9.2: Notación de suma

En la sección anterior, introdujimos secuencias y ahora presentaremos notación y teoremas relativos a la suma de términos de una secuencia. Comenzamos con una definición, que a la vez de intimidar, pretende hacernos la vida más fácil.

Definición 9.3. Notación de suma

Dada una secuencia\(\left\{ a_{n} \right\}_{n=k}^{\infty}\) y números\(m\) y\(p\) satisfactoria\(k \leq m \leq p\), se escribe la suma\(p\) de\(m\) a de\(\left\{a_{n}\right\}\) la secuencia

\[\sum_{n=m}^{p} a_{n}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{p}\nonumber\]

La variable\(n\) se llama el índice de suma. El número\(m\) se llama el límite inferior de la suma mientras que el número\(p\) se llama el límite superior de la suma.

En inglés, la Definición 9.3 es simplemente definir una notación de mano corta para sumar los términos de la secuencia\(\left\{ a_{n} \right\}_{n=k}^{\infty}\) desde el\(a_{m}\) principio\(a_{p}\). El símbolo\(\Sigma\) es la letra griega mayúscula sigma y es la abreviatura de 'sum'. Los límites inferior y superior de la suma nos indican con qué término comenzar y con qué término terminar, respectivamente. Por ejemplo, usando la secuencia\(a_{n} = 2n-1\) para\(n \geq 1\), podemos escribir la suma\(a_{3} +a_{4} + a_{5} + a_{6}\) como

\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{n=3}^{6}(2n-1) } & = & (2(3)-1) + (2(4)-1) + (2(5)-1) + (2(6)-1) \\ & = & 5 + 7 + 9 + 11 \\ & = & 32 \\ \end{array}\nonumber\]

La variable índice se considera una 'variable fictica' en el sentido de que puede cambiarse a cualquier letra sin afectar el valor de la suma. Por ejemplo,

\[\displaystyle{\sum_{n=3}^{6}(2n-1)} = \displaystyle{\sum_{k=3}^{6}(2k-1)} = \displaystyle{\sum_{j=3}^{6}(2j-1)}\nonumber\]

Un lugar en el que puede encontrar la notación de suma es en las definiciones matemáticas. Por ejemplo, la notación de suma nos permite definir polinomios como funciones de la forma

\[f(x) = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}}\nonumber\]

para números reales\(a_{k}\),\(k = 0, 1, \ldots n\). Se invita al lector a comparar esto con lo que se da en la Definición 3.1. La notación de suma es particularmente útil cuando se habla de operaciones matriciales. Por ejemplo, podemos escribir el producto de la fila\(i\) th\(R_{i}\) de una matriz\(A = [a_{ij}]_{m \times n}\) y la\(j^{\text {th }}\) columna\(C_{j}\) de una matriz\(B = [b_{ij}]_{n \times r}\) como

\[Ri \cdot Cj = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}}\nonumber\]

Nuevamente, se anima al lector a escribir la suma y compararla con la Definición 8.9. Nuestro siguiente ejemplo nos da práctica con esta nueva notación.

Ejemplo 9.2.1.

1. Encuentra las siguientes sumas.
   1. \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{4} \dfrac{13}{100^k} }\)
   2. \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{4} \dfrac{n!}{2}}\)
   3. \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{5} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n}\)
2. Escribe las siguientes sumas usando notación de suma.
   1. \(1 + 3 + 5 + \ldots + 117\)
   2. \(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + - \ldots + \dfrac{1}{117}\)
   3. \(0.9+0.09+0.009+\ldots 0.\underbrace{0 \cdots 0}_{n-1 \text { zeros}} 9\)

Solución

1. 1. Sustituimos\(k=1\) en la fórmula\(\frac{13}{100^k}\) y agregamos términos sucesivos hasta llegar a\(k=4.\)

      \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{k=1}^{4} \dfrac{13}{100^k} } & = & \dfrac{13}{100^1} + \dfrac{13}{100^2} + \dfrac{13}{100^3} + \dfrac{13}{100^4} \\ & = & 0.13 + 0.0013 + 0.000013 + 0.00000013 \\ & = & 0.13131313 \\ \end{array}\nonumber\]

   2. Procediendo como en (a), reemplazamos cada ocurrencia de\(n\) con los valores\(0\) a través\(4\). Recordamos las factoriales,\(n!\) como se define en el número Ejemplo 9.1.1, número 6 y obtenemos:

      \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\displaystyle{\sum_{n=0}^{4} \dfrac{n!}{2}}} & = & \dfrac{0!}{2} + \dfrac{1!}{2} + \dfrac{2!}{2} + \dfrac{3!}{2} = \dfrac{4!}{2} \\ [10pt] & = & \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2 \cdot 1}{2} + \dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2} + \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{2} \\ [10pt] & = & \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 + 3 + 12 \\ [10pt] & = & 17 \\ \end{array}\nonumber\]

   3. Se procede como antes, sustituyendo el índice\(n\), pero no la variable\(x\), con los valores\(1\) a través\(5\) y sumando los términos resultantes.

      \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{n=1}^{5} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n} & = & \dfrac{(-1)^{1+1}}{1} (x-1)^1 + \dfrac{(-1)^{2+1}}{2} (x-1)^2 + \dfrac{(-1)^{3+1}}{3} (x-1)^3 \\ && + \dfrac{(-1)^{1+4}}{4} (x-1)^4 + \dfrac{(-1)^{1+5}}{5} (x-1)^5 \\ [10pt] & = & (x-1) - \dfrac{(x-1)^2}{2} + \dfrac{(x-1)^3}{3} - \dfrac{(x-1)^4}{4} + \dfrac{(x-1)^5}{5} \\ \end{array}\nonumber\]

2. La clave para escribir estas sumas con notación de suma es encontrar el patrón de los términos. Para ello, hacemos buen uso de las técnicas que se presentan en la Sección 9.1.
   1. Los términos de la suma\(1\),\(3\),\(5\), etc., forman una secuencia aritmética con primer término\(a = 1\) y diferencia común\(d = 2\). Obtenemos una fórmula para el término\(n\) th de la secuencia usando la Ecuación 9.1 para obtener\(a_{n} = 1 + (n-1)2 = 2n-1\),\(n \geq 1\). En esta etapa, tenemos la fórmula para los términos, es decir\(2n-1\), y el límite inferior de la suma,\(n=1\). Para terminar el problema, necesitamos determinar el límite superior de la suma. En otras palabras, necesitamos determinar qué valor de\(n\) produce el término\(117\). Ajuste\(a_{n} = 117\), obtenemos\(2n-1=117\) o\(n = 59\). Nuestra respuesta final es

      \[\begin{array}{rcl} 1 + 3 + 5 + \ldots + 117 & = & \displaystyle{\sum_{n=1}^{59} (2n-1)} \end{array}\nonumber\]

   2. Reescribimos todos los términos como fracciones, la resta como suma, y asociamos los negativos '\(-\)' con los numeradores para obtener

      \[\dfrac{1}{1} + \dfrac{-1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{-1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{117}\nonumber\]

      Los numeradores,\(1\),\(-1\), etc. pueden ser descritos por la secuencia geométrica ¹\(c_{n} = (-1)^{n-1}\) para\(n \geq 1\), mientras que los denominadores están dados por la secuencia aritmética ²\(d_{n} = n\) para\(n \geq 1\). De ahí que obtengamos la fórmula\(a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}\) para nuestros términos, y encontramos que los límites inferior y superior de la suma son\(n=1\) y\(n = 117\), respectivamente. Así

      \[\begin{array}{rcl} 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + - \ldots + \dfrac{1}{117} & = & \displaystyle{\sum_{n=1}^{117} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} \end{array}\nonumber\]

   3. Gracias al Ejemplo 9.1.3, sabemos que una fórmula para el\(n^{\mbox{\scriptsize th}}\) término es\(a_{n} = \frac{9}{10^{n}}\) para\(n \geq 1\). Esto nos da una fórmula para la suma así como un límite inferior de suma. Para determinar el límite superior de suma, observamos que para producir los\(n-1\) ceros a la derecha del punto decimal antes de la\(9\), necesitamos un denominador de\(10^{n}\). De ahí,\(n\) es el límite superior de la suma. Ya que\(n\) se utiliza en los límites de la suma, necesitamos elegir una letra diferente para el índice de suma. ³ Elegimos\(k\) y obtenemos

      \[0.9+0.09+0.009+\ldots 0.\underbrace{0 \cdots 0}_{n-1 \text { zeros }} 9=\sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^{k}}\nonumber\]

El siguiente teorema presenta algunas propiedades generales de la notación de suma. Si bien no tendremos mucha necesidad de estas propiedades en Álgebra, sí juegan un gran papel en el Cálculo. Además, hay mucho que aprender al pensar en por qué se mantienen las propiedades. Invitamos al lector a probar estos resultados. Para empezar, recuerda: “¡En caso de duda, escríbalo!”

Teorema 9.1. Propiedades de Summation Notation

Supongamos\(\left\{a_{n}\right\}\) y\(\left\{b_{n}\right\}\) son secuencias para que se definan las siguientes sumas.

• \(\displaystyle{ \sum_{n=m}^{p} \left(a_{n} \pm b_{n} \right) = \sum_{n=m}^{p} a_{n} \pm \sum_{n=m}^{p} b_{n} }\)
• \(\displaystyle{\sum_{n=m}^{p} c \, a_{n} = c \sum_{n=m}^{p} a_{n}}\), para cualquier número real\(c\).
• \(\displaystyle{\sum_{n=m}^{p} a_{n} = \sum_{n=m}^{j} a_{n} + \sum_{n=j+1}^{p} a_{n}}\), para cualquier número natural\(m \leq j < j+1 \leq p\).
• \(\displaystyle{\sum_{n=m}^{p} a_{n} = \sum_{n=m+r}^{p+r} a_{n-r}}\), para cualquier número entero\(r\).

Ahora volvemos nuestra atención a las sumas que involucran secuencias aritméticas y geométricas. Dada una secuencia aritmética\(a_{k} = a + (k-1) d\) para\(k \geq 1\), dejamos\(S\) denotar la suma de los primeros\(n\) términos. Para derivar una fórmula para\(S\), la escribimos de dos maneras diferentes\[\begin{array}{ccccccccccc} S & = & a & + & (a + d) & + & \ldots & + & (a + (n-2)d) & + & (a + (n-1)d) \\ S & = & (a + (n-1)d) & + & (a + (n-2)d) & + & \ldots & + & (a + d) & + & a \\ \end{array}\nonumber\] Si agregamos estas dos ecuaciones y combinamos los términos que están alineados verticalmente, obtenemos

\[2S = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + \ldots + (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d)\nonumber\]

El lado derecho de esta ecuación contiene\(n\) términos, todos los cuales son iguales a\((2a + (n-1)d)\) lo que obtenemos\(2S = n(2a + (n-1)d)\). Dividiendo ambos lados de esta ecuación por\(2\), obtenemos la fórmula

\[S = \dfrac{n}{2} (2a + (n-1)d)\nonumber\]

Si reescribimos la cantidad\(2a + (n-1)d\) como\(a + (a + (n-1)d) = a_{1} + a_{n}\), obtenemos la fórmula

\[S = n \left(\dfrac{a_1 + a_{n}}{2}\right)\nonumber\]

Una manera útil de recordar esta última fórmula es reconocer que hemos expresado la suma como producto del número de términos\(n\) y el promedio del primero y\(n^{\text {th }}\) términos.

Para derivar la fórmula para la suma geométrica, comenzamos con una secuencia geométrica\(a_{k} = ar^{k-1}\),\(k \geq 1\), y dejamos denotar\(S\) una vez más la suma de los primeros\(n\) términos. Comparando\(S\) y\(rS\), obtenemos

\[\begin{array}{ccccccccccccccc} S & = & a & + & ar & + & ar^2 & + & \ldots & + & ar^{n-2} & + & ar^{n-1} & & \\ r S & = & & & ar & + & ar^2 & + & \ldots & + & ar^{n-2} & + & ar^{n-1} & + & ar^{n} \\ \end{array}\nonumber\]

Restar la segunda ecuación de la primera obliga a todos los términos excepto\(a\) y\(ar^{n}\) a cancelar y obtenemos\(S - rS = a - ar^{n}\). Factoring, obtenemos\(S(1-r) = a \left(1-r^{n}\right)\). Asumiendo\(r \neq 1\), podemos dividir ambos lados por la cantidad\((1-r)\) a obtener

\[S = a \left( \dfrac{1-r^n}{1-r}\right)\nonumber\]

Si distribuimos\(a\) a través del numerador, obtenemos\(a - ar^{n} = a_{1} - a_{n + 1}\) lo que arroja la fórmula

\[S=\frac{a_{1}-a_{n+1}}{1-r}\nonumber\]

En el caso cuando\(r=1\), obtenemos la fórmula

\[S = \underbrace{a + a + \ldots +a }_{\text{$n$ times}} = n \, a\nonumber\]

Nuestros resultados se resumen a continuación.

Ecuación 9.2. Sumas de secuencias aritméticas y geométricas

• La suma\(S\) de los primeros\(n\) términos de una secuencia aritmética\(a_{k}= a + (k-1)d\) para\(k \geq 1\) es

  \[S = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}} = n \left(\dfrac{a_1 + a_{n}}{2}\right) = \dfrac{n}{2} (2a + (n-1)d)\nonumber\]

• La suma\(S\) de los primeros\(n\) términos de una secuencia geométrica\(a_{k}= ar^{k-1}\) para\(k \geq 1\) es
  1. \(S = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}} = \dfrac{a_{1} - a_{n + 1}}{1-r} =a \left( \dfrac{1-r^n}{1-r}\right)\), si\(r \neq 1\).
  2. \(S = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} a =n a}\), si\(r =1\).

Si bien hemos hecho un esfuerzo honesto para derivar las fórmulas de la Ecuación 9.2, las pruebas formales requieren la maquinaria de la Sección 9.3. Una aplicación de la fórmula de suma aritmética que resulta útil en Cálculo da como resultado la fórmula para la suma de los primeros números\(n\) naturales. Los números naturales en sí son una secuencia ⁴\(1\),\(2\),\(3\),... que es aritmética con\(a = d = 1\). Aplicando la Ecuación 9.2,

\[\begin{array}{rcl} 1 + 2 + 3 + \ldots + n & = & \dfrac{n(n+1)}{2} \end{array}\nonumber\]

Entonces, por ejemplo, la suma de los primeros números\(100\) naturales ⁵ es\(\frac{100(101)}{2} = 5050\).

Una aplicación importante de la fórmula de suma geométrica es el plan de inversión llamado anualidad. Las anualidades difieren del tipo de inversiones que estudiamos en la Sección 6.5 en que los pagos se depositan en la cuenta de manera continua, y esto complica un poco las matemáticas. ⁶ Supongamos que tiene una cuenta con tasa de interés anual\(r\) que se compone\(n\) veces al año. Dejamos\(i = \frac{r}{n}\) denotar la tasa de interés por periodo. Supongamos que deseamos hacer depósitos continuos de\(P\) dólares al final de cada periodo compuesto. Dejar\(A_{k}\) denotar la cantidad en la cuenta después de períodos\(k\) compuestos. Entonces\(A_{1} = P\), porque hemos hecho nuestro primer depósito al término del primer periodo compuesto y no se han ganado intereses. Durante el segundo periodo compuesto, ganamos intereses\(A_{1}\) para que nuestra inversión inicial haya crecido de acuerdo con la Ecuación 6.1.\(A_{1}(1+i) = P(1+i)\) Cuando sumamos nuestro segundo pago al final del segundo periodo, obtenemos

\[A_2 = A_1(1+i) + P = P(1+i) + P = P(1+i)\left(1 + \dfrac{1}{1+i}\right)\nonumber\]

El motivo para factorizar el se\(P(1+i)\) hará evidente en poco tiempo. Durante el tercer periodo compuesto, ganamos intereses sobre los\(A_{2}\) que luego crece a\(A_{2}(1+i)\). Agregamos nuestro tercer pago al término del tercer periodo compuesto para obtener

\[A_3 = A_2(1+i) + P = P(1+i)\left(1 + \dfrac{1}{1+i}\right)(1+i) + P = P(1+i)^2\left(1 + \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{(1+i)^2}\right)\nonumber\]

Durante el cuarto periodo compuesto,\(A_{3}\) crece hasta\(A_{3}(1+i)\), y cuando sumamos el cuarto pago, factorizamos\(P(1+i)^3\) para obtener

\[A_4 = P(1+i)^3 \left(1 + \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{(1+i)^2} + \dfrac{1}{(1+i)^3}\right)\nonumber\]

Este patrón continúa para que al final del\(k\) th compounding, obtengamos

\[A_{k} = P(1+i)^{k-1} \left(1 + \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{(1+i)^2} + \ldots + \dfrac{1}{(1+i)^{k-1}}\right)\nonumber\]

La suma entre paréntesis anteriores es la suma de los primeros\(k\) términos de una secuencia geométrica con\(a = 1\) y\(r = \frac{1}{1+i}\). Usando la Ecuación 9.2, obtenemos

\[1 + \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{(1+i)^2} + \ldots + \dfrac{1}{(1+i)^{k-1}} = 1 \left(\dfrac{1 - \dfrac{1}{(1+i)^k}}{1 - \dfrac{1}{1+i}}\right) = \ \dfrac{(1+i)\left(1 - (1+i)^{-k}\right)}{i}\nonumber\]

De ahí que obtengamos

\[A_{k} = P(1+i)^{k-1} \left(\dfrac{(1+i)\left(1 - (1+i)^{-k}\right)}{i}\right) = \dfrac{P\left((1+i)^k - 1\right)}{i}\nonumber\]

Si dejamos\(t\) ser el número de años se sigue esta estrategia de inversión, entonces\(k = nt\), y obtenemos la fórmula para el valor futuro de una anualidad ordinaria.

Ecuación 9.3. Valor futuro de una anualidad ordinaria

Supongamos que una anualidad ofrece una tasa de interés anual\(r\) compuesta\(n\) veces al año. Dejar\(i = \frac{r}{n}\) ser la tasa de interés por periodo compuesto. Si\(P\) se realiza un depósito al final de cada período compuesto, el monto\(A\) en la cuenta después de\(t\) años es dado por

\[A = \dfrac{P\left((1+i)^{nt} - 1\right)}{i}\nonumber\]

Se alienta al lector a sustituir\(i = \frac{r}{n}\) en la Ecuación 9.3 y simplificar. Surgen algunas ecuaciones familiares que son causa de pausa y meditación. Una última nota: si el depósito\(P\) se realiza al inicio del período compuesto en lugar de al final, la anualidad se denomina anualidad adeudada. Dejamos la derivación de la fórmula para el valor futuro de una anualidad adeudada como ejercicio para el lector.

Ejemplo 9.2.2

Una anualidad ordinaria ofrece una tasa de interés\(6 \%\) anual, compuesta mensualmente.

1. Si\(\$50\) se realizan pagos mensuales de, encuentre el valor de la anualidad en\(30\) años.
2. ¿Cuántos años tardará en crecer la anualidad\(\$100,\! 000\)?

Solución.

1. Tenemos\(r = 0.06\) y\(n = 12\) para eso\(i = \frac{r}{n} = \frac{0.06}{12} = 0.005\). Con\(P=50\) y\(t=30\),

   \[A = \dfrac{50\left((1+0.005)^{(12)(30)} - 1\right)}{0.005} \approx 50225.75\nonumber\]

   Nuestra respuesta final es\(\$50,\!225.75\).

2. Para saber cuánto tiempo tardará en crecer la anualidad\(\$100,\!000\), nos fijamos\(A = 100000\) y resolvemos para\(t\). Aislamos lo exponencial y tomamos registros naturales de ambos lados de la ecuación.

   \[\begin{array}{rcl} 100000 & = & \dfrac{50\left((1+0.005)^{12t} - 1\right)}{0.005} \\ [10pt] 10 & = & (1.005)^{12t} - 1 \\ [4pt] (1.005)^{12t} & = & 11 \\ [4pt] \ln\left((1.005)^{12t}\right) & = & \ln(11) \\ [4pt] 12t \ln(1.005) & = & \ln(11) \\ [4pt] t & = & \frac{\ln(11)}{12 \ln(1.005)} \approx 40.06 \\ \end{array}\nonumber\]

   Esto significa que la inversión tarda poco más de\(40\) años en crecer hasta\(\$100,\!000\). Comparando esto con nuestra respuesta a la primera parte, vemos que en solo años\(10\) adicionales, el valor de la anualidad casi se duplica. Esta es una lección que vale la pena recordar.

Cerramos esta sección con un vistazo a Cálculo considerando sumas infinitas, llamadas series. Considera el número\(0.\overline{9}\). Podemos escribir este número como

\[0.\overline{9} = 0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \ldots\nonumber\]

Del Ejemplo 9.2.1, sabemos que podemos escribir la suma del primero\(n\) de estos términos como

\[0 . \underbrace{9 \cdots 9}_{n \text { nines }}=.9+0.09+0.009+\ldots 0.\underbrace{0 \cdots 0}_{n-1 \text { zeros }} 9=\sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^{k}}\nonumber\]

Usando la Ecuación 9.2, tenemos

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{9}{10^{k}}} = \dfrac{9}{10} \left( \dfrac{1 - \dfrac{1}{10^{n+1}}}{1 - \dfrac{1}{10}} \right) = 1 - \dfrac{1}{10^{n+1}}\nonumber\]

Es lógico razonar que\(0.\overline{9}\) es el mismo valor de\(1 - \frac{1}{10^{n+1}}\) como\(n \rightarrow \infty\). Nuestro conocimiento de las expresiones exponenciales de la Sección 6.1 nos dice que\(\frac{1}{10^{n+1}} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\), así\(1 - \frac{1}{10^{n+1}} \rightarrow 1\). Acabamos de argumentar eso\(0.\overline{9} = 1\), lo que puede causar cierta angustia a algunos lectores. ⁷ Cualquier decimal no terminante puede pensarse como una suma infinita cuyos denominadores son los poderes de\(10\), por lo que el fenómeno de sumar infinitamente muchos términos y llegar a un número finito no es tan ajeno a un concepto como pueda parecer. Terminamos esta sección con un teorema relativo a las series geométricas.

Teorema 9.2. Serie Geométrica

Dada la secuencia\(a_{k} = ar^{k-1}\) para\(k \geq 1\), donde\(|r| < 1\),

\[a + ar + ar^2 + \ldots = \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1}} = \dfrac{a}{1-r}\nonumber\]

Si\(|r| \geq 1\), la suma no\(a + ar + ar^2 + \ldots\) está definida.

La justificación del resultado en el Teorema 9.2 proviene de tomar la fórmula de la Ecuación 9.2 para la suma de los primeros\(n\) términos de una secuencia geométrica y examinar la fórmula como\(n \rightarrow \infty\). Asumiendo\(|r|<1\) significa\(-1 < r < 1\), así\(r^{n} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\). De ahí que\(n \rightarrow \infty\),

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a r^{k-1}} = a \left( \dfrac{1-r^n}{1-r}\right) \rightarrow \dfrac{a}{1-r}\nonumber\]

En cuanto a qué sale mal cuando\(|r| \geq 1\), también dejamos eso a Cálculo, pero exploraremos algunos casos en los ejercicios.

9.2.1 Ejercicios

En Ejercicios 1 - 8, encuentra el valor de cada suma usando la Definición 9.3.

1. \(\displaystyle \sum_{g = 4}^{9} (5g + 3)\)
2. \(\displaystyle \sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k}\)
3. \(\displaystyle \sum_{j = 0}^{5} 2^{j}\)
4. \(\displaystyle \sum_{k = 0}^{2} (3k - 5)x^{k}\)
5. \(\displaystyle \sum_{i = 1}^{4} \frac{1}{4}(i^{2} + 1)\)
6. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{100} (-1)^{n}\)
7. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{5} \frac{(n+1)!}{n!}\)
8. \(\displaystyle \sum_{j = 1}^{3} \frac{5!}{j! \, (5-j)!}\)

En los Ejercicios 9 - 16, reescribe la suma usando notación de suma.

9. \(8 + 11 + 14 + 17 + 20\)
10. \(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8\)
11. \(x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7}\)
12. \(1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{29} \vphantom{x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7}}\)
13. \(2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4} + \frac{6}{5}\)
14. \(-\ln(3) + \ln(4) - \ln(5) + \cdots + \ln(20)\)
15. \(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \frac{1}{25} - \frac{1}{36}\)
16. \(\frac{1}{2}(x - 5) + \frac{1}{4}(x - 5)^{2} + \frac{1}{6}(x - 5)^{3} + \frac{1}{8}(x - 5)^{4}\)

En los Ejercicios 17 - 28, usa las fórmulas de la Ecuación 9.2 para encontrar la suma.

17. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{10} 5n+3\)
18. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{20} 2n-1\)
19. \(\displaystyle \sum_{k = 0}^{15} 3-k\)
20. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
21. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{5} \left(\frac{3}{2}\right)^{n}\)
22. \(\displaystyle \sum_{k = 0}^{5} 2\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\)
23. \(1+4+7+ \ldots +295\)
24. \(4+2+0-2- \ldots - 146\)
25. \(1+3+9+ \ldots + 2187\)
26. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{256}\vphantom{\displaystyle \sum_{n = 1}^{10} -2n + \left(\frac{5}{3}\right)^{n}}\)
27. \(3 - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} - \frac{3}{8}+- \dots +\frac{3}{256} \vphantom{\displaystyle \sum_{n = 1}^{10} -2n + \left(\frac{5}{3}\right)^{n}}\)
28. \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{10} -2n + \left(\frac{5}{3}\right)^{n}\)[findsumformulalast]

En los Ejercicios 29 - 32, utilice el Teorema 9.2 para expresar cada decimal repetido como una fracción de enteros.

29. \(0.\overline{7}\)
30. \(0.\overline{13}\)
31. \(10.\overline{159}\)
32. \(-5.8\overline{67}\)

En los Ejercicios 33 - 38, utilice la Ecuación 9.3 para calcular el valor futuro de la anualidad con los términos dados. En todos los casos, supongamos que el pago se realiza mensualmente, la tasa de interés dada es la tasa anual, y el interés se compone mensualmente.

33. los pagos son $300, la tasa de interés es 2.5%, el plazo es de 17 años.
34. los pagos son de $50, la tasa de interés es de 1.0%, el plazo es de 30 años.
35. los pagos son $100, la tasa de interés es 2.0%, el plazo es de 20 años
36. los pagos son $100, la tasa de interés es 2.0%, el plazo es de 25 años
37. los pagos son $100, la tasa de interés es 2.0%, el plazo es de 30 años
38. los pagos son $100, la tasa de interés es 2.0%, el plazo es de 35 años
39. Supongamos que una anualidad ordinaria ofrece una tasa de interés anual de\(2 \%\), compuesta mensualmente, por 30 años. ¿Cuál debe ser el pago mensual\(\$100,\!000\) al final del plazo?
40. Demostrar las propiedades listadas en el Teorema 9.1.
41. Demostrar que la fórmula para el valor futuro de una anualidad adeudada es\[A = P(1 + i)\left[\frac{(1 + i)^{nt} - 1}{i}\right]\nonumber\]
42. Discuta con sus compañeros de clase lo que sale mal al tratar de encontrar las siguientes sumas. ⁸
    1. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k-1}}\)
    2. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} (1.0001)^{k-1}}\)
    3. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}}\)

9.2.2 Respuestas

1. \(213\)
2. \(\frac{341}{280}\)
3. \(63\)
4. \(-5 - 2x + x^{2}\)
5. \(\frac{17}{2}\)
6. \(0\)
7. \(20\)
8. \(25\)
9. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{5} (3k + 5)\)
10. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{8} (-1)^{k - 1}k\)
11. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{4} (-1)^{k - 1} \frac{x^{2k - 1}}{2k - 1}\)
12. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{30} 2^{k-1}\)
13. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{5} \frac{k + 1}{k}\)
14. \(\displaystyle \sum_{k = 3}^{20} (-1)^{k} \ln(k)\)
15. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{6} \frac{(-1)^{k - 1}}{k^{2}}\)
16. \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{4} \frac{1}{2k}(x - 5)^{k}\)
17. \(305\)
18. \(400\)
19. \(-72\)
20. \(\dfrac{1023}{1024}\)
21. \(\dfrac{633}{32}\)
22. \(\dfrac{1365}{512}\)
23. \(14652\)
24. \(-5396\)
25. \(3280\)
26. \(\dfrac{255}{256}\)
27. \(\dfrac{513}{256}\)
28. \(\dfrac{17771050}{59049}\)
29. \(\dfrac{7}{9}\)
30. \(\dfrac{13}{99}\)
31. \(\dfrac{3383}{333}\)
32. \(-\dfrac{5809}{990}\)
33. $76,163.67
34. \(\$20,\!981.40\)
35. \(\$29,\!479.69\)
36. \(\$38,\!882.12\)
37. \(49,\!272.55\)
38. \(60,\!754.80\)
39. Para\(\$100,\!000\), el pago mensual es\(\approx \$202.95\).

---

Referencia

¹ Esta es efectivamente una secuencia geométrica con primer término\(a = 1\) y relación común\(r = −1\).

² Es una secuencia aritmética con primer término\(a = 1\) y diferencia común\(d = 1\).

³ Para ver por qué, intenta escribir la suma usando\(n\) '' como índice.

⁴ ¡Esta es la función de identidad sobre los números naturales!

⁵ Hay una anécdota interesante que dice que al famoso matemático Carl Friedrich Gauss se le dio este problema en la escuela primaria e ideó una solución muy inteligente.

⁶ El lector tal vez desee releer la discusión sobre el interés compuesto en la Sección 6.5 antes de proceder.

⁷ Para que esto sea más apetecible, generalmente se acepta\(0 . \overline{3}=\frac{1}{3}\) que para que\(0 . \overline{9}=3(0 . \overline{3})=3\left(\frac{1}{3}\right)=1\). 1. ¿Te sientes mejor?

⁸ En caso de duda, ¡escríbelos!