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10.6: Las funciones trigonométricas inversas

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Como indica el título, en esta sección nos preocupamos por encontrar inversos de las funciones trigonométricas (circulares). Nuestro problema inmediato es que, debido a su carácter periódico, ninguna de las seis funciones circulares es una a una. Para remediar esto, restringimos los dominios de las funciones circulares de la misma manera que restringimos el dominio de la función cuadrática en el Ejemplo 5.2.3 en la Sección 5.2 para obtener una función uno a uno. Primero consideramos\(f(x) = \cos(x)\). Elegir el intervalo nos\([0,\pi]\) permite mantener el rango así\([-1,1]\) como las propiedades de ser suave y continuo.

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    Restringiendo el dominio de\(f(x)=\cos (x) \text { to }[0, \pi]\).

    Recordemos de la Sección 5.2 que normalmente\(f\) se denota la inversa de una función\(f^{-1}\). Por esta razón, algunos libros de texto utilizan la notación\(f^{-1}(x) = \cos^{-1}(x)\) para la inversa de\(f(x) = \cos(x)\). El escollo obvio aquí es nuestra convención de escribir\((\cos(x))^2\) como\(\cos^{2}(x)\),\((\cos(x))^3\) como\(\cos^{3}(x)\) y así sucesivamente. Es demasiado fácil\(\frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)\) confundirlo\(\cos^{-1}(x)\) con lo que no vamos a utilizar esta notación en nuestro texto. 1 En su lugar, usamos la notación\(f^{-1}(x) = \arccos(x)\), leemos 'arco-coseno de\(x\) '. Para entender el 'arco' en 'arccosine', recordemos que una función inversa, por definición, invierte el proceso de la función original. La función\(f(t) = \cos(t)\) toma una entrada de número real\(t\), la asocia con los\(\theta = t\) radianes de ángulo y devuelve el valor\(\cos(\theta)\). Profundizando, 2 tenemos que\(\cos(\theta) = \cos(t)\) es la\(x\) coordenada -del punto terminal en el Círculo de Unidad de un arco orientado de longitud\(|t|\) cuyo punto inicial es\((1, 0)\). Por lo tanto, podemos ver las entradas a\(f(t) = \cos(t)\) como arcos orientados y las salidas como\(x\) coordenadas en el Círculo de Unidad. La función\(f^{-1}\), entonces, tomaría\(x\) -coordenadas en el Círculo de Unidad y devolvería arcos orientados, de ahí el 'arco' en arcoseno. A continuación se muestran las gráficas de\(f(x) = \cos(x)\) y\(f^{-1}(x) = \arccos(x)\), donde obtenemos este último del primero reflejándolo a través de la línea\(y=x\), de acuerdo con el Teoremo5.3.

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    \(g(x) = \sin(x)\)Restringiremos de manera similar, aunque el intervalo de elección es\(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).

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    No debería sorprender que llamemos\(g^{-1}(x) = \arcsin(x)\), que se lee 'arco-seno\(x\) de'.

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    En el siguiente teorema se enumeran algunos datos importantes sobre las funciones arcoseno y arcoseno.

    Teorema 10.26. Propiedades de las funciones Arccosine y Arcsine
    • Propiedades de\(F(x)= \arccos(x)\)
      • Dominio:\([-1,1]\)
      • Rango:\([0,\pi]\)
      • \(\arccos(x) = t\)si y solo si\(0 \leq t \leq \pi\) y\(\cos(t) = x\)
      • \(\cos(\arccos(x)) = x\)siempre\(-1 \leq x \leq 1\)
      • \(\arccos(\cos(x)) = x\)siempre\(0 \leq x \leq \pi\)
    • Propiedades de\(G(x) = \arcsin(x)\)
      • Dominio:\([-1,1]\)
      • Rango:\(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
      • \(\arcsin(x) = t\)si y solo si\(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\) y\(\sin(t) = x\)
      • \(\sin(\arcsin(x)) = x\)siempre\(-1 \leq x \leq 1\)
      • \(\arcsin(\sin(x)) = x\)siempre\(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)
      • además, arcoseno es impar

    Todo en el Teorema 10.26 es una consecuencia directa de los hechos que\(f(x) = \cos(x)\) para\(0 \leq x \leq \pi\) y\(F(x) = \arccos(x)\) son inversos unos de otros como son\(g(x) = \sin(x)\) para\(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) y\(G(x) = \arcsin(x)\). Ya era hora de un ejemplo.

    Ejemplo 10.6.1
    1. Encuentra los valores exactos de lo siguiente.
      1. \(\arccos\left(\frac{1}{2}\right)\)
      2. \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
      3. \(\cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\)
      4. \(\sin\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\)
      5. \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
      6. \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\)
      7. \(\arccos\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\)
      8. \(\arccos\left( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right)\)
    2. Reescribir lo siguiente como expresiones algebraicas de\(x\) y declarar el dominio en el que es válida la equivalencia.
      1. \(\tan\left(\arccos\left(x \right)\right)\)
      2. \(\cos\left(2 \arcsin(x)\right)\)

    Solución.

      1. Para encontrar\(\arccos\left(\frac{1}{2}\right)\), necesitamos encontrar el número real\(t\) (o, equivalentemente, un ángulo que mida\(t\) radianes) que se encuentra entre\(0\) y\(\pi\) con\(\cos(t) = \frac{1}{2}\). Sabemos que\(t = \frac{\pi}{3}\) cumple con estos criterios, entonces\(\arccos\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{\pi}{3}\).
      2. El valor de\(\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) es un número real\(t\) entre\(-\frac{\pi}{2}\) y\(\frac{\pi}{2}\) con\(\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). El número que buscamos es\(t = \frac{\pi}{4}\). De ahí,\(\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\).
      3. El número\(t = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) se encuentra en el intervalo\([0,\pi]\) con\(\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Nuestra respuesta es\(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}\).
      4. Para encontrar\(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\), buscamos el número\(t\) en el intervalo\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) con\(\sin(t) = -\frac{1}{2}\). La respuesta es\(t = -\frac{\pi}{6}\) así\(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
      5. Ya que\(0 \leq \frac{\pi}{6} \leq \pi\), podríamos simplemente invocar el Teorema 10.26 para obtener\(\arccos\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{\pi}{6}\). Sin embargo, para asegurarnos de entender por qué es así, elegimos trabajar el ejemplo a través del uso de la definición de arcoseno. Trabajando de adentro hacia afuera,\(\arccos\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Ahora,\(\arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) es el número real\(t\) con\(0 \leq t \leq \pi\) y\(\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Nos encontramos\(t = \frac{\pi}{6}\), así que eso\(\arccos\left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{\pi}{6}\).
      6. Ya que\(\frac{11\pi}{6}\) no se encuentra entre\(0\) y\(\pi\), Teorema 10.26 no aplica. Estamos obligados a trabajar desde adentro hacia afuera comenzando con\(\arccos\left( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Del problema anterior, lo sabemos\(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}\). De ahí,\(\arccos\left( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) = \frac{\pi}{6}\).
      7. Una forma de simplificar\(\cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\) es usar el Teorema 10.26 directamente. Ya que\(-\frac{3}{5}\) es entre\(-1\) y\(1\), tenemos eso\(\cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = -\frac{3}{5}\) y ya terminamos. No obstante, como antes, para entender realmente por qué ocurre esta cancelación, dejamos\(t = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\). Entonces, por definición,\(\cos(t) = -\frac{3}{5}\). De ahí\(\cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \cos(t) = -\frac{3}{5}\),, y estamos acabados en (casi) la misma cantidad de tiempo.
      8. Al igual que en el ejemplo anterior, dejamos\(t = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\) así que\(\cos(t) = -\frac{3}{5}\) para algunos\(t\) donde\(0 \leq t \leq \pi\). Ya que\(\cos(t) < 0\), podemos acotar esto un poco y concluir que\(\frac{\pi}{2} < t < \pi\), de manera que eso\(t\) corresponde a un ángulo en el Cuadrante II. En términos de\(t\), entonces, tenemos que encontrar\(\sin\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \sin(t)\). Usando la Identidad Pitagórica\(\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1\), obtenemos\(\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^{2}(t) = 1\) o\(\sin(t) = \pm \frac{4}{5}\). Ya que\(t\) corresponde a un ángulo de Cuadrantes II, elegimos\(\sin(t) = \frac{4}{5}\). De ahí,\(\sin\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \frac{4}{5}\).
      1. Comenzamos este problema de la misma manera que iniciamos los dos problemas anteriores. Para ayudarnos a ver el bosque por los árboles, dejamos\(t = \arccos(x)\), así que nuestro objetivo es encontrar la manera de expresarnos\(\tan\left(\arccos\left(x \right)\right) = \tan(t)\) en términos de\(x\). Ya que\(t = \arccos(x)\), sabemos\(\cos(t) = x\) dónde\(0 \leq t \leq \pi\), pero como estamos tras una expresión para\(\tan(t)\), sabemos que tenemos que tirar\(t = \frac{\pi}{2}\) de la consideración. De ahí que sea\(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\) o\(\frac{\pi}{2} < t \leq \pi\) así que, geométricamente,\(t\) corresponda a un ángulo en el Cuadrante I o el Cuadrante II. Un enfoque 3 para encontrar\(\tan(t)\) es usar la identidad del cociente\(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\). Sustituir\(\cos(t) = x\) en la Identidad pitagórica\(\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1\) da\(x^2 + \sin^{2}(t) = 1\), de la que obtenemos\(\sin(t) = \pm \sqrt{1-x^2}\). Ya que\(t\) corresponde a los ángulos en los Cuadrantes I y II,\(\sin(t) \geq 0\), así que elegimos\(\sin(t) = \sqrt{1-x^2}\). Así,\[\tan(t) = \dfrac{\sin(t)}{\cos(t)} = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\nonumber\] Para determinar los valores de\(x\) para los que esta equivalencia es válida, consideramos nuestra sustitución\(t = \arccos(x)\). Ya que el dominio de\(\arccos(x)\) es\([-1,1]\), sabemos que debemos restringir\(-1 \leq x \leq 1\). Adicionalmente, ya que tuvimos que desechar\(t = \frac{\pi}{2}\), necesitamos desechar\(x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). De ahí,\(\tan\left(\arccos\left(x \right)\right) =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\) es válido para\(x\) en\([-1,0)\cup(0,1]\).
      2. Procedemos como en el problema anterior escribiendo\(t = \arcsin(x)\) para que\(t\) se encuentre en el intervalo\(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) con\(\sin(t) = x\). Nuestro objetivo es expresarnos\(\cos\left(2 \arcsin(x)\right) = \cos(2t)\) en términos de\(x\). Ya que\(\cos(2t)\) se define en todas partes, no obtenemos restricciones adicionales sobre\(t\) como lo hicimos en el problema anterior. Tenemos tres opciones para reescribir\(\cos(2t)\):\(\cos^{2}(t) - \sin^{2}(t)\),\(2\cos^{2}(t) - 1\) y\(1 - 2\sin^{2}(t)\). Como sabemos\(x = \sin(t)\), es más fácil usar el último formulario:\[\cos\left(2 \arcsin(x)\right) = \cos(2t) = 1 - 2\sin^{2}(t) = 1 - 2x^2\nonumber\] Para encontrar las restricciones sobre\(x\), una vez más apelamos a nuestra sustitución\(t = \arcsin(x)\). Ya que\(\arcsin(x)\) se define sólo para\(-1 \leq x \leq 1\), la equivalencia\(\cos\left(2 \arcsin(x)\right) = 1-2x^2\) es válida sólo en\([-1,1]\).

    Algunos comentarios sobre el Ejemplo 10.6.1 están en orden. La mayoría de los errores comunes encontrados al tratar las funciones circulares inversas provienen de la necesidad de restringir los dominios de las funciones originales para que sean uno a uno. Una instancia de este fenómeno es el hecho de\(\arccos\left( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) = \frac{\pi}{6}\) que a diferencia de\(\frac{11\pi}{6}\). Este es exactamente el mismo fenómeno que se discutió en la Sección 5.2 cuando vimos\(\sqrt{(-2)^2} = 2\) como opuesto a\(-2\). Adicionalmente, aunque la expresión a la que llegamos en la parte 2b anterior, es decir\(1 - 2x^2\), se define para todos los números reales, la equivalencia\(\cos\left(2 \arcsin(x)\right) = 1-2x^2\) es válida solo para\(-1 \leq x \leq 1\). Esto es similar al hecho de que si bien la expresión\(x\) se define para todos los números reales, la equivalencia\(\left( \sqrt{x} \right)^2 = x\) es válida sólo para\(x \geq 0\). Por esta razón, vale la pena tener cuidado cuando determinemos los intervalos donde dichas equivalencias son válidas.

    El siguiente par de funciones que queremos discutir son las inversas de tangente y cotangente, las cuales se llaman arcotangente y arccotangente, respectivamente. Primero, nos restringimos\(f(x) = \tan(x)\) a su ciclo fundamental en\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) obtener\(f^{-1}(x) = \arctan(x)\). Entre otras cosas, señalar que las asíntotas verticales\(x = -\frac{\pi}{2}\) y\(x = \frac{\pi}{2}\) de la gráfica de\(f(x) = \tan(x)\) se convierten en las asíntotas horizontales\(y = -\frac{\pi}{2}\) y\(y = \frac{\pi}{2}\) de la gráfica de\(f^{-1}(x) = \arctan(x)\).

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    A continuación, nos restringimos\(g(x) = \cot(x)\) a su ciclo fundamental en\((0,\pi)\) obtener\(g^{-1}(x) = \mbox{arccot}(x)\). Una vez más, las asíntotas verticales\(x=0\) y\(x=\pi\) de la gráfica de\(g(x) = \cot(x)\) se convierten en las asíntotas horizontales\(y = 0\) y\(y = \pi\) de la gráfica de\(g^{-1}(x) = \mbox{arccot}(x)\). Mostramos estas gráficas en la página siguiente y enumeramos algunas de las propiedades básicas de las funciones arcotangente y arccotangente.

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    Teorema 10.27. Propiedades de las funciones Arcotangente y Arccotangente
    • Propiedades de\(F(x)= \arctan(x)\)
      • Dominio:\((-\infty, \infty)\)
      • Rango:\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\arctan(x) \rightarrow -\frac{\pi}{2}^{+}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\arctan(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}\)
      • \(\arctan(x) = t\)si y solo si\(-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\) y\(\tan(t) = x\)
      • \(\arctan(x) = \mbox{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)\)para\(x > 0\)
      • \(\tan\left(\arctan(x)\right) = x\)para todos los números reales\(x\)
      • \(\arctan(\tan(x)) = x\)siempre\(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\)
      • Adicionalmente, el arcotangente es impar
    • Propiedades de\(G(x) = \mbox{arccot}(x)\)
      • Dominio:\((-\infty, \infty)\)
      • Rango:\((0, \pi)\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\mbox{arccot}(x) \rightarrow \pi^{-}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\mbox{arccot}(x) \rightarrow 0^{+}\)
      • \(\mbox{arccot}(x) = t\)si y solo si\(0 < t < \pi\) y\(\cot(t) = x\)
      • \(\mbox{arccot}(x) =\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\)para\(x > 0\)
      • \(\cot\left(\mbox{arccot}(x)\right) = x\)para todos los números reales\(x\)
      • \(\mbox{arccot}(\cot(x)) = x\)siempre\(0 < x < \pi\)
    Ejemplo 10.6.2
    1. Encuentra los valores exactos de lo siguiente.
      1. \(\arctan(\sqrt{3})\)
      2. \(\mbox{arccot}(-\sqrt{3})\)
      3. \(\cot(\mbox{arccot}(-5))\)
      4. \(\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\)
    2. Reescribir lo siguiente como expresiones algebraicas de\(x\) y declarar el dominio en el que es válida la equivalencia.
      1. \(\tan(2 \arctan(x))\)
      2. \(\cos(\mbox{arccot}(2x))\)

    Solución.

      1. Sabemos que\(\arctan(\sqrt{3})\) es el número real\(t\) entre\(-\frac{\pi}{2}\) y\(\frac{\pi}{2}\) con\(\tan(t) = \sqrt{3}\). Nos encontramos\(t = \frac{\pi}{3}\), así\(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\).
      2. El número real\(t = \mbox{arccot}(-\sqrt{3})\) se encuentra en el intervalo\((0,\pi)\) con\(\cot(t) = -\sqrt{3}\). Obtenemos\(\mbox{arccot}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}\).
      3. Podemos aplicar el Teorema 10.27 directamente y obtener\(\cot(\mbox{arccot}(-5)) = -5\). Sin embargo, trabajarlo a través nos brinda una oportunidad más para entender por qué es así. Dejando\(t = \mbox{arccot}(-5)\), tenemos que\(t\) pertenece al intervalo\((0,\pi)\) y\(\cot(t)=-5\). De ahí,\(\cot(\mbox{arccot}(-5)) = \cot(t)=-5\).
      4. Empezamos a simplificar\(\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\) dejando\(t = \arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\). Entonces\(\tan(t) = -\frac{3}{4}\) para algunos\(-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\). Ya que\(\tan(t) < 0\), sabemos, de hecho,\(-\frac{\pi}{2} < t < 0\). Una forma de proceder es utilizar La Identidad Pitagórica\(1 + \cot^{2}(t) = \csc^{2}(t)\), ya que esto relaciona los recíprocos de\(\tan(t)\) y\(\sin(t)\) y es válido para todos los que se\(t\) están considerando. 4 De\(\tan(t) = -\frac{3}{4}\), obtenemos\(\cot(t) = -\frac{4}{3}\). Sustituyendo, conseguimos\(1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \csc^{2}(t)\) así que\(\csc(t) = \pm \frac{5}{3}\). Ya que\(-\frac{\pi}{2} < t < 0\), elegimos\(\csc(t) = -\frac{5}{3}\), entonces\(\sin(t) = -\frac{3}{5}\). De ahí,\(\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right) = -\frac{3}{5}\).
      1. Si lo dejamos\(t = \arctan(x)\), entonces\(-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\) y\(\tan(t) = x\). Buscamos una manera de expresarnos\(\tan(2 \arctan(x)) = \tan(2t)\) en términos de\(x\). Antes de comenzar a usar identidades, observamos que no\(\tan(2t)\) está definido cuando\(2t = \frac{\pi}{2} + \pi k\) para enteros\(k\). Dividir ambos lados de esta ecuación por nos\(2\) dice que necesitamos excluir valores de\(t\) donde\(t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k\), donde\(k\) es un entero. Los únicos miembros de esta familia en los que se encuentran\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) son\(t = \pm \frac{\pi}{4}\), lo que significa que los valores de\(t\) bajo consideración son\(\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\). Volviendo a\(\arctan(2t)\), observamos la identidad de doble ángulo\(\tan(2t) = \frac{2 \tan(t)}{1 - \tan^{2}(t)}\), es válida para todos los valores de\(t\) bajo consideración, de ahí que lleguemos\[\tan(2 \arctan(x)) = \tan(2t) = \frac{2 \tan(t)}{1 - \tan^{2}(t)}= \frac{2x}{1-x^2}\nonumber\] Para encontrar donde esta equivalencia es válida comprobamos de nuevo con nuestra sustitución\(t = \arctan(x)\). Dado que el dominio de\(\arctan(x)\) es todo números reales, las únicas exclusiones provienen de los valores de\(t\) que descartamos antes,\(t = \pm \frac{\pi}{4}\). Ya que\(x =\tan(t)\), esto significa que excluimos\(x = \tan\left(\pm \frac{\pi}{4}\right) = \pm 1\). De ahí que la equivalencia\(\tan(2 \arctan(x)) = \frac{2x}{1-x^2}\) se mantenga para todos\(x\) en\((-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1,\infty)\).
      2. Para empezar, dejamos\(t = \mbox{arccot}(2x)\) para que\(\cot(t) = 2x\) donde\(0 < t < \pi\). En términos de\(t\),\(\cos(\mbox{arccot}(2x)) = \cos(t)\), y nuestro objetivo es expresar esto último en términos de\(x\). Ya que siempre\(\cos(t)\) se define, no hay restricciones adicionales sobre\(t\), por lo que podemos comenzar a usar identidades con las que\(\cot(t)\) relacionarnos\(\cos(t)\). La identidad\(\cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}\) es válida para\(t\) in\((0,\pi)\), por lo que nuestra estrategia es obtener\(\sin(t)\) en términos de\(x\), luego escribir\(\cos(t) = \cot(t) \sin(t)\). La identidad\(1 + \cot^{2}(t) = \csc^{2}(t)\) se sostiene para todos\(t\) en\((0,\pi)\) y se relaciona\(\cot(t)\) y\(\csc(t) = \frac{1}{\sin(t)}\). Sustituyendo\(\cot(t) =2x\), obtenemos\(1 + (2x)^2 = \csc^{2}(t)\), o\(\csc(t) = \pm \sqrt{4x^2+1}\). Ya que\(t\) es entre\(0\) y\(\pi\),\(\csc(t) > 0\), así\(\csc(t) =\sqrt{4x^2+1}\) que da\(\sin(t) = \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}\). De ahí,\[\cos(\mbox{arccot}(2x)) = \cos(t) = \cot(t) \sin(t) = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}\nonumber\] ya que\(\mbox{arccot}(2x)\) se define para todos los números reales\(x\) y no encontramos restricciones adicionales sobre\(t\), tenemos\(\cos\left(\mbox{arccot}(2x)\right) = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}\) para todos los números reales\(x\).

    Las dos últimas funciones a invertir son secante y cosecante. A continuación se da una porción de cada una de sus gráficas, las cuales fueron discutidas por primera vez en la Subsección 10.5.2, con los ciclos fundamentales resaltados.

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    De la gráfica de secante queda claro que no podemos encontrar una sola pieza continua de su gráfica que cubra todo su rango\((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) y restrinja el dominio de la función para que sea uno a uno. Lo mismo ocurre con el cosecante. Así, para definir las funciones arcsecant y arccosecant, debemos conformarnos con un enfoque por partes en el que elegimos una pieza para cubrir la parte superior de la gama, es decir\([1, \infty)\), y otra pieza para cubrir el fondo, a saber\((-\infty, -1]\). Hay dos formas generalmente aceptadas de tomar estas elecciones que restringen los dominios de estas funciones para que sean uno a uno. Un enfoque simplifica la Trigonometría asociada a las funciones inversas, pero complica el Cálculo; el otro facilita el Cálculo, pero la Trigonometría menos. Presentamos ambos puntos de vista.

    10.6.1. Inversas de Secante y Cosecante: Enfoque Amistoso de Trigonometría

    En esta subsección, restringimos las funciones secante y cosecante para que coincidan con las restricciones sobre coseno y seno, respectivamente. Porque\(f(x) = \sec(x)\), restringimos el dominio a\(\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{\pi}{2}, \pi\right]\)

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    y restringimos\(g(x) = \csc(x)\) a\(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\).

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    Tenga en cuenta que tanto para arcsecant como arccosecant, el dominio es\((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\). Tomando una página de la Sección 2.2, podemos reescribir esto como\(\left\{ x : |x| \geq 1\right\}\). Esto a menudo se hace en los libros de texto de Cálculo, por lo que lo incluimos aquí para que sea completo. Usando estas definiciones, obtenemos las siguientes propiedades de las funciones arcsecant y arccosecant.

    Teorema 10.28. Propiedades de la función Arcsecant y Arccosecant a
    • Propiedades de\(F(x)= \mbox{arcsec}(x)\)
      • Dominio:\(\left\{ x : |x| \geq 1 \right\} = (-\infty, -1] \cup [1,\infty)\)
      • Rango:\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\mbox{arcsec}(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\mbox{arcsec}(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}\)
      • \(\mbox{arcsec}(x) = t\)si y sólo si\(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\) o\(\frac{\pi}{2} < t \leq \pi\) y\(\sec(t) = x\)
      • \(\mbox{arcsec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right)\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\sec\left(\mbox{arcsec}(x)\right) = x\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\mbox{arcsec}(\sec(x)) = x\)proporcionado\(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\) o\(\frac{\pi}{2} < x \leq \pi\)
    • Propiedades de\(G(x) = \mbox{arccsc}(x)\)
      • Dominio:\(\left\{ x : |x| \geq 1 \right\} = (-\infty, -1] \cup [1,\infty)\)
      • Rango:\(\left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right]\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\mbox{arccsc}(x) \rightarrow 0^{-}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\mbox{arccsc}(x) \rightarrow 0^{+}\)
      • \(\mbox{arccsc}(x) = t\)si y sólo si\(-\frac{\pi}{2} \leq t < 0\) o\(0 < t \leq \frac{\pi}{2}\) y\(\csc(t) = x\)
      • \(\mbox{arccsc}(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\csc\left(\mbox{arccsc}(x)\right) = x\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\mbox{arccsc}(\csc(x)) = x\)proporcionado\(-\frac{\pi}{2} \leq x < 0\) o\(0 < x \leq \frac{\pi}{2}\)
      • además, arccosecante es impar

    a. suponiendo que se utilicen los rangos “Trigonometría Amistoso”.
    Ejemplo 10.6.3.
    1. Encuentra los valores exactos de lo siguiente.
      1. \(\mbox{arcsec}(2)\)
      2. \(\mbox{arccsc}(-2)\)
      3. \(\mbox{arcsec}\left( \sec\left( \frac{5\pi}{4} \right) \right)\)
      4. \(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right)\)
    2. Reescribir lo siguiente como expresiones algebraicas de\(x\) y declarar el dominio en el que es válida la equivalencia.
      1. \(\tan(\mbox{arcsec}(x))\)
      2. \(\cos(\mbox{arccsc}(4x))\)

    Solución.

      1. Usando el Teorema 10.28, tenemos\(\mbox{arcsec}(2) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\).
      2. Una vez más, el Teorema 10.28 viene a nuestra ayuda dando\(\mbox{arccsc}(-2) = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
      3. Ya que\(\frac{5\pi}{4}\) no se encuentra entre\(0\) y\(\frac{\pi}{2}\) o\(\frac{\pi}{2}\) y\(\pi\), no podemos usar la propiedad inversa establecida en el Teorema 10.28. Podemos, sin embargo, comenzar por trabajar 'adentro out' que rinde\(\mbox{arcsec}\left( \sec\left( \frac{5\pi}{4} \right) \right) = \mbox{arcsec}(-\sqrt{2}) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}\).
      4. Una forma de comenzar a simplificar\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right)\) es dejar\(t = \mbox{arccsc}(-3)\). Entonces,\(\csc(t) = -3\) y, como esto es negativo, tenemos que\(t\) se encuentra en el intervalo\(\left[ -\frac{\pi}{2},0\right)\). Estamos tras\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right) = \cot(t)\), así que usamos la Identidad Pitagórica\(1 + \cot^{2}(t) = \csc^{2}(t)\). Sustituyendo, tenemos\(1 + \cot^{2}(t) = (-3)^2\), o\(\cot(t) = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \sqrt{2}\). Ya que\(-\frac{\pi}{2} \leq t < 0\)\(\cot(t) < 0\),, así conseguimos\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right) = -2\sqrt{2}\).
      1. Empezamos\(\tan(\mbox{arcsec}(x))\) simplificando dejando\(t = \mbox{arcsec}(x)\). Entonces,\(\sec(t) = x\) por\(t\) dentro\(\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right]\), y buscamos una fórmula para\(\tan(t)\). Ya que\(\tan(t)\) se define para todos\(t\) los valores bajo consideración, no tenemos restricciones adicionales sobre\(t\). Para\(\sec(t)\) relacionarnos\(\tan(t)\), utilizamos la identidad\(1 + \tan^{2}(t) = \sec^{2}(t)\). Esto es válido para todos los valores de\(t\) bajo consideración, y cuando sustituimos\(\sec(t) = x\), obtenemos\(1 + \tan^{2}(t) = x^2\). De ahí,\(\tan(t) = \pm \sqrt{x^2-1}\). Si\(t\) pertenece a\(\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\) entonces\(\tan(t) \geq 0\); si, por otro lado,\(t\) pertenece a\(\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right]\) entonces\(\tan(t) \leq 0\). Como resultado, obtenemos una función definida por partes para\(\tan(t)\)

        \[\tan(t) = \left\{ \begin{array}{rr} \sqrt{x^2-1}, & \text{if $0 \leq t < \frac{\pi}{2}$} \\[4pt] -\sqrt{x^2-1}, & \text{if $\frac{\pi}{2} < t \leq \pi$} \end{array}\right.\nonumber\]

        Ahora tenemos que determinar para qué\(t\) significan estas condiciones\(x\). Desde\(x = \sec(t)\), cuando\(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\),\(x \geq 1\), y cuando\(\frac{\pi}{2} < t \leq \pi\),\(x \leq -1\). Dado que no encontramos más restricciones sobre\(t\), la equivalencia a continuación se mantiene para all\(x\) in\((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\).

        \[\tan(\mbox{arcsec}(x)) = \left\{ \begin{array}{rr} \sqrt{x^2-1}, & \text{if $x \geq 1$} \\[5pt] -\sqrt{x^2-1}, & \text{if $x \leq -1$} \end{array}\right.\nonumber\]

      2. Para simplificar\(\cos(\mbox{arccsc}(4x))\), empezamos por dejar\(t = \mbox{arccsc}(4x)\). Entonces\(\csc(t) = 4x\) para\(t\) adentro\(\left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\), y ahora nos pusimos a encontrar una expresión para\(\cos(\mbox{arccsc}(4x)) = \cos(t)\). Ya que\(\cos(t)\) se define para todos\(t\), no encontramos ninguna restricción adicional sobre\(t\). De\(\csc(t) = 4x\), obtenemos\(\sin(t) = \frac{1}{4x}\), así que para encontrar\(\cos(t)\), podemos hacer uso si la identidad\(\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1\). Sustituyendo\(\sin(t) = \frac{1}{4x}\) da\(\cos^{2}(t) + \left(\frac{1}{4x}\right)^2 = 1\). Resolviendo, obtenemos\[\cos(t) = \pm \sqrt{\frac{16x^2-1}{16x^2}} = \pm \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}\nonumber\] Ya que\(t\) pertenece a\(\left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\), sabemos\(\cos(t) \geq 0\), así que elegimos\(\cos(t) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{4|x|}\). (Los valores absolutos aquí son necesarios, ya que\(x\) podrían ser negativos.) Para encontrar los valores para los que esta equivalencia es válida, miramos hacia atrás a nuestra subunidad original,\(t = \mbox{arccsc}(4x)\). Ya que el dominio de\(\mbox{arccsc}(x)\) requiere su argumento\(x\) para satisfacer\(|x| \geq 1\), el dominio de\(\mbox{arccsc}(4x)\) requiere\(|4x| \geq 1\). Usando el Teorema 2.4, reescribimos esta desigualdad y resolvemos para obtener\(x \leq -\frac{1}{4}\) o\(x \geq \frac{1}{4}\). Como no teníamos restricciones adicionales sobre\(t\), la equivalencia se\(\cos(\mbox{arccsc}(4x)) = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}\) mantiene para all\(x\) in\(\left(-\infty, -\frac{1}{4} \right] \cup \left[\frac{1}{4}, \infty \right)\).

    10.6.2. Inversos de Secante y Cosecante: Enfoque Amistoso del Cálculo

    En esta subsección, restringimos\(f(x) = \sec(x)\) a\(\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)\)

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    y restringimos\(g(x) = \csc(x)\) a\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2}\right]\).

    Screen Shot 2022-05-15 en 4.03.44 PM.png

    Usando estas definiciones, obtenemos el siguiente resultado.

    Teorema 10.29. Propiedades de la función Arcsecant y Arccosecant a
    • Propiedades de\(F(x)= \mbox{arcsec}(x)\)
      • Dominio:\(\left\{ x : |x| \geq 1 \right\} = (-\infty, -1] \cup [1,\infty)\)
      • Rango:\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right)\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\mbox{arcsec}(x) \rightarrow \frac{3\pi}{2}^{-}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\mbox{arcsec}(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}\)
      • \(\mbox{arcsec}(x) = t\)si y sólo si\(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\) o\(\pi \leq t < \frac{3\pi}{2}\) y\(\sec(t) = x\)
      • \(\mbox{arcsec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right)\)por\(x \geq 1\) solo b
      • \(\sec\left(\mbox{arcsec}(x)\right) = x\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\mbox{arcsec}(\sec(x)) = x\)proporcionado\(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\) o\(\pi \leq x < \frac{3\pi}{2}\)
    • Propiedades de\(G(x) = \mbox{arccsc}(x)\)
      • Dominio:\(\left\{ x : |x| \geq 1 \right\} = (-\infty, -1] \cup [1,\infty)\)
      • Rango:\(\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\)
      • as\(x \rightarrow -\infty\),\(\mbox{arccsc}(x) \rightarrow \pi^{+}\); as\(x \rightarrow \infty\),\(\mbox{arccsc}(x) \rightarrow 0^{+}\)
      • \(\mbox{arccsc}(x) = t\)si y sólo si\(0 < t \leq \frac{\pi}{2}\) o\(\pi < t \leq \frac{3\pi}{2}\) y\(\csc(t) = x\)
      • \(\mbox{arccsc}(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\)por\(x \geq 1\) solo c
      • \(\csc\left(\mbox{arccsc}(x)\right) = x\)siempre\(|x| \geq 1\)
      • \(\mbox{arccsc}(\csc(x)) = x\)proporcionado\(0 < x \leq \frac{\pi}{2}\) o\(\pi < x \leq \frac{3\pi}{2}\)

    a. suponiendo que se utilicen los rangos “Cálculo Amistoso”.

    b Compárelo con el resultado similar en el Teorema 10.28.

    c Compárelo con el resultado similar en el Teorema 10.28.

    Nuestro siguiente ejemplo es un duplicado del Ejemplo 10.6.3. Se invita al lector interesado a comparar y contrastar la solución con cada uno.

    Ejemplo 10.6.4.
    1. Encuentra los valores exactos de lo siguiente.
      1. \(\mbox{arcsec}(2)\)
      2. \(\mbox{arccsc}(-2)\)
      3. \(\mbox{arcsec}\left( \sec\left( \frac{5\pi}{4} \right) \right)\)
      4. \(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right)\)
    2. Reescribir lo siguiente como expresiones algebraicas de\(x\) y declarar el dominio en el que es válida la equivalencia.
      1. \(\tan(\mbox{arcsec}(x))\)
      2. \(\cos(\mbox{arccsc}(4x))\)

    Solución.

      1. Ya que\(2 \geq 1\), podemos invocar Teorema 10.29 para obtener\(\mbox{arcsec}(2) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\).
      2. Desafortunadamente, no\(-2\) es mayor ni igual a\(1\), por lo que no podemos aplicar el Teorema 10.29\(\mbox{arccsc}(-2)\) y convertir esto en un problema de arcoseno. En cambio, apelamos a la definición. El número real\(t = \mbox{arccsc}(-2)\) radica en\(\left(0,\frac{\pi}{2} \right] \cup \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right]\) y satisface\(\csc(t) = -2\). El\(t\) que buscamos es\(t = \frac{7\pi}{6}\), entonces\(\mbox{arccsc}(-2) = \frac{7\pi}{6}\).
      3. Dado que\(\frac{5\pi}{4}\) se encuentra entre\(\pi\) y\(\frac{3\pi}{2}\), podemos aplicar el Teorema 10.29 directamente para simplificar\(\mbox{arcsec}\left( \sec\left( \frac{5\pi}{4} \right) \right) = \frac{5\pi}{4}\). Animamos al lector a trabajar esto a través del uso de la definición como lo hemos hecho en los ejemplos anteriores para ver cómo va.
      4. Para simplificar\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right)\) dejamos que\(t = \mbox{arccsc}\left(-3\right)\) así\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right) = \cot(t)\). Sabemos\(\csc(t) = -3\), y como esto es negativo,\(t\) yace en\(\left( \pi, \frac{3\pi}{2}\right]\). Usando la identidad\(1 + \cot^{2}(t) = \csc^{2}(t)\), encontramos\(1 + \cot^{2}(t) = (-3)^2\) así que\(\cot(t) = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \sqrt{2}\). Ya que\(t\) está en el intervalo\(\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right]\), sabemos\(\cot(t) > 0\). Nuestra respuesta es\(\cot\left(\mbox{arccsc}\left(-3\right)\right) = 2 \sqrt{2}\).
      1. Empezamos\(\tan(\mbox{arcsec}(x))\) simplificando dejando\(t = \mbox{arcsec}(x)\). Entonces,\(\sec(t) = x\) por\(t\) dentro\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right)\), y buscamos una fórmula para\(\tan(t)\). Ya que\(\tan(t)\) se define para todos\(t\) los valores bajo consideración, no tenemos restricciones adicionales sobre\(t\). Para\(\sec(t)\) relacionarnos\(\tan(t)\), utilizamos la identidad\(1 + \tan^{2}(t) = \sec^{2}(t)\). Esto es válido para todos los valores de\(t\) bajo consideración, y cuando sustituimos\(\sec(t) = x\), obtenemos\(1 + \tan^{2}(t) = x^2\). De ahí,\(\tan(t) = \pm \sqrt{x^2-1}\). Ya que\(t\) se encuentra en\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right)\)\(\tan(t) \geq 0\),, entonces elegimos\(\tan(t) = \sqrt{x^2-1}\). Dado que no encontramos restricciones adicionales sobre\(t\), la equivalencia se\(\tan(\mbox{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2-1}\) mantiene para todos\(x\) en el dominio de\(t = \mbox{arcsec}(x)\), a saber\((-\infty, -1] \cup [1,\infty)\).
      2. Para simplificar\(\cos(\mbox{arccsc}(4x))\), empezamos por dejar\(t = \mbox{arccsc}(4x)\). Entonces\(\csc(t) = 4x\) para\(t\) adentro\(\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left(\pi, \frac{3\pi}{2} \right]\), y ahora nos pusimos a encontrar una expresión para\(\cos(\mbox{arccsc}(4x)) = \cos(t)\). Ya que\(\cos(t)\) se define para todos\(t\), no encontramos ninguna restricción adicional sobre\(t\). De\(\csc(t) = 4x\), obtenemos\(\sin(t) = \frac{1}{4x}\), así que para encontrar\(\cos(t)\), podemos hacer uso si la identidad\(\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1\). Sustituyendo\(\sin(t) = \frac{1}{4x}\) da\(\cos^{2}(t) + \left(\frac{1}{4x}\right)^2 = 1\). Resolviendo, obtenemos\[\cos(t) = \pm \sqrt{\frac{16x^2-1}{16x^2}} = \pm \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}\nonumber\] Si\(t\) yace en\(\left(0, \frac{\pi}{2} \right]\), entonces\(\cos(t) \geq 0\), y elegimos\(\cos(t) = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}\). De lo contrario,\(t\) pertenece a\(\left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\) en cuyo caso\(\cos(t) \leq 0\), entonces, elegimos\(\cos(t) = -\frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}\) Esto nos lleva a una función (momentáneamente) definida por partes para\(\cos(t)\)

        \[\cos(t) = \left\{ \begin{array}{rr} \dfrac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}, & \text{if $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$} \\[4pt] -\dfrac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|}, & \text{if $\pi < t \leq \frac{3\pi}{2}$} \end{array}\right.\nonumber\]

        Ahora vemos lo que significan estas restricciones en términos de\(x\). Ya que\(4x = \csc(t)\), obtenemos eso para\(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\),\(4x \geq 1\), o\(x \geq \frac{1}{4}\). En este caso, podemos\(|x| = x\) simplificarlo de manera\[\cos(t) = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|} = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4x}\] similar\(\pi < t \leq \frac{3\pi}{2}\), para, obtenemos\(4x \leq -1\), o\(x \leq -\frac{1}{4}\). En este caso,\(|x| = -x\), así también obtenemos\[\cos(t) = -\frac{\sqrt{16x^2-1}}{4|x|} = -\frac{\sqrt{16x^2-1}}{4(-x)} = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4x}\] De ahí, en todos los casos,\(\cos(\mbox{arccsc}(4x)) = \frac{\sqrt{16x^2-1}}{4x}\), y esta equivalencia es válida para todos\(x\) en el dominio de\(t = \mbox{arccsc}(4x)\), a saber\(\left(-\infty, -\frac{1}{4}\right] \cup \left[ \frac{1}{4}, \infty \right)\)

    10.6.3. Las calculadoras y las funciones circulares inversas.

    En las secciones por venir, tendremos que aproximar los valores de las funciones circulares inversas. En la mayoría de las calculadoras, solo están disponibles las funciones arcoseno, arcoseno y arcotangente y generalmente se etiquetan como\(\sin^{-1}, \cos^{-1}\) y\(\tan^{-1}\), respectivamente. Si se nos pide aproximar estos valores, es una cuestión sencilla puñetear el decimal apropiado en la calculadora. Si se nos pide un arccotangente, arcsecante o arccosecante, sin embargo, a menudo necesitamos emplear algo de ingenio, como ilustra nuestro siguiente ejemplo.

    Ejemplo 10.6.5
    1. Utilice una calculadora para aproximar los siguientes valores a cuatro decimales.
      1. \(\mbox{arccot}(2)\)
      2. \(\mbox{arcsec}(5)\)
      3. \(\mbox{arccot}(-2)\)
      4. \(\mbox{arccsc}\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
    2. Encuentra el dominio y rango de las siguientes funciones. Consulta tus respuestas usando una calculadora.
      1. \(f(x) = \dfrac{\pi}{2} - \arccos\left(\dfrac{x}{5}\right)\)
      2. \(f(x) = 3\arctan\left(4x \right)\).
      3. \(f(x) = \text{arccot}\left(\dfrac{x}{2} \right) + \pi\)

    Solución.

      1. Ya que\(2 > 0\), podemos usar la propiedad listada en el Teorema 10.27 para reescribir\(\mbox{arccot}(2)\) como\(\mbox{arccot}(2) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\). En modo 'radián', encontramos\(\mbox{arccot}(2) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.4636\).
      2. Ya que\(5 \geq 1\), podemos usar la propiedad de cualquiera del Teorema 10.28 o del Teorema 10.29 para escribir\(\mbox{arcsec}(5) = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) \approx 1.3694\).

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      3. Dado que el argumento\(-2\) es negativo, no podemos aplicar directamente el Teorema 10.27 para ayudarnos a encontrar\(\mbox{arccot}(-2)\). Vamos\(t = \mbox{arccot}(-2)\). Entonces\(t\) es un número real tal que\(0 < t < \pi\) y\(\cot(t) = -2\). Por otra parte\(\cot(t) < 0\), ya que, sabemos\(\frac{\pi}{2} < t < \pi\). Geométricamente, esta media\(t\) corresponde a un\(\theta = t\) radianes de ángulo del Cuadrante II. Esto nos permite proceder utilizando un enfoque de 'ángulo de referencia'. Considere\(\alpha\), el ángulo de referencia para\(\theta\), como se muestra a continuación. Por definición,\(\alpha\) es un ángulo agudo así\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), y el Teorema del Ángulo de Referencia, Teorema 10.2, nos lo dice\(\cot(\alpha) = 2\). Esto significa\(\alpha = \mbox{arccot}(2)\) radianes. Dado que el argumento de arccotangente es ahora un positivo\(2\), podemos usar el Teorema del Teorema 10.27 para obtener\(\alpha = \mbox{arccot}(2) =\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\) radianes. Desde\(\theta = \pi - \alpha = \pi - \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 2.6779\) radianes, obtenemos\(\mbox{arccot}(-2) \approx 2.6779\).

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        Otra forma de atacar el problema es usar\(\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)\). Por definición, el número real\(t = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right)\) satisface\(\tan(t) = -\frac{1}{2}\) con\(-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\). Ya que\(\tan(t)<0\), sabemos más específicamente eso\(-\frac{\pi}{2} < t < 0\), así\(t\) corresponde a un ángulo\(\beta\) en el Cuadrante IV. Para encontrar el valor de\(\mbox{arccot}(-2)\), una vez más visualizamos\(\theta = \mbox{arccot}(-2)\) los radianes de ángulo y notamos que se trata de un ángulo del Cuadrante II con\(\tan(\theta) = -\frac{1}{2}\). Esto significa que está exactamente a\(\pi\) unidades de distancia\(\beta\), y obtenemos\(\theta = \pi + \beta = \pi + \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) \approx 2.6779\) radianes. De ahí que, como antes,\(\mbox{arccot}(-2) \approx 2.6779\).

        Screen Shot 2022-05-15 a las 5.15.31 PM.png

      4. Si el rango de arccosecante se toma para ser\(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\), podemos usar el Teorema 10.28 para obtener\(\mbox{arccsc}\left(-\frac{3}{2}\right) = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) \approx -0.7297\). Si, por otro lado, se toma para ser el rango de arccosecante\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right]\), entonces procedemos como en el problema anterior dejando\(t = \mbox{arccsc}\left(-\frac{3}{2}\right)\). Entonces\(t\) es un número real con\(\csc(t) = -\frac{3}{2}\). Ya que\(\csc(t) < 0\), tenemos eso\(\pi < \theta \leq \frac{3\pi}{2}\), así\(t\) corresponde a un ángulo del Cuadrante III,\(\theta\). Como arriba, dejamos\(\alpha\) ser el ángulo de referencia para\(\theta\). Entonces\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) y\(\csc(\alpha) =\frac{3}{2}\), lo que significa\(\alpha = \mbox{arccsc}\left(\frac{3}{2}\right)\) radianes. Dado que el argumento de arccosecante es ahora positivo, podemos usar el Teorema 10.29 para obtener\(\alpha = \mbox{arccsc}\left(\frac{3}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\) radianes. Desde\(\theta = \pi + \alpha = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 3.8713\) radianes,\(\mbox{arccsc}\left(-\frac{3}{2}\right) \approx 3.8713\).

        Screen Shot 2022-05-15 a las 5.17.01 PM.png

      1. Dado que el dominio de\(F(x) = \arccos(x)\) es\(-1 \leq x \leq 1\), podemos encontrar el dominio de\(f(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos\left(\frac{x}{5}\right)\) estableciendo el argumento del arcoseno, en este caso\(\frac{x}{5}\), entre\(-1\) y\(1\). Resolver\(-1 \leq \frac{x}{5} \leq 1\) da\(-5 \leq x \leq 5\), entonces el dominio es\([-5,5]\). Para determinar el rango de\(f\), tomamos el ejemplo de la Sección 1.7. Tres puntos 'clave' en la gráfica de\(F(x) = \arccos(x)\) son\((-1, \pi)\),\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) y\((1,0)\). Siguiendo el procedimiento descrito en el Teorema 1.7, hacemos un seguimiento de estos puntos a\(\left(-5, -\frac{\pi}{2}\right)\),\((0, 0)\) y\(\left(5, \frac{\pi}{2}\right)\). Trazar estos valores nos dice que el rango 5 de\(f\) es\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Nuestra gráfica confirma nuestros resultados.
      2. Para encontrar el dominio y rango de\(f(x) = 3\arctan\left(4x \right)\), observamos que dado que el dominio de\(F(x) = \arctan(x)\) es todo números reales, las únicas restricciones, en su caso, sobre el dominio de\(f(x) = 3\arctan\left(4x \right)\) provienen del argumento del arcotangente, en este caso,\(4x\). Ya que\(4x\) se define para todos los números reales, hemos establecido que el dominio de\(f\) es todos los números reales. Para determinar el rango de\(f\), podemos, una vez más, apelar al Teorema 1.7. Escogiendo nuestro punto 'clave' para ser\((0,0)\) y rastrear las asíntotas horizontales\(y = -\frac{\pi}{2}\) y\(y= \frac{\pi}{2}\), encontramos que la gráfica de\(y = f(x) = 3\arctan\left(4x \right)\) difiere de la gráfica de\(y = F(x) = \arctan(x)\) por una compresión horizontal por un factor de\(4\) y un estiramiento vertical por un factor de\(3\). Es este último el que afecta el rango, produciendo un rango de\(\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)\). Confirmamos nuestros hallazgos en la calculadora a continuación.

        Screen Shot 2022-05-16 en 3.49.21 PM.png

      3. Para encontrar el dominio de\(g(x) = \text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) + \pi\), procedemos como arriba. Como el dominio de\(G(x) = \text{arccot}(x)\) es\((-\infty, \infty)\), y\(\frac{x}{2}\) está definido para todos\(x\), obtenemos que el dominio de\(g\) es\((-\infty, \infty)\) también. En cuanto al rango, observamos que el rango de\(G(x) = \text{arccot}(x)\), como el de\(F(x) = \arctan(x)\), está limitado por un par de asíntotas horizontales, en este caso\(y = 0\) y\(y = \pi\). Siguiendo el Teorema 1.7,\(y = g(x) = \text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) + \pi\) graficamos comenzando con\(y = G(x) = \text{arccot}(x)\) y primero realizando una expansión horizontal por un factor de\(2\) y siguiendo eso con un desplazamiento vertical hacia arriba por\(\pi\). Esta última transformación es la que afecta el rango, haciéndola ahora\((\pi, 2\pi)\). Para verificar esto gráficamente, nos encontramos con un poco de problema, ya que en muchas calculadoras, no hay ningún botón de acceso directo correspondiente a la función arccotangente. Siguiendo el ejemplo del número 1c, intentamos reescribir\(g(x) = \text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) + \pi\) en términos de la función arcotangente. Usando el Teorema 10.27, tenemos que\(\text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) = \arctan\left(\frac{2}{x}\right)\) cuando\(\frac{x}{2} > 0\), o, en este caso, cuando\(x > 0\). De ahí\(x > 0\), para, tenemos\(g(x) = \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + \pi\). Cuando\(\frac{x}{2} < 0\), podemos usar el mismo argumento en el número 1c que nos dio\(\text{arccot}(-2) = \pi + \arctan\left(-\frac{1}{2}\right)\) para darnos\(\text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) = \pi + \arctan\left(\frac{2}{x}\right)\). De ahí, para\(x < 0\),\(g(x) = \pi + \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + \pi = \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + 2\pi\). ¿Y qué pasa\(x=0\)? Sabemos\(g(0) = \text{arccot}(0) + \pi = \pi\), y ninguna de las fórmulas para\(g\) involucrar arcotangente producirá este resultado. 6 Por lo tanto, para poder graficar\(y = g(x)\) en nuestras calculadoras, necesitamos escribirlo como una función definida por partes:

        \[g(x) = \text{arccot}\left(\frac{x}{2}\right) + \pi = \left\{ \begin{array}{rr} \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + 2\pi, & \text{if $x<0$} \\[4pt] \pi, & \text{if $x=0$} \\[4pt] \arctan\left(\frac{2}{x}\right) + \pi, & \text{if $x>0$} \end{array}\right.\nonumber\]

        A continuación mostramos la entrada y el resultado.

        Screen Shot 2022-05-16 en 4.01.13 PM.png

    Las funciones trigonométricas inversas se encuentran típicamente en aplicaciones siempre que se requiera la medida de un ángulo. Uno de esos escenarios se presenta en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 10.6.6

    7 El techo de la casa de abajo tiene un '\(6/12\)terreno'. Esto significa que cuando se ve desde un lado, la línea del techo tiene una elevación de 6 pies sobre una carrera de 12 pies. Encuentra el ángulo de inclinación desde la parte inferior del techo hasta la parte superior del techo. Exprese su respuesta en grados decimales, redondeados a la centésima de grado más cercana.

    Screen Shot 2022-05-16 en 4.04.53 PM.png

    Solución

    Si dividimos la vista lateral de la casa por la mitad, encontramos que la línea del techo forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con patas de longitud\(6\) pies y\(12\) pies. Usando el Teorema 10.10, encontramos que el ángulo de inclinación, etiquetado\(\theta\) a continuación, satisface\(\tan(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Ya que\(\theta\) es un ángulo agudo, podemos usar la función arcotangente y nos encontramos\(\theta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\, \text{radians} \, \approx 26.56^{\circ}\).

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    10.6.4. Resolver Ecuaciones Utilizando las Funciones Trigonométricas Inversa.

    En las Secciones 10.2 y 10.3 aprendimos a resolver ecuaciones como\(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) para ángulos\(\theta\) y\(\tan(t) = -1\) para números reales\(t\). En cada caso, finalmente apelamos al Círculo de Unidades y nos basamos en que las respuestas correspondían a un conjunto de 'ángulos comunes' enumerados en la página 724. Si, por otro lado, nos hubieran pedido encontrar todos los ángulos con\(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\) o resolver\(\tan(t) = -2\) para números reales\(t\), nos habría sido difícil hacerlo. Con la introducción de las funciones trigonométricas inversas, sin embargo, ahora estamos en condiciones de resolver estas ecuaciones. Un buen paralelo a tener en cuenta es cómo se puede utilizar la función de raíz cuadrada para resolver ciertas ecuaciones cuadráticas. La ecuación\(x^2 = 4\) es muy parecida\(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) en que tiene respuestas amistosas, de 'valor común'\(x = \pm 2\). La ecuación\(x^2 = 7\), por otro lado, se parece mucho\(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\). Sabemos que 8 hay respuestas, pero no podemos expresarlas usando números 'amigables'. 9 Para resolver\(x^2 = 7\), hacemos uso de la función raíz cuadrada y escribimos\(x = \pm \sqrt{7}\). Ciertamente podemos aproximar estas respuestas usando una calculadora, pero en lo que respecta a las respuestas exactas, las dejamos como\(x = \pm \sqrt{7}\). De la misma manera, utilizaremos la función arcsine para resolver\(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\), como se ve en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 10.6.7

    Resuelve las siguientes ecuaciones

    1. Encuentra todos los ángulos\(\theta\) para los cuales\(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\).
    2. Encuentra todos los números reales\(t\) para los cuales\(\tan(t) = -2\)
    3. Resolver\(\, \sec(x) = -\frac{5}{3} \,\) para\(x\).

    Solución.

    1. Si\(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\), entonces el lado terminal de\(\theta\), cuando se traza en posición estándar, cruza el Círculo de Unidad en\(y = \frac{1}{3}\). Geométricamente, vemos que esto sucede en dos lugares: en el Cuadrante I y el Cuadrante II. Si dejamos\(\alpha\) denotar la solución aguda a la ecuación, entonces todas las soluciones a esta ecuación en el Cuadrante I son coterminales con\(\alpha\), y\(\alpha\) sirve como ángulo de referencia para todas las soluciones a esta ecuación en el Cuadrante II.

      Screen Shot 2022-05-16 a las 4.19.16 PM.png

      Como\(\frac{1}{3}\) no es el seno de ninguno de los 'ángulos comunes' discutidos anteriormente, utilizamos las funciones arcsine para expresar nuestras respuestas. El número real\(t = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\) se define para que satisfaga\(0 < t < \frac{\pi}{2}\) con\(\sin(t) = \frac{1}{3}\). De ahí,\(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\) radianes. Dado que las soluciones en el Cuadrante I son todas coterminales con\(\alpha\), obtenemos que parte de nuestra solución sea\(\theta = \alpha + 2\pi k = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\) para enteros\(k\). Volviendo nuestra atención al Cuadrante II, obtenemos una solución para ser\(\pi - \alpha\). De ahí que las soluciones del Cuadrante II sean\(\theta = \pi - \alpha + 2\pi k = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\), para enteros\(k\).

    2. Podemos visualizar las soluciones a\(\tan(t)=-2\) como ángulos\(\theta\) con\(\tan(\theta) = -2\). Dado que la tangente es negativa solo en los Cuadrantes II y IV, enfocamos nuestros esfuerzos ahí.

      Screen Shot 2022-05-16 a las 4.20.47 PM.png

      Como\(-2\) no es la tangente de ninguno de los 'ángulos comunes', necesitamos usar la función arcotangente para expresar nuestras respuestas. El número real\(t = \arctan(-2)\) satisface\(\tan(t)=-2\) y\(-\frac{\pi}{2} < t < 0\). Si dejamos\(\beta = \arctan(-2)\) radianes, vemos que todas las soluciones del Cuadrante IV a\(\tan(\theta) = -2\) son coterminales con\(\beta\). Además, las soluciones del Cuadrante II difieren exactamente en\(\pi\) unidades de las soluciones en el Cuadrante IV, por lo que todas las soluciones a\(\tan(\theta) = -2\) son de la forma\(\theta = \beta + \pi k = \arctan(-2) + \pi k\) para algún número entero\(k\). Volviendo a la variable\(t\), registramos nuestra respuesta final\(\tan(t) = -2\) como\(t = \arctan(-2) + \pi k\) para enteros\(k\).

    3. La última ecuación que se nos pide resolver,\(\sec(x) = -\frac{5}{3}\), plantea dos problemas inmediatos. Primero, no se nos dice si\(x\) representa o no un ángulo o un número real. Suponemos esto último, pero tenga en cuenta que usaremos ángulos y el Círculo de Unidad para resolver la ecuación independientemente. Segundo, como hemos mencionado, no existe un rango universalmente aceptado de la función arcsecante. Por ello, adoptamos los consejos que se dan en la Sección 10.3 y lo convertimos al problema del coseno\(\cos(x) = -\frac{3}{5}\). Adoptando un enfoque angular, consideramos la ecuación\(\cos(\theta) = -\frac{3}{5}\) y observamos que nuestras soluciones se encuentran en los Cuadrantes II y III. Como\(-\frac{3}{5}\) no es el coseno de ninguno de los 'ángulos comunes', necesitaremos expresar nuestras soluciones en términos de la función arcoseno. El número real\(t = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\) se define de manera que\(\frac{\pi}{2} < t < \pi\) con\(\cos(t) = -\frac{3}{5}\). Si dejamos\(\beta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\) radianes, vemos que\(\beta\) es un ángulo del Cuadrante II. Para obtener una solución de ángulo Cuadrante III, simplemente podemos usar\(-\beta = -\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\). Dado que todas las soluciones de ángulo son coterminales con\(\beta\) o\(-\beta\), conseguimos\(\cos(\theta) = -\frac{3}{5}\) que nuestras soluciones sean\(\theta = \beta + 2\pi k = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k\) o\(\theta = -\beta + 2\pi k = -\arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k\) para enteros\(k\). Volviendo a la variable\(x\), registramos nuestra respuesta final\(\sec(x) = -\frac{5}{3}\) como\(x = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k\) o\(x = -\arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k\) para enteros\(k\).

      Screen Shot 2022-05-16 a las 4.29.32 PM.png

    Se anima al lector a verificar las respuestas que se encuentran en el Ejemplo 10.6.7, tanto analíticamente como con la calculadora (ver Sección 10.6.3). Con la práctica, las funciones trigonométricas inversas te resultarán tan familiares como la función de raíz cuadrada. Hablando de práctica...

    10.6.5. Ejercicios

    En Ejercicios 1 - 40, encuentra el valor exacto.

    1. \(\arcsin \left( -1 \right)\)
    2. \(\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\)
    3. \(\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\)
    4. \(\arcsin \left( -\dfrac{1}{2} \right)\)
    5. \(\arcsin \left( 0 \right)\)
    6. \(\arcsin \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    7. \(\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\)
    8. \(\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\)
    9. \(\arcsin \left( 1 \right)\)
    10. \(\arccos \left( -1 \right)\)
    11. \(\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\)
    12. \(\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\)
    13. \(\arccos \left( -\dfrac{1}{2} \right)\)
    14. \(\arccos \left( 0 \right)\)
    15. \(\arccos \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    16. \(\arccos \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\)
    17. \(\arccos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\)
    18. \(\arccos \left( 1 \right)\)
    19. \(\arctan \left( -\sqrt{3} \right)\)
    20. \(\arctan \left( -1 \right)\)
    21. \(\arctan \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\)
    22. \(\arctan \left( 0 \right)\)
    23. \(\arctan \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\)
    24. \(\arctan \left( 1 \right)\)
    25. \(\arctan \left( \sqrt{3} \right)\)
    26. \(\mbox{arccot} \left( -\sqrt{3} \right)\)
    27. \(\mbox{arccot} \left( -1 \right)\)
    28. \(\mbox{arccot} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\)
    29. \(\mbox{arccot} \left( 0 \right)\)
    30. \(\mbox{arccot} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\)
    31. \(\mbox{arccot} \left( 1 \right)\)
    32. \(\mbox{arccot} \left( \sqrt{3} \right)\)
    33. \(\mbox{arcsec} \left( 2 \right)\)
    34. \(\mbox{arccsc} \left( 2 \right)\)
    35. \(\mbox{arcsec} \left( \sqrt{2} \right)\)
    36. \(\mbox{arccsc} \left( \sqrt{2} \right)\)
    37. \(\mbox{arcsec} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    38. \(\mbox{arccsc} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    39. \(\mbox{arcsec} \left( 1 \right)\)
    40. \(\mbox{arccsc} \left( 1 \right)\)

    En los Ejercicios 41 - 48, supongamos que el rango de arcsecante es\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right)\) y que el rango de arccosecante es\(\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\) al encontrar el valor exacto.

    1. \(\mbox{arcsec} \left( -2 \right)\)
    2. \(\mbox{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right)\)
    3. \(\mbox{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    4. \(\mbox{arcsec} \left( -1 \right)\)
    5. \(\mbox{arccsc} \left( -2 \right)\)
    6. \(\mbox{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right)\)
    7. \(\mbox{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    8. \(\mbox{arccsc} \left( -1 \right)\)

    En los Ejercicios 49 - 56, supongamos que el rango de arcsecante es\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right]\) y que el rango de arccosecante es\(\left[ -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right]\) al encontrar el valor exacto.

    1. \(\mbox{arcsec} \left( -2 \right)\)
    2. \(\mbox{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right)\)
    3. \(\mbox{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    4. \(\mbox{arcsec} \left( -1 \right)\)
    5. \(\mbox{arccsc} \left( -2 \right)\)
    6. \(\mbox{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right)\)
    7. \(\mbox{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)
    8. \(\mbox{arccsc} \left( -1 \right)\)

    En los Ejercicios 57 - 86, encuentra el valor exacto o indica que está indefinido.

    1. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
    2. \(\sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\)
    3. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)\)
    4. \(\sin\left(\arcsin\left(-0.42\right)\right)\)
    5. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{5}{4}\right)\right)\)
    6. \(\cos\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\)
    7. \(\cos\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
    8. \(\cos\left(\arccos\left(\dfrac{5}{13}\right)\right)\)
    9. \(\cos\left(\arccos\left(-0.998\right)\right)\)
    10. \(\cos\left(\arccos\left(\pi \right)\right)\)
    11. \(\tan\left(\arctan\left(-1\right)\right)\)
    12. \(\tan\left(\arctan\left(\sqrt{3}\right)\right)\)
    13. \(\tan\left(\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)\right)\)
    14. \(\tan\left(\arctan\left(0.965\right)\right)\)
    15. \(\tan\left(\arctan\left( 3\pi \right)\right)\)
    16. \(\cot\left(\text{arccot}\left(1\right)\right)\)
    17. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right)\)
    18. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{7}{24}\right)\right)\)
    19. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-0.001\right)\right)\)
    20. \(\cot\left(\text{arccot}\left( \dfrac{17\pi}{4} \right)\right)\)
    21. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(2\right)\right)\)
    22. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(-1\right)\right)\)
    23. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
    24. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(0.75\right)\right)\)
    25. \(\sec\left(\text{arcsec}\left( 117\pi \right)\right)\)
    26. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{2}\right)\right)\)
    27. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)\)
    28. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\)
    29. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(1.0001\right)\right)\)
    30. \(\csc\left(\text{arccsc}\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\right)\)

    En los Ejercicios 87 - 106, encuentra el valor exacto o indica que está indefinido.

    1. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)\)
    2. \(\arcsin\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \right)\)
    3. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right)\)
    4. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)\)
    5. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)\)
    6. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\)
    7. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)\)
    8. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right)\)
    9. \(\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)\)
    10. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)\)
    11. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right)\)
    12. \(\arctan\left(\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\)
    13. \(\arctan\left(\tan\left(\pi\right) \right)\)
    14. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)\)
    15. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)\)
    16. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right)\)
    17. \(\text{arccot}\left(\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\)
    18. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\pi\right) \right)\)
    19. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)\)
    20. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)\)

    En los Ejercicios 107 - 118, supongamos que el rango de arcsecante es\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right)\) y que el rango de arccosecante es\(\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\) al encontrar el valor exacto.

    1. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\)
    2. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)\)
    3. \(\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right)\)
    4. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)
    5. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right)\)
    6. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)\)
    7. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)\)
    8. \(\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)\)
    9. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)
    10. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)\)
    11. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)\)
    12. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right)\)

    En los Ejercicios 119 - 130, supongamos que el rango de arcsecante es\(\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right]\) y que el rango de arccosecante es\(\left[ -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right]\) al encontrar el valor exacto.

    1. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\)
    2. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)\)
    3. \(\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right)\)
    4. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)
    5. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right)\)
    6. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)\)
    7. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)\)
    8. \(\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)\)
    9. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)
    10. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)\)
    11. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)\)
    12. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right)\)

    En los Ejercicios 131 - 154, encuentra el valor exacto o indica que está indefinido.

    1. \(\sin\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
    2. \(\sin\left(\arccos\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)\)
    3. \(\sin\left(\arctan\left(-2\right)\right)\)
    4. \(\sin\left(\text{arccot}\left(\sqrt{5}\right)\right)\)
    5. \(\sin\left(\text{arccsc}\left(-3\right)\right)\)
    6. \(\cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right)\)
    7. \(\cos\left(\arctan\left(\sqrt{7} \right)\right)\)
    8. \(\cos\left(\text{arccot}\left( 3 \right)\right)\)
    9. \(\cos\left(\text{arcsec}\left( 5 \right)\right)\)
    10. \(\tan\left(\arcsin\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)\)
    11. \(\tan\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
    12. \(\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{5}{3}\right)\right)\)
    13. \(\tan\left(\text{arccot}\left( 12 \right)\right)\)
    14. \(\cot\left(\arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right)\)
    15. \(\cot\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\)
    16. \(\cot\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{5}\right)\right)\)
    17. \(\cot\left(\arctan \left( 0.25 \right)\right)\)
    18. \(\sec\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)\)
    19. \(\sec\left(\arcsin\left(-\dfrac{12}{13}\right)\right)\)
    20. \(\sec\left(\arctan\left(10\right)\right)\)
    21. \(\sec\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\right)\)
    22. \(\csc\left(\text{arccot}\left(9 \right)\right)\)
    23. \(\csc\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)\)
    24. \(\csc\left(\arctan\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right)\)

    En Ejercicios 155 - 164, encuentra el valor exacto o estado que es indefinido.

    1. \(\sin\left(\arcsin\left( \dfrac{5}{13} \right) + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
    2. \(\cos\left( \text{arcsec}(3) + \arctan(2) \right)\)
    3. \(\tan\left( \arctan(3) + \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \right)\)
    4. \(\sin\left(2\arcsin\left(-\dfrac{4}{5}\right)\right)\)
    5. \(\sin\left(2\text{arccsc}\left(\dfrac{13}{5}\right)\right)\)
    6. \(\sin\left(2\arctan\left(2\right)\right)\)
    7. \(\cos\left(2 \arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)\)
    8. \(\cos\left(2 \text{arcsec}\left(\dfrac{25}{7}\right)\right)\)
    9. \(\cos\left(2 \text{arccot}\left(-\sqrt{5}\right)\right)\)
    10. \(\sin\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)\)

    En los Ejercicios 165 - 184, reescribe la cantidad como expresiones algebraicas de\(x\) y establece el dominio sobre el que es válida la equivalencia.

    1. \(\sin \left( \arccos \left( x \right) \right)\)
    2. \(\cos \left( \arctan \left( x \right) \right)\)
    3. \(\tan \left( \arcsin \left( x \right) \right)\)
    4. \(\sec \left( \arctan \left( x \right) \right)\)
    5. \(\csc \left( \arccos \left( x \right) \right)\)
    6. \(\sin \left( 2\arctan \left( x \right) \right)\)
    7. \(\sin \left( 2\arccos \left( x \right) \right)\)
    8. \(\cos \left( 2\arctan \left( x \right) \right)\)
    9. \(\sin(\arccos(2x))\)
    10. \(\sin\left(\arccos\left(\dfrac{x}{5}\right)\right)\)
    11. \(\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)\)
    12. \(\cos\left(\arctan\left(3x\right)\right)\)
    13. \(\sin(2\arcsin(7x))\)
    14. \(\sin\left(2 \arcsin\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right) \right)\)
    15. \(\cos(2 \arcsin(4x))\)
    16. \(\sec(\arctan(2x))\tan(\arctan(2x))\)
    17. \(\sin \left( \arcsin(x) + \arccos(x) \right)\)
    18. \(\cos \left( \arcsin(x) + \arctan(x) \right)\)
    19. \(\tan \left( 2\arcsin(x) \right)\)
    20. \(\sin \left( \dfrac{1}{2}\arctan(x) \right)\)
    21. Si es\(\sin(\theta) = \dfrac{x}{2}\) por\(-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), encuentra una expresión para\(\theta + \sin(2\theta)\) en términos de\(x\).
    22. Si es\(\tan(\theta) = \dfrac{x}{7}\) por\(-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), encuentra una expresión para\(\dfrac{1}{2}\theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta)\) en términos de\(x\).
    23. Si es\(\sec(\theta) = \dfrac{x}{4}\) por\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), encuentra una expresión para\(4\tan(\theta) - 4\theta\) en términos de\(x\).

    En los Ejercicios 188 - 207, resolver la ecuación utilizando las técnicas discutidas en el Ejemplo 10.6.7 luego aproximar las soluciones que se encuentran en el intervalo\([0, 2\pi)\) a cuatro decimales.

    1. \(\sin(x) = \dfrac{7}{11}\)
    2. \(\cos(x) = -\dfrac{2}{9}\)
    3. \(\sin(x) = -0.569\)
    4. \(\cos(x) = 0.117\)
    5. \(\sin(x) = 0.008\)
    6. \(\cos(x) = \dfrac{359}{360}\)
    7. \(\tan(x) = 117\)
    8. \(\cot(x) = -12\)
    9. \(\sec(x) = \dfrac{3}{2}\)
    10. \(\csc(x) = -\dfrac{90}{17}\)
    11. \(\tan(x) = -\sqrt{10}\)
    12. \(\sin(x) = \dfrac{3}{8}\)
    13. \(\cos(x) = -\dfrac{7}{16}\)
    14. \(\tan(x) = 0.03\)
    15. \(\sin(x) = 0.3502\)
    16. \(\sin(x) = -0.721\)
    17. \(\cos(x) = 0.9824\)
    18. \(\cos(x) = -0.5637\)
    19. \(\cot(x) = \dfrac{1}{117}\)
    20. \(\tan(x) = -0.6109\)

    En los Ejercicios 208 - 210, encuentra los dos ángulos agudos en el triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes dadas. Exprese sus respuestas usando la medida de grado redondeada a dos decimales.

    1. 3, 4 y 5
    2. 5, 12 y 13
    3. 336, 527 y 625
    4. Un cable de guía de 1000 pies de largo está unido a la parte superior de una torre. Cuando se tira tensa toca el suelo nivelado a 360 pies de la base de la torre. ¿Qué ángulo hace el cable con el suelo? Exprese su respuesta usando la medida de grado redondeada a un decimal.
    5. En Cliffs of Insanity Point, The Great Sasquatch Canyon tiene 7117 pies de profundidad. Desde ese punto, se ve un incendio en un lugar conocido por estar a 10 millas de distancia de la base de la esbelta muralla del cañón. ¿Qué ángulo de depresión hace la línea de visión desde el borde del cañón hasta el fuego? Exprese su respuesta usando la medida de grado redondeada a un decimal.
    6. La estantería se está construyendo en la Biblioteca de Investigación de Muffin de Utilidad, que debe tener 14 pulgadas de profundidad. Una varilla de 18 pulgadas se sujetará a la pared y la parte inferior de la repisa en su borde alejado de la pared, formando un triángulo rectángulo debajo de la repisa para sostenerla. ¿Qué ángulo, al grado más cercano, hará la varilla con la pared?
    7. Un parasailor está siendo jalado por un bote en el lago Ippizuti. El cable mide 300 pies de largo y el parasailor está a 100 pies sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el ángulo de elevación del barco al parasailor? Exprese su respuesta usando la medida de grado redondeada a un decimal.
    8. Se inicia un programa de etiquetado y liberación para estudiar la población Sasquatch del epónimo Parque Nacional Sasquatch. Desde una torre de 200 pies de altura, un guardabosques ve a un Sasquatch pesando a través del desierto directamente hacia la torre. Dejar\(\theta\) denotar el ángulo de depresión desde la parte superior de la torre hasta un punto en el suelo. Si el alcance del rifle con un dardo tranquilizante es de 300 pies, encuentra el valor más pequeño\(\theta\) para el cual el punto correspondiente en el suelo está en el alcance del rifle. Redondee su respuesta a la centésima de grado más cercana.

    En los Ejercicios 216 - 221, reescribe la función dada como sinusoide de la forma\(S(x) = A\sin(\omega x + \phi)\) usando los Ejercicios 35 y 36 de la Sección 10.5 como referencia. Aproximar el valor de\(\phi\) (que está en radianes, por supuesto) a cuatro decimales.

    1. \(f(x) = 5\sin(3x) + 12\cos(3x)\)
    2. \(f(x) = 3\cos(2x) + 4\sin(2x)\)
    3. \(f(x) = \cos(x) - 3\sin(x)\)
    4. \(f(x) = 7\sin(10x) - 24\cos(10x)\)
    5. \(f(x) = -\cos(x) - 2\sqrt{2} \sin(x)\)
    6. \(f(x) = 2\sin(x) - \cos(x)\)

    En Ejercicios 222 - 233, encuentra el dominio de la función dada. Escribe tus respuestas en notación de intervalos.

    1. \(f(x) = \arcsin(5x)\)
    2. \(f(x) = \arccos\left(\dfrac{3x-1}{2} \right)\)
    3. \(f(x) = \arcsin\left(2x^2\right)\)
    4. \(f(x) = \arccos\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)\)
    5. \(f(x) = \arctan(4x)\)
    6. \(f(x) = \text{arccot}\left(\dfrac{2x}{x^2-9}\right)\)
    7. \(f(x) =\arctan(\ln(2x-1))\)
    8. \(f(x) = \text{arccot}(\sqrt{2x-1})\)
    9. \(f(x) = \text{arcsec}(12x)\)
    10. \(f(x) = \text{arccsc}(x+5)\)
    11. \(f(x) = \text{arcsec}\left(\dfrac{x^3}{8}\right)\)
    12. \(f(x) = \text{arccsc}\left(e^{2x}\right)\)
    13. Demuestre\(|x| \geq 1\) que\(\mbox{arcsec}(x) = \arccos \left( \dfrac{1}{x} \right)\) durante el tiempo que\(\left[0, \dfrac{\pi}{2} \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{2}, \pi \right]\) utilicemos como rango de\(f(x) = \mbox{arcsec}(x)\).
    14. Demuestre\(|x| \geq 1\) que\(\mbox{arccsc}(x) = \arcsin \left( \dfrac{1}{x} \right)\) durante el tiempo que\(\left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right]\) utilicemos como rango de\(f(x) = \mbox{arccsc}(x)\).
    15. \(\arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}\)Demuéstralo para\(-1 \leq x \leq 1\).
    16. Habla con tus compañeros de clase por qué\(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) \neq 30^{\circ}\).
    17. Usa la siguiente imagen y la serie de ejercicios de la página siguiente para mostrar que\[\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi\nonumber\]

      Screen Shot 2022-05-16 a las 5.40.31 PM.png

      1. Claramente\(\triangle AOB\) y\(\triangle BCD\) son triángulos rectos porque la línea a través\(O\)\(A\) y y la línea a través\(C\) y\(D\) son perpendiculares al\(x\) eje. Usa la fórmula de distancia para mostrar que también\(\triangle BAD\) es un triángulo rectángulo (\(\angle BAD\)siendo el ángulo recto) mostrando que los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras.
      2. \(\triangle AOB\)Utilízalo para mostrar\(\alpha = \arctan(1)\)
      3. \(\triangle BAD\)Utilízalo para mostrar\(\beta = \arctan(2)\)
      4. \(\triangle BCD\)Utilízalo para mostrar\(\gamma = \arctan(3)\)
      5. Usa el hecho de que\(O\),\(B\) y\(C\) todos se encuentran en el\(x\) eje -para concluir eso\(\alpha + \beta + \gamma = \pi\). Así\(\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi\).

    10.6.6 Respuestas

    1. \(\arcsin \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{2}\)
    2. \(\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    3. \(\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{4}\)
    4. \(\arcsin \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{6}\)
    5. \(\arcsin \left( 0 \right) = 0\)
    6. \(\arcsin \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    7. \(\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    8. \(\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    9. \(\arcsin \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    10. \(\arccos \left( -1 \right) = \pi\)
    11. \(\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{5\pi}{6}\)
    12. \(\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{3\pi}{4}\)
    13. \(\arccos \left( -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    14. \(\arccos \left( 0 \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    15. \(\arccos \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    16. \(\arccos \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    17. \(\arccos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    18. \(\arccos \left( 1 \right) = 0\)
    19. \(\arctan \left( -\sqrt{3} \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    20. \(\arctan \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{4}\)
    21. \(\arctan \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\dfrac{\pi}{6}\)
    22. \(\arctan \left( 0 \right) = 0\)
    23. \(\arctan \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    24. \(\arctan \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    25. \(\arctan \left( \sqrt{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    26. \(\mbox{arccot} \left( -\sqrt{3} \right) = \dfrac{5\pi}{6}\)
    27. \(\mbox{arccot} \left( -1 \right) = \dfrac{3\pi}{4}\)
    28. \(\mbox{arccot} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    29. \(\mbox{arccot} \left( 0 \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    30. \(\mbox{arccot} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    31. \(\mbox{arccot} \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    32. \(\mbox{arccot} \left( \sqrt{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    33. \(\mbox{arcsec} \left( 2 \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    34. \(\mbox{arccsc} \left( 2 \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    35. \(\mbox{arcsec} \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    36. \(\mbox{arccsc} \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    37. \(\mbox{arcsec} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    38. \(\mbox{arccsc} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    39. \(\mbox{arcsec} \left( 1 \right) = 0\)
    40. \(\mbox{arccsc} \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    41. \(\mbox{arcsec} \left( -2 \right) = \dfrac{4\pi}{3}\)
    42. \(\mbox{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{5\pi}{4}\)
    43. \(\mbox{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{7\pi}{6}\)
    44. \(\mbox{arcsec} \left( -1 \right) = \pi\)
    45. \(\mbox{arccsc} \left( -2 \right) = \dfrac{7\pi}{6}\)
    46. \(\mbox{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{5\pi}{4}\)
    47. \(\mbox{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{4\pi}{3}\)
    48. \(\mbox{arccsc} \left( -1 \right) = \dfrac{3\pi}{2}\)
    49. \(\mbox{arcsec} \left( -2 \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    50. \(\mbox{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{3\pi}{4}\)
    51. \(\mbox{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{5\pi}{6}\)
    52. \(\mbox{arcsec} \left( -1 \right) = \pi\)
    53. \(\mbox{arccsc} \left( -2 \right) = -\dfrac{\pi}{6}\)
    54. \(\mbox{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right) = -\dfrac{\pi}{4}\)
    55. \(\mbox{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    56. \(\mbox{arccsc} \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{2}\)
    57. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{2}\)
    58. \(\sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    59. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{3}{5}\)
    60. \(\sin\left(\arcsin\left(-0.42\right)\right) = -0.42\)
    61. \(\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{5}{4}\right)\right)\)está indefinido.
    62. \(\cos\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    63. \(\cos\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = -\dfrac{1}{2}\)
    64. \(\cos\left(\arccos\left(\dfrac{5}{13}\right)\right) = \dfrac{5}{13}\)
    65. \(\cos\left(\arccos\left(-0.998\right)\right) = -0.998\)
    66. \(\cos\left(\arccos\left(\pi \right)\right)\)está indefinido.
    67. \(\tan\left(\arctan\left(-1\right)\right) = -1\)
    68. \(\tan\left(\arctan\left(\sqrt{3}\right)\right) = \sqrt{3}\)
    69. \(\tan\left(\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)\right) = \dfrac{5}{12}\)
    70. \(\tan\left(\arctan\left(0.965\right)\right) = 0.965\)
    71. \(\tan\left(\arctan\left( 3\pi \right)\right) = 3\pi\)
    72. \(\cot\left(\text{arccot}\left(1\right)\right) = 1\)
    73. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right) = -\sqrt{3}\)
    74. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{7}{24}\right)\right) = -\dfrac{7}{24}\)
    75. \(\cot\left(\text{arccot}\left(-0.001\right)\right) = -0.001\)
    76. \(\cot\left(\text{arccot}\left( \dfrac{17\pi}{4} \right)\right) = \dfrac{17\pi}{4}\)
    77. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(2\right)\right) = 2\)
    78. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(-1\right)\right) = -1\)
    79. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)está indefinido.
    80. \(\sec\left(\text{arcsec}\left(0.75\right)\right)\)está indefinido.
    81. \(\sec\left(\text{arcsec}\left( 117\pi \right)\right)= 117\pi\)
    82. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{2}\right)\right) = \sqrt{2}\)
    83. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)
    84. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\)está indefinido.
    85. \(\csc\left(\text{arccsc}\left(1.0001\right)\right) = 1.0001\)
    86. \(\csc\left(\text{arccsc}\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\right)\)está indefinido.
    87. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    88. \(\arcsin\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    89. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    90. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{6}\)
    91. \(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    92. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    93. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    94. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    95. \(\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    96. \(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{3\pi}{4}\)
    97. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    98. \(\arctan\left(\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{4}\)
    99. \(\arctan\left(\tan\left(\pi\right) \right) = 0\)
    100. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)\)está indefinido
    101. \(\arctan\left(\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}\)
    102. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    103. \(\text{arccot}\left(\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{3\pi}{4}\)
    104. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\pi\right) \right)\)está indefinido
    105. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right) = \dfrac{\pi}{2}\)
    106. \(\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    107. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    108. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{4\pi}{3}\)
    109. \(\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right) = \dfrac{7\pi}{6}\)
    110. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)está indefinido.
    111. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    112. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    113. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{5\pi}{4}\)
    114. \(\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    115. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = \dfrac{3\pi}{2}\)
    116. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{7\pi}{6}\)
    117. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right) = \dfrac{13\pi}{12}\)
    118. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right) = \dfrac{9\pi}{8}\)
    119. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}\)
    120. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}\)
    121. \(\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right) = \dfrac{5\pi}{6}\)
    122. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)está indefinido.
    123. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    124. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}\)
    125. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{4}\)
    126. \(\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right) = \dfrac{\pi}{3}\)
    127. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = -\dfrac{\pi}{2}\)
    128. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{6}\)
    129. \(\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right) = \dfrac{11\pi}{12}\)
    130. \(\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{8}\)
    131. \(\sin\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
    132. \(\sin\left(\arccos\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{4}{5}\)
    133. \(\sin\left(\arctan\left(-2\right)\right) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
    134. \(\sin\left(\text{arccot}\left(\sqrt{5}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\)
    135. \(\sin\left(\text{arccsc}\left(-3\right)\right) = -\dfrac{1}{3}\)
    136. \(\cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) = \dfrac{12}{13}\)
    137. \(\cos\left(\arctan\left(\sqrt{7} \right)\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
    138. \(\cos\left(\text{arccot}\left( 3 \right)\right) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
    139. \(\cos\left(\text{arcsec}\left( 5 \right)\right) = \dfrac{1}{5}\)
    140. \(\tan\left(\arcsin\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)=-2\)
    141. \(\tan\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = -\sqrt{3}\)
    142. \(\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{5}{3}\right)\right) = \dfrac{4}{3}\)
    143. \(\tan\left(\text{arccot}\left( 12 \right)\right) = \dfrac{1}{12}\)
    144. \(\cot\left(\arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right) = \dfrac{5}{12}\)
    145. \(\cot\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \sqrt{3}\)
    146. \(\cot\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{5}\right)\right) = 2\)
    147. \(\cot\left(\arctan \left( 0.25 \right)\right) = 4\)
    148. \(\sec\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)
    149. \(\sec\left(\arcsin\left(-\dfrac{12}{13}\right)\right) = \dfrac{13}{5}\)
    150. \(\sec\left(\arctan\left(10\right)\right) = \sqrt{101}\)
    151. \(\sec\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\right) = -\sqrt{11}\)
    152. \(\csc\left(\text{arccot}\left(9 \right)\right) = \sqrt{82}\)
    153. \(\csc\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{5}{3}\)
    154. \(\csc\left(\arctan\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) = -\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)
    155. \(\sin\left(\arcsin\left( \dfrac{5}{13} \right) + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{17\sqrt{2}}{26}\)
    156. \(\cos\left( \text{arcsec}(3) + \arctan(2) \right) = \dfrac{\sqrt{5} - 4\sqrt{10}}{15}\)
    157. \(\tan\left( \arctan(3) + \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \right) = \dfrac{1}{3}\)
    158. \(\sin\left(2\arcsin\left(-\dfrac{4}{5}\right)\right)= -\dfrac{24}{25}\)
    159. \(\sin\left(2\text{arccsc}\left(\dfrac{13}{5}\right)\right) = \dfrac{120}{169}\)
    160. \(\sin\left(2\arctan\left(2\right)\right) = \dfrac{4}{5}\)
    161. \(\cos\left(2 \arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{7}{25}\)
    162. \(\cos\left(2 \text{arcsec}\left(\dfrac{25}{7}\right)\right) = -\dfrac{527}{625}\)
    163. \(\cos\left(2 \text{arccot}\left(-\sqrt{5}\right)\right) = \dfrac{2}{3}\)
    164. \(\sin\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}}\)
    165. \(\sin \left( \arccos \left( x \right) \right) = \sqrt{1 - x^{2}}\)para\(-1 \leq x \leq 1\)
    166. \(\cos \left( \arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}\)para todos\(x\)
    167. \(\tan \left( \arcsin \left( x \right) \right) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)para\(-1 < x < 1\)
    168. \(\sec \left( \arctan \left( x \right) \right) = \sqrt{1 + x^{2}}\)para todos\(x\)
    169. \(\csc \left( \arccos \left( x \right) \right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)para\(-1 < x < 1\)
    170. \(\sin \left( 2\arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}\)para todos\(x\)
    171. \(\sin \left( 2\arccos \left( x \right) \right) = 2x\sqrt{1-x^2}\)para\(-1 \leq x \leq 1\)
    172. \(\cos \left( 2\arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}\)para todos\(x\)
    173. \(\sin(\arccos(2x)) = \sqrt{1-4x^2}\)para\(-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\)
    174. \(\sin\left(\arccos\left(\dfrac{x}{5}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{25-x^2}}{5}\)para\(-5 \leq x \leq 5\)
    175. \(\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}\)para\(-2 \leq x \leq 2\)
    176. \(\cos\left(\arctan\left(3x\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1+9x^{2}}}\)para todos\(x\)
    177. \(\sin(2\arcsin(7x)) = 14x \sqrt{1-49x^2}\)para\(-\dfrac{1}{7} \leq x \leq \dfrac{1}{7}\)
    178. \(\sin\left(2 \arcsin\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right) \right) = \dfrac{2x\sqrt{3-x^2}}{3}\)para\(-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}\)
    179. \(\cos(2 \arcsin(4x)) = 1 - 32x^2\)para\(-\dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{4}\)
    180. \(\sec(\arctan(2x))\tan(\arctan(2x)) = 2x \sqrt{1+4x^2}\)para todos\(x\)
    181. \(\sin \left( \arcsin(x) + \arccos(x) \right) = 1\)para\(-1 \leq x \leq 1\)
    182. \(\cos \left( \arcsin(x) + \arctan(x) \right) = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}\)para\(-1 \leq x \leq 1\)
    183. 10\(\tan \left( 2\arcsin(x) \right) = \dfrac{2x\sqrt{1 - x^{2}}}{1 - 2x^{2}}\) para\(x\) en\(\left(-1, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\)
    184. \(\sin \left(\frac{1}{2} \arctan (x)\right)=\left\{\begin{array}{cl} \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{2 \sqrt{x^{2}+1}}} & \text { for } x \geq 0 \\-\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{2 \sqrt{x^{2}+1}}} & \text { for } x<0 \end{array}\right.\)
    185. Si es\(\sin(\theta) = \dfrac{x}{2}\) por\(-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), entonces\(\theta + \sin(2\theta) = \arcsin \left( \dfrac{x}{2} \right) + \dfrac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2}\)
    186. Si es\(\tan(\theta) = \dfrac{x}{7}\) por\(-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), entonces\(\dfrac{1}{2}\theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) = \dfrac{1}{2} \arctan \left( \dfrac{x}{7} \right) - \dfrac{7x}{x^{2} + 49}\)
    187. Si es\(\sec(\theta) = \dfrac{x}{4}\) por\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), entonces\(4\tan(\theta) - 4\theta = \sqrt{x^{2} - 16} - 4\mbox{arcsec} \left( \dfrac{x}{4} \right)\)
    188. \(x = \arcsin\left(\dfrac{7}{11}\right) + 2\pi k\)o\(x = \pi - \arcsin\left(\dfrac{7}{11}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.6898, \, 2.4518\)
    189. \(x = \arccos\left(-\dfrac{2}{9}\right) + 2\pi k\)o\(x = - \arccos\left(-\dfrac{2}{9}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 1.7949, \, 4.4883\)
    190. \(x = \pi + \arcsin(0.569) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arcsin(0.569) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 3.7469, \, 5.6779\)
    191. \(x = \arccos(0.117) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arccos(0.117) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 1.4535, \, 4.8297\)
    192. \(x = \arcsin(0.008) + 2\pi k\)o\(x = \pi - \arcsin(0.008) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.0080, \, 3.1336\)
    193. \(x = \arccos\left(\dfrac{359}{360}\right) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arccos\left(\dfrac{359}{360}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.0746, \, 6.2086\)
    194. \(x = \arctan(117) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 1.56225, \, 4.70384\)
    195. \(x = \arctan\left(-\dfrac{1}{12}\right) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 3.0585, \, 6.2000\)
    196. \(x = \arccos\left(\dfrac{2}{3}\right) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arccos\left(\dfrac{2}{3}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.8411, \, 5.4422\)
    197. \(x = \pi + \arcsin\left(\dfrac{17}{90}\right) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arcsin\left(\dfrac{17}{90}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 3.3316, \, 6.0932\)
    198. \(x = \arctan\left(-\sqrt{10}\right) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 1.8771, \, 5.0187\)
    199. \(x = \arcsin\left(\dfrac{3}{8}\right) + 2\pi k\)o\(x = \pi - \arcsin\left(\dfrac{3}{8}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.3844, \, 2.7572\)
    200. \(x = \arccos\left(-\dfrac{7}{16}\right) + 2\pi k\)o\(x = - \arccos\left(-\dfrac{7}{16}\right) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 2.0236, \, 4.2596\)
    201. \(x = \arctan(0.03) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.0300, \, 3.1716\)
    202. \(x = \arcsin(0.3502) + 2\pi k\)o\(x = \pi - \arcsin(0.3502) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.3578, \,2.784\)
    203. \(x = \pi + \arcsin(0.721) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arcsin(0.721) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 3.9468, \, 5.4780\)
    204. \(x = \arccos(0.9824) + 2\pi k\)o\(x = 2\pi - \arccos(0.9824) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 0.1879, \, 6.0953\)
    205. \(x = \arccos(-0.5637) + 2\pi k\)o\(x = - \arccos(-0.5637) + 2\pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 2.1697, \, 4.1135\)
    206. \(x = \arctan(117) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 1.5622, \, 4.7038\)
    207. \(x = \arctan(-0.6109) + \pi k\), en\([0, 2\pi)\),\(x \approx 2.5932, \, 5.7348\)
    208. \(36.87^{\circ}\)y\(53.13^{\circ}\)
    209. \(22.62^{\circ}\)y\(67.38^{\circ}\)
    210. \(32.52^{\circ}\)y\(57.48^{\circ}\)
    211. \(68.9^{\circ}\)
    212. \(7.7^{\circ}\)
    213. \(51^{\circ}\)
    214. \(19.5^{\circ}\)
    215. \(41.81^{\circ}\)
    216. \(f(x) = 5\sin(3x) + 12\cos(3x) = 13\sin\left(3x + \arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right) \approx 13\sin(3x + 1.1760)\)
    217. \(f(x) = 3\cos(2x) + 4\sin(2x) = 5\sin\left(2x+\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right) \right) \approx 5\sin(2x+0.6435)\)
    218. \(f(x) = \cos(x) - 3\sin(x) = \sqrt{10} \sin\left(x + \arccos\left(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \right)\right) \approx \sqrt{10} \sin(x + 2.8198)\)
    219. \(f(x) = 7\sin(10x) - 24\cos(10x) = 25\sin\left( 10x + \arcsin\left(-\dfrac{24}{25}\right)\right) \approx 25 \sin(10x-1.2870)\)
    220. \(f(x) = -\cos(x) - 2\sqrt{2} \sin(x) = 3\sin\left(x+\pi + \arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\right) \approx 3\sin(x+3.4814)\)
    221. \(f(x) = 2\sin(x) - \cos(x) = \sqrt{5}\sin\left(x + \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) \approx \sqrt{5}\sin(x -0.4636)\)
    222. \(\left[-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{5}\right]\)
    223. \(\left[-\dfrac{1}{3}, 1 \right]\)
    224. \(\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\)
    225. \((-\infty, -\sqrt{5}] \cup [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup [\sqrt{5}, \infty)\)
    226. \((-\infty, \infty)\)
    227. \((-\infty, -3) \cup (-3,3) \cup (3, \infty)\)
    228. \(\left(\dfrac{1}{2}, \infty \right)\)
    229. \(\left[\dfrac{1}{2}, \infty \right)\)
    230. \(\left(-\infty, -\dfrac{1}{12}\right] \cup \left[\dfrac{1}{12}, \infty\right)\)
    231. \((-\infty, -6] \cup [-4, \infty)\)
    232. \((-\infty, -2] \cup [2, \infty)\)
    233. \([0, \infty)\)

    Referencia

    1 ¡Pero ten en cuenta que muchos libros sí! Como siempre, ¡asegúrate de revisar el contexto!

    2 Consulte la página 704 si necesita una revisión de cómo asociamos los números reales con los ángulos en la medida de radianes.

    3 Alternativamente, coul duse la identidad:\(1+\tan ^{2}(t)=\sec ^{2}(t)\). Ya que\(x=\cos (t), \sec (t)=\frac{1}{\cos (t)}=\frac{1}{x}\). Se invita al lector a trabajar a través de este enfoque para ver qué, en su caso, surgen dificultades.

    4 Siempre es una buena idea asegurarse de que las identidades utilizadas en estas situaciones sean válidas para todos los valores t en consideración. Consulta nuestro trabajo de nuevo en el Ejemplo 10.6.1. ¿Las identidades que utilizamos allí eran válidas para todas las t bajo consideración? Un punto pedante, para estar seguro, pero ¿qué más esperas de este libro?

    5 ¡También confirma nuestro dominio!

    6 Sin Cálculo, claro.

    7 Los autores quisieran agradecer a Dan Stitz por este problema y los gráficos asociados.

    8 ¿Cómo lo sabemos de nuevo?

    9 Esto es todo, por supuesto, una cuestión de opinión. Para que conste, los autores encuentran\(\pm \sqrt{7}\) tan 'agradable' como\(\pm 2\).

    10 La equivalencia para\(x=\pm 1\) puede verificarse independientemente de la derivación de la fórmula, pero se requiere Cálculo para comprender completamente lo que está sucediendo en esos\(x\) valores. Verás a lo que nos referimos cuando trabajas a través de los detalles de la identidad para\(\tan (2 t)\). Por ahora, excluimos\(x=\pm 1\) de nuestra respuesta.


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