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11.2: La ley de los senos

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    119503
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    Trigonometría significa literalmente 'medir triángulos' y con el Capítulo 10 en nuestro haber, estamos más que preparados para hacer precisamente eso. El objetivo principal de esta sección y de la siguiente es desarrollar teoremas que permitan 'resolver' triángulos —es decir, encontrar la longitud de cada lado de un triángulo y la medida de cada uno de sus ángulos. En las Secciones 10.2, 10.3 y 10.6, hemos tenido cierta experiencia resolviendo triángulos rectos. El siguiente ejemplo revisa lo que sabemos.

    Ejemplo 11.2.1

    Dado un triángulo rectángulo con una hipotenusa de longitud 7 unidades y una pata de longitud 4 unidades, encuentra la longitud del lado restante y las medidas de los ángulos restantes. Exprese los ángulos en grados decimales, redondeados a la centésima de grado más cercana.

    Solución

    Por definición, etiquetamos el triángulo a continuación.

    Screen Shot 2022-05-24 a las 3.23.43 PM.png

    Para encontrar la longitud del lado faltante\(a\), utilizamos el Teorema de Pitágoras para obtener el\(a^{2}+4^{2}=7^{2}\) cual luego rinde\(a=\sqrt{33}\) unidades. Ahora que se conocen los tres lados del triángulo, hay varias formas que podemos encontrar\(\alpha\) usando las funciones trigonométricas inversas. Para disminuir las posibilidades de propagar el error, sin embargo, nos ceñimos a usar los datos que nos dieron en el problema. En este caso, se dieron las longitudes 4 y 7, por lo que queremos relacionarlas con ellas\(\alpha\). Según el Teorema 10.4,\(\cos (\alpha)=\frac{4}{7}\). Ya que\(\alpha\) es un ángulo agudo,\(\alpha=\arccos \left(\frac{4}{7}\right)\) radianes. Convirtiendo a grados, nos encontramos\(\alpha \approx 55.15^{\circ}\). Ahora que tenemos la medida del ángulo\(\alpha\), podríamos encontrar la medida del ángulo\(\beta\) usando el hecho de que\(\alpha\) y\(\beta\) son complementos así\(\alpha+\beta=90^{\circ}\). Una vez más, optamos por utilizar los datos que nos han dado en el problema. Según el Teorema 10.4, tenemos eso\(\sin (\beta)=\frac{4}{7}\) así\(\beta=\arcsin \left(\frac{4}{7}\right)\) radianes y tenemos\(\beta \approx 34.85^{\circ}\).

    Algunos comentarios sobre el Ejemplo 11.2.1 están en orden. Primero, nos adherimos a la convención de que una letra griega minúscula denota un ángulo 1 y la letra inglesa minúscula correspondiente representa el lado 2 opuesto a ese ángulo. Así,\(a\) es el lado opuesto\(\alpha, b\) es el lado opuesto\(\beta\) y\(c\) es el lado opuesto\(\gamma\). Tomados en conjunto, los pares\((\alpha, a)\),\((\beta, b)\) y\((\gamma, c)\) se llaman pares opuestos del lado del ángulo. Segundo, como se mencionó anteriormente, nos esforzaremos por resolver las cantidades utilizando los datos originales dados en el problema siempre que sea posible. Si bien esta no siempre es la forma más fácil o rápida de proceder, minimiza las posibilidades de error propagado. 3 Tercero, dado que muchas de las aplicaciones que requieren resolver triángulos 'en la naturaleza' se basan en la medida de grado, vamos a adoptar esta convención por el momento. 4 El Teorema de Pitágoras junto con los Teoremas 10.4 y 10.10 nos permiten manejar fácilmente cualquier problema dado del triángulo rectángulo, pero ¿y si el triángulo no es un triángulo rectángulo? En ciertos casos, podemos usar la Ley de los Sinos para ayudar.

    Teorema 11.2. La Ley de los Sines

    Dado un triángulo con pares opuestos ángulo-lado\((\alpha, a)\),\((\beta, b)\) y\((\gamma, c)\), las siguientes relaciones mantienen

    \(\frac{\sin (\alpha)}{a}=\frac{\sin (\beta)}{b}=\frac{\sin (\gamma)}{c}\)

    o, equivalentemente,

    \(\frac{a}{\sin (\alpha)}=\frac{b}{\sin (\beta)}=\frac{c}{\sin (\gamma)}\)

    El comprobante de la Ley de Sines se puede descomponer en tres casos. Para nuestro primer caso, consideremos el triángulo de\(\triangle A B C\) abajo, todos cuyos ángulos son agudos, con pares ángulo-lado opuestos\((\alpha, a)\),\((\beta, b)\) y\((\gamma, c)\). Si bajamos una altitud desde el vértice\(B\), dividimos el triángulo en dos triángulos rectos:\(\triangle A B Q\) y\(\triangle B C Q\). Si llamamos a la longitud de la altitud\(h\) (para la altura), obtenemos del Teorema 10.4 eso\(\sin (\alpha)=\frac{h}{c}\) y\(\sin (\gamma)=\frac{h}{a}\) así eso\(h=c \sin (\alpha)=a \sin (\gamma)\). Después de algún reordenamiento de la última ecuación, obtenemos\(\frac{\sin (\alpha)}{a}=\frac{\sin (\gamma)}{c}\). Si bajamos una altitud desde vértice\(A\), podemos proceder como arriba usando los triángulos\(\triangle A B Q\) y\(\triangle A C Q\) para obtener\(\frac{\sin (\beta)}{b}=\frac{\sin (\gamma)}{c}\), completando la prueba para este caso.

    Screen Shot 2022-05-24 a 3.55.11 PM.png

    Para nuestro siguiente caso consideremos el triángulo de\(\triangle A B C\) abajo con ángulo obtuso\(\alpha\). Extender una altitud desde vértice\(A\) da dos triángulos rectos, como en el caso anterior:\(\triangle A B Q\) y\(\triangle A C Q\). Procediendo como antes, obtenemos\(h=b \sin (\gamma)\) y\(h=c \sin (\beta)\) así eso\(\frac{\sin (\beta)}{b}=\frac{\sin (\gamma)}{c}\).

    Screen Shot 2022-05-24 a 3.59.18 PM.png

    Dejar caer una altitud desde el vértice B también genera dos triángulos rectos,\(\triangle A B Q\) y\(\triangle B C Q\). Eso lo sabemos\(\sin \left(\alpha^{\prime}\right)=\frac{h^{\prime}}{c}\) así\(h^{\prime}=c \sin \left(\alpha^{\prime}\right)\). Ya que\(\alpha^{\prime}=180^{\circ}-\alpha, \sin \left(\alpha^{\prime}\right)=\sin (\alpha)\), así de hecho, tenemos\(h^{\prime}=c \sin (\alpha)\). Procediendo a\(\triangle B C Q\), obtenemos\(\sin (\gamma)=\frac{h^{\prime}}{a} \text { so } h^{\prime}=a \sin (\gamma)\). Armando esto con la ecuación anterior, obtenemos\(\frac{\sin (\gamma)}{c}=\frac{\sin (\alpha)}{a}\), y ya terminamos con este caso.

    Screen Shot 2022-05-24 a las 4.07.08 PM.png

    El caso restante es cuando\(\triangle A B C\) es un triángulo rectángulo. En este caso, la Ley de Sinos reduce a las fórmulas dadas en el Teorema 10.4 y se deja al lector. Para poder utilizar la Ley de los Sinos para resolver un triángulo, necesitamos al menos un par de ángulo-lado opuesto. El siguiente ejemplo muestra parte del poder, y las trampas, de la Ley de los Sines.

    Ejemplo 11.2.2

    Resuelve los siguientes triángulos. Dar respuestas exactas y aproximaciones decimales (redondeadas a centésimas) y esbozar el triángulo.

    1. \(\alpha=120^{\circ}, a=7 \text { units, } \beta=45^{\circ}\)
    2. \(\alpha=85^{\circ}, \beta=30^{\circ}, c=5.25 \text { units }\)
    3. \(\alpha=30^{\circ}, a=1 \text { units, } c=4 \text { units }\)
    4. \(\alpha=30^{\circ}, a=2 \text { units, } c=4 \text { units }\)
    5. \(\alpha=30^{\circ}, a=3 \text { units, } c=4 \text { units }\)
    6. \(\alpha=30^{\circ}, a=4 \text { units, } c=4 \text { units }\)
    Solución
    1. Conociendo un par angle-lado opuesto, es decir\(\alpha\) y\(a\), podemos proceder en el uso de la Ley de los Sines. Ya que\(\beta=45^{\circ}\), utilizamos\(\frac{b}{\sin \left(45^{\circ}\right)}=\frac{7}{\sin \left(120^{\circ}\right)}\) así\(b=\frac{7 \sin \left(45^{\circ}\right)}{\sin \left(120^{\circ}\right)}=\frac{7 \sqrt{6}}{3} \approx 5.72\) unidades. Ahora que tenemos dos pares ángulo-lado, es momento de encontrar el tercero. Para encontrar\(\gamma\), utilizamos el hecho de que la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo es\(180^{\circ}\). De ahí,\(\gamma=180^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}\). Para encontrar\(c\), no tenemos más remedio que usar el valor derivado\(\gamma=15^{\circ}\), sin embargo, podemos minimizar la propagación del error aquí usando el par opuesto ángulo-lado dado\((\alpha, a)\). La Ley de Sines nos da\(\frac{c}{\sin \left(15^{\circ}\right)}=\frac{7}{\sin \left(120^{\circ}\right)}\) para que\(c=\frac{7 \sin \left(15^{\circ}\right)}{\sin \left(120^{\circ}\right)} \approx 2.09\) las unidades. 5
    2. En este ejemplo, no se nos da inmediatamente un par ángulo-lado opuesto, sino como tenemos las medidas de\(\alpha\) y\(\beta\), podemos resolver para\(\gamma\) desde entonces\(\gamma=180^{\circ}-85^{\circ}-30^{\circ}=65^{\circ}\). Como en el ejemplo anterior, nos vemos obligados a usar un valor derivado en nuestros cálculos ya que el único par ángulo-lado disponible es\((\gamma, c)\). La Ley de los Sines da\(\frac{a}{\sin \left(85^{\circ}\right)}=\frac{5.25}{\sin \left(65^{\circ}\right)}\). Después del reordenamiento habitual, obtenemos\(a=\frac{5.25 \sin \left(85^{\circ}\right)}{\sin \left(65^{\circ}\right)} \approx 5.77\) unidades. Para encontrar\(b\) utilizamos el par ángulo-lado\((\gamma, c)\) que produce\(\frac{b}{\sin \left(30^{\circ}\right)}=\frac{5.25}{\sin \left(65^{\circ}\right)}\) por lo tanto\(b=\frac{5.25 \sin \left(30^{\circ}\right)}{\sin \left(65^{\circ}\right)} \approx 2.90\) unidades.

      Screen Shot 2022-05-24 en 4.25.08 PM.png

    3. Ya que se nos da\((\alpha, a)\) y\(c\), utilizamos la Ley de los Sinos para encontrar la medida de\(\gamma\). Empezamos con\(\frac{\sin (\gamma)}{4}=\frac{\sin \left(30^{\circ}\right)}{1}\) y conseguimos\(\sin (\gamma)=4 \sin \left(30^{\circ}\right)=2\). Dado que el rango de la función sinusoidal es [−1, 1], no hay un número real con\(\sin (\gamma)=2\). Geométricamente, vemos que ese lado\(a\) es simplemente demasiado corto para hacer un triángulo. Los siguientes tres ejemplos mantienen los mismos valores para la medida de\(\alpha\) y la longitud de\(c\) mientras varían la longitud de\(a\). Discutiremos este caso con más detalle después de ver lo que sucede en esos ejemplos.
    4. En este caso, tenemos la medida de\(\alpha=30^{\circ}\),\(a = 2\) y\(c = 4\). Usando la Ley de los Sines,\(\frac{\sin (\gamma)}{4}=\frac{\sin \left(30^{\circ}\right)}{2}\) así lo conseguimos\(\sin (\gamma)=2 \sin \left(30^{\circ}\right)=1\). Ahora\(\gamma\) es un ángulo en un triángulo que también contiene\(\alpha=30^{\circ}\). Esto significa que se\(\gamma\) debe medir entre\(0^{\circ}\) y\(150^{\circ}\) para poder encajar dentro del triángulo con\(\alpha\). El único ángulo que satisface este requisito y tiene\(\sin (\gamma)=1\) es\(\gamma=90^{\circ}\). En otras palabras, tenemos un triángulo rectángulo. Encontramos la medida de\(\beta\) ser\(\beta=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\) y luego determinamos\(b\) usando la Ley de los Sinos. Encontramos\(b=\frac{2 \sin \left(60^{\circ}\right)}{\sin \left(30^{\circ}\right)}=2 \sqrt{3} \approx 3.46\) unidades. En este caso, el lado\(a\) es precisamente lo suficientemente largo como para formar un triángulo rectángulo único.

      Screen Shot 2022-05-24 a las 4.47.36 PM.png

    5. Procediendo como lo hemos hecho en los dos ejemplos anteriores, utilizamos la Ley de los Sinos para encontrar\(\gamma\). En este caso, tenemos\(\frac{\sin (\gamma)}{4}=\frac{\sin \left(30^{\circ}\right)}{3}\) o\(\sin (\gamma)=\frac{4 \sin \left(30^{\circ}\right)}{3}=\frac{2}{3}\). Ya que\(\gamma\) yace en un triángulo con\(\alpha=30^{\circ}\), debemos tener eso\(0^{\circ}<\gamma<150^{\circ}\). Hay dos ángulos\(\gamma\) que caen en este rango y tienen\(\sin (\gamma)=\frac{2}{3}\):\(\gamma=\arcsin \left(\frac{2}{3}\right) \text { radians } \approx 41.81^{\circ}\) y\(\gamma=\pi-\arcsin \left(\frac{2}{3}\right) \text { radians } \approx 138.19^{\circ}\). En este punto, hacemos una pausa para ver si tiene sentido que en realidad tengamos dos casos viables a considerar. Como hemos comentado, ambos candidatos para\(\gamma\) son 'compatibles' con el par ángulo-lado dado\((\alpha, a)=\left(30^{\circ}, 3\right)\) en que ambas opciones para\(\gamma\) pueden caber en un triángulo con\(\alpha\) y ambas tienen un seno de\(\frac{2}{3}\). El único otro dato dado es que\(c = 4\) las unidades. Ya que\(c>a\), debe ser cierto que\(\gamma\), lo que es opuesto\(c\), tiene mayor medida que\(\alpha\) lo que es opuesto\(a\). En ambos casos,\(\gamma>\alpha\), que es opuesto\(c\), tiene mayor medida que la\(\alpha\) que es opuesta\(a\). En ambos casos,\(\gamma>\alpha\), por lo que ambos candidatos a\(\gamma\) son compatibles con esta última pieza de información dada también. Así tenemos dos triángulos en nuestras manos. En el caso\(\gamma=\arcsin \left(\frac{2}{3}\right) \text { radians } \approx 41.81^{\circ}\), encontramos 6\(\beta \approx 180^{\circ}-30^{\circ}-41.81^{\circ}=108.19^{\circ}\). Usando la Ley de Sines con el par ángulo-lado opuesto\((\alpha, a)\) y\(\beta\), encontramos\(b \approx \frac{3 \sin \left(108.19^{\circ}\right)}{\sin \left(30^{\circ}\right)} \approx 5.70\) unidades. En el caso\(\gamma=\pi-\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)\) radianes\(\approx 138.19^{\circ}\), repetimos exactamente los mismos pasos y encontramos\(\beta \approx 11.81^{\circ}\) y\(b \approx 1.23\) unidades. 7 Ambos triángulos se dibujan a continuación.

      Screen Shot 2022-05-24 a las 10.42.28 PM.png

    6. Para este último problema, repetimos la rutina habitual de Ley de Sines para encontrar\(\frac{\sin (\gamma)}{4}=\frac{\sin \left(30^{\circ}\right)}{4}\) así que eso\(\sin (\gamma)=\frac{1}{2}\). Ya que\(\gamma\) hay que habitar un triángulo\(\alpha=30^{\circ}\), debemos tener\(0^{\circ}<\gamma<150^{\circ}\). Dado que la medida de\(\gamma\) debe ser estrictamente menor que\(150^{\circ}\), solo hay un ángulo que satisface ambas condiciones requeridas, a saber\(\gamma=30^{\circ}\). Entonces\(\beta=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}\) y, usando la Ley de Sines por última vez,\(b=\frac{4 \sin \left(120^{\circ}\right)}{\sin \left(30^{\circ}\right)}=4 \sqrt{3} \approx 6.93\) unidades.

      Screen Shot 2022-05-24 al 11.08.02 PM.png

    Algunos comentarios sobre el Ejemplo 11.2.2 están en orden. Primero notamos que si se nos dan las medidas de dos de los ángulos en un triángulo, digamos\(\alpha\) y\(\beta\), la medida del tercer ángulo determinado de\(\gamma\) manera única usando la ecuación\(\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta\). Conocer las medidas de los tres ángulos de un triángulo determina completamente su forma. Si además se nos da la longitud de uno de los lados del triángulo, entonces podemos usar la Ley de los Senos para encontrar las longitudes de los dos lados restantes para determinar el tamaño del triángulo. Tal es el caso en los números 1 y 2 anteriores. En el número 1, el lado dado es adyacente a solo uno de los ángulos, esto se llama el caso 'Angle-Angle-Side '(AAS). 8 En el número 2, el lado dado es adyacente a ambos ángulos lo que significa que estamos en el caso llamado 'Angle-Side-Angle' (ASA). Si, por otro lado, se nos da la medida de solo uno de los ángulos en el triángulo junto con la longitud de dos lados, de los cuales sólo uno es adyacente al ángulo dado, estamos en el caso de 'Angle-Side-Side' (ASS). 9 En el número 3, la longitud de un lado dado\(a\) era demasiado corta para incluso formar un triángulo; en el número 4, la longitud de a era lo suficientemente larga para formar un triángulo rectángulo; en 5,\(a\) era lo suficientemente larga, pero no demasiado larga, de manera que dos triángulos eran posibles; y en el número 6, lateral\(a\) fue lo suficientemente largo para formar un triángulo pero demasiado largo para balancearse hacia atrás y formar dos. Estos cuatro casos ejemplifican todas las posibilidades en el caso Angle-Side-Side que se resumen en el siguiente teorema.

    Teorema 11.3

    Supongamos\((\alpha, a)\) y\((\gamma, c)\) están destinados a ser pares ángulo-lado en un triángulo donde\(\alpha\),\(a\) y\(c\) se dan. Vamos\(h=c \sin (\alpha)\).

    • Si\(a<h\), entonces no existe ningún triángulo que satisfaga los criterios dados.
    • Si\(a=h\),\(\gamma=90^{\circ}\) entonces existe exactamente un triángulo (derecho) que satisface los criterios.
    • Si\(h<a<c\), entonces existen dos triángulos distintos que satisfacen los criterios dados.
    • Si\(a \geq c\), entonces\(\gamma\) es agudo y existe exactamente un triángulo que satisface los criterios dados

    El teorema 11.3 se prueba caso por caso. Si\(a<h\), entonces\(a<c \sin (\alpha)\). Si existiera un triángulo, la Ley de los Sines tendría\(\frac{\sin (\gamma)}{c}=\frac{\sin (\alpha)}{a}\) así que eso\(\sin (\gamma)=\frac{c \sin (\alpha)}{a}>\frac{a}{a}=1\), lo cual es imposible. En la siguiente figura, vemos geométricamente por qué este es el caso.

    Screen Shot 2022-05-24 a las 11.51.19 PM.png

    En pocas palabras, si\(a<h\) el lado\(a\) es demasiado corto para conectarse para formar un triángulo. Esto significa que si\(a \geq h\), siempre se nos garantiza tener al menos un triángulo, y las partes restantes del teorema nos dicen qué tipo y cuántos triángulos esperar en cada caso. Si\(a = h\), entonces\(a=c \sin (\alpha)\) y la Ley de los Pinos da\(\frac{\sin (\alpha)}{a}=\frac{\sin (\gamma)}{c}\) así que eso\(\sin (\gamma)=\frac{c \sin (\alpha)}{a}=\frac{a}{a}=1\). Aquí,\(\gamma=90^{\circ}\) según se requiera. Avanzando, ahora supongamos\(h<a<c\). Como antes, la Ley de Sinos 10 da\(\sin (\gamma)=\frac{c \sin (\alpha)}{a}\). Desde\(h<a\),\(c \sin (\alpha)<a\) o\(\frac{c \sin (\alpha)}{a}<1\) lo que significa que hay dos soluciones para\(\sin (\gamma)=\frac{c \sin (\alpha)}{a}\): un ángulo agudo al que llamaremos\(\gamma_{0}\), y su suplemento,\(180^{\circ}-\gamma_{0}\). Tenemos que argumentar que cada uno de estos ángulos 'encajan' en un triángulo con\(\alpha\). Dado que\((\alpha, a)\) y\(\left(\gamma_{0}, c\right)\) son pares opuestos ángulo-lado, la suposición\(c>a\) a en este caso nos da\(\gamma_{0}>\alpha\). Ya que\(\gamma_{0}\) es agudo, debemos tener eso\(\alpha\) es agudo también. Esto significa que un triángulo puede contener ambos\(\alpha\) y\(\gamma_{0}\), dándonos uno de los triángulos prometidos en el teorema. Si manipulamos\(\gamma_{0}>\alpha\) un poco la desigualdad, tenemos\(180^{\circ}-\gamma_{0}<180^{\circ}-\alpha\) lo que da\(\left(180^{\circ}-\gamma_{0}\right)+\alpha<180^{\circ}\). Esto demuestra que un triángulo puede contener ambos ángulos\(\alpha\) y\(\left(180^{\circ}-\gamma_{0}\right)\), dándonos el segundo triángulo predicho en el teorema. Para probar el último caso en el teorema, asumimos\(a \geq c\). Entonces\(\alpha \geq \gamma\), lo que obliga\(\gamma\) a ser un ángulo agudo. De ahí que en este caso solo obtenemos un triángulo, completando la prueba.

    Screen Shot 2022-05-25 a las 12.28.33 AM.png

    Ejemplo 11.2.3

    La isla Sasquatch se encuentra frente a la costa del lago Ippizuti. Dos avistamientos, tomados a 5 millas de distancia, se hacen a la isla. El ángulo entre la costa y la isla en el primer punto de observación es\(30^{\circ}\) y en el segundo punto el ángulo es\(45^{\circ}\). Asumiendo un litoral recto, encuentra la distancia desde el segundo punto de observación hasta la isla. ¿Qué punto de la orilla está más cerca de la isla? ¿A qué distancia está la isla de este punto?

    Solución

    Esbozamos el problema a continuación con el primer punto de observación etiquetado como\(P\) y el segundo como\(Q\). Para utilizar la Ley de Sines para encontrar la distancia\(d\) desde\(Q\) hasta la isla, primero necesitamos encontrar la medida de la\(\beta\) cual es el ángulo opuesto al lado de longitud 5 millas. Para ello, observamos que los ángulos\(\gamma\) y\(45^{\circ}\) son suplementarios, así que eso\(\gamma=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\). Ya podemos encontrar\(\beta=180^{\circ}-30^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-30^{\circ}-135^{\circ}=15^{\circ}\). Por la Ley de Sines, tenemos\(\frac{d}{\sin \left(30^{\circ}\right)}=\frac{5}{\sin \left(15^{\circ}\right)}\) que da\(d=\frac{5 \sin \left(30^{\circ}\right)}{\sin \left(15^{\circ}\right)} \approx 9.66\) millas. A continuación, para encontrar el punto en la costa más cercano a la isla, que hemos etiquetado como\(C\), necesitamos encontrar la distancia perpendicular de la isla a la costa. 11

    Dejar\(x\) denotar la distancia desde el segundo punto de observación\(Q\) hasta el punto\(C\) y dejar\(y\) denotar la distancia desde\(C\) a la isla. Usando el Teorema 10.4, obtenemos\(\sin \left(45^{\circ}\right)=\frac{y}{d}\). Después de algunos reordenamientos, encontramos\(y=d \sin \left(45^{\circ}\right) \approx 9.66\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 6.83\) millas. De ahí que la isla se encuentre aproximadamente a 6.83 millas de la costa. Para encontrar la distancia de\(Q\) a\(C\), observamos que\(\beta=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\) así por simetría, 12 obtenemos\(x=y \approx 6.83\) millas. De ahí que el punto en la orilla más cercano a la isla esté aproximadamente a 6.83 millas por la costa desde el segundo punto de observación.

    Screen Shot 2022-05-26 en 2.30.19 PM.png

    Cerramos esta sección con una nueva fórmula para calcular el área encerrada por un triángulo. Su prueba utiliza los mismos casos y diagramas que la prueba de la Ley de Sines y se deja como ejercicio.

    Teorema 11.4

    Supongamos que\((\alpha, a),(\beta, b) \text { and }(\gamma, c)\) son los pares de ángulo-lado opuestos de un triángulo. Entonces el área\(A\) encerrada por el triángulo viene dada por

    \(A=\frac{1}{2} b c \sin (\alpha)=\frac{1}{2} a c \sin (\beta)=\frac{1}{2} a b \sin (\gamma)\)

    Ejemplo 11.2.4

    Encuentra el área del triángulo en el Ejemplo 11.2.2 número 1.

    Solución

    De nuestro trabajo en el Ejemplo 11.2.2 número 1, tenemos los tres ángulos y los tres lados para trabajar. Sin embargo, para minimizar el error propagado, elegimos\(A=\frac{1}{2} a c \sin (\beta)\) del Teorema 11.4 porque utiliza la mayor cantidad de piezas de información dada. Nos dan\(a=7\) y\(\beta=45^{\circ}\), y calculamos\(c=\frac{7 \sin \left(15^{\circ}\right)}{\sin \left(120^{\circ}\right)}\). Usando estos valores, encontramos unidades\(A=\frac{1}{2}(7)\left(\frac{7 \sin \left(15^{\circ}\right)}{\sin \left(120^{\circ}\right)}\right) \sin \left(45^{\circ}\right)=\approx 5.18\) cuadradas. Se anima al lector a verificar esta respuesta con los resultados obtenidos utilizando las otras fórmulas del Teorema 11.4.

    11.2.1 Ejercicios

    En los Ejercicios 1 - 20, resuelva para el lado (s) restante (s) y ángulo (s) si es posible. Al igual que en el texto\((\alpha, a)\),,\((\beta, b)\) y\((\gamma, c)\) son pares opuestos ángulo-lado.

    1. \(\alpha=13^{\circ}, \beta=17^{\circ}, a=5\)
    2. \(\alpha=73.2^{\circ}, \beta=54.1^{\circ}, a=117\)
    3. \(\alpha=95^{\circ}, \beta=85^{\circ}, a=33.33\)
    4. \(\alpha=95^{\circ}, \beta=62^{\circ}, a=33.33\)
    5. \(\alpha=117^{\circ}, a=35, b=42\)
    6. \(\alpha=117^{\circ}, a=45, b=42\)
    7. \(\alpha=68.7^{\circ}, a=88, b=92\)
    8. \(\alpha=42^{\circ}, a=17, b=23.5\)
    9. \(\alpha=68.7^{\circ}, a=70, b=90\)
    10. \(\alpha=30^{\circ}, a=7, b=14\)
    11. \(\alpha=42^{\circ}, a=39, b=23.5\)
    12. \(\gamma=53^{\circ}, \alpha=53^{\circ}, c=28.01\)
    13. \(\alpha=6^{\circ}, a=57, b=100\)
    14. \(\gamma=74.6^{\circ}, c=3, a=3.05\)
    15. \(\beta=102^{\circ}, b=16.75, c=13\)
    16. \(\beta=102^{\circ}, b=16.75, c=18\)
    17. \(\beta=102^{\circ}, \gamma=35^{\circ}, b=16.75\)
    18. \(\beta=29.13^{\circ}, \gamma=83.95^{\circ}, b=314.15\)
    19. \(\gamma=120^{\circ}, \beta=61^{\circ}, c=4\)
    20. \(\alpha=50^{\circ}, a=25, b=12.5\)
    21. Encuentra el área de los triángulos dados en los Ejercicios 1, 12 y 20 anteriores.

    (Otro Clásico Aplicación: Grado de una Carretera) La pendiente de una carretera es muy parecida a la inclinación de una cubierta (Ver Ejemplo 10.6.6) en que expresa la proporción de subida/corrida. En el caso de una carretera, esta relación siempre es positiva porque se mide yendo cuesta arriba y generalmente se da como porcentaje. Por ejemplo, una carretera que se eleva 7 pies por cada 100 pies de avance (horizontal) se dice que tiene una pendiente del 7%. Sin embargo, si queremos aplicar alguna Trigonometría a un problema de historia que involucra carreteras que van cuesta arriba o cuesta abajo, necesitamos ver la pendiente como un ángulo con respecto a la horizontal. En los Ejercicios 22 - 24, primero tenemos que cambiar las calificaciones de la carretera en ángulos y luego usar la Ley de Sines en una aplicación.

    1. Usando un triángulo rectángulo con una pata horizontal de longitud 100 y una pata vertical con longitud 7, mostrar que una\(7 \%\) pendiente significa que la carretera (hipotenusa) forma aproximadamente un\(4^{\circ}\) ángulo con la horizontal. (No va a ser exactamente\(4^{\circ}\), pero está bastante cerca.)
    2. ¿Qué grado viene dado por un\(9.65^{\circ}\) ángulo hecho por la carretera y la horizontal? 13
    3. A lo largo de un tramo largo y recto de carretera de montaña con una pendiente del 7%, se ve un árbol alto parado perfectamente plomado junto a la carretera. 14 Desde un punto a 500 pies cuesta abajo del árbol, el ángulo de inclinación desde la carretera hasta la cima del árbol es\(6^{\circ}\). Usa la Ley de Sines para encontrar la altura del árbol. (Pista: Primero demuestre que el árbol hace un\(94^{\circ}\) ángulo con la carretera.)

    (Otra aplicación clásica: Rodamientos) En los siguientes ejercicios introducimos y trabajamos con la herramienta de navegación conocida como rodamientos. En pocas palabras, un rumbo es la dirección a la que te diriges según una brújula. La nomenclatura clásica para rodamientos, sin embargo, no se da como un ángulo en posición estándar, por lo que primero debemos entender la notación. Un rumbo se da como un ángulo agudo de rotación (hacia el este o hacia el oeste) lejos de la línea norte-sur (arriba y abajo) de una rosa brújula. Por ejemplo,\(\mathrm{N} 40^{\circ} \mathrm{E}\) (léase "\(40^{\circ}\)este del norte”) es un rumbo que se gira en sentido horario\(40^{\circ}\) desde el norte hacia el norte. Si imaginamos parados en el origen en el Plano Cartesiano, este rumbo nos haría dirigirnos al Cuadrante I a lo largo del lado terminal de\(\theta=50^{\circ}\). Del mismo modo,\(\mathrm{S} 50^{\circ} \mathrm{W}\) apuntaría hacia el Cuadrante III a lo largo del lado terminal de\(\theta=220^{\circ}\) porque comenzamos apuntando hacia el sur (a lo largo\(\theta=270^{\circ}\)) y giramos hacia la derecha de\(50^{\circ}\) nuevo a\(220^{\circ}\) Las rotaciones en sentido antihorario se encontrarían en los rodamientos\(\mathrm{N} 60^{\circ} \mathrm{W}\) (que está en el lado terminal de\(\theta=150^{\circ}\)) y\(\mathrm{S} 27^{\circ} \mathrm{E}\) (que se encuentra a lo largo del lado terminal de\(\theta=297^{\circ}\)). Estos cuatro rodamientos están dibujados en el plano de abajo.

    Screen Shot 2022-05-26 a las 3.29.48 PM.png

    Las direcciones cardinales norte, sur, este y oeste generalmente no se dan como orientación de la manera descrita anteriormente, sino que uno solo se refiere a ellas como 'debido norte', 'debido sur', 'debido este' y 'debido oeste', respectivamente, y se supone que se sabe qué ángulo cuadrangular va con cada dirección cardinal. (Pista: Mira el diagrama de arriba.)

    1. Encuentra el ángulo\(\theta\) en posición estándar con el\(0^{\circ} \leq \theta<360^{\circ}\) que corresponde a cada uno de los rodamientos que se indican a continuación.
      1. debido oeste
      2. \(\mathrm{S} 83^{\circ} \mathrm{E}\)
      3. \(\mathrm{N} 5.5^{\circ} \mathrm{E}\)
      4. debido al sur
      5. \(\mathrm{N} 31.25^{\circ} \mathrm{W}\)
      6. \(\mathrm{S}{72}^{\circ} 41^{\prime} 12^{\prime \prime} \mathrm{W}\)15
      7. \(\mathrm{N} 45^{\circ} \mathrm{E}\)
      8. \(\mathrm{S}{45}{ }^{\circ} \mathrm{W}\)
    2. El Coronel avisa una fogata a una de porte\(\mathrm{N} 42^{\circ} \mathrm{E}\) desde su posición actual. El sargento, quien está posicionado a 3000 pies con rumbo al este del Coronel, estima que el rumbo al fuego es\(\mathrm{N} 20^{\circ} \mathrm{W}\) de su posición actual. Determinar la distancia desde la fogata a cada hombre, redondeada al pie más cercano.
    3. Una excursionista comienza a caminar hacia el oeste desde Sasquatch Point y llega al Trailhead de Chupacabras antes de darse cuenta de que no ha reajustado su podómetro. Desde el sendero Chupacabras, camina 5 millas a lo largo de un rumbo del\(\mathrm{N} 53^{\circ} \mathrm{W}\) cual la lleva al Observatorio Muffin Ridge. A partir de ahí, sabe que un rumbo de la\(\mathrm{S}6 5^{\circ} \mathrm{E}\) llevará de regreso directo a Sasquatch Point. ¿A qué distancia tendrá que caminar para llegar del Observatorio Muffin Ridge a Sasquach Point? ¿Cuál es la distancia entre Sasquatch Point y Chupacabras Trailhead?
    4. El capitán de la SS Bigfoot ve un destello de señal en un rumbo de\(\mathrm{N} 15^{\circ} \mathrm{E}\) desde su ubicación actual. Desde su posición, el capitán del HMS Sasquatch encuentra que la bengala de señal está en una dirección de\(\mathrm{N} 75^{\circ} \mathrm{W}\). Si el SS Bigfoot está a 5 millas del HMS Sasquatch y el rumbo del SS Bigfoot al HMS Sasquatch es\(\mathrm{N} 50^{\circ} \mathrm{E}\), encuentra las distancias desde la bengala a cada embarcación, redondeadas a la décima de milla más cercana.
    5. Carl espía a un posible nido de Sasquatch en un rodamiento de\(\mathrm{N} 10^{\circ} \mathrm{E}\) y radios Jeff, quien está en una dirección\(\mathrm{N} 50^{\circ} \mathrm{E}\) desde la posición de Carl. Desde la posición de Jeff, el nido está en un rumbo de\(\mathrm{S} 70^{\circ} \mathrm{W}\). Si Jeff y Carl están a 500 pies de distancia, ¿a qué distancia está Jeff del nido Sasquatch? Redondea tu respuesta al pie más cercano.
    6. Un excursionista determina el rumbo a una logia desde su posición actual es\(\mathrm{S} 40^{\circ} \mathrm{W}\). Ella procede a caminar 2 millas en un rumbo de\(\mathrm{S} 20^{\circ} \mathrm{E}\) momento en el que determina el rumbo a la logia es\(\mathrm{S}{75}{ }^{\circ} \mathrm{W}\). ¿A qué distancia está ella del albergue en este momento? Redondee su respuesta a la centésima de milla más cercana.
    7. Una torre de vigilancia localiza un barco frente a la costa en un rumbo de\(\mathrm{N} 70^{\circ} \mathrm{E}\). Una segunda torre, que está a 50 millas de la primera en un rumbo\(\mathrm{S} 80^{\circ} \mathrm{E}\) de la primera torre, determina el rumbo a la nave a ser\(\mathrm{N} 25^{\circ} \mathrm{W}\). ¿A qué distancia está el barco de la segunda torre? Redondea tu respuesta a la décima de milla más cercana.
    8. Skippy y Sally deciden cazar ovnis. Una noche, se posicionan a 2 millas de distancia en un tramo abandonado de la pista del desierto. A una hora de su investigación, Skippy espía a un OVNI que se cierne sobre un punto de la pista directamente entre él y Sally. Registra el ángulo de inclinación desde el suelo hasta la nave para ser\(75^{\circ}\) y radios Sally inmediatamente para encontrar el ángulo de inclinación desde su posición hasta la nave es\(50^{\circ}\). ¿Qué tan alto del suelo está el OVNI en este punto? Redondea tu respuesta al pie más cercano. (Recordemos: 1 milla es 5280 pies.)
    9. El ángulo de depresión de un observador en un complejo de apartamentos a una gárgola en el edificio de al lado es\(55^{\circ}\). A partir de un punto cinco historias por debajo del observador original, el ángulo de inclinación a la gárgola es\(20^{\circ}\). Encuentra la distancia de cada observador a la gárgola y la distancia de la gárgola al complejo de departamentos. Redondea tus respuestas al pie más cercano. (Usa la regla general de que un piso de un edificio mide 9 pies).
    10. Demostrar que la Ley de Sines sostiene cuando\(\triangle A B C\) es un triángulo rectángulo.
    11. Discuta con tus compañeros de clase por qué conocer solo los tres ángulos de un triángulo no es suficiente para determinar ninguno de los lados.
    12. Discuta con tus compañeros de clase por qué no se puede utilizar la Ley de los Sines para encontrar los ángulos en el triángulo cuando solo se dan los tres lados. También discuta qué pasa si solo se dan dos lados y el ángulo entre ellos. (Dicho de otra manera, explique por qué la Ley de Sines no puede ser utilizada en los casos SSS y SAS.)
    13. Dado\(\alpha=30^{\circ}\) y\(b = 10\), elegir cuatro valores diferentes\(a\) para que
      1. la información no arroja ningún triángulo
      2. la información produce exactamente un triángulo rectángulo
      3. la información produce dos triángulos distintos
      4. la información produce exactamente un triángulo obtuso

      Explica por qué no puedes elegir\(a\) de tal manera que tengas\(\alpha=30^{\circ}, b=10\) y tu elección de\(a\) rendimiento solo un triángulo donde ese triángulo único tiene tres ángulos agudos.

    14. Utilizar los casos y diagramas en la prueba de la Ley de Senos (Teorema 11.2) para acreditar las fórmulas de área dadas en el Teorema 11.4. ¿Por qué esas fórmulas producen unidades cuadradas cuando se multiplican cuatro cantidades juntas?

    11.2.2 Respuestas

    1. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=13^ {\ circ} &\ beta=17^ {\ circ} &\ gamma=150^ {\ circ}\
      a=5 & b\ approx 6.50 & c\ approx 11.11
      \ end {array}\)
    2. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=73.2^ {\ circ} &\ beta=54.1^ {\ circ} &\ gamma=52.7^ {\ circ}\
      a=117 & b\ aproximadamente 99.00 & c\ aproximadamente 97.22
      \ end {array}\)
    3. La información no produce un triángulo
    4. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=95^ {\ circ} &\ beta=62^ {\ circ} &\ gamma=23^ {\ circ}\
      a=33.33 & b\ approx 29.54 & c\ approx 13.07
      \ end {array}\)
    5. La información no produce un triángulo
    6. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=117^ {\ circ} &\ beta\ approx 56.3^ {\ circ} &\ gamma\ approx 6.7^ {\ circ}\
      a=45 & b=42 & c\ approx 5.89
      \ end {array}\)
    7. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=68.7^ {\ circ} &\ beta\ approx 76.9^ {\ circ} &\ gamma\ approx 34.4^ {\ circ}\
      a=88 & b=92 & c\ approx 53.36
      \ end {array}\)
    8. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=42^ {\ circ} &\ beta\ approx 67.66^ {\ circ} &\ gamma\ approx 70.34^ {\ circ}\
      a=17 & b=23.5 & c\ approx 23.93
      \ end {array}\)
    9. La información no produce un triángulo
    10. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=30^ {\ circ} &\ beta=90^ {\ circ} &\ gamma=60^ {\ circ}\\
      a=7 & b=14 & c=7\ sqrt {3}
      \ end {array}\)
    11. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=42^ {\ circ} &\ beta\ approx 23.78^ {\ circ} &\ gamma\ approx 114.22^ {\ circ}\
      a=39 & b=23.5 & c\ approx 53.15
      \ end {array}\)
    12. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=53^ {\ circ} &\ beta=74^ {\ circ} &\ gamma=53^ {\ circ}\
      a=28.01 & b\ approx 33.71 & c=28.01
      \ end {array}\)
    13. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=6^ {\ circ} &\ beta\ approx 169.43^ {\ circ} &\ gamma\ approx 4.57^ {\ circ}\
      a=57 & b=100 & c\ aproximadamente 43.45
      \ end {array}\)
    14. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha\ approx 78.59^ {\ circ} &\ beta\ approx 26.81^ {\ circ} &\ gamma=74.6 ^ {\ circ}\\
      a=3.05 & b\ approx 1.40 & c=3
      \ end {array}\)
    15. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha\ approx 28.61^ {\ circ} &\ beta=102^ {\ circ} &\ gamma\ approx 49.39^ {\ circ}\\
      a\ approx 8.20 & b=16.75 & c=13
      \ end {array}\)
    16. La información no produce un triángulo
    17. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=43^ {\ circ} &\ beta=102^ {\ circ} &\ gamma=35^ {\ circ}\\
      a\ aprox.11.68 & b=16.75 & c\ approx 9.82
      \ end {array}\)
    18. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=66.92^ {\ circ} &\ beta=29.13^ {\ circ} &\ gamma=83.95^ {\ circ}\\
      a\ approx 593.69 & b=314,15 & c\ approx 641.75
      \ end {array}\)
    19. La información no produce un triángulo
    20. \ (\ begin {array} {lll}
      \ alpha=50^ {\ circ} &\ beta\ approx 22.52^ {\ circ} &\ gamma\ approx 107.48^ {\ circ}\
      a=25 & b=12.5 & c\ approx 31.13
      \ end {array}\)
    21. El área del triángulo del Ejercicio 1 es de aproximadamente 8.1 unidades cuadradas.

      El área del triángulo del Ejercicio 12 es de aproximadamente 377.1 unidades cuadradas.

      El área del triángulo del Ejercicio 20 es de aproximadamente 149 unidades cuadradas.

    22. \(\arctan \left(\frac{7}{100}\right) \approx 0.699 \text { radians }\), lo que equivale a\(\(4.004^{\circ}\)
    23. Cerca del 17%
    24. Cerca de 53 pies
      1. \(\theta=180^{\circ}\)
      2. \(\theta=353^{\circ}\)
      3. \(\theta=84.5^{\circ}\)
      4. \(\theta=270^{\circ}\)
      5. \(\theta=121.25^{\circ}\)
      6. \(\theta=197^{\circ} 18^{\prime} 48^{\prime \prime}\)
      7. \(\theta=45^{\circ}\)
      8. \(\theta=225^{\circ}\)
    25. El Coronel está a unos 3193 pies de la fogata.

      Sarge está a unos 2525 pies de la fogata.

    26. La distancia entre el Observatorio Muffin Ridge y Sasquach Point es de aproximadamente 7.12 millas.

      La distancia de Sasquatch Point al Chupacabra Trailhead es de aproximadamente 2.46 millas.

    27. El SS Bigfoot está a unos 4.1 millas de la llamarada.

      El HMS Sasquatch está a unos 2.9 millas de la llamarada.

    28. Jeff está a unos 371 pies del nido.
    29. Ella está a unos 3.02 millas del lodge
    30. El barco está a unos 25.1 millas de la segunda torre.
    31. El OVNI está rondando unos 9539 pies sobre el suelo.
    32. La gárgola está a unos 44 pies del observador en el piso superior.

      La gárgola está a unos 27 pies del observador en el piso inferior.

      La gárgola está a unos 25 pies del otro edificio.


    Referencia

    1 así como la medida de dicho ángulo

    2 así como la longitud de dicho lado

    3 Tus profesores de Ciencias deberían agradecernos esto.

    4 ¡No te preocupes! ¡Los radianes volverán antes de que te des cuenta!

    5 El valor exacto de se\(\sin \left(15^{\circ}\right)\) pudo encontrar usando la identidad de diferencia para la fórmula sinusoidal o de medio ángulo, pero eso se vuelve innecesariamente desordenado para la discusión en cuestión. Por lo tanto, aquí significa “exacto”\(\frac{7 \sin \left(15^{\circ}\right)}{\sin \left(120^{\circ}\right)}\).

    6 Para encontrar una expresión exacta para\(\beta\), convertimos todo de nuevo en radianes:\(\alpha=30^{\circ}=\frac{\pi}{6}\) radianes,\(\gamma=\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)\) radianes y\(180^{\circ}=\pi\) radianes. De ahí,\(\beta=\pi-\frac{\pi}{6}-\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{5 \pi}{6}-\arcsin \left(\frac{2}{3}\right) \text { radians } \approx 108.19^{\circ}\).

    7 Una respuesta exacta para\(\beta\) en este caso es\(\beta=\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)-\frac{\pi}{6} \text { radians } \approx 11.81^{\circ}\).

    8 Si esto le suena familiar, debería. Desde la secundaria Geometría, sabemos que hay cuatro condiciones de congruencia para los triángulos: Angle-Angle-Side (AAS), Angle-Side-Angle (ASA), Side-Angle-Side (SAS) y Side-Side (SSS). Si se nos da información sobre un triángulo que cumple con uno de estos cuatro criterios, entonces se nos garantiza que existe exactamente un triángulo que satisfaga los criterios dados.

    9 En los libros de mayor reputación, esto se llama el caso 'Side-Side-Angul' o SSA.

    10 ¡Recuerda, ya hemos argumentado que en este caso existe un triángulo!

    11 ¿Ves por qué\(C\) hay que mentir a la derecha de\(Q\)?

    12 O por Teorema 10.4 otra vez.

    13 Tengo amigos que viven en Pacifica, CA y su camino es en realidad así de empinado. No es un buen camino para conducir.

    14 La palabra 'plomada' aquí significa que el árbol es perpendicular a la horizontal.

    15 Véase el Ejemplo 10.1.1 en la Sección 10.1 para una revisión del sistema DMS.


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