Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

8.2: Sistemas de Ecuaciones Lineales- Matrices Aumentadas

  • Page ID
    119468
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En la Sección 8.1 se introdujo la Eliminación Gaussiana como un medio para transformar un sistema de ecuaciones lineales en forma triangular con el objetivo final de producir un sistema equivalente de ecuaciones lineales que sea más fácil de resolver. Si damos un paso atrás y estudiamos el proceso, vemos que todos nuestros movimientos están determinados en su totalidad por los coeficientes de las variables involucradas, y no por las propias variables. Pasó casi lo mismo cuando estudiamos división larga en la Sección 3.2. Así como desarrollamos la división sintética para agilizar ese proceso, en esta sección, introducimos un dispositivo de contabilidad similar para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, definimos una matriz como una matriz rectangular de números reales. Normalmente encerramos matrices con corchetes, '\(\left[ \right.\)' y '\(\left. \right]\)', y dimensionamos las matrices por el número de filas y columnas que tienen. Por ejemplo, el tamaño (a veces llamado dimensión) de

    \[\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & -1 \\ 2 & -5 & 10 \end{array} \right]\nonumber\]

    es\(2 \times 3\) porque tiene\(2\) filas y\(3\) columnas. Los números individuales en una matriz se llaman sus entradas y generalmente se etiquetan con subíndices dobles: el primero indica en qué fila se encuentra el elemento y el segundo indica en qué columna se encuentra. Las filas se numeran de arriba a abajo y las columnas se numeran de izquierda a derecha. Las matrices mismas suelen ser denotadas por letras mayúsculas (\(A\)\(B\),\(C\),, etc.) mientras que sus entradas suelen ser denotadas por la letra correspondiente. Entonces, por ejemplo, si tenemos

    \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & -1 \\ 2 & -5 & 10 \end{array} \right]\nonumber\]

    entonces\(a_{11} = 3\),\(a_{12} = 0\),\(a_{13} = -1\),\(a_{21} = 2\),\(a_{22} = -5\), y\(a_{23} = 10\). Exploraremos las matrices como objetos matemáticos con álgebra propia en la Sección 8.3 e introducirlas aquí únicamente como un dispositivo de contabilidad. Considere el sistema de ecuaciones lineales del número 2 en el Ejemplo 8.1.2

    \[\left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & 2x+3y-z & = & 1 \\ (E2) & 10x-z & = & 2 \\ (E3) & 4x-9y+2z & = & 5 \\ \end{array} \right.\nonumber\]

    Codificamos este sistema en una matriz asignando cada ecuación a una fila correspondiente. Dentro de esa fila, cada variable y la constante obtiene su propia columna, y para separar las variables del lado izquierdo de la ecuación de las constantes del lado derecho, usamos una barra vertical,\(|\). Tenga en cuenta que en\(E2\), ya que no\(y\) está presente, registramos su coeficiente como\(0\). La matriz asociada a este sistema es

    \[\begin{array}{c} \begin{array}{rrrrrrr} & & & \hspace{.33in} x & \hspace{.12in} y & \hspace{.1in} z & \hspace{.03in} c \\ \end{array} \\ \begin{array}{r} (E1) \rightarrow \\ (E2) \rightarrow \\ (E3) \rightarrow \end{array} \left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & -1 & 1\\ 10 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & -9 & 2 & 5 \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Esta matriz se denomina matriz aumentada porque la columna que contiene las constantes se anexa a la matriz que contiene los coeficientes. 1 Para resolver este sistema, podemos usar el mismo tipo de operaciones en las filas de la matriz que realizamos en las ecuaciones del sistema. Más específicamente, tenemos el siguiente análogo del Teorema 8.1 a continuación.

    Teorema 8.2. Operaciones de Fila

    Dada una matriz aumentada para un sistema de ecuaciones lineales, las siguientes operaciones de fila producen una matriz aumentada que corresponde a un sistema equivalente de ecuaciones lineales.

    • Intercambiar dos filas cualesquiera.
    • Reemplace una fila con un múltiplo distinto de cero de sí misma. a
    • Reemplace una fila consigo misma más un múltiplo distinto de cero de otra fila. b

    a Es decir, la fila obtenida multiplicando cada entrada de la fila por el mismo número distinto de cero.

    b Donde agregamos entradas en las columnas correspondientes.

    Como demostración de los movimientos en el Teorema 8.2, repasamos algunos de los pasos que se utilizaron para resolver los sistemas de ecuaciones lineales en el Ejemplo 8.1.2 de la Sección 8.1. Se alienta al lector a realizar las operaciones indicadas en las filas de la matriz aumentada para ver que las maquinaciones son idénticas a lo que se hace a los coeficientes de las variables en las ecuaciones. Primero vemos una demostración de cambiar dos filas usando el primer paso de la parte 1 en el Ejemplo 8.1.2.

    \[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & 3x-y+z & = & 3 \\ (E2) & 2x-4y+3z & = & 16 \\ (E3) & x-y+z & = & 5 \\ \end{array} \right. & \xrightarrow{\text{Switch $E1$ and $E3$}} & \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & x-y+z & = & 5 \\ (E2) & 2x-4y+3z & = & 16 \\ (E3) & 3x-y+z & = & 3 \\ \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & \hphantom{-}1 & 3 \\ 2 & -4 & 3 & 16 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Switch $R1$ and $R3$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & \hphantom{-}1 & 5 \\ 2 & -4 & 3 & 16 \\ 3 & -1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    A continuación, tenemos una demostración de reemplazar una fila por un múltiplo distinto de cero de sí misma usando el primer paso de la parte 3 en el Ejemplo 8.1.2.

    \[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & 3x_1 +x_2 + x_4 & = & 6 \\ (E2) & 2x_1 + x_2 -x_3 & = & 4 \\ (E3) & x_2 -3x_3 -2x_4 & = & 0 \\ \end{array} \right. & \xrightarrow{\text{Replace $E1$ with $\frac{1}{3}E1$}} & \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & x_1 + \frac{1}{3}x_2 + \frac{1}{3}x_4 & = & 2 \\ (E2) & 2x_1 + x_2 -x_3 & = & 4 \\ (E3) & x_2 -3x_3 -2x_4 & = & 0 \\ \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 3 & \hphantom{-} 1 & 0 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -2 & 0 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R1$ with $\frac{1}{3}R1$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 2 \\ 2 & \hphantom{-}1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -2 & 0 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Por último, tenemos un ejemplo de reemplazar una fila consigo misma más un múltiplo de otra fila usando el segundo paso de la parte 2 en el Ejemplo 8.1.2.

    \[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z & = & \frac{1}{2} \\ (E2) & 10x-z & = & 2 \\ (E3) & 4x-9y+2z & = & 5 \\ \end{array} \right. & \xrightarrow[\text{Replace $E3$ with $-4E1 + E3$}]{\text{Replace $E2$ with $-10E1 + E2$}} & \left\{ \begin{array}{lrcr} (E1) & x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z & = & \frac{1}{2} \\ (E2) & -15y+4z & = & -3 \\ (E3) & -15y+4z & = & 3 \\ \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 10 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & -9 & 2 & 5 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{Replace $R3$ with $-4R1 + R3$}]{\text{Replace $R2$ with $-10R1 + R2$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -15 & 4 & -3 \\ 0 & -15 & 4 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    El equivalente de matriz de 'forma trianal' es la forma escalonada de fila. Se alienta al lector a referirse a la Definición 8.3 para su comparación. Tenga en cuenta que el análogo de “variable principal” de una ecuación es “entrada principal” de una fila. Específicamente, la primera entrada distinta de cero (si existe) en una fila se denomina entrada inicial de esa fila.

    Definición 8.4.

    Se dice que una matriz está en forma de escalón de fila siempre que se cumplan todas las siguientes condiciones:

    1. La primera entrada distinta de cero en cada fila es\(1\).
    2. El líder\(1\) de una fila dada debe estar a la derecha del líder\(1\) de la fila que está por encima de ella.
    3. Cualquier fila de todos los ceros no se puede colocar encima de una fila con entradas distintas de cero.

    Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz aumentada, codificamos el sistema en una matriz aumentada y aplicamos Eliminación Gaussiana a las filas para obtener la matriz en forma de fila-escalón. Luego decodificamos la matriz y el sustituto posterior. El siguiente ejemplo ilustra esto muy bien.

    Ejemplo 8.2.1

    Utilice una matriz aumentada para transformar el siguiente sistema de ecuaciones lineales en forma triangular. Resuelve el sistema. \[\left\{ \begin{array}{rcl} 3x - y + z & = & 8 \\ x + 2y - z & = & 4 \\ 2x+ 3y - 4z & = & 10 \\ \end{array} \right.\nonumber\]

    Solución

    Primero codificamos el sistema en una matriz aumentada.

    \[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - y + z & = & 8 \\ x + 2y - z & = & 4 \\ 2x+ 3y - 4z & = & 10 \\ \end{array} \right. & \xrightarrow{\text{Encode into the matrix}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & 1 & 8 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & -4 & 10 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Pensando en la Eliminación Gaussiana a nivel de ecuaciones, nuestro primer orden del día es\(x\) entrar\(E1\) con un coeficiente de\(1\). A nivel de matriz, esto significa obtener un líder\(1\) en\(R1\). Esto se ajusta a los primeros criterios de la Definición 8.4. Para ello, nos intercambiamos\(R1\) y\(R2\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & 1 & 8 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & -4 & 10 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Switch $R1$ and $R2$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & 1 & 8 \\ 2 & 3 & -4 & 10 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Nuestro siguiente paso es eliminar los\(x\)'s de\(E2\) y\(E3\). Desde el punto de vista de la matriz, esto significa que necesitamos\(0\) está por debajo del líder\(1\) en\(R1\). Esto garantiza que el líder\(1\) en\(R2\) estará a la derecha del líder\(1\) de\(R1\) acuerdo con el segundo requisito de la Definición 8.4.

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & 1 & 8 \\ 2 & 3 & -4 & 10 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{Replace $R3$ with $-2R1+R3$}]{\text{Replace $R2$ with $-3R1 +R2$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -7 & 4 & -4 \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Ahora repetimos el proceso anterior para la variable\(y\) lo que significa que necesitamos obtener la entrada principal\(R2\) para ser\(1\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -7 & 4 & -4 \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R2$ with $-\frac{1}{7}R2$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Para garantizar que el líder\(1\) en\(R3\) está a la derecha del líder\(1\) en\(R2\), obtenemos un\(0\) en la segunda columna de\(R3\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R3$ with $R2+R3$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}2 & -1 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\[4pt] 0 & 0 & -\frac{18}{7} & \frac{18}{7} \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Por último, conseguimos que la entrada principal\(R3\) sea\(1\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}2 & -1 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\[4pt] 0 & 0 & -\frac{18}{7} & \frac{18}{7} \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R3$ with $-\frac{7}{18}R3$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    La decodificación de la matriz da un sistema en forma triangular

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Decode from the matrix}} & \left \{ \begin{array}{rcr} x + 2y-z & = & 4 \\ y - \frac{4}{7} z & = & \frac{4}{7} \\ z & = & -1 \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    Obtenemos\(z=-1\),\(y = \frac{4}{7} z + \frac{4}{7} = \frac{4}{7}(-1)+\frac{4}{7} = 0\) y\(x = -2y+z+4 = -2(0)+(-1)+4 = 3\) para una respuesta final de\((3,0,-1)\). Dejamos que el lector lo revise.

    Como parte de la Eliminación Gaussiana, usamos operaciones de fila para obtener\(0\)'s debajo de cada uno de los principales\(1\) para poner la matriz en forma de escalón de filas. Si también requerimos que\(0\) son los únicos números por encima de un líder\(1\), tenemos lo que se conoce como la forma de escalón de fila reducida de la matriz.

    Definición 8.5.

    Se dice que una matriz está en forma de escalón de fila reducida siempre que se mantengan las dos condiciones siguientes:

    1. La matriz está en forma de escalón de fila.
    2. Las\(1\) s principales son la única entrada distinta de cero en sus respectivas columnas.

    ¿De qué importancia tiene la forma de escalón de fila reducida de una matriz? Para ilustrar, tomemos la forma de escalón de filas del Ejemplo 8.2.1 y realicemos los pasos necesarios para poner en forma de escalón de fila reducida. Comenzamos usando la entrada inicial\(R3\) para\(1\) poner a cero los números en las filas por encima de él.

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{7} & \frac{4}{7} \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{Replace $R2$ with $\frac{4}{7} R3 + R2$}]{\text{Replace $R1$ with $R3+R1$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Por último, nos ocupamos de\(R1\) lo\(2\) en arriba del líder\(1\) en\(R2\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R1$ with $-2R2+R1$}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Para nuestra sorpresa y deleite, cuando decodificamos esta matriz, obtenemos la solución instantáneamente sin tener que lidiar con ninguna retrosustitución en absoluto.

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & -1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Decode from the matrix}} & \left\{ \begin{array}{rcr} x & = & 3 \\ y & = & 0 \\ z & = & -1 \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    Tenga en cuenta que en la discusión anterior, podríamos haber comenzado con\(R2\) y usarlo para obtener un cero por encima de su\(1\) liderato y luego hacer lo mismo para el líder\(1\) en\(R3\). Al comenzar con\(R3\), sin embargo, primero obtenemos más ceros, y cuantos más ceros haya, más rápidos serán los cálculos restantes. 2 También vale la pena señalar que si bien una matriz tiene varias formas de escalón de 3 filas, solo tiene una forma de escalón de fila reducida. El proceso por el cual hemos puesto una matriz en forma de escalón de fila reducida se llama Eliminación Gauss-Jordan.

    Ejemplo 8.2.2

    Resuelve el siguiente sistema usando una matriz aumentada. Utilice Eliminación Gauss-Jordan para poner la matriz aumentada en forma de escalón de fila reducida.

    \[\left \{ \begin{array}{rcr} x_2 - 3x_1 + x_4 & = & 2 \\ 2x_1 + 4x_3 & = & 5 \\ 4x_2-x_4 & = & 3 \end{array} \right.\nonumber\]

    Solución

    Primero codificamos el sistema en una matriz. (¡Presta atención a los subíndices!)

    \[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{rcr} x_2 - 3x_1 + x_4 & = & 2 \\ 2x_1 + 4x_3 & = & 5 \\ 4x_2-x_4 & = & 3 \end{array} \right. & \xrightarrow{\text{Encode into the matrix}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} -3 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    A continuación, obtenemos un líder\(1\) en la primera columna de\(R1\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} -3 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R1$ with $-\frac{1}{3}R1$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 2 & 0 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Ahora eliminamos la entrada distinta de cero por debajo de nuestro líder\(1\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 2 & 0 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R2$ with $-2R1+R2$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & \frac{2}{3} & 4 & \frac{2}{3} & \frac{19}{3} \\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Se procede a conseguir un líder\(1\) en\(R2\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & \frac{2}{3} & 4 & \frac{2}{3} & \frac{19}{3} \\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R2$ with $\frac{3}{2}R2$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Ahora eliminamos a cero la entrada por debajo del líder\(1\) en\(R2\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R3$ with $-4R2+R3$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 0& -24 & -5 & -35 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    A continuación, es hora de liderar\(1\) en\(R3\). \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 0& -24 & -5 & -35 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R3$ with $-\frac{1}{24}R3$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    La matriz se encuentra ahora en forma de escalón de fila. Para obtener la forma de escalón de fila reducida, comenzamos con el último líder\(1\) que producimos y trabajamos para ponernos por encima\(0\) de él. \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1 & \frac{19}{2} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right]& \xrightarrow{\text{Replace $R2$ with $-6R3+R2$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Por último, obtenemos un\(0\) por encima del liderato\(1\) de\(R2\).

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & -\frac{1}{3} & \hphantom{-}0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Replace $R1$ with $\frac{1}{3}R2+R1$}} & \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & -\frac{5}{12} & -\frac{5}{12} \\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Por fin, descodificamos para obtener

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & -\frac{5}{12} & -\frac{5}{12} \\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\[4pt] 0 & 0& 1 & \frac{5}{24} & \frac{35}{24} \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Decode from the matrix}} & \left\{ \begin{array}{rcr} x_1 - \frac{5}{12} x_4 & = & -\frac{5}{12} \\[4pt] x_2 - \frac{1}{4}x_4 & = & \frac{3}{4} \\[4pt] x_3 + \frac{5}{24} x_4 & = & \frac{35}{24} \end{array} \right. \end{array}\nonumber\]

    Tenemos que\(x_{4}\) es libre y le asignamos el parámetro\(t\). Obtenemos\(x_{3} = -\frac{5}{24} t + \frac{35}{24}\),\(x_{2} = \frac{1}{4} t + \frac{3}{4}\), y\(x_{1} = \frac{5}{12}t - \frac{5}{12}\). Nuestra solución es\(\left\{ \left( \frac{5}{12}t - \frac{5}{12}, \frac{1}{4} t + \frac{3}{4}, -\frac{5}{24} t + \frac{35}{24}, t \right) : -\infty < t < \infty \right\}\) y dejarla en manos del lector para que la revise.

    Como todos los buenos algoritmos, poner una matriz en forma de escalón de fila o escalón de fila reducida se puede programar fácilmente en una calculadora y, sin duda, su calculadora gráfica tiene esa característica. Usamos esto en nuestro siguiente ejemplo.

    Ejemplo 8.2.3

    Encuentra la función cuadrática pasando por los puntos\((-1,3)\),\((2,4)\),\((5,-2)\).

    Solución

    De acuerdo con la Definición 2.5, una función cuadrática tiene la forma\(f(x) =ax^2+bx+c\) donde\(a \neq 0\). Nuestro objetivo es encontrar\(a\),\(b\) y para\(c\) que los tres puntos dados estén en la gráfica de\(f\). Si\((-1,3)\) está en la gráfica de\(f\), entonces\(f(-1) = 3\), o\(a(-1)^2+b(-1) + c = 3\) que se reduce a\(a-b+c=3\), una ecuación lineal de honestidad a bondad con las variables\(a\),\(b\) y\(c\). Ya que el punto también\((2,4)\) está en la gráfica de\(f\), entonces\(f(2) = 4\) lo que nos da la ecuación\(4a+2b+c = 4\). Por último, el punto\((5,-2)\) está en la gráfica de nos\(f\) da\(25a+5b+c = -2\). Armando estos, obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales. Codificar esto en una matriz aumentada produce\[\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{rcr} a-b+c & = & 3 \\ 4a+2b+c & = & 4 \\ 25a+5b+c & = & -2 \end{array} \right. & \xrightarrow{\text{Encode into the matrix}} & \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & \hphantom{-}1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & -2 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

    Usando una calculadora, 4 encontramos\(a = -\frac{7}{18}\),\(b = \frac{13}{18}\) y\(c = \frac{37}{9}\). De ahí que la única cuadrática que se ajuste a la factura es\(f(x) = -\frac{7}{18} x^2 + \frac{13}{18} x + \frac{37}{9}\). Para verificar esto analíticamente, vemos que\(f(-1) = 3\),\(f(2) = 4\), y\(f(5) = -2\). También podemos usar la calculadora para verificar nuestra solución trazando los tres puntos de datos y la función\(f\).

    Screen Shot 2022-04-30 en 1.54.34 PM.png

    Ejercicios

    En los Ejercicios 1 - 6, indica si la matriz dada está en forma de escalón de fila reducida, solo en forma de escalón de fila o en ninguna de esas formas.

    1. \(\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]\)
    2. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & \hphantom{-}1 & 3 \\ 2 & -4 & 3 & 16 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \\ \end{array} \right]\)
    3. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\)
    4. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\)
    5. \(\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
    6. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ \end{array} \right]\)

    En los Ejercicios 7 - 12, las siguientes matrices están en forma de escalón de fila reducida. Determinar la solución del sistema correspondiente de ecuaciones lineales o indicar que el sistema es inconsistente.

    1. \(\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 7 \\ \end{array} \right]\)
    2. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 19 \end{array} \right]\)
    3. \(\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right]\)
    4. \(\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\)
    5. \(\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & \hphantom{-}0 & -8 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 4 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
    6. \(\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & \hphantom{-}0 & 9 & -3 \\ 0 & 1 & -4 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)

    En los Ejercicios 13 - 26, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando las técnicas discutidas en esta sección. Compara y contrasta estas técnicas con las que utilizaste para resolver los sistemas en los Ejercicios de la Sección 8.1.

    1. \(\left\{ \begin{array}{rcr} -5x + y & = & 17 \\ x + y & = & 5 \end{array} \right.\)
    2. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 0 \\ -3x + 5y + 7z & = & 7 \end{array} \right.\)
    3. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 4x - y + z & = & 5 \\ 2y + 6z & = & 30 \\ x + z & = & 5 \end{array} \right.\)
    4. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x-2y+3z & = & 7 \\ -3x+y+2z & = & -5 \\ 2x+2y+z & = & 3 \end{array} \right.\)
    5. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 3x-2y+z & = & -5 \\ x+3y-z & = & 12 \\ x+y+2z & = & 0 \end{array} \right.\)
    6. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x-y+z& = & -1 \\ 4x+3y+5z & = & 1 \\ 5y+3z & = & 4 \end{array} \right.\)
    7. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x-y+z & = & -4 \\ -3x+2y+4z & = & -5 \\ x-5y+2z & = & -18 \end{array} \right.\)
    8. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x-4y+z & = & -7 \\ x-2y+2z & = & -2 \\ -x+4y-2z & = & 3 \end{array} \right.\)
    9. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x-y+z & = & 1 \\ 2x+2y-z & = & 1 \\ 3x+6y+4z & = & 9 \end{array} \right.\)
    10. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x-3y-4z & = & 3 \\ 3x+4y-z & = & 13 \\ 2x-19y-19z & = & 2 \end{array} \right.\)
    11. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x+y+z & = & 4 \\ 2x-4y-z& = & -1 \\ x-y & = & 2 \end{array} \right.\)
    12. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x-y+z & = & 8 \\ 3x+3y-9z & = & -6 \\ 7x-2y+5z & = & 39 \end{array} \right.\)
    13. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x-3y+z & = & -1 \\ 4x-4y+4z & = & -13 \\ 6x-5y+7z & = & -25 \end{array} \right.\)
    14. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x_{1} - x_{3} & = & -2 \\ 2x_{2} - x_{4} & = & 0 \\ x_{1} - 2x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ -x_{3} + x_{4} & = & 1 \end{array} \right.\)
    15. Es hora de otra comida en nuestro buffet local. Esta vez, 22 comensales (5 de los cuales eran niños) festejaron\(\$162.25\), antes de impuestos. Si el buffet infantil es\(\$4.50\), el buffet básico es\(\$7.50\), y el buffet de lujo (con patas de cangrejo) lo es\(\$9.25\), averigua cuántos comensales eligieron el buffet de lujo.
    16. Carl quiere hacer una mezcla de fiesta que consiste en almendras (que cuestan\(\$7\) por libra), anacardos (que cuestan\(\$5\) por libra) y cacahuetes (que cuestan\(\$2\) por libra). Si quiere hacer una mezcla de\(10\) libras con un presupuesto de\(\$35\), ¿cuáles son las combinaciones posibles de almendras, anacardos y cacahuetes? (Puede resultarle útil revisar el Ejemplo 8.1.3 en la Sección 8.1.)
    17. Encuentra la función cuadrática pasando por los puntos\((-2,1)\),\((1,4)\),\((3,-2)\)
    18. A las 9 PM, la temperatura era\(60^{\circ}\) F; a la medianoche, la temperatura era\(50^{\circ}\) F; y a las 6 AM, la temperatura era\(70^{\circ}\) F. Utilizar la técnica del Ejemplo 8.2.3 para ajustar una función cuadrática a estos datos con la temperatura,\(T\), medida en grados Fahrenheit, como variable dependiente, y el número de horas después de las 9 PM\(t\),, medida en horas, como la variable independiente. ¿Cuál fue la temperatura más fría de la noche? ¿Cuándo ocurrió?
    19. El precio de entrada al Museo y Estación de Investigación Stitz-Zeager Sasquatch es de $15 para adultos y $8 para niños de 13 años y menores. Cuando la familia Zahlenreich visita el museo su factura es de 38 dólares y cuando la familia Nullsatz visita su factura es de 39 dólares. Un día ambas familias fueron juntas y llevaron a una niñera adulta para vigilar a los niños y el cargo total de admisión era de 92 dólares. Más tarde ese verano, los adultos de ambas familias se fueron sin los niños y la factura era de 45 dólares. ¿Es esa información suficiente para determinar cuántos adultos y niños hay en cada familia? De no ser así, indicar si el sistema resultante es inconsistente o dependiente consistente. En este último caso, dar al menos dos soluciones plausibles.
    20. Utilice la técnica del Ejemplo 8.2.3 para encontrar la línea entre los puntos\((-3, 4)\) y\((6, 1)\). ¿Cómo se compara tu respuesta con la forma pendiente-intercepción de la línea en la Ecuación 23?
    21. Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra al menos dos formas de escalón de fila diferentes para la matriz\[\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 12 & 8 \\ \end{array} \right]\nonumber\]

    RESPUESTAS

    1. Forma de escalón de fila reducida
    2. Tampoco
    3. Solo forma de escalón de fila
    4. Forma de escalón de fila reducida
    5. Forma de escalón de fila reducida
    6. Solo forma de escalón de fila
    7. \((-2, 7)\)
    8. \((-3, 20, 19)\)
    9. \((-3t + 4, -6t - 6, 2, t)\)
      para todos los números reales\(t\)

    10. Inconsistente
    11. \((8s - t + 7, -4s + 3t + 2, s, t)\)
      para todos los números reales\(s\) y\(t\)

    12. \((-9t - 3, 4t + 20, t)\)
      para todos los números reales\(t\)

    13. \((-2, 7)\)
    14. \((1, 2, 0)\)
    15. \((-t + 5, -3t + 15, t)\)
      para todos los números reales\(t\)

    16. \((2,-1,1)\)
    17. \((1,3,-2)\)
    18. Inconsistente
    19. \((1,3,-2)\)
    20. \(\left(-3,\frac{1}{2},1\right)\)
    21. \(\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)\)
    22. \(\left(\frac{19}{13} t + \frac{51}{13},-\frac{11}{13} t+\frac{4}{13},t\right)\)
      para todos los números reales\(t\)

    23. Inconsistente
    24. \(\left(4,-3,1\right)\)
    25. \(\left(-2t - \frac{35}{4},-t - \frac{11}{2},t\right)\)
      para todos los números reales\(t\)

    26. \((1, 2, 3, 4)\)
    27. Esta vez, 7 comensales eligieron el buffet de lujo.
    28. Si\(t\) representa la cantidad (en libras) de cacahuetes, entonces necesitamos\(1.5 t - 7.5\) libras de almendras y\(17.5 - 2.5t\) libras de anacardos. Ya que no podemos tener una cantidad negativa de nueces,\(5 \leq t \leq 7\).
    29. \(f(x) = -\frac{4}{5} x^2+\frac{1}{5} x + \frac{23}{5}\)
    30. \(T(t) = \frac{20}{27} t^2 - \frac{50}{9} t + 60\). Temperatura más baja de la tarde\(\frac{595}{12} \approx 49.58^{\circ}\) F a las 12:45 AM.
    31. Dejar\(x_{1}\) y\(x_{2}\) ser el número de adultos y niños, respectivamente, en la familia Zahlenreich y dejar\(x_{3}\) y\(x_{4}\) ser el número de adultos y niños, respectivamente, en la familia Nullsatz. El sistema de ecuaciones determinado por la información dada es

      \(\left\{ \begin{array}{rcr} 15x_{1} + 8x_{2} & = & 38 \\ 15x_{3} + 8x_{4} & = & 39 \\ 15x_{1} + 8x_{2} + 15x_{3} + 8x_{4} & = & 77 \\ 15x_{1} + 15x_{3} & = & 45 \end{array} \right.\)

      Nos restamos el costo de la niñera en E3 por lo que la constante es 77, no 92. Este sistema es consistente dependiente y su solución es\(\left(\frac{8}{15}t + \frac{2}{5}, -t + 4, -\frac{8}{15}t + \frac{13}{5}, t \right)\). Nuestras variables representan números de adultos y niños por lo que deben ser números enteros. Correr a través de los valores\(t = 0, 1, 2, 3, 4\) arroja solo una solución donde las cuatro variables son números enteros; nos\(t = 3\) da\((2, 1, 1, 3)\). Así, hay 2 adultos y 1 niño en los Zahlenreichs y 1 adulto y 3 niños en los Nullsatzs.


    Referencia

    1 Estudiaremos el coeficiente y las matrices constantes por separado en la Sección 8.3.

    2 Carl también encuentra comenzar con\(R3\) ser más simétrico, de una manera puramente poética.

    3 infinito, de hecho

    4 ¡Ya te hemos torturado bastante con fracciones en esta exposición!


    This page titled 8.2: Sistemas de Ecuaciones Lineales- Matrices Aumentadas is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Carl Stitz & Jeff Zeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.