8.5: Determinantes y regla de Cramer

8.5.1 Definición y Propiedades del Determinante

En esta sección asignamos a cada matriz cuadrada\(A\) un número real, llamado el determinante de\(A\), que eventualmente nos llevará a otra técnica más para resolver sistemas independientes consistentes de ecuaciones lineales. El determinante se define recursivamente, es decir, lo definimos para\(1 \times 1\) matrices y damos una regla mediante la cual podemos reducir determinantes de\(n \times n\) matrices a una suma de determinantes de\((n-1) \times (n-1)\) matrices. ¹ Esto significa que podremos evaluar el determinante de una\(2 \times 2\) matriz como una suma de los determinantes de\(1 \times 1\) matrices; el determinante de una\(3 \times 3\) matriz como una suma de los determinantes de\(2 \times 2\) matrices, y así sucesivamente. Para explicar cómo tomaremos una\(n \times n\) matriz y destilaremos de ella una\((n-1) \times (n-1)\), utilizamos la siguiente notación.

Definición 8.12.

Dada una\(n \times n\) matriz\(A\) donde\(n>1\), la matriz\(A_{ij}\) es la\((n-1) \times (n-1)\) matriz formada al eliminar la fila\(i\) th de\(A\) y la\(j\) ésima columna de\(A\).

Por ejemplo, usando la matriz de\(A\) abajo, encontramos la matriz\(A_{23}\) eliminando la segunda fila y la tercera columna de\(A\).

Ahora estamos en condiciones de definir el determinante de una matriz.

Definición 8.13.

Dada una\(n \times n\) matriz\(A\) el determinante de\(A\), denotado\(\det(A)\), se define de la siguiente manera

• Si\(n=1\), entonces\(A = \left[ a_{11} \right]\) y\(\det(A) = \det\left( \left[ a_{11} \right] \right) = a_{11}\).
• Si\(n>1\), entonces\(A = \left[ a_{ij} \right]_{n \times n}\) y\[\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(\left[a_{i j}\right]_{n \times n}\right)=a_{11} \operatorname{det}\left(A_{11}\right)-a_{12} \operatorname{det}\left(A_{12}\right)+-\ldots+(-1)^{1+n} a_{1 n} \operatorname{det}\left(A_{1 n}\right)\nonumber\]

Hay dos notaciones de uso común para el determinante de una matriz\(A\): '' y\(\det(A)\) '\(|A|\)' Hemos optado por usar la notación en\(\det(A)\) oposición a\(|A|\) porque encontramos que esta última a menudo se confunde con el valor absoluto, especialmente en el contexto de una\(1 \times 1\) matriz. En la expansión\(a_{11} \operatorname{det}\left(A_{11}\right)-a_{12} \operatorname{det}\left(A_{12}\right)+-\ldots+(-1)^{1+n} a_{1 n} \operatorname{det}\left(A_{1 n}\right)\), la notación '\(+-\ldots+(-1)^{1+n} a_{1 n}\)' significa que los signos se alternan y el signo final viene dictado por el signo de la cantidad\((-1)^{1+n}\). Dado que las entradas\(a_{\mbox{\tiny\) 11}\),\(a_{12}\) y así sucesivamente hasta\(a_{1 n}\) comprender la primera fila de\(A\), decimos que estamos encontrando el determinante de\(A\) al 'expandirse a lo largo de la primera fila'. Posteriormente en el apartado, desarrollaremos una fórmula para la\(\det(A)\) cual nos permita encontrarla expandiéndola a lo largo de cualquier fila.

Aplicando la Definición 8.13 a la matriz\(A = \left[ \begin{array}{rr} 4 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right]\) que obtenemos

\[\begin{array}{rcl} \det(A) & = & \det \left( \left[ \begin{array}{rr} 4 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right] \right)\\[13pt] & = & 4\det\left(A_11\right) - (-3)\det\left(A_12\right)\\ & = & 4 \det([1]) +3\det([2]) \\ & = & 4(1) + 3(2) \\ & = & 10 \\ \end{array}\nonumber\]

Para una\(2 \times 2\) matriz genérica\(A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]\) obtenemos

\[\begin{array}{rcl} \det(A) & = & \det \left( \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] \right)\\[13pt] & = & a \det\left(A_11\right) - b \det\left(A_12\right) \\ & = & a \det\left(\left[ d \right]\right) - b \det\left(\left[c \right]\right) \\ & = & ad-bc \end{array}\nonumber\]

Vale la pena recordar esta fórmula

Ecuación 8.1.

Para una\(2 \times 2\) matriz,

\[\det \left( \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] \right) = ad-bc\nonumber\]

Aplicando la Definición 8.13 a la\(3 \times 3\) matriz\(A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right]\) que obtenemos

\[\begin{array}{rcl} \det(A) & = & \det \left( \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] \right)\\[13pt] & = & 3\det\left(A_11\right) - 1\det\left(A_12\right) + 2\det\left(A_13\right) \\[13pt] & = & 3\det \left( \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right] \right) - \det \left( \left[ \begin{array}{rr} 0 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right] \right) + 2 \det \left( \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right] \right) \\[13pt] & = & 3((-1)(4) - (5)(1)) - ((0)(4)-(5)(2))+2((0)(1)-(-1)(2)) \\ & = & 3(-9)-(-10)+2(2) \\ & = & -13 \\ \end{array}\nonumber\]

Para evaluar el determinante de una\(4 \times 4\) matriz, tendríamos que evaluar los determinantes de cuatro\(3 \times 3\) matrices, cada una de las cuales implica el hallazgo de los determinantes de tres\(2 \times 2\) matrices. Como puede ver, nuestro método de evaluación de determinantes rápidamente se sale de control y muchos de ustedes pueden estar buscando la calculadora. Hay alguna maquinaria matemática que nos puede ayudar en el cálculo de determinantes y la presentamos aquí. Antes de exponer el teorema, necesitamos algo más de terminología.

Definición 8.14.

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz y\(A_{ij}\) definirse como en la Definición 8.12. El \(ij\)menor de\(A\), denotado\(M_{ij}\) se define por\(M_{ij} = \det\left(A_{ij}\right)\). El \(ij\)cofactor de\(A\), denotado\(C_{ij}\) se define por\(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} = (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)\).

Observamos que en la Definición 8.13, la suma

\[a_{11} \operatorname{det}\left(A_{11}\right)-a_{12} \operatorname{det}\left(A_{12}\right)+-\ldots+(-1)^{1+n} a_{1 n} \operatorname{det}\left(A_{1 n}\right)\nonumber\]

se puede reescribir como

\[a_{11}(-1)^{1+1} \operatorname{det}\left(A_{11}\right)+a_{12}(-1)^{1+2} \operatorname{det}\left(A_{12}\right)+\ldots+a_{1 n}(-1)^{1+n} \operatorname{det}\left(A_{1 n}\right)\nonumber\]

que, en el lenguaje de los cofactores es

\[a_{11} C_{11}+a_{12} C_{12}+\ldots+a_{1 n} C_{1 n}\nonumber\]

Ahora estamos listos para exponer nuestro teorema principal sobre los determinantes.

Teorema 8.7.

Propiedades del Determinante: Let\(A = \left[a_{ij}\right]_{n \times n}\).

• Podemos encontrar el determinante expandiéndonos a lo largo de cualquier fila. Es decir, para cualquier\(1 \leq k \leq n\),

  \[\operatorname{det}(A)=a_{k 1} C_{k 1}+a_{k 2} C_{k 2}+\ldots+a_{k n} C_{k n}\nonumber\]

• Si\(A'\) es la matriz obtenida\(A\) de:
  • intercambiando dos filas cualesquiera, entonces\(\det(A')=-\det(A)\).
  • reemplazar una fila con un múltiplo distinto de cero (digamos\(c\)) de sí mismo, luego\(\det(A')=c\det(A)\)
  • reemplazar una fila consigo misma más un múltiplo de otra fila, luego\(\det(A')=\det(A)\)
• Si\(A\) tiene dos filas idénticas, o una fila que consta\(0\) de todos, entonces\(\det(A) = 0\).
• Si\(A\) es triangular superior o inferior, ^a entonces\(\det(A)\) es el producto de las entradas en la diagonal principal. ^b
• Si\(B\) es una\(n \times n\) matriz, entonces\(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
• \(\det\left(A^{n}\right) = \det(A)^{n}\)para todos los números naturales\(n\).
• \(A\)es invertible si y solo si\(\det(A) \neq 0\). En este caso,\(\det\left(A^{-1}\right) = \dfrac{1}{\det(A)}\).

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^a Ver Ejercicio 8.3.1 en 8.3.

^b Véase la página 585 en la Sección 8.3.

Desafortunadamente, si bien podemos demostrar fácilmente los resultados en el Teorema 8.7, las pruebas de la mayoría de estas propiedades están fuera del alcance de este texto. Podríamos probar estas propiedades para\(3 \times 3\) matrices genéricas\(2 \times 2\) o incluso por cálculo de fuerza bruta, pero esta manera de prueba desmiente la elegancia y simetría del determinante. Demostraremos las pocas propiedades que podemos después de haber desarrollado algunas herramientas más como el Principio de Inducción Matemática en la Sección 9.3. ² Por el momento, vamos a demostrar algunas de las propiedades listadas en el Teorema 8.7 en la matriz\(A\) a continuación. (Otros serán discutidos en los Ejercicios.)

\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right]\nonumber\]

Encontramos\(\det(A) = -13\) al expandirnos a lo largo de la primera fila. Para aprovechar el\(0\) en la segunda fila, utilizamos el Teorema 8.7 para encontrar\(\det(A) = -13\) expandiéndose a lo largo de esa fila.

\[\begin{array}{rcl} \det \left( \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] \right)& = & 0C_21 + (-1)C_22+5C_23 \\ & = & (-1) (-1)^{2+2} \det\left(A_22\right) + 5 (-1)^{2+3}\det\left(A_23\right) \\[13pt] & = & - \det \left( \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right] \right) -5 \det \left( \left[ \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right] \right) \\[13pt] & = & -((3)(4)-(2)(2)) - 5((3)(1)-(2)(1)) \\ & = & -8-5 \\ & = & -13 \, \, \checkmark \\ \end{array}\nonumber\]

En general, el signo de\((-1)^{i+j}\) delante del menor en la expansión del determinante sigue un patrón alterno. A continuación se muestra el patrón para\(2 \times 2\),\(3 \times 3\) y\(4 \times 4\) las matrices, y se extiende naturalmente a dimensiones más altas.

\[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{cc} + & - \\ - & + \\ \end{array} \right] & \qquad \left[ \begin{array}{ccc} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} \right] & \qquad \left[ \begin{array}{cccc} + & - & + & - \\ - & + & - & +\\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

Se advierte al lector, sin embargo, en contra de leer demasiado en estos patrones de signos. En el ejemplo anterior, expandimos la\(3 \times 3\) matriz\(A\) por su segunda fila y el término que corresponde a la segunda entrada terminó siendo negativo a pesar de que el signo adjunto al menor lo es\((+)\). Estos signos representan sólo los signos del\((-1)^{i+j}\) en la fórmula; el signo de la entrada correspondiente así como el propio menor determinan el signo último del término en la expansión del determinante.

Para ilustrar algunas de las otras propiedades del Teorema 8.7, utilizamos operaciones de fila para transformar nuestra\(3 \times 3\) matriz\(A\) en una matriz triangular superior, haciendo un seguimiento de las operaciones de fila y etiquetando cada matriz sucesiva. ³

\[\begin{array}{ccccc} \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{with $-\frac{2}{3}R1+R3$}]{\text{Replace $R3$}} & \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{8}{3} \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{$\frac{1}{3}R2+R3$}]{\text{Replace $R3$ with}} & \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} \\ \end{array} \right] \\ A & & B & & C \\ \end{array}\nonumber\]

El teorema 8.7 nos garantiza que\(\det(A) = \det(B) = \det(C)\) ya que estamos reemplazando una fila consigo misma más un múltiplo de otra fila moviéndose de una matriz a la siguiente. Además, dado que\(C\) es triangular superior,\(\det(C)\) es el producto de las entradas en la diagonal principal, en este caso\(\det(C) = (3)(-1)\left(\frac{13}{3}\right) = -13\). Esto demuestra la utilidad de usar operaciones de fila para ayudar en el cálculo de determinantes. Esto también arroja algo de luz sobre la conexión entre un determinante y la invertibilidad. Recordemos de la Sección 8.4 que para encontrar\(A^{-1}\), intentamos transformarnos\(A\) a\(I_{n}\) usar operaciones de fila

\[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{c|c} A & I_{n} \\ \end{array} \right] & \xrightarrow{\text{Gauss Jordan Elimination}} & \left[ \begin{array}{c|c} I_{n} & A^{-1} \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

A medida que aplicamos nuestras operaciones de fila permisibles\(A\) para ponerlo en forma de escalón de fila reducida, el determinante de las matrices intermedias puede variar del determinante de\(A\) como máximo un múltiplo distinto de cero. Esto significa que si\(\det(A) \neq 0\), entonces el determinante de la forma\(A\) de escalón de fila reducida también debe ser distinto de cero, lo que, de acuerdo con la Definición 8.4 significa que todas las entradas diagonales principales en la forma\(A\) de escalón de fila reducida deben ser\(1\). Es decir,\(A\) la forma de escalón de fila reducida es\(I_{n}\), y\(A\) es invertible. Por el contrario, si\(A\) es invertible, entonces se\(A\) puede transformar en el\(I_{n}\) uso de operaciones de fila. Ya que\(\det\left(I_{n}\right) = 1 \neq 0\), nuestra misma lógica implica\(\det(A) \neq 0\). Básicamente, hemos establecido que el determinante determina si la matriz\(A\) es o no invertible. ⁴

Cabe señalar que cuando introdujimos por primera vez la noción de una matriz inversa, fue en el contexto de resolver una ecuación matricial lineal. En efecto, estábamos tratando de 'dividir' ambos lados de la ecuación matricial\(AX = B\) por la matriz\(A\). Así como no podemos dividir un número real por\(0\), el Teorema 8.7 nos dice que no podemos 'dividir' por una matriz cuyo determinante es\(0\). También sabemos que si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, entonces el sistema es consistente e independiente. Se deduce, entonces, que si el determinante de dicho coeficiente no es cero, el sistema es consistente e independiente.

8.5.2 Regla de Cramer y Matriz Adjuntas

En esta sección, introducimos un teorema que nos permite resolver un sistema de ecuaciones lineales solo por medio de determinantes. Como es habitual, el teorema se afirma en plena generalidad, utilizando incógnitas numeradas\(x_{1}\)\(x_{2}\), etc., en lugar de las letras más familiares\(x\)\(y\),\(z\),, etc. La prueba del caso general es mejor dejarla a un curso en Álgebra Lineal.

Teorema 8.8.

Regla de Cramer: Supongamos que\(AX = B\) es la forma matricial de un sistema de ecuaciones\(n\) lineales en\(n\) incógnitas donde\(A\) está la matriz de coeficientes,\(X\) es la matriz de incógnitas, y\(B\) es la matriz constante. Si\(\det(A) \neq 0\), entonces el sistema correspondiente es consistente e independiente y la solución para incógnitas\(x_{1}\),\(x_{2}\),...\(x_{n}\) viene dada por:

\[x_{j} = \dfrac{\det\left(A_{j}\right)}{\det(A)},\nonumber\]

donde\(A_{j}\) está la matriz\(A\) cuya\(j\) ésima columna ha sido reemplazada por las constantes en\(B\).

En palabras, la Regla de Cramer nos dice que podemos resolver para cada desconocido, uno a la vez, encontrando la relación entre el determinante de\(A_{j}\) y el del determinante de la matriz de coeficientes. La matriz\(A_{j}\) se encuentra reemplazando la columna en la matriz de coeficientes que contiene los coeficientes\(x_{j}\) de por las constantes del sistema. El siguiente ejemplo da cuerpo a cabo este método.

Ejemplo 8.5.1

Usa la Regla de Cramer para resolver las incógnitas indicadas.

1. Resolver\(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x_{1} - 3x_{2} & = & 4 \\ 5x_{1} + x_{2} & = & -2 \end{array} \right.\) para\(x_{1}\) y\(x_{2}\)
2. Resolver\(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x - 3y + z & = & -1 \\ x-y+z & = & 1 \\ 3x-4z & = & 0 \end{array} \right.\) para\(z\).

Solución

1. Escribiendo este sistema en forma de matriz, encontramos

   \[\begin{array}{ccc} A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 5 & 1 \\ \end{array} \right] & \qquad X = \left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right] & \qquad B = \left[ \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ \end{array} \right] \\ \end{array}\nonumber\]

   Para encontrar la matriz\(A_{1}\), eliminamos la columna de la matriz de coeficientes\(A\) que contiene los coeficientes de\(x_{1}\) y la reemplazamos con las entradas correspondientes en\(B\). Asimismo, sustituimos la columna de la\(A\) cual corresponde a los coeficientes\(x_{2}\) de por las constantes para formar la matriz\(A_{2}\). Esto rinde

   \[\begin{array}{cc} A_1 = \left[ \begin{array}{rr} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] & \qquad A_2 = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 5 & -2 \\ \end{array} \right] \\ \end{array}\nonumber\]

   Determinantes informáticos, obtenemos\(\det(A) = 17\),\(\det\left(A_{1}\right) = -2\) y\(\det\left(A_{2}\right) = -24\), para que

   \[\begin{array}{cc} x_1 = \dfrac{\det\left(A_1\right)}{\det(A)} = -\dfrac{2}{17} & \qquad x_2 = \dfrac{\det\left(A_2\right)}{\det(A)} = -\dfrac{24}{17} \\ \end{array}\nonumber\]

   El lector puede comprobar que la solución al sistema es\(\left(-\frac{2}{17}, -\frac{24}{17}\right)\).

2. Para utilizar la regla de Cramer para encontrar\(z\), nos identificamos\(x_{3}\) como\(z\). Tenemos

   \[\begin{array}{cccc} A = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -4 \end{array} \right] & X = \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] & B = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] & A_3 = A_{z} = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{array} \right] \\ \end{array}\nonumber\]

   Ampliar ambos\(\det(A)\) y\(\det\left(A_{z}\right)\) a lo largo de las terceras filas (para aprovechar los\(0\)'s) da

   \[z = \dfrac{\det\left(A_{z}\right)}{\det(A)} = \dfrac{-12}{-10} = \dfrac{6}{5}\nonumber\]

   Se anima al lector a resolver este sistema para\(x\) y de\(y\) manera similar y verificar la respuesta.

Nuestra última aplicación de determinantes es desarrollar un método alternativo para encontrar la inversa de una matriz. ⁵ Consideremos la\(3 \times 3\) matriz\(A\) que tan extensamente estudiamos en la Sección 8.5.1.

\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right]\nonumber\]

Encontramos a través de una variedad de métodos que\(\det(A) = -13\). Para nuestra sorpresa y deleite, su inverso a continuación tiene un notable número de\(13\)'s en los denominadores de sus entradas. Esto no es una coincidencia.

\[A^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{9}{13} & \frac{2}{13} & -\frac{7}{13} \\[3pt] -\frac{10}{13} & -\frac{8}{13} & \frac{15}{13} \\[3pt] -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \end{array} \right]\nonumber\]

Recordemos que para encontrar\(A^{-1}\), estamos esencialmente resolviendo la ecuación matricial\(AX = I_{3}\), donde\(X = \left[ x_{ij} \right]_{3 \times 3}\) es una\(3 \times 3\) matriz. Por cómo se define la multiplicación matricial, la primera columna de\(I_{3}\) es el producto de\(A\) con la primera columna de\(X\), la segunda columna de\(I_{3}\) es el producto de\(A\) con la segunda columna de\(X\) y la tercera columna de\(I_{3}\) es el producto de \(A\)con la tercera columna de\(X\). En otras palabras, estamos resolviendo tres ecuaciones ⁶

\[\begin{array}{ccc} A\left[ \begin{array}{r} x_11 \\ x_21 \\ x_31 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] & \qquad A\left[ \begin{array}{r} x_12 \\ x_22 \\ x_32 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] & \qquad A\left[ \begin{array}{r} x_13 \\ x_23 \\ x_33 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{array}\nonumber\]

Podemos resolver cada uno de estos sistemas usando la Regla de Cramer. Centrándonos en el primer sistema, tenemos

\[\begin{array}{ccc} A_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & \hphantom{-}2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] & A_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & 4 \\ \end{array} \right] & A_3 = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & \hphantom{-}1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

Si nos expandimos\(\det\left(A_{1}\right)\) a lo largo de la primera fila, obtenemos

\[\begin{array}{rcl} \det\left(A_1\right) & = & \det\left( \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right] \right) - \det\left( \left[ \begin{array}{rr} 0 & 5 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right] \right) + 2 \det\left( \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \right) \\ [13pt] & = & \det\left( \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right] \right) \end{array}\nonumber\]

Sorprendentemente, esto no es otro que el\(C_{11}\) cofactor de\(A\). Se invita al lector a verificar esto, así como las afirmaciones de que\(\det\left(A_{2}\right) = C_{12}\) y\(\det\left(A_{3}\right) = C_{13}\). ⁷ (Para ver esto, aunque parezca antinatural hacerlo, expanda a lo largo de la primera fila). La regla de Cramer nos dice

\[\begin{array}{ccc} x_11 = \dfrac{\det\left(A_1\right)}{\det(A)} = \dfrac{C_11}{\det(A)}, & x_21 = \dfrac{\det\left(A_2\right)}{\det(A)} = \dfrac{C_12}{\det(A)}, & x_31 = \dfrac{\det\left(A_3\right)}{\det(A)} = \dfrac{C_13}{\det(A)} \end{array}\nonumber\]

Entonces la primera columna de la matriz inversa\(X\) es:

\[\left[ \begin{array}{r} x_11 \\ x_21 \\ x_31 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} \dfrac{C_11}{\det(A)} \\ [13pt] \dfrac{C_12}{\det(A)} \\ [13pt] \dfrac{C_13}{\det(A)} \end{array} \right] = \dfrac{1}{\det(A)} \left[ \begin{array}{r} C_11 \\ C_12 \\ C_13 \end{array} \right]\nonumber\]

Observe la reversión de los subíndices pasando de lo desconocido al cofactor correspondiente de\(A\). Esta tendencia continúa y obtenemos\[\begin{array}{cc} \left[ \begin{array}{r} x_12 \\ x_22 \\ x_32 \end{array} \right] = \dfrac{1}{\det(A)} \left[ \begin{array}{r} C_21 \\ C_22 \\ C_23 \end{array} \right] & \qquad \left[ \begin{array}{r} x_13 \\ x_23 \\ x_33 \end{array} \right] = \dfrac{1}{\det(A)} \left[ \begin{array}{r} C_31 \\ C_32 \\ C_33 \end{array} \right] \end{array}\nonumber\]

Al juntar todos estos, hemos obtenido una nueva y sorprendente fórmula para\(A^{-1}\), a saber,

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \left[ \begin{array}{ccc} C_11 & C_21 & C_31 \\ C_12 & C_22 & C_32 \\ C_13 & C_23 & C_33 \\ \end{array} \right]\nonumber\]

Para ver que esto efectivamente rinde\(A^{-1}\), encontramos todos los cofactores de\(A\)

\[\begin{array}{rcrrcrrcr} C_11 & = & -9, & C_21 & = & -2, & C_31 & = & 7\\ C_12 & = & 10, & C_22 & = & 8, & C_32 & = & -15 \\ C_13 & = & 2, & C_23 & = & -1, & C_33 & = & -3 \\ \end{array}\nonumber\]

Y, como se prometió,

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \left[ \begin{array}{ccc} C_11 & C_21 & C_31 \\ C_12 & C_22 & C_32 \\ C_13 & C_23 & C_33 \\ \end{array} \right] = -\dfrac{1}{13} \left[ \begin{array}{rrr} -9 & -2 & 7\\ 10 & 8 & -15 \\ 2 & -1 & -3 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{9}{13} & \frac{2}{13} & -\frac{7}{13} \\[3pt] -\frac{10}{13} & -\frac{8}{13} & \frac{15}{13} \\[3pt] -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \end{array} \right]\nonumber\]

Para generalizar esto a\(n \times n\) matrices invertibles, necesitamos otra definición y un teorema. Nuestra definición le da un nombre especial a la matriz de cofactores, y el teorema nos dice cómo usarla junto con\(\det(A)\) para encontrar la inversa de una matriz.

Definición 8.15.

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz, y\(C_{ij}\) denotar el\(ij\) cofactor de\(A\). El colindante de\(A\), denotado\(\text{adj}(A)\) es la matriz cuya\(ij\) -entrada es el\(ji\) cofactor de\(A\),\(C_{ji}\). Eso es

\ [\ nombreoperador {adj} (A) =\ left [\ begin {array} {cccc}
C_ {11} & C_ {21} &\ ldots &\ ldots &
C_ {n 1}\\ C_ {12} & C_ {22} &\ ldots & C_ {n 2}\\\ vdots &\ vdots &\
c_ {1} & C_ {2 n} &\ lpuntos & C_ {n n}

\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Esta nueva notación acorta en gran medida la afirmación de la fórmula para la inversa de una matriz.

Teorema 8.9.

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz invertible. Entonces

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\nonumber\]

Para\(2 \times 2\) las matrices, el Teorema 8.9 se reduce a una fórmula bastante simple.

Ecuación 8.2.

Para una\(2 \times 2\) matriz invertible,

\[\left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]\nonumber\]

La prueba del Teorema 8.9 es, como tantos de los resultados de esta sección, mejor dejarla a un curso de Álgebra Lineal. En tal curso, no sólo obtienes algunas técnicas de prueba más sofisticadas, también obtienes una perspectiva más amplia. Los autores le aseguran que la persistencia vale la pena. Si te quedas unos semestres y tomas un curso de Álgebra Lineal, verás lo bonitas que son realmente todas las cosas matriciales, a pesar de la tediosa notación y mar de subíndices. Dentro del alcance de este texto, probaremos algunos resultados que involucran determinantes en la Sección 9.3 una vez que tengamos bien en la mano el Principio de Inducción Matemática. Hasta entonces, asegúrate de tener un control sobre la mecánica de las matrices y la teoría vendrá eventualmente.

8.5.3. Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 8, computar el determinante de la matriz dada. (Algunas de estas matrices aparecieron en los Ejercicios 1 a 8 de la Sección 8.4.)

1. \(B = \left[ \begin{array}{rr} 12 & -7 \\ -5 & 3 \end{array} \right]\)
2. \(C = \left[ \begin{array}{rr} 6 & 15 \\ 14 & 35 \end{array} \right]\)
3. \(Q = \left[ \begin{array}{rr} x & x^{2} \\ 1 & 2x \end{array} \right] \vphantom{ \left[ \begin{array}{rr} \dfrac{1}{x^{3}} & \dfrac{\ln(x)}{x^{3}} \\[10pt] -\dfrac{3}{x^{4}} & \dfrac{1 - 3\ln(x)}{x^{4}} \end{array} \right]}\)
4. \(L = \left[ \begin{array}{rr} \dfrac{1}{x^{3}} & \dfrac{\ln(x)}{x^{3}} \\[10pt] -\dfrac{3}{x^{4}} & \dfrac{1 - 3\ln(x)}{x^{4}} \end{array} \right]\)
5. \(F = \left[ \begin{array}{rrr} 4 & \hphantom{-}6 & -3 \\ 3 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right]\)
6. \(G = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & \hphantom{1}2 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \\ 3 & 4 & 19 \end{array} \right]\)
7. \(V = \left[ \begin{array}{rrr} i & j & k \\ -1 & 0 & 5 \\ 9 & -4 & -2 \end{array} \right] \vphantom{\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 2 & -2 & 8 & 7 \\ -5 & 0 & 16 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \end{array} \right]}\)
8. \(H = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 2 & -2 & 8 & 7 \\ -5 & 0 & 16 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \end{array} \right]\)

En los Ejercicios 9 - 14, usa la Regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

9. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 3x + 7y & = & 26 \\ 5x + 12y & = & 39 \end{array} \right.\)
10. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 2x-4y & = & 5 \\ 10x + 13y & = & -6 \end{array} \right.\)
11. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x + y & = & 8000 \\ 0.03x + 0.05y & = & 250 \end{array} \right.\)
12. \(\left\{ \begin{array}{rcr} \frac{1}{2}x - \frac{1}{5}y & = & 1 \\ 6x +7y & = & 3 \end{array} \right.\)
13. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 0 \\ -3x + 5y + 7z & = & 7 \end{array} \right.\)
14. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 3x + y - 2z & = & 10 \\ 4x - y + z & = & 5 \\ x -3y - 4z & = & -1 \end{array} \right.\)

En los Ejercicios 15 - 16, usa la Regla de Cramer para resolver para\(x_{4}\).

15. \(\left\{ \begin{array}{rcr} x_{1} - x_{3} & = & -2 \\ 2x_{2} - x_{4} & = & 0 \\ x_{1} - 2x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ -x_{3} + x_{4} & = & 1 \end{array} \right.\)
16. \(\left\{ \begin{array}{rcr} 4x_{1} + x_{2} & = & 4 \\ x_{2} - 3x_{3} & = & 1 \\ 10x_{1} +x_{3} + x_{4} & = & 0 \\ -x_{2} + x_{3} & = & -3 \end{array} \right.\)

En los Ejercicios 17 - 18, encuentra la inversa de la matriz dada usando sus determinantes y uniones.

17. \(B = \left[ \begin{array}{rr} 12 & -7 \\ -5 & 3 \end{array} \right] \vphantom{\left[ \begin{array}{rrr} 4 & \hphantom{-}6 & -3 \\ 3 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right]}\)[invadjfirst]
18. \(F = \left[ \begin{array}{rrr} 4 & \hphantom{-}6 & -3 \\ 3 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right]\)
19. ¡El ataque Sasquatch de Carl! Game Card Collection es una mezcla de cartas comunes y raras. Cada carta común vale,\(\$0.25\) mientras que cada carta rara vale\(\$0.75\). Si vale toda su colección de 117 tarjetas\(\$48.75\), ¿cuántas de cada tipo de tarjeta posee?
20. ¿Cuánto de una solución\(40\%\) salina de 5 galones debe reemplazarse con agua pura para obtener 5 galones de una\(15 \%\) solución?
21. ¿Cuánto de una solución\(30\%\) ácida de 10 litros debe reemplazarse por ácido puro para obtener 10 litros de una\(50\%\) solución?
22. Daniel's Exotic Animal Rescue alberga serpientes, tarántulas y escorpiones. Cuando se le preguntó cuántos animales de cada tipo aborda, Daniel respondió: 'Abordamos 49 animales en total, y yo soy responsable de cada una de sus 272 patas y 28 colas'. ¿Cuántos de cada animal aborda el Rescate? (Recordemos: las tarántulas tienen 8 patas y ninguna cola, los escorpiones tienen 8 patas y una cola, y las serpientes no tienen patas y una cola).
23. Este ejercicio es una continuación del Ejercicio 16 en la Sección 8.4. El hecho de que un sistema sea consistente e independiente no significa que admita una solución que tenga sentido en un entorno aplicado. Usando los valores nutrimentales dados para el Pescado Ippizuti, los Hongos Misty y las Bayas del Sol, usa la Regla de Cramer para determinar el número de porciones de Pescado Ippizuti necesarias para satisfacer las necesidades de una dieta diaria que requiere 2500 calorías, 1000 gramos de proteína y 400 miligramos de Vitamina X. Ahora usa la Regla de Cramer para encontrar el número de porciones de Misty Setas requeridas. ¿Existe una solución a este problema de la dieta?
24. Let\(R = \left[ \begin{array}{rr} -7 & 3 \\ 11 & \hphantom{-} 2 \end{array} \right], \;\;\; S = \left[ \begin{array}{rr} 1 & -5 \\ 6 & 9 \end{array} \right] \;\;\; T = \left[ \begin{array}{rr} 11 & \hphantom{-} 2 \\ -7 & 3 \end{array} \right], \mbox{ and } U = \left[ \begin{array}{rr} -3 & 15 \\ 6 & 9 \end{array} \right]\)
    1. Demostrar que\(\det(RS) = \det(R)\det(S)\)
    2. Demostrar que\(\det(T) = -\det(R)\)
    3. Demostrar que\(\det(U) = -3\det(S)\)
25. Para\(M\),\(N\), y\(P\) abajo, mostrar eso\(\det(M) = 0\),\(\det(N) = 0\) y\(\det(P) = 0\). \[M = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right], \quad N = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] , \quad P = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -4 & -6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right]\nonumber\]
26. Dejar\(A\) ser una\(3 \times 3\) matriz invertible arbitraria.
    1. \(\det(I_{3}) = 1\)Demuéstralo. (Véase la nota ⁸ infra.)
    2. Utilizando los hechos que\(AA^{-1} = I_{3}\) y\(\det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1})\), muestran que\[\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}\nonumber\]

El propósito de los Ejercicios 27 - 30 es introducirte en los valores propios y vectores propios de una matriz. ⁹ Comenzamos con un ejemplo usando una\(2 \times 2\) matriz y luego te guiamos a través de algunos ejercicios usando una\(3 \times 3\) matriz. Considera la matriz\[C = \left[ \begin{array}{rr} 6 & 15 \\ 14 & 35 \end{array} \right]\nonumber\] del Ejercicio 2. Sabemos eso\(\det(C) = 0\) lo que significa que\(CX = 0_{2 \times 2}\) no tiene una solución única. Entonces hay una matriz distinta de cero\(Y\) con\(CY = 0_{2 \times 2}\). De hecho, cada matriz de la forma\[Y = \left[ \begin{array}{r} -\frac{5}{2}t \\[3pt] t \end{array} \right]\nonumber\] es una solución a\(CX = 0_{2 \times 2}\), por lo que hay infinitamente muchas matrices tales que\(CX = 0_{2 \times 2}\). Pero consideremos la matriz NO\[X_41 = \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \end{array} \right]\nonumber\] es una solución a\(CX = 0_{2 \times 2}\), sino más bien,\[CX_41= \left[ \begin{array}{rr} 6 & 15 \\ 14 & 35 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 123 \\ 287 \end{array} \right] = 41\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \end{array} \right]\nonumber\] De hecho, si\(Z\) es de la forma\[Z = \left[ \begin{array}{r} \frac{3}{7}t \\[3pt] t \end{array} \right]\nonumber\] entonces\[CZ = \left[ \begin{array}{rr} 6 & 15 \\ 14 & 35 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \frac{3}{7}t \\[3pt] t \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} \frac{123}{7}t \\[3pt] 41t \end{array} \right] = 41\left[ \begin{array}{r} \frac{3}{7}t \\[3pt] t \end{array} \right] = 41Z\nonumber\] para todos\(t\). La gran pregunta es “¿Cómo sabíamos usar\(41\)?”

Necesitamos un número\(\lambda\) tal que\(CX = \lambda X\) tenga soluciones distintas de cero. Eso lo hemos demostrado\(\lambda = 0\) y\(\lambda = 41\) ambos funcionaron. ¿Hay otros? Si miramos más de cerca la ecuación matricial, lo que realmente queríamos era una solución distinta de cero a la\((C - \lambda I_{2})X = 0_{2 \times 2}\) que sabemos que existe si y sólo si el determinante de\(C - \lambda I_{2}\) es cero. ¹⁰ Entonces calculamos\[\det(C - \lambda I_2) = \det\left(\left[ \begin{array}{rr} 6 - \lambda & 15 \\ 14 & 35 - \lambda \end{array} \right] \right) = (6 - \lambda)(35 - \lambda) - 14 \cdot 15 = \lambda^{2} - 41 \lambda\nonumber\] Esto se llama el polinomio característico de la matriz\(C\) y tiene dos ceros:\(\lambda = 0\) y\(\lambda = 41\). Así sabíamos usar\(41\) en nuestro trabajo anterior. El hecho de que se\(\lambda = 0\) mostrara como uno de los ceros del polinomio característico solo significa que\(C\) en sí mismo tenía un cero determinante que ya conocíamos. Esos dos números se llaman los valores propios de\(C\). Las soluciones matriciales correspondientes a\(CX = \lambda X\) se llaman los vectores propios de\(C\) y la porción 'vector' del nombre tendrá más sentido después de haber estudiado vectores.

Ahora es tu turno. En los siguientes ejercicios, estarás usando la matriz\(G\) del Ejercicio 6. \[G = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & \hphantom{1}2 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \\ 3 & 4 & 19 \end{array} \right]\nonumber\]

27. Demostrar que el polinomio característico de\(G\) es\(p(\lambda) = -\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 22)\). Es decir, cómpule\(\text{det}\left(G - \lambda I_{3}\right)\).
28. Vamos\(G_0 = G\). Encuentra la descripción paramétrica de la solución al sistema de ecuaciones lineales dadas por\(GX = 0_{3 \times 3}\).
29. Vamos\(G_{1} = G - I_{3}\). Encuentra la descripción paramétrica de la solución al sistema de ecuaciones lineales dadas por\(G_{1}X = 0_{3 \times 3}\). Demostrar que cualquier solución a\(G_{1}X = 0_{3 \times 3}\) también tiene la propiedad que\(GX = 1X\).
30. Vamos\(G_{22} = G - 22 I_{3}\). Encuentra la descripción paramétrica de la solución al sistema de ecuaciones lineales dadas por\(G_{22}X = 0_{3 \times 3}\). Demostrar que cualquier solución a\(G_{22}X = 0_{3 \times 3}\) también tiene la propiedad que\(GX = 22X\).

RESPUESTAS

1. \(\det(B) = 1\)
2. \(\det(C) = 0\)
3. \(\det(Q) = x^{2} \phantom{\dfrac{1}{x^{7}}}\)
4. \(\det(L) = \dfrac{1}{x^{7}}\)
5. \(\det(F) = -12\)
6. \(\det(G) = 0\)
7. \(\det(V) = 20i + 43j + 4k\)
8. \(\det(H) = -2\)
9. \(x = 39, \; y = -13\)
10. \(x = \frac{41}{66}, \; y=-\frac{31}{33}\)
11. \(x=7500, \; y=500\)
12. \(x = \frac{76}{47}, \; y=-\frac{45}{47}\)
13. \(x = 1, \; y = 2, \; z = 0\)
14. \(x = \frac{121}{60}, \; y = \frac{131}{60}, \; z = -\frac{53}{60}\)
15. \(x_{4} = 4\)
16. \(x_{4} = -1\)
17. \(B^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 5 & 12 \end{array} \right]\)
18. \(F^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{5}{2} & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{7}{4} & -\frac{9}{4} & -\frac{1}{4} \\[3pt] -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} \right]\)
19. Carl posee 78 tarjetas comunes y 39 tarjetas raras.
20. \(3.125\)galones.
21. \(\frac{20}{7} \approx 2.85\)litros.
22. El rescate alberga 15 serpientes, 21 tarántulas y 13 escorpiones.
23. Usando la Regla de Cramer, encontramos que necesitamos 53 porciones de Pescado Ippizuti para satisfacer los requerimientos dietéticos. El número de porciones de Misty Setas requeridas, sin embargo, es\(-1120\). Dado que es imposible tener un número negativo de raciones, no hay solución al problema aplicado, a pesar de que existe una solución al problema matemático. Un cuento de advertencia sobre el uso de la regla de Cramer: el hecho de que se le garantice una respuesta matemática para cada variable no significa que la solución tenga sentido en el mundo 'real'.

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Referencia

¹ Hablaremos más sobre el término 'recursivamente' en la Sección 9.1.

² Para un tratamiento muy elegante, toma un curso de Álgebra Lineal. Ahí, lo más probable es que veas el tratamiento de los determinantes lógicamente revertido de lo que se presenta aquí. Específicamente, el determinante se define como una función que lleva una matriz cuadrada a un número real y satisface algunas de las propiedades del Teorema 8.7. A partir de esa función se desarrolla una fórmula para el determinante.

³ Esencialmente, seguimos el algoritmo de Gauss Jordan pero no nos importa que nos lidere los 1's.

⁴ En la Sección 8.5.2 aprendemos que los determinantes (específicamente cofactores) están profundamente conectados con la inversa de una matriz.

⁵ Estamos desarrollando un método en la próxima discusión. Al igual que con la discusión en la Sección 8.4 cuando desarrollamos el primer algoritmo para encontrar inversiones matriciales, te pedimos que nos complazcas.

⁶ Se anima al lector a detenerse y pensar esto bien.

⁷ En un curso de Álgebra Lineal sólido aprenderás que las propiedades en el Teorema 8.7 se mantienen igualmente bien si la palabra 'fila' es reemplazada por la palabra 'columna'. No vamos a entrar en operaciones de columna en este texto, pero sí hacen que algo de lo que estamos tratando de decir sea más fácil de seguir.

⁸ Si lo piensas por un momento, verás ese det\(\left(I_{n}\right)=1\) por cualquier número natural\(n\). La prueba formal de este hecho requiere del Principio de Inducción Matemática (Sección 9.3) por lo que nos quedaremos con\(n = 3\) por el momento.

⁹ Este material suele ser dado su propio capítulo en un libro de Álgebra Lineal así que claramente no somos capaces de decirte todo lo que necesitas saber sobre valores propios y vectores propios. Son una buena aplicación de determinantes, sin embargo, así que te vamos a dar suficientes antecedentes para que puedas empezar a jugar con ellos.

¹⁰ Piénsalo en esto.