos para luego revertir esos pasos en el orden inverso. Animamos al lector a hacer esto. Nosotros, por otro lado, practicaremos el algoritmo. Escribimos\(y=f(x)\) y procedemos a cambiar\(x\) y\(y\)

   \[\begin{array}{rclr} y & = & f(x) & \\[4pt] y & = & \dfrac{1-2x}{5} & \\ [6pt] x & = & \dfrac{1-2y}{5} & \mbox{switch $x$ and $y$} \\ [6pt] 5x & = & 1 - 2y & \\ 5x-1 & = & -2y & \\ \dfrac{5x-1}{-2} & = & y & \\ y & = & -\dfrac{5}{2} x + \dfrac{1}{2} & \\ \end{array}\nonumber\]

   Tenemos\(f^{-1}(x) = -\frac{5}{2} x + \frac{1}{2}\). Para verificar esta respuesta analíticamente, primero verificamos eso\(\left(f^{-1} \circ f \right)(x) = x\) para todos\(x\) en el dominio de\(f\), que son todos los números reales.

   \[\begin{array}{rclr} \left(f^{-1} \circ f \right)(x) & = & f^{-1}(f(x)) & \\ & = & -\dfrac{5}{2} f(x) + \dfrac{1}{2} & \\ [6pt] & = & -\dfrac{5}{2} \left(\dfrac{1-2x}{5}\right) + \dfrac{1}{2} & \\ & = & -\dfrac{1}{2} (1-2x) + \dfrac{1}{2} & \\ [6pt] & = & -\dfrac{1}{2} + x + \dfrac{1}{2} & \\ & = & x \, \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

   Ahora comprobamos que\(\left(f \circ f^{-1} \right)(x) = x\) para todos\(x\) en el rango de los\(f\) cuales también está todos los números reales. (Recordemos que el dominio de\(f^{-1}\)) es el rango de\(f\).)

   \[\begin{array}{rclr} \left(f \circ f^{-1} \right)(x) & = & f(f^{-1}(x)) & \\[4pt] & = &\dfrac{1-2f^{-1}(x)}{5} & \\ [6pt] & = &\dfrac{1-2\left( -\frac{5}{2} x + \frac{1}{2} \right)}{5} & \\ [6pt] & = & \dfrac{1+5x-1}{5} & \\ & = &\dfrac{5x}{5} & \\ & = & x \, \, \checkmark\\ \end{array}\nonumber\]

   Para verificar nuestra respuesta gráficamente, graficamos\(y=f(x)\) y\(y=f^{-1}(x)\) en el mismo conjunto de ejes. ⁵ Parecen ser reflejos a través de la línea\(y=x\).

   

2. Para encontrar\(g^{-1}(x)\), empezamos con\(y=g(x)\). Observamos que el dominio de\(g\) es\((-\infty,1) \cup (1, \infty)\).

   \[\begin{array}{rclr} y & = & g(x) & \\[4pt] y & = & \dfrac{2x}{1-x} & \\ [7pt] x & = & \dfrac{2y}{1-y} & \mbox{switch $x$ and $y$} \\[4pt] x(1-y) & = & 2y & \\[4pt] x-xy & = & 2y & \\[4pt] x & = & xy + 2y & \\[4pt] x & = & y(x+2) & \mbox{factor}\\ [8pt] y & = & \dfrac{x}{x+2} \end{array}\nonumber\]

   Obtenemos\(g^{-1}(x) = \frac{x}{x+2}\). Para verificar esto analíticamente, primero verificamos\(\left(g^{-1} \circ g \right)(x) = x\) para todos\(x\) en el dominio de\(g\), es decir, para todos\(x \neq 1\).

   \ (\ begin {alineado}
   \ izquierda (g^ {-1}\ circ g\ derecha) (x) &=g^ {-1} (g (x))\\
   &=g^ {-1}\ izquierda (\ frac {2 x} {1-x}\ derecha)\\
   &=\ frac {\ izquierda (\ frac {2 x} {1-x}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2 x} {1-x}\ derecha) +2}\\
   &=\ frac {\ izquierda (\ frac {2 x} {1-x}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2 x} {1-x}\ derecha) +2}\ cdot\ frac {(1-x)} {(1-x)}\ text {denominadores claros}\\
   &=\ frac {2 x} {2 x+2 (1-x)}\\
   &=\ frac {2 x} {2 x+2-2 x}\\
   &=\ frac {2 x} {2 x}}\\
   &=x\ marca de verificación
   \ final {alineado}\)

   A continuación, verificamos\(g\left(g^{-1}(x)\right)= x\) para todos\(x\) en el rango de\(g\). De la gráfica del\(g\) Ejemplo 5.2.1, tenemos que el rango de\(g\) es\((-\infty, -2) \cup (-2,\infty)\). Esto coincide con el dominio que obtenemos de la fórmula\(g^{-1}(x) = \frac{x}{x+2}\), como debería.

   \[\begin{array}{rclr} \left(g \circ g^{-1} \right)(x) & = & g\left(g^{-1}(x)\right) & \\[15pt] & = & g \left(\dfrac{x}{x+2}\right) & \\[15pt] & = & \dfrac{ 2\left(\dfrac{x}{x+2}\right)}{ 1-\left(\dfrac{x}{x+2}\right)} \\ [30pt] & = & \dfrac{ 2\left(\dfrac{x}{x+2}\right)}{ 1-\left(\dfrac{x}{x+2}\right)} \cdot \dfrac{(x+2)}{(x+2)} & \mbox{clear denominators} \\ [30pt] & = & \dfrac{ 2x}{ (x+2) -x} & \\[15pt] & = & \dfrac{2x}{2} & \\[15pt] & = & x \, \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

   Graficar\(y=g(x)\) y\(y = g^{-1}(x)\) en el mismo conjunto de ejes está ocupado, pero podemos ver la relación simétrica si espesamos la curva para\(y=g^{-1}(x)\). Obsérvese que la asíntota vertical\(x=1\) de la gráfica de\(g\) corresponde a la asíntota horizontal\(y=1\) de la gráfica de\(g^{-1}\), como debería ya\(x\) y\(y\) se conmutan. De igual manera, la asíntota horizontal\(y=-2\) de la gráfica de\(g\) corresponde a la asíntota vertical\(x=-2\) de la gráfica de\(g^{-1}\).

   

Ahora volvemos a\(f(x) = x^2\). Sabemos que no\(f\) es uno a uno, y por lo tanto, no es invertible. Sin embargo, si restringimos el dominio de\(f\), podemos producir una nueva función\(g\) que es uno a uno. Si definimos\(g(x) = x^2\)\(x \geq 0\),, entonces tenemos

La gráfica de\(g\) pasa la Prueba de Línea Horizontal. Para encontrar una inversa de\(g\), procedemos como de costumbre

\[\begin{array}{rclr} y & = & g(x) & \\ y & = & x^2, \, \, \, x \geq 0 & \\ x & = & y^2, \, \, \, y \geq 0 & \mbox{switch $x$ and $y$}\\ y & = & \pm \sqrt{x} & \\ y & = & \sqrt{x} & \mbox{since $y \geq 0$} \\ \end{array}\nonumber\]

Obtenemos\(g^{-1}(x) = \sqrt{x}\). Al principio parece que nos encontraremos con los mismos problemas que antes, pero cuando comprobamos la composición, la restricción de dominio en\(g\) guarda el día. Obtenemos\(\left(g^{-1} \circ g\right) (x) = g^{-1}(g(x)) = g^{-1}\left(x^2\right) = \sqrt{x^2} = |x| = x\), ya que\(x \geq 0\). Comprobación\(\left( g \circ g^{-1}\right)(x) = g\left(g^{-1}(x)\right) = g\left(\sqrt{x}\right) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x\). Graficando ⁶\(g\) y\(g^{-1}\) en el mismo conjunto de ejes muestra que son reflejos sobre la línea\(y=x\).

Nuestro siguiente ejemplo continúa con el tema de la restricción de dominio.

Ejemplo 5.2.3

Grafica las siguientes funciones para mostrar que son uno a uno y encontrar sus inversos. Revisa tus respuestas analíticamente usando la composición de funciones y gráficamente.

1. \(j(x) = x^2 - 2x + 4\),\(x \leq 1\).
2. \(k(x) = \sqrt{x+2} - 1\)

Solución.

1. La función\(j\) es una restricción de la función\(h\) del Ejemplo 5.2.1. Dado que el dominio de\(j\) está restringido a\(x \leq 1\), estamos seleccionando sólo la 'mitad izquierda' de la parábola. Vemos que la gráfica de\(j\) pasa la Prueba de Línea Horizontal y así\(j\) es invertible.

   

   Ahora usamos nuestro algoritmo ⁷ para encontrar\(j^{-1}(x)\).

   \[\begin{array}{rclr} y & = & j(x) & \\ y & = & x^2-2x+4, \, \, \, x \leq 1 \\ x & = & y^2 - 2y+4, \, \, \, y \leq 1 & \mbox{switch $x$ and $y$} \\ 0 & = & y^2 - 2y + 4-x & \\ y & = & \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(4-x)}}{2(1)} & \mbox{quadratic formula, $c=4-x$} \\ [10pt] y & = & \dfrac{2 \pm \sqrt{4x-12}}{2} & \\ [6pt] y & = & \dfrac{2 \pm \sqrt{4(x-3)}}{2} & \\ [6pt] y & = & \dfrac{2 \pm 2\sqrt{x-3}}{2} & \\ [6pt] y & = & \dfrac{2\left(1 \pm \sqrt{x-3}\right)}{2} & \\ [6pt] y & = & 1 \pm \sqrt{x-3} & \\ y & = & 1 - \sqrt{x-3} & \mbox{since $y \leq 1$.} \\ \end{array}\nonumber\]

   Tenemos\(j^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x-3}\). Cuando simplificamos\(\left(j^{-1} \circ j\right)(x)\), hay que recordar que el dominio de\(j\) es\(x \leq 1\).

   \[\begin{array}{rclr} \left(j^{-1} \circ j \right)(x) & = & j^{-1}(j(x)) & \\ & = & j^{-1}\left(x^2-2x+4\right), \, \, \, x \leq 1 & \\ & = & 1 - \sqrt{\left(x^2-2x+4\right)-3} & \\ & = & 1 - \sqrt{x^2-2x+1} & \\ & = & 1 - \sqrt{(x-1)^2} & \\ & = & 1 - |x-1|& \\ & = & 1 - (-(x-1)) & \mbox{since $x \leq 1$}\\ & = & x \, \, \checkmark &\\ \end{array}\nonumber\]

   Comprobando\(j \circ j^{-1}\), obtenemos

   \[\begin{array}{rclr} \left(j \circ j^{-1} \right)(x) & = & j\left(j^{-1}(x)\right) & \\ & = & j\left(1 - \sqrt{x-3}\right) & \\ & = & \left(1 - \sqrt{x-3}\right)^2-2\left(1 - \sqrt{x-3}\right)+4 & \\ & = & 1 - 2\sqrt{x-3} + \left(\sqrt{x-3}\right)^2 -2 + 2\sqrt{x-3}+4 & \\ & = & 3+ x-3 & \\ & = & x \, \, \checkmark &\\ \end{array}\nonumber\]

   Usando lo que sabemos de la Sección 1.7, graficamos\(y=j^{-1}(x)\) y\(y=j(x)\) a continuación.

   

2. Gráficamos\(y=k(x) =\sqrt{x+2} - 1\) usando lo que aprendimos en la Sección 1.7 y ver\(k\) es uno a uno.

   

   Ahora tratamos de encontrar\(k^{-1}\).

   \[\begin{array}{rclr} y & = & k(x) & \\ y & = & \sqrt{x+2}-1 & \\ x & = & \sqrt{y+2} - 1 & \mbox{switch $x$ and $y$} \\ x+1 & = & \sqrt{y+2} & \\ (x+1)^2 & = & \left(\sqrt{y+2}\right)^2 & \\ x^2 + 2x + 1 & = & y + 2 & \\ y & = & x^2 + 2x - 1 & \\ \end{array}\nonumber\]

   Tenemos\(k^{-1}(x) = x^2+2x-1\). Basándonos en nuestra experiencia, sabemos que algo no está del todo bien. Determinamos que\(k^{-1}\) es una función cuadrática, y hemos visto varias veces en esta sección que estas no son uno-a-uno a menos que sus dominios estén adecuadamente restringidos. Teorema 5.2 nos dice que el dominio de\(k^{-1}\) es el rango de\(k\). De la gráfica de\(k\), vemos que el rango es\([-1, \infty)\), lo que significa que restringimos el dominio de\(k^{-1}\) a\(x \geq -1\). Ahora comprobamos que esto funciona en nuestras composiciones.

   \[\begin{array}{rclr} \left(k^{-1} \circ k \right)(x) & = & k^{-1}(k(x)) & \\ & = & k^{-1}\left(\sqrt{x+2}-1\right), \, \, \, x \geq -2 & \\ & = & \left(\sqrt{x+2}-1\right)^2 + 2\left(\sqrt{x+2}-1\right) - 1& \\ & = & \left(\sqrt{x+2}\right)^2 - 2\sqrt{x+2} + 1 + 2 \sqrt{x+2} - 2 - 1 & \\ & = &x+2 -2 & \\ & = & x \, \, \checkmark &\\ \end{array}\nonumber\]

   y

   \[\begin{array}{rclr} \left(k \circ k^{-1} \right)(x) & = & k\left( x^2+2x-1 \right) \, \, \, x \geq -1 & \\ & = & \sqrt{\left(x^2+2x-1\right)+2}-1 & \\ & = & \sqrt{x^2+2x+1}-1 & \\ & = & \sqrt{(x+1)^2}-1 & \\ & = & |x+1| -1 & \\ & = & x+1 -1 & \mbox{since $x \geq -1$}\\ & = & x \, \, \checkmark &\\ \end{array}\nonumber\]

   Gráficamente, todo sale también, siempre que recordemos la restricción de dominio en los\(k^{-1}\) medios que tomamos la mitad derecha de la parábola.

   

Nuestro último ejemplo de la sección da una aplicación de funciones inversas.

Ejemplo 5.2.4

Recordemos de la Sección 2.1 que la ecuación precio-demanda para el sistema de juegos PortaBoy es\(p(x) = -1.5x + 250\) para\(0 \leq x \leq 166\), donde\(x\) representa el número de sistemas que se venden semanalmente y\(p\) es el precio por sistema en dólares.

1. Explica por qué\(p\) es uno a uno y encuentra una fórmula para\(p^{-1}(x)\). Declarar el dominio restringido.
2. Encontrar e interpretar\(p^{-1}(220)\).
3. Recordemos de la Sección 2.3 que la ganancia semanal\(P\), en dólares, como resultado de los\(x\) sistemas de venta viene dada por\(P(x)= -1.5x^2+170x-150\). Encontrar e interpretar\(\left( P \circ p^{-1}\right)(x)\).
4. Utilice su respuesta a la parte 3 para determinar el precio por portaboy que arrojaría el máximo beneficio. Comparar con el Ejemplo 2.3.3.

Solución

1. Dejamos al lector mostrar la gráfica de\(p(x) = -1.5x + 250\),\(0 \leq x \leq 166\), es un segmento de línea de\((0,250)\) a\((166,1)\), y como tal pasa la Prueba de Línea Horizontal. De ahí,\(p\) es uno a uno. Encontramos la expresión para\(p^{-1}(x)\) como de costumbre y obtenemos\(p^{-1}(x) = \frac{500-2x}{3}\). El dominio de\(p^{-1}\) debe coincidir con el rango de\(p\), que es\([1,250]\), y como tal, restringimos el dominio de\(p^{-1}\) a\(1 \leq x \leq 250\).
2. Nos encontramos\(p^{-1}(220) = \frac{500-2(220)}{3} = 20\). Ya que la función\(p\) tomó como insumos las ventas semanales y amuebló el precio por sistema como la salida,\(p^{-1}\) toma el precio por sistema y devuelve las ventas semanales como su salida. De ahí\(p^{-1}(220) = 20\) que\(20\) los sistemas medios se venderán en una semana si el precio se fija en\(\$ 220\) por sistema.
3. Nosotros computamos\(\left( P \circ p^{-1}\right)(x) = P \left(p^{-1}(x)\right) = P\left(\frac{500-2x}{3}\right) = -1.5\left(\frac{500-2x}{3}\right)^2+170\left(\frac{500-2x}{3}\right)-150\). Después de una gran cantidad de Álgebra Primaria, obtenemos ⁸\(\left( P \circ p^{-1}\right)(x) = -\frac{2}{3} x^2 +220x - \frac{40450}{3}\). Para entender lo que esto significa, recordemos que la función de ganancia original nos\(P\) dio el beneficio semanal en función de las ventas semanales. La función nos\(p^{-1}\) da las ventas semanales en función del precio. De ahí,\(P \circ p^{-1}\) toma como insumo un precio. La función\(p^{-1}\) devuelve las ventas semanales, que a su vez se alimenta\(P\) para devolver la ganancia semanal. De ahí, nos\(\left(P \circ p^{-1}\right)(x)\) da la ganancia semanal (en dólares) en función del precio por sistema\(x\), utilizando las ventas semanales\(p^{-1}(x)\) como el 'hombre intermedio'.
4. Sabemos por la Sección 2.3 que la gráfica de\(y = \left( P \circ p^{-1}\right)(x)\) es una parábola que se abre hacia abajo. El beneficio máximo se realiza en el vértice. Ya que nos preocupa únicamente el precio por sistema, solo necesitamos encontrar la\(x\) coordenada del vértice. Identificando\(a = -\frac{2}{3}\) y\(b = 220\), obtenemos, por la Fórmula Vértice, Ecuación 2.4,\(x = -\frac{b}{2a} = 165\). De ahí que la ganancia semanal se maximice si fijamos el precio en\(\$165\) por sistema. Comparando esto con nuestra respuesta del Ejemplo 2.3.3, hay una ligera discrepancia en la melodía de\(\$0.50\). Dejamos al lector equilibrar los libros de manera apropiada.

Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 20, mostrar que la función dada es uno a uno y encuentra su inversa. Consulta tus respuestas algebraica y gráficamente. Verificar que el rango de\(f\) es el dominio de\(f^{-1}\) y viceversa.

1. \(f(x) = 6x - 2\)
2. \(f(x) = 42-x\)
3. \(f(x) = \dfrac{x-2}{3} + 4\)
4. \(f(x) = 1 - \dfrac{4+3x}{5}\)
5. \(f(x) = \sqrt{3x-1}+5\)
6. \(f(x) = 2-\sqrt{x - 5}\)
7. \(f(x) = 3\sqrt{x-1}-4\)
8. \(f(x) = 1 - 2\sqrt{2x+5}\)
9. \(f(x) = \sqrt[5]{3x-1}\)
10. \(f(x) = 3-\sqrt[3]{x-2}\)
11. \(f(x) = x^2 - 10x\),\(x \geq 5\)
12. \(f(x) = 3(x + 4)^{2} - 5, \; x \leq -4\)
13. \(f(x) = x^2-6x+5, \; x \leq 3\)
14. \(f(x) = 4x^2 + 4x + 1\),\(x < -1\)
15. \(f(x) = \dfrac{3}{4-x}\)
16. \(f(x) = \dfrac{x}{1-3x}\)
17. \(f(x) = \dfrac{2x-1}{3x+4}\)
18. \(f(x) = \dfrac{4x + 2}{3x - 6}\)
19. \(f(x) = \dfrac{-3x - 2}{x + 3}\)
20. \(f(x) = \dfrac{x-2}{2x-1}\)

Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra los inversos de las funciones en Ejercicios 21 - 24.

21. \(f(x) = ax + b, \; a \neq 0\)[genericinversefirst]
22. \(f(x) = a\sqrt{x - h} + k, \; a \neq 0, x \geq h\)
23. \(f(x) = ax^{2} + bx + c\)donde\(a \neq 0, \, x \geq -\dfrac{b}{2a}\).
24. \(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d},\;\)(Ver Ejercicio 33 a continuación.)
25. En el Ejemplo 1.5.3, el precio de un reproductor multimedia DoPi, en dólares por doPi, se da en función de las ventas semanales\(x\) según la fórmula\(p(x) = 450-15x\) para\(0 \leq x \leq 30\).
    1. Encontrar\(p^{-1}(x)\) y exponer su dominio.
    2. Encontrar e interpretar\(p^{-1}(105)\).
    3. En el Ejemplo 1.5.3, determinamos que la ganancia (en dólares) obtenida de producir y vender\(x\) DOPI por semana es\(P(x)= -15x^2+350x-2000\), para\(0 \leq x \leq 30\). Encuentra\(\left(P \circ p^{-1}\right)(x)\) y determina qué precio por DoPi produciría el máximo beneficio. ¿Cuál es el beneficio máximo? ¿Cuántos DOPI necesitan ser producidos y vendidos para lograr el máximo beneficio?
26. Mostrar que la función de conversión de Fahrenheit a Celsius que se encuentra en el Ejercicio 35 en la Sección 2.1 es invertible y que su inversa es la función de conversión de Celsius a Fahrenheit.
27. Analíticamente mostrar que la función\(f(x) = x^3 + 3x + 1\) es uno a uno. Dado que encontrar una fórmula para su inversa está más allá del alcance de este libro de texto, use Teorema 5.2 para ayudarle a calcular\(f^{-1}(1), \; f^{-1}(5), \;\) y\(f^{-1}(-3)\).
28. Vamos\(f(x) = \frac{2x}{x^2-1}\). Utilizando las técnicas de la Sección 4.2, gráfico\(y=f(x)\). Verifique que\(f\) sea uno a uno en el intervalo\((-1,1)\). Utilice el procedimiento que se describe en la página 384 y su calculadora gráfica para encontrar la fórmula para\(f^{-1}(x)\). Tenga en cuenta que ya que\(f(0) = 0\), debería ser el caso que\(f^{-1}(0) = 0\). ¿Qué sale mal cuando intentas sustituir\(x=0\) en\(f^{-1}(x)\)? Discuta con sus compañeros de clase cómo surgió este problema y posibles remedios.
29. Con la ayuda de tus compañeros de clase, explica por qué una función que esté aumentando estrictamente o disminuyendo estrictamente en todo su dominio tendría que ser uno a uno, de ahí invertible.
30. Si\(f\) es impar e invertible, demuestre que también\(f^{-1}\) es impar.
31. [fcircginverse] Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones invertibles. Con la ayuda de tus compañeros de clase\((f \circ g)\) demuéstrense que es uno a uno, de ahí invertible, y eso\((f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)\).
32. ¿Qué característica gráfica debe\(f\) poseer una función para que sea su propia inversa?
33. [whatconditions] ¿Qué condiciones debes poner a los valores de\(a, b, c\) y\(d\) en el Ejercicio 24 para garantizar que la función sea invertible?

RESPUESTAS

1. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{6}\)
2. \(f^{-1}(x) = 42-x\)
3. \(f^{-1}(x) = 3x-10\)
4. \(f^{-1}(x) = -\frac{5}{3} x + \frac{1}{3}\)
5. \(f^{-1}(x) = \frac{1}{3}(x-5)^2+\frac{1}{3}\),\(x \geq 5\)
6. \(f^{-1}(x) = (x - 2)^{2} + 5, \; x \leq 2\)
7. \(f^{-1}(x) = \frac{1}{9}(x+4)^2+1\),\(x \geq -4\)
8. \(f^{-1}(x) = \frac{1}{8}(x-1)^2-\frac{5}{2}\),\(x \leq 1\)
9. \(f^{-1}(x) = \frac{1}{3} x^{5} + \frac{1}{3}\)
10. \(f^{-1}(x) = -(x-3)^3+2\)
11. \(f^{-1}(x) = 5 + \sqrt{x+25}\)
12. \(f^{-1}(x) = -\sqrt{\frac{x + 5}{3}} - 4\)
13. \(f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x+4}\)
14. \(f^{-1}(x) =-\frac{\sqrt{x}+1}{2}\),\(x > 1\)
15. \(f^{-1}(x) = \dfrac{4x-3}{x}\)
16. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3x+1}\)
17. \(f^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{2-3x}\)
18. \(f^{-1}(x) = \dfrac{6x + 2}{3x - 4}\)
19. \(f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 2}{x + 3}\)
20. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x-2}{2x-1}\)

25. 1. \(p^{-1}(x) = \frac{450-x}{15}\). El dominio de\(p^{-1}\) es el rango de los\(p\) cuales es\([0,450]\)
    2. \(p^{-1}(105) = 23\). Esto significa que si el precio se establece en\(\$105\) entonces\(23\) se venderán DOPI.
    3. \(\left(P\circ p^{-1}\right)(x) = -\frac{1}{15} x^2 + \frac{110}{3} x - 5000\),\(0 \leq x \leq 450\). La gráfica de\(y = \left(P\circ p^{-1}\right)(x)\) es una parábola que se abre hacia abajo con vértice\(\left(275, \frac{125}{3}\right) \approx (275, 41.67)\). Esto significa que la ganancia máxima es friolera\(\$41.67\) cuando el precio por DoPi se establece en\(\$275\). A este precio, podemos producir y vender\(p^{-1}(275) = 11.\overline{6}\) DOPI. Como no podemos vender parte de un sistema, necesitamos ajustar el precio para vender ya\(11\) sea DOPI o\(12\) DOPI. Encontramos\(p(11) = 285\) y\(p(12) = 270\), lo que significa que establecemos el precio por DoPi en cualquiera\(\$285\) o\(\$270\), respectivamente. Las ganancias a estos precios son\(\left(P\circ p^{-1}\right)(285) = 35\) y\(\left(P\circ p^{-1}\right)(270) = 40\), así parece como si la ganancia máxima es\(\$40\) y se obtiene produciendo y vendiendo\(12\) DOPI a la semana a un precio de\(\$270\) por DOPI.

27. Dado eso\(f(0) = 1\), tenemos\(f^{-1}(1) = 0\). Del mismo modo\(f^{-1}(5) = 1\) y\(f^{-1}(-3) = -1\)

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Referencia

¹ La función de identidad\(\ I\), que fue introducida en la Sección 2.1 y mencionada en el Teorema 5.1, tiene un dominio de todos los números reales. Dado que los dominios de\(\ f\) y\(\ g\) pueden no ser todos números reales, necesitamos las restricciones enumeradas aquí.

² En otras palabras, las funciones invertibles tienen exactamente una inversa.

³ Es un excelente ejercicio para explicar cada paso en esta cadena de igualdades.

⁴ En aras de una divulgación completa, los autores quisieran admitir que gran parte de la discusión de los párrafos anteriores podría haberse evitado fácilmente si hubiéramos apelado a la descripción de una función como conjunto de pares ordenados. No nos disculpamos por nuestra discusión desde el punto de vista de la composición de funciones, sin embargo, ya que expone al lector a formas más abstractas de pensar de funciones e inversas. Volveremos a revisar este concepto en el Capítulo 8.

⁵ Tenga en cuenta que si realiza su verificación en una calculadora para obtener funciones más sofisticadas, deberá aprovechar la función 'ZoomSquare' para obtener la perspectiva geométrica correcta.

⁶ Graficamos\(y=\sqrt{x}\) en la Sección 1.7.

⁷ Aquí, utilizamos la Fórmula Cuadrática para resolver\(y\). Para 'completitud, notamos que puedes (¡y deberías!) también considere resolver\(y\) por 'completando' el cuadrado.

⁸ ¡Es una buena reseña para hacer esto de verdad!