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11.6: Enganchado de nuevo en cónicas

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    119511
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En esta sección, volvemos a visitar a nuestros amigos las Secciones Cónicas que comenzamos a estudiar en el Capítulo 7. Nuestra primera tarea es formalizar la noción de ejes giratorios por lo que esta subsección es en realidad un seguimiento del Ejemplo 8.3.3 en la Sección 8.3. En ese ejemplo, vimos que la gráfica de\(y=\frac{2}{x}\) es en realidad una hipérbola. Más específicamente, es la hipérbola obtenida al rotar la gráfica de\(x^{2}-y^{2}=4\) sentido antihorario a través de un\(45^{\circ}\) ángulo. Armados con coordenadas polares, podemos generalizar el proceso de rotación de ejes como se muestra a continuación.

    11.6.1 Rotación de Ejes

    Considere los\(y\) ejes\(x-\) y de abajo junto con los ejes discontinuos\(x^{\prime}-\) y obtenidos al girar\(y^{\prime}-\) los ejes\(x-\) y\(y\) en sentido antihorario a través de un ángulo\(\theta\) y considere el punto\(P(x, y)\). Las coordenadas\((x, y)\) son coordenadas rectangulares y se basan en los\(y-\) ejes\(x-\) y. Supongamos que deseamos encontrar coordenadas rectangulares basadas en los\(y^{\prime}-\) ejes\(x^{\prime}-\) y. Es decir, queremos determinar\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\). Si bien esto parece un reto formidable, es casi trivial si utilizamos coordenadas polares. Considera el ángulo\(\phi\) cuyo lado inicial es el\(x^{\prime}\) eje positivo y cuyo lado terminal contiene el punto\(P\).

    Screen Shot 2022-06-01 en 2.51.05 AM.png

    Nos relacionamos\(P(x, y)\) y\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) convirtiéndolos en coordenadas polares. Conversión\(P(x, y)\) a coordenadas polares con\(r > 0\) rendimientos\(x=r \cos (\theta+\phi)\) y\(y=r \sin (\theta+\phi)\). Para convertir el punto\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) en coordenadas polares, primero emparejamos el eje polar con el\(x^{\prime}\) eje positivo, elegimos el mismo\(r > 0\) (ya que el origen es el mismo en ambos sistemas) y obtenemos\(x^{\prime}=r \cos (\phi)\) y\(y^{\prime}=r \sin (\phi)\). Usando las fórmulas de suma para seno y coseno, tenemos

    \ (\ begin {alineado}
    x &=r\ cos (\ theta+\ phi) &\\
    &=r\ cos (\ theta)\ cos (\ phi) -r\ sin (\ theta)\ sin (\ phi) &\ quad\ text {fórmula de suma para coseno}\\
    & =( r\ cos (\ phi))\ cos (\ theta) - (r\ sin (\ phi))\ sin (\ theta)\\
    &=x^ {\ prime}\ cos (\ theta) -y^ {\ prime}\ sin (\ theta) &\ quad\ text {Desde} x^ {\ prime} =r\ cos (\ phi)\ text {y} y^ {\ prime} =r\ sin (\ phi)
    \ end {alineado}\)

    Del mismo modo, usando la fórmula de suma para seno obtenemos\(y=x^{\prime} \sin (\theta)+y^{\prime} \cos (\theta)\). Estas ecuaciones nos permiten convertir fácilmente puntos con\(x^{\prime} y^{\prime}\) -coordenadas de nuevo en\(xy\) -coordenadas. También nos permiten convertir fácilmente ecuaciones en las variables\(x\) y\(y\) en ecuaciones en las variables en términos de\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\). 1 Si queremos ecuaciones que nos permitan convertir puntos con\(xy\) -coordenadas en\(x^{\prime} y^{\prime}\) -coordenadas, necesitamos resolver el sistema

    \ (\ left\ {\ begin {array} {l}
    x^ {\ prime}\ cos (\ theta) -y^ {\ prime}\ sin (\ theta) =x\
    x^ {\ prime}\ sin (\ theta) +y^ {\ prime}\ cos (\ theta) =y
    \ end {array}\ derecha.\)

    para\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\). Quizás la forma más limpia 2 de resolver este sistema es escribirlo como una ecuación matricial. Usando la maquinaria desarrollada en la Sección 8.4, escribimos el sistema anterior como la ecuación matricial\(A X^{\prime}=X\) donde

    \ (A=\ left [\ begin {array} {rr}\ cos (\ theta) & -\ sin (\ theta)\\\ sin (\ theta) &\ cos (\ theta)\ end {array}\ derecha],\ quad X^ {\ prime} =\ left [\ begin {array} {l} x^ {\ prime}\ y^ {\ prime}
    \ fin array}\ derecha],\ quad X=\ left [\ begin {array} {l} x\\ y\ end {array}\ right]\)

    Ya que\(\operatorname{det}(A)=(\cos (\theta))(\cos (\theta))-(-\sin (\theta))(\sin (\theta))=\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)=1\), el determinante de no\(A\) es cero por lo que\(A\) es invertible y\(X^{\prime}=A^{-1} X\). Usando la fórmula dada en la Ecuación 8.2 con\(\operatorname{det}(A)=1\), encontramos

    \(A^{-1}=\left[\begin{array}{rr} \cos (\theta) & \sin (\theta) \\ -\sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right]\)

    para que

    \ (\ begin {aligned} X^ {\ prime} &=A^ {-1} X\\ {\ izquierda [\ begin {array} {l} x^ {\ prime}\ y^ {\ prime}\ end {array}\ derecha]} &=\ left [\ begin {array} {rr}\ cos (\ theta) &\ sin (\ theta)\
    -\ sin (\ theta eta) &\ cos (\ theta)\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l} x\\ y\ end {array}\ derecha]\\ {\ izquierda [\ begin {array} {l} x^ {\ prime}\ y^ {\ prime}\ end {array}\ right]} &=\ left [\ begin {array} {c} x\ cos (\ theta) +y\ sin (\ theta)\\ -x\ sin (\ theta) +y\ cos (\ theta)\ end {array}\ derecha]\ end {alineado}\)

    De lo que obtenemos\(x^{\prime}=x \cos (\theta)+y \sin (\theta)\) y\(y^{\prime}=-x \sin (\theta)+y \cos (\theta)\). Para resumir,

    Teorema 11.9. Rotación de Ejes

    Supongamos que el positivo\(x\) y\(y\) los ejes se giran en sentido antihorario\(\theta\) a través de un ángulo para producir los ejes\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\), respectivamente. Luego las coordenadas\(P(x, y)\) y\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) están relacionadas por los siguientes sistemas de ecuaciones

    \(\left\{\begin{array} { l } { x = x ^ { \prime } \operatorname { c o s } ( \theta ) - y ^ { \prime } \operatorname { s i n } ( \theta ) } \\ { y = x ^ { \prime } \operatorname { s i n } ( \theta ) + y ^ { \prime } \operatorname { c o s } ( \theta ) } \end{array} \quad \text { and } \quad \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x \cos (\theta)+y \sin (\theta) \\ y^{\prime}=-x \sin (\theta)+y \cos (\theta) \end{array}\right.\right.\)

    Ponemos a buen uso las fórmulas en el Teorema 11.9 en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 11.6.1

    Supongamos que los\(y-\) ejes\(x-\) y se giran en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{3}\) a través del ángulo para producir los\(y^{\prime}-\) ejes\(x^{\prime}-\) y, respectivamente.

    1. Vamos\(P(x, y) = (2, −4)\) y encuentra\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\). Revisa tu respuesta algebraica y gráficamente.
    2. Convierte la ecuación\(21 x^{2}+10 x y \sqrt{3}+31 y^{2}=144\) en una ecuación en\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\) y grafica.
    Solución
    1. Si\(P(x, y) = (2, −4)\) entonces\(x = 2\) y\(y = −4\). Usando estos valores para\(x\) y\(y\) junto con\(\theta=\frac{\pi}{3}\), el Teorema 11.9 da\(x^{\prime}=x \cos (\theta)+y \sin (\theta)=2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+(-4) \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\) lo que simplifica\(x^{\prime}=1-2 \sqrt{3}\). De igual manera,\(y^{\prime}=-x \sin (\theta)+y \cos (\theta)=(-2) \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+(-4) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\) lo que da\(y^{\prime}=-\sqrt{3}-2=-2-\sqrt{3}\). De ahí\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=(1-2 \sqrt{3},-2-\sqrt{3})\). Para comprobar algebraicamente nuestra respuesta, utilizamos las fórmulas del Teorema 11.9 para\(P\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=(1-2 \sqrt{3},-2-\sqrt{3})\) volver a convertir en\(x\) y\(y\) coordenadas. Obtenemos

      \(\begin{aligned} x &=x^{\prime} \cos (\theta)-y^{\prime} \sin (\theta) \\ &=(1-2 \sqrt{3}) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-(-2-\sqrt{3}) \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)-\left(-\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \\ &=2 \end{aligned}\)

      De igual manera\(y=x^{\prime} \sin (\theta)+y^{\prime} \cos (\theta)\), utilizando, obtenemos\(y = −4\) según sea necesario. Para comprobar nuestra respuesta gráficamente, esbozamos en el\(x^{\prime} \text {-axis }\) y\(y^{\prime} \text {-axis }\) para ver si las nuevas coordenadas\(P(x^{\prime},y^{\prime})=(1-2 \sqrt{3},-2-\sqrt{3}) \approx(-2.46,-3.73)\) parecen razonables. Nuestra gráfica está abajo.

      Screen Shot 2022-06-01 a las 3.33.28 AM.png

    2. Para convertir la ecuación\(21 x^{2}+10 x y \sqrt{3}+31 y^{2}=144\) en una ecuación en las variables\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\), sustituimos\(x=x^{\prime} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-y^{\prime} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{x^{\prime}}{2}-\frac{y^{\prime} \sqrt{3}}{2}\)\(y=x^{\prime} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+y^{\prime} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{x^{\prime} \sqrt{3}}{2}+\frac{y^{\prime}}{2}\) y simplificamos. Si bien esto no es de ninguna manera una tarea trivial, no es más que una fuerte dosis de Álgebra Inicial. No vamos a pasar por todo el cálculo, sino más bien, el lector debe tomarse el tiempo para hacerlo. Comience verificando que

      \(x^{2}=\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{4}-\frac{x^{\prime} y^{\prime} \sqrt{3}}{2}+\frac{3\left(y^{\prime}\right)^{2}}{4}, \quad x y=\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2} \sqrt{3}}{4}-\frac{x^{\prime} y^{\prime}}{2}-\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2} \sqrt{3}}{4}, \quad y^{2}=\frac{3\left(x^{\prime}\right)^{2}}{4}+\frac{x^{\prime} y^{\prime} \sqrt{3}}{2}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{4}\)

      Para nuestra sorpresa y deleite, la ecuación\(21 x^{2}+10 x y \sqrt{3}+31 y^{2}=144\) en\(xy\) coordenadas se reduce a\(36\left(x^{\prime}\right)^{2}+16\left(y^{\prime}\right)^{2}=144\), o\(\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{4}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{9}=1\) en\(x^{\prime} y^{\prime}\) -coordenadas. Esta última es una elipse centrada en (0, 0) con vértices a lo largo del\(y^{\prime}\) eje -con (\(x^{\prime} y^{\prime}\)-coordenadas)\((0, \pm 3)\) y cuyo eje menor tiene puntos finales con (\(x^{\prime} y^{\prime}\)-coordenadas)\((\pm 2,0)\). Lo graficamos a continuación.

      Screen Shot 2022-06-01 a las 3.42.03 AM.png

    La eliminación del problemático término '\(xy\)' de la ecuación\(21 x^{2}+10 x y \sqrt{3}+31 y^{2}=144\) del Ejemplo 11.6.1 número 2 nos permitió graficar la ecuación a mano usando lo que aprendimos en el Capítulo 7. Es natural preguntarse si siempre podemos hacer esto. Es decir, dada una ecuación de la forma\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\), con\(B \neq 0\), ¿hay un ángulo\(\theta\) para que si giramos los\(y\) ejes\(x\) y en sentido antihorario a través de ese ángulo\(\theta\), la ecuación en las variables giradas\(x^{\prime}\) y no\(y^{\prime}\) contenga\(x^{\prime} y^{\prime}\) término? Para explorar esta conjetura, hacemos las sustituciones habituales\(x=x^{\prime} \cos (\theta)-y^{\prime} \sin (\theta)\) y\(y=x^{\prime} \sin (\theta)+y^{\prime} \cos (\theta)\) en la ecuación\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\) y establecemos el coeficiente del\(x^{\prime} y^{\prime}\) término igual a 0. Los términos que contienen\(x^{\prime} y^{\prime}\) en esta expresión provendrán de los tres primeros términos de la ecuación:\(A x^{2}\),\(B x y\) y\(C y^{2}\). Dejamos al lector verificar que

    \ (\ begin {alineado} x^ {2} &=\ izquierda (x^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ cos ^ {2} (\ theta) -2 x^ {\ prime} y^ {\ prime}\ cos (\ theta)\ sin (\ theta) +\ izquierda (y^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ sin (\ theta)\
    x y &=\ izquierda (x^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ cos (\ theta)\ sin (\ theta) +x^ {\ prime} y^ {\ prime}\ izquierda (\ cos ^ {2} (\ theta) -\ sin ^ {2} (\ theta)\ derecha) -\ izquierda (y^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ cos (\ theta)\ sin (\ theta)\ y^ {2} &=\ izquierda (x^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ sin ^ {2} (\ theta) +2 x^ {\ prime} y^ {\ prime}\ cos (\ theta)\ sin (\ theta) +\ izquierda (y^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ cos ^ {2} (\ theta)
    \ final {alineado}\)

    El aporte al\(x^{\prime} y^{\prime}\) -término desde\(A x^{2}\) es\(-2 A \cos (\theta) \sin (\theta)\), desde\(Bxy\) él es\(B\left(\cos ^{2}(\theta)-\sin ^{2}(\theta)\right)\), y desde\(C y^{2}\) él es\(2 C \cos (\theta) \sin (\theta)\). Equiparando el\(x^{\prime} y^{\prime}\) -term a 0, obtenemos

    \(\begin{aligned} -2 A \cos (\theta) \sin (\theta)+B\left(\cos ^{2}(\theta)-\sin ^{2}(\theta)\right)+2 C \cos (\theta) \sin (\theta) &=0 \\ -A \sin (2 \theta)+B \cos (2 \theta)+C \sin (2 \theta) &=0 \quad \text { Double Angle Identities } \end{aligned}\)

    A partir de esto\(B \cos (2 \theta)=(A-C) \sin (2 \theta)\), obtenemos, y nuestro objetivo es resolver para\(\theta\) en cuanto a los coeficientes\(A\),\(B\) y\(C\). Como estamos asumiendo\(B \neq 0\), podemos dividir ambos lados de esta ecuación por\(B\). Para resolver para\(\theta\) nos gustaría dividir ambos lados de la ecuación por\(\sin (2 \theta)\), siempre y cuando por supuesto que tengamos garantías de que\(\sin (2 \theta) \neq 0\). Si\(\sin (2 \theta)=0\), entonces tendríamos\(B \cos (2 \theta)=0\), y desde entonces\(B \neq 0\), esto forzaría\(\cos (2 \theta)=0\). Ya que ningún ángulo\(\theta\) puede tener ambos\(\sin (2 \theta)=0\) y\(\cos (2 \theta)=0\), podemos asumir con seguridad 3\(\sin (2 \theta) \neq 0\). Obtenemos\(\frac{\cos (2 \theta)}{\sin (2 \theta)}=\frac{A-C}{B}\), o\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}\). Acabamos de probar el siguiente teorema.

    Teorema 11.10

    La ecuación\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\) con se\(B \neq 0\) puede transformar en una ecuación en variables\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\) sin ningún\(x^{\prime} y^{\prime}\) término girando los\(y-\) ejes\(x-\) y en sentido antihorario a través de un ángulo\(\theta\) que satisfaga\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}\).

    Ponemos el Teorema 11.10 a buen uso en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 11.6.2

    Grafica las siguientes ecuaciones.

    1. \(5 x^{2}+26 x y+5 y^{2}-16 x \sqrt{2}+16 y \sqrt{2}-104=0\)
    2. \(16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}+15 x-20 y=0\)
    Solución
    1. Dado que la ecuación ya\(5 x^{2}+26 x y+5 y^{2}-16 x \sqrt{2}+16 y \sqrt{2}-104=0\) se nos da en la forma requerida por el Teorema 11.10, nos identificamos\(A = 5\),\(B = 26\) y\(C = 5\) así eso\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}=\frac{5-5}{26}=0\). Esto significa\(\cot (2 \theta)=0\) que da\(\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} k\) para enteros\(k\). Elegimos\(\theta=\frac{\pi}{4}\) para que nuestras ecuaciones de rotación sean\(x=\frac{x^{\prime} \sqrt{2}}{2}-\frac{y^{\prime} \sqrt{2}}{2}\) y\(y=\frac{x^{\prime} \sqrt{2}}{2}+\frac{y^{\prime} \sqrt{2}}{2}\). El lector debe verificar que

      \(x^{2}=\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{2}-x^{\prime} y^{\prime}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{2}, \quad x y=\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{2}-\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{2}, \quad y^{2}=\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{2}+x^{\prime} y^{\prime}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{2}\)

      Haciendo las otras sustituciones, obtenemos que\(5 x^{2}+26 x y+5 y^{2}-16 x \sqrt{2}+16 y \sqrt{2}-104=0\) reduce a\(18\left(x^{\prime}\right)^{2}-8\left(y^{\prime}\right)^{2}+32 y^{\prime}-104=0\), o\(\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{4}-\frac{\left(y^{\prime}-2\right)^{2}}{9}=1\). Esta última es la ecuación de una hipérbola centrada en las\(x^{\prime} y^{\prime}\) coordenadas -que se\((0,2)\) abren en la\(x^{\prime}\) dirección con vértices\((\pm 2,2)\) (en\(x^{\prime} y^{\prime}\) coordenadas) y asíntotas\(y^{\prime}=\pm \frac{3}{2} x^{\prime}+2\). Lo graficamos a continuación.

    2. De\(16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}+15 x-20 y=0\), obtenemos\(A = 16\),\(B = 24\) y\(C = 9\) así eso\(\cot (2 \theta)=\frac{7}{24}\). Dado que este no es uno de los valores de los ángulos comunes, necesitaremos usar funciones inversas. En definitiva, necesitamos encontrar\(\cos (\theta)\) y\(\sin (\theta)\), lo que significa que tenemos dos opciones. Si utilizamos la función arccotangente inmediatamente, después de los cálculos habituales obtenemos\(\theta=\frac{1}{2} \operatorname{arccot}\left(\frac{7}{24}\right)\). Para obtener\(\cos (\theta)\) y a\(\sin (\theta)\) partir de esto, necesitaríamos usar identidades de medio ángulo. Alternativamente, podemos comenzar con\(\cot (2 \theta)=\frac{7}{24}\), usar una identidad de doble ángulo, y luego ir tras\(\cos (\theta)\) y\(\sin (\theta)\). Adoptamos el segundo enfoque. De\(\cot (2 \theta)=\frac{7}{24}\), tenemos\(\tan (2 \theta)=\frac{24}{7}\). Usando la identidad de doble ángulo para tangente, tenemos\(\frac{2 \tan (\theta)}{1-\tan ^{2}(\theta)}=\frac{24}{7}\), que dan\(24 \tan ^{2}(\theta)+14 \tan (\theta)-24=0\). Factoring, obtenemos\(2(3 \tan (\theta)+4)(4 \tan (\theta)-3)=0\) cuál da\(\tan (\theta)=-\frac{4}{3}\) o\(\tan (\theta)=\frac{3}{4}\). Si bien cualquiera de estos valores de\(\tan (\theta)\) satisface la ecuación\(\cot (2 \theta)=\frac{7}{24}\), elegimos\(\tan (\theta)=\frac{3}{4}\), ya que esto produce un ángulo agudo, 4\(\theta=\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\). Para encontrar las ecuaciones de rotación, necesitamos\(\cos (\theta)=\cos \left(\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\right)\) y\(\sin (\theta)=\sin \left(\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\right)\). Utilizando las técnicas desarrolladas en la Sección 10.6 obtenemos\(\cos (\theta)=\frac{4}{5} \text { and } \sin (\theta)=\frac{3}{5}\). Nuestras ecuaciones de rotación son\(x=x^{\prime} \cos (\theta)-y^{\prime} \sin (\theta)=\frac{4 x^{\prime}}{5}-\frac{3 y^{\prime}}{5}\) y\(y=x^{\prime} \sin (\theta)+y^{\prime} \cos (\theta)=\frac{3 x^{\prime}}{5}+\frac{4 y^{\prime}}{5}\). Como es habitual, ahora sustituimos estas cantidades en\(16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}+15 x-20 y=0\) y simplificamos. Como primer paso, el lector puede verificar

      \(x^{2}=\frac{16\left(x^{\prime}\right)^{2}}{25}-\frac{24 x^{\prime} y^{\prime}}{25}+\frac{9\left(y^{\prime}\right)^{2}}{25}, \quad x y=\frac{12\left(x^{\prime}\right)^{2}}{25}+\frac{7 x^{\prime} y^{\prime}}{25}-\frac{12\left(y^{\prime}\right)^{2}}{25}, \quad y^{2}=\frac{9\left(x^{\prime}\right)^{2}}{25}+\frac{24 x^{\prime} y^{\prime}}{25}+\frac{16\left(y^{\prime}\right)^{2}}{25}\)

      Una vez que el polvo se asienta\(25\left(x^{\prime}\right)^{2}-25 y^{\prime}=0, \text { or } y^{\prime}=\left(x^{\prime}\right)^{2}\), obtenemos, cuya gráfica es una parábola que se abre a lo largo del\(y^{\prime}\) eje positivo con vértice (0, 0). Gráficamos esta ecuación a continuación.

      Screen Shot 2022-06-01 en 4.55.09 AM.png

    Observamos que a pesar de que los coeficientes de\(x^{2}\) y\(y^{2}\) fueron ambos números positivos en las partes 1 y 2 del Ejemplo 11.6.2, la gráfica en la parte 1 resultó ser una hipérbola y la gráfica de la parte 2 resultó ser una parábola. Mientras que en el Capítulo 7, podríamos elegir fácilmente qué sección cónica estábamos tratando en función de la presencia (o ausencia) de términos cuadráticos y sus coeficientes, el Ejemplo 11.6.2 demuestra que todas las apuestas están desactivadas cuando se trata de cónicas con un término xy que requieren rotación de ejes para ponerlos en una forma más estándar. Sin embargo, es posible determinar qué sección cónica tenemos observando una combinación especial y familiar de los coeficientes de los términos cuadráticos. Tenemos el siguiente teorema.

    Teorema 11.11

    Supongamos que la ecuación\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\) describe una sección cónica no degenerada. a

    • Si\(B^{2}-4 A C>0\) entonces la gráfica de la ecuación es una hipérbola.
    • Si\(B^{2}-4 A C=0\) entonces la gráfica de la ecuación es una parábola.
    • Si\(B^{2}-4 A C<0\) entonces la gráfica de la ecuación es una elipse o círculo.

    a Recordemos que esto significa que su gráfica es un círculo, una parábola, una elipse o una hipérbola. Ver página 497.

    Como es de esperar, a la cantidad\(B^{2}-4 A C\) mencionada en el Teorema 11.11 se le llama el discriminante de la sección cónica. Si bien no intentaremos explicar la matemática profunda que produce esta 'coincidencia', al menos trabajaremos a través de la prueba del Teorema 11.11 mecánicamente para demostrar que es verdad. 5 Primero señalar que si el coeficiente\(B = 0\) en la ecuación\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\), el Teorema 11.11 se reduce al resultado presentado en el Ejercicio 34 en la Sección 7.5, por lo que procedemos aquí bajo el supuesto de que\(B \neq 0\). Giramos los\(xy\) ejes en sentido antihorario a través de un ángulo\(\theta\) que satisface\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{R}\) para producir una ecuación sin\(x^{\prime} y^{\prime}\) término de acuerdo con el Teorema 11.10:\(A^{\prime}\left(x^{\prime}\right)^{2}+C\left(y^{\prime}\right)^{2}+D x^{\prime}+E y^{\prime}+F^{\prime}=0\). En este formulario, podemos invocar una vez más el Ejercicio 34 en la Sección 7.5 utilizando el producto\(A^{\prime} C^{\prime}\). Nuestro objetivo es encontrar el producto\(A^{\prime} C^{\prime}\) en términos de los coeficientes\(A\),\(B\) y\(C\) en la ecuación original. Para ello, hacemos las sustituciones habituales\(x=x^{\prime} \cos (\theta)-y^{\prime} \sin (\theta) y=x^{\prime} \sin (\theta)+y^{\prime} \cos (\theta)\) en\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\). Dejamos al lector demostrar que, después de reunir términos similares, el coeficiente\(A^{\prime}\) encendido\(\left(x^{\prime}\right)^{2}\) y el coeficiente\(C^{\prime}\) encendido\(\left(y^{\prime}\right)^{2}\) son

    \ (\ begin {alineado}
    &A^ {\ prime} =A\ cos ^ {2} (\ theta) +B\ cos (\ theta)\ sin (\ theta) +C\ sin ^ {2} (\ theta)\\
    &C^ {\ prime} =A\ sin ^ {2} (\ theta) -B\ cos (\ theta)\ sin (\ theta) +C\ cos ^ {2} (\ theta)
    \ final {alineado}\)

    Para hacer uso de la condición\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}\), reescribimos nuestras fórmulas para\(A^{\prime}\) y\(C^{\prime}\) usando las fórmulas de reducción de potencia. Después de algunos reagrupamientos, obtenemos

    \ (\ begin {alineado}
    &2 A^ {\ prime} = [(A+C) + (A-C)\ cos (2\ theta)] +B\ sin (2\ theta)\\
    &2 C^ {\ prime} = [(A+C) - (A-C)\ cos (2\ theta)] -B\ sin (2\ theta)
    \ fin {alineado}\)

    A continuación, tratamos de darle sentido al producto

    \(\left(2 A^{\prime}\right)\left(2 C^{\prime}\right)=\{[(A+C)+(A-C) \cos (2 \theta)]+B \sin (2 \theta)\}\{[(A+C)-(A-C) \cos (2 \theta)]-B \sin (2 \theta)\}\)

    Rompemos este producto en pedazos. Primero, usamos la diferencia de cuadrados para multiplicar las 'primeras' cantidades en cada factor para obtener

    \([(A+C)+(A-C) \cos (2 \theta)][(A+C)-(A-C) \cos (2 \theta)]=(A+C)^{2}-(A-C)^{2} \cos ^{2}(2 \theta)\)

    A continuación, agregamos el producto de las cantidades 'exterior' e 'interior' en cada factor para obtener

    \ (\ comenzar {alineado}
    &-B\ sin (2\ theta) [(A+C) + (A-C)\ cos (2\ theta)]\\
    &+B\ sin (2\ theta) [(A+C) - (A-C)\ cos (2\ theta)] =-2 B (A-C)\ cos (2\ theta)\ sin (2\ theta)
    \ fin {alineado}\)

    El producto de la 'última' cantidad en cada factor es\((B \sin (2 \theta))(-B \sin (2 \theta))=-B^{2} \sin ^{2}(2 \theta)\). Poner todo esto junto rinde

    \(4 A^{\prime} C^{\prime}=(A+C)^{2}-(A-C)^{2} \cos ^{2}(2 \theta)-2 B(A-C) \cos (2 \theta) \sin (2 \theta)-B^{2} \sin ^{2}(2 \theta)\)

    De\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}\), obtenemos\(\frac{\cos (2 \theta)}{\sin (2 \theta)}=\frac{A-C}{B}\), o\((A-C) \sin (2 \theta)=B \cos (2 \theta)\). Usamos esta sustitución dos veces junto con la Identidad Pitagórica\(\cos ^{2}(2 \theta)=1-\sin ^{2}(2 \theta)\) para obtener

    \ (\ begin {alineado}
    4 A^ {\ prime} C^ {\ prime} & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -2 B (A-C)\ cos (2\ theta)\ sin (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2}\ izquierda [1-\ sin ^ {2} (2\ theta)\ derecha] -2 B\ cos (2\ theta) B\ cos (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} + (A-C) ^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta) -2 B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\\
    &= (A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} + [(A-C)\ sin (2\ theta)] ^ {2} -2 B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} + [B\ cos (2\ theta) ] ^ {2} -2 B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} +B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -2 B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\\
    &= (A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} -B^ {2}\ cos ^ {2} (2\ theta) -B^ {2}\ sin ^ {2} (2\ theta)\\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} -B^ {2}\ izquierda [\ cos ^ {2} (2\ theta) +\ sin ^ {2} (2\ theta)\ derecha]\\
    & =( A+C) ^ {2} - (A-C) ^ {2} -B^ {2}\
    &= izquierda (A^ {2} +2 A C+C A^ {2}\ derecha)\ izquierda (A^ {2} -2 A C+C^ {2}\ derecha) -B^ {2}\\
    &=4 A C-B^ {2}
    \ end {alineado}\)

    De ahí\(B^{2}-4 A C=-4 A^{\prime} C^{\prime}\),, por lo que la cantidad\(B^{2}-4 A C\) tiene el signo contrario de\(A^{\prime} C^{\prime}\). El resultado ahora sigue aplicando el Ejercicio 34 en la Sección 7.5.

    Ejemplo 11.6.3

    Utilice el Teorema 11.11 para clasificar las gráficas de las siguientes cónicas no degeneradas.

    1. \(21 x^{2}+10 x y \sqrt{3}+31 y^{2}=144\)
    2. \(5 x^{2}+26 x y+5 y^{2}-16 x \sqrt{2}+16 y \sqrt{2}-104=0\)
    3. \(16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}+15 x-20 y=0\)
    Solución

    Esta es una aplicación sencilla del Teorema 11.11.

    1. Tenemos\(A=21, B=10 \sqrt{3}\) y\(C=31 \text { so } B^{2}-4 A C=(10 \sqrt{3})^{2}-4(21)(31)=-2304<0\). El teorema 11.11 predice que la gráfica es una elipse, que comprueba con nuestro trabajo del Ejemplo 11.6.1 número 2.
    2. Aquí,\(A = 5\),\(B = 26\) y\(C = 5\), entonces\(B^{2}-4 A C=26^{2}-4(5)(5)=576>0\). El teorema 11.11 clasifica la gráfica como una hipérbola, lo que coincide con nuestra respuesta al Ejemplo 11.6.2 número 1.
    3. Por último, tenemos\(A = 16, B = 24\) y\(C = 9\) que da\(24^{2}-4(16)(9)=0\). El teorema 11.11 nos dice que la gráfica es una parábola, coincidiendo con nuestro resultado del Ejemplo 11.6.2 número 2.

    11.6.2 La forma polar de las cónicas

    En esta subsección, partimos de cero para reintroducir las secciones cónicas desde una perspectiva más unificada. Tenemos nuestra 'nueva' definición a continuación.

    Definición 11.1

    Dada una línea fija\(L\), un punto\(F\) no encendido\(L\) y un número positivo\(e\), una sección cónica es el conjunto de todos los puntos de\(P\) tal manera que

    \(\frac{\text { the distance from } P \text { to } F}{\text { the distance from } P \text { to } L}=e\)

    A la línea\(L\) se le llama directriz de la sección cónica, al punto\(F\) se le llama foco de la sección cónica, y a la constante\(e\) se le llama excentricidad de la sección cónica.

    Hemos visto las nociones de enfoque y directrix antes en la definición de parábola, Definición 7.3. Allí, una parábola se define como el conjunto de puntos equidistantes del foco y directriz, dando una excentricidad de\(e = 1\) acuerdo con la Definición 11.1. También hemos visto antes el concepto de excentricidad. Se introdujo para elipses en la Definición 7.5 en la Sección 7.4, y posteriormente se extendió a hipérbolas en el Ejercicio 31 en la Sección 7.5. Allí,\(e\) también se definió como una relación de distancias, aunque en estos casos las distancias involucradas fueron medidas del centro a un foco y del centro a un vértice. Una manera de conciliar las 'viejas' ideas de enfoque, directriz y excentricidad con las 'nuevas' presentadas en la Definición 11.1 es derivar ecuaciones para las secciones cónicas usando la Definición 11.1 y comparar estos parámetros con lo que sabemos del Capítulo 7. Comenzamos asumiendo que la sección cónica tiene excentricidad\(e\), un foco\(F\) en el origen y que la directriz es la línea vertical\(x = −d\) como en la figura de abajo.

    Screen Shot 2022-06-01 a 6.04.10 AM.png

    Usando una representación de coordenadas polares\(P(r, \theta)\) para un punto en la cónica con\(r > 0\), obtenemos

    \(e=\frac{\text { the distance from } P \text { to } F}{\text { the distance from } P \text { to } L}=\frac{r}{d+r \cos (\theta)}\)

    para que\(r=e(d+r \cos (\theta))\). Resolviendo esta ecuación para\(r\), rendimientos

    \(r=\frac{e d}{1-e \cos (\theta)}\)

    En este punto, convertimos la ecuación de\(r=e(d+r \cos (\theta))\) nuevo en una ecuación rectangular en las variables\(x\) y\(y\). Si\(e > 0\), pero\(e \neq 1\), el proceso de conversión habitual descrito en la Sección 11.4 da 6

    \(\left(\frac{\left(1-e^{2}\right)^{2}}{e^{2} d^{2}}\right)\left(x-\frac{e^{2} d}{1-e^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1-e^{2}}{e^{2} d^{2}}\right) y^{2}=1\)

    Dejamos al lector mostrar si\(0 < e < 1\), esta es la ecuación de una elipse centrada a\(\left(\frac{e^{2} d}{1-e^{2}}, 0\right)\) con eje mayor a lo largo del\(x\) eje -eje. Usando la notación de la Sección 7.4, tenemos\(a^2=\frac{e^{2} d^2}{(1-e^{2})^2}\) y\(b^{2}=\frac{e^{2} d^{2}}{1-e^{2}}\), así el eje mayor tiene longitud\(\frac{2 e d}{1-e^{2}}\) y el eje menor tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{1-e^{2}}}\). Además, encontramos que un foco es (0, 0) y trabajar a través de la fórmula dada en la Definición 7.5 da la excentricidad a ser\(e\), según se requiera. Si\(e > 1\), entonces la ecuación genera una hipérbola con centro\(\left(\frac{e^{2} d}{1-e^{2}}, 0\right)\) cuyo eje transversal se encuentra a lo largo del\(x\) eje -eje. Dado que tales hipérbolas tienen el para\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\), necesitamos tomar el recíproco opuesto del coeficiente de\(y^{2}\) para encontrar\(b^{2}\). Obtenemos 7\(a^{2}=\frac{e^{2} d^{2}}{\left(1-e^{2}\right)^{2}}=\frac{e^{2} d^{2}}{\left(e^{2}-1\right)^{2}}\) y\(b^{2}=-\frac{e^{2} d^{2}}{1-e^{2}}=\frac{e^{2} d^{2}}{e^{2}-1}\), así el eje transversal tiene longitud\(\frac{2 e d}{e^{2}-1}\) y el eje conjugado tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{e^{2}-1}}\). Adicionalmente, verificamos que un foco está en (0, 0), y la fórmula dada en el Ejercicio 31 en la Sección 7.5 da la excentricidad es e en este caso también. Si\(e = 1\), la ecuación se\(r=\frac{e d}{1-e \cos (\theta)}\) reduce a\(r=\frac{d}{1-\cos (\theta)}\) lo que da la ecuación rectangular\(y^{2}=2 d\left(x+\frac{d}{2}\right)\). Se trata de una parábola con vértice que se\(\left(-\frac{d}{2}, 0\right)\) abre a la derecha. En el lenguaje de la Sección 7.3,\(4p = 2d\) entonces\(p=\frac{d}{2}\), el foco es (0, 0), el diámetro focal es\(2d\) y la directriz es\(x = −d\), según se requiera. De ahí que hayamos demostrado que en todos los casos, nuestra 'nueva' comprensión de la 'sección cónica', 'foco', 'excentricidad' y 'directriz' tal como se presenta en la Definición 11.1 corresponden con las definiciones 'antiguas' dadas en el Capítulo 7.

    Antes de resumir nuestros hallazgos, observamos que para llegar a nuestra ecuación general de una cónica\(r=\frac{e d}{1-e \cos (\theta)}\), asumimos que la directriz era la línea\(x = −d\) para\(d > 0\). Podríamos haber elegido con la misma facilidad la directrix para ser\(x = d, y = −d\) o\(y = d\). Como puede verificar el lector, en estos casos obtenemos los formularios\(r=\frac{e d}{1+e \cos (\theta)}, r=\frac{e d}{1-e \sin (\theta)} \text { and } r=\frac{e d}{1+e \sin (\theta)}\), respectivamente. Lo clave a recordar es que en cualquiera de estos casos, la directriz siempre es perpendicular al eje mayor de una elipse y siempre es perpendicular al eje transversal de la hipérbola. Para las parábolas, saber que el foco es (0, 0) y la directrix también nos dice en qué dirección se abre la parábola. Hemos establecido el siguiente teorema.

    Teorema 11.12

    Supongamos\(e\) y\(d\) son números positivos. Entonces

    • la gráfica de\(r=\frac{e d}{1-e \cos (\theta)}\) es la gráfica de una sección cónica con directrix\(x = −d\).
    • la gráfica de\(r=\frac{e d}{1+e \cos (\theta)}\) es la gráfica de una sección cónica con directrix\(x = d\).
    • la gráfica de\(r=\frac{e d}{1-e \sin (\theta)}\) es la gráfica de una sección cónica con directrix\(y = −d\).
    • la gráfica de\(r=\frac{e d}{1+e \sin (\theta)}\) es la gráfica de una sección cónica con directrix\(y = d\).

    En cada caso anterior, (0, 0) es un foco de la cónica y el número\(e\) es la excentricidad de la cónica.

    • Si\(0 < e < 1\), la gráfica es una elipse cuyo eje mayor tiene longitud\(\frac{2 e d}{1-e^{2}}\) y cuyo eje menor tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{1-e^{2}}}\)
    • Si\(e = 1\), la gráfica es una parábola cuyo diámetro focal es\(2d\).
    • Si\(e > 1\), la gráfica es una hipérbola cuyo eje transversal tiene longitud\(\frac{2 e d}{e^{2}-1}\) y cuyo eje conjugado tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{e^{2}-1}}\).

    Probamos el Teorema 11.12 en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 11.6.4

    Esboce las gráficas de las siguientes ecuaciones.

    1. \(r=\frac{4}{1-\sin (\theta)}\)
    2. \(r=\frac{12}{3-\cos (\theta)}\)
    3. \(r=\frac{6}{1+2 \sin (\theta)}\)
    Solución
    1. Desde\(r=\frac{4}{1-\sin (\theta)}\), primero notamos\(e = 1\) lo que significa que tenemos una parábola en nuestras manos. Ya que\(ed = 4\), tenemos\(d = 4\) y considerando la forma de la ecuación, esto pone la directrix en\(y = −4\). Dado que el foco está en (0, 0), sabemos que el vértice se ubica en el punto (en coordenadas rectangulares) (0, −2) y debe abrirse hacia arriba. Con\(d = 4\), tenemos un diámetro focal de\(2d = 8\), por lo que la parábola contiene los puntos (±4, 0). Gráficamos\(r=\frac{4}{1-\sin (\theta)}\) a continuación.
    2. Primero reescribimos\(r=\frac{12}{3-\cos (\theta)}\) en la forma que se encuentra en el Teorema 11.12, a saber\(r=\frac{4}{1-(1 / 3) \cos (\theta)}\). Ya que\(e=\frac{1}{3}\) satisface\(0 < e < 1\), sabemos que la gráfica de esta ecuación es una elipse. Ya que\(ed = 4\), tenemos\(d = 12\) y, en base a la forma de la ecuación, la directrix es\(x = −12\). Esto significa que la elipse tiene su eje mayor a lo largo del\(x\) eje -eje. Podemos encontrar los vértices de la elipse encontrando los puntos de la elipse que se encuentran en el\(x\) eje -eje. Encontramos\(r(0) = 6\) y\(r(\pi)=3\) que corresponden a los puntos rectangulares (−3, 0) y (6, 0), por lo que estos son nuestros vértices. El centro de la elipse es el punto medio de los vértices, que en este caso lo es\(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\). 8 Sabemos que un foco es (0, 0), que es\(\frac{3}{2}\) del centro\(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\) y esto nos permite encontrar el otro foco (3, 0), aunque no se nos pida hacerlo. Finalmente, sabemos por el Teorema 11.12 que la longitud del eje menor es\(\frac{2 e d}{\sqrt{1-e^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{1-(1 / 3)^{2}}}=6 \sqrt{3}\) lo que significa que los puntos finales del eje menor son\(\left(\frac{3}{2}, \pm 3 \sqrt{2}\right)\). Ahora tenemos todo lo que necesitamos para graficar\(r=\frac{12}{3-\cos (\theta)}\).

      Screen Shot 2022-06-02 al 3.09.07 AM.png

    3. De\(r=\frac{6}{1+2 \sin (\theta)}\) obtenemos\(e = 2 > 1\) así que la gráfica es una hipérbola. Ya que\(ed = 6\), obtenemos\(d = 3\), y de la forma de la ecuación, sabemos que la directrix es\(y = 3\). Esto significa que el eje transversal de la hipérbola se encuentra a lo largo del\(y\) eje -eje, por lo que podemos encontrar los vértices mirando donde la hipérbola se cruza con el\(y\) eje -eje. Nos encontramos\(r\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\) y\(r\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-6\). Estos dos puntos corresponden a los puntos rectangulares (0, 2) y (0, 6) que ponen el centro de la hipérbola en (0, 4). Dado que un foco está en (0, 0), que está a 4 unidades del centro, sabemos que el otro enfoque está en (0, 8). Según el Teorema 11.12, el eje conjugado tiene una longitud de\(\frac{2 e d}{\sqrt{e^{2}-1}}=\frac{(2)(6)}{\sqrt{2^{2}-1}}=4 \sqrt{3}\). Armando esto con la ubicación de los vértices, conseguimos que las asíntotas de la hipérbola tengan pendientes\(\pm \frac{2}{2 \sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Dado que el centro de la hipérbola es (0, 4), las asíntotas son\(y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x+4\). Gráficamos la hipérbola a continuación.

      Screen Shot 2022-06-02 a las 3.15.40 AM.png

    A la luz de la Sección 11.6.1, el lector puede preguntarse cómo sería la forma rotada de las secciones cónicas en forma polar. Sabemos por el Ejercicio 65 en la Sección 11.5 que reemplazar\(\theta\) con\((\theta-\phi)\) en una expresión\(r=f(\theta)\) gira la gráfica de\(r=f(\theta)\) sentido antihorario por un ángulo\(\phi\). Por ejemplo, para graficar\(r=\frac{4}{1-\sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}\) todo lo que necesitamos hacer es rotar la gráfica de\(r=\frac{4}{1-\sin (\theta)}\), la cual obtuvimos en el Ejemplo 11.6.4 número 1, en sentido antihorario por\(\frac{\pi}{4}\) radianes, como se muestra a continuación.

    Screen Shot 2022-06-02 en 3.37.23 AM.png

    Utilizando rotaciones, podemos simplificar en gran medida la forma de las secciones cónicas presentadas en el Teorema 11.12, ya que cualquiera de las tres formas dadas allí se pueden obtener a partir de la cuarta rotando a través de algún múltiplo de\(\frac{\pi}{2}\). Dado que las rotaciones no afectan las longitudes, todas las fórmulas para longitudes Teorema 11.12 permanecen intactas. En el teorema a continuación, también generalizamos nuestra fórmula para que las secciones cónicas incluyan círculos centrados en el origen extendiendo el concepto de excentricidad para incluir\(e = 0\). Concluimos esta sección con el enunciado del siguiente teorema.

    Teorema 11.13

    Dadas las constantes\(\ell>0, e \geq 0\) y\(\phi\), la gráfica de la ecuación

    \(r=\frac{\ell}{1-e \cos (\theta-\phi)}\)

    es una sección cónica con excentricidad\(e\) y un foco en (0, 0).

    • Si\(e = 0\), la gráfica es un círculo centrado en (0, 0) con radio\(\ell\).
    • Si\(e \neq 0\), entonces la cónica tiene un foco en (0, 0) y la directriz contiene el punto con coordenadas polares\((-d, \phi)\) donde\(d=\frac{\ell}{e}\).
      • Si\(0 < e < 1\), la gráfica es una elipse cuyo eje mayor tiene longitud\(\frac{2 e d}{1-e^{2}}\) y cuyo eje menor tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{1-e^{2}}}\)
      • Si\(e = 1\), la gráfica es una parábola cuyo diámetro focal es\(2d\).
      • Si\(e > 1\), la gráfica es una hipérbola cuyo eje transversal tiene longitud\(\frac{2 e d}{e^{2}-1}\) y cuyo eje conjugado tiene longitud\(\frac{2 e d}{\sqrt{e^{2}-1}}\).

    11.6.3 Ejercicios

    Grafica las siguientes ecuaciones.

    1. \(x^{2}+2 x y+y^{2}-x \sqrt{2}+y \sqrt{2}-6=0\)
    2. \(7 x^{2}-4 x y \sqrt{3}+3 y^{2}-2 x-2 y \sqrt{3}-5=0\)
    3. \(5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-4 \sqrt{2} x+4 \sqrt{2} y=0\)
    4. \(x^{2}+2 \sqrt{3} x y+3 y^{2}+2 \sqrt{3} x-2 y-16=0\)
    5. \(13 x^{2}-34 x y \sqrt{3}+47 y^{2}-64=0\)
    6. \(x^{2}-2 \sqrt{3} x y-y^{2}+8=0\)
    7. \(x^{2}-4 x y+4 y^{2}-2 x \sqrt{5}-y \sqrt{5}=0\)
    8. \(8 x^{2}+12 x y+17 y^{2}-20=0\)

    Grafica las siguientes ecuaciones.

    1. \(r=\frac{2}{1-\cos (\theta)}\)
    2. \(r=\frac{3}{2+\sin (\theta)}\)
    3. \(r=\frac{3}{2-\cos (\theta)}\)
    4. \(r=\frac{2}{1+\sin (\theta)}\)
    5. \(r=\frac{4}{1+3 \cos (\theta)}\)
    6. \(r=\frac{2}{1-2 \sin (\theta)}\)
    7. \(r=\frac{2}{1+\sin \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}\)
    8. \(r=\frac{6}{3-\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\)

    La matriz\(A(\theta)=\left[\begin{array}{rr} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right]\) se llama matriz de rotación. Hemos visto esta matriz más recientemente en la prueba de utilizada en la prueba del Teorema 11.9.

    1. Mostrar la matriz del Ejemplo 8.3.3 en la Sección 8.3 no es otra que\(A\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
    2. Discuta con sus compañeros de clase cómo usar\(A(\theta)\)) para rotar puntos en el plano.
    3. Usando las identidades pares/impares para coseno y seno, show\(A(\theta)^{-1}=A(-\theta)\). Interpreta esto geométricamente.

    11.6.4 Respuestas

    1. \(x^{2}+2 x y+y^{2}-x \sqrt{2}+y \sqrt{2}-6=0\)se convierte\(\left(x^{\prime}\right)^{2}=-\left(y^{\prime}-3\right)\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{4}\).

      Screen Shot 2022-06-02 en 4.40.47 AM.png

    2. \(7 x^{2}-4 x y \sqrt{3}+3 y^{2}-2 x-2 y \sqrt{3}-5=0\)se convierte\(\frac{\left(x^{\prime}-2\right)^{2}}{9}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=1\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{3}\)

      Screen Shot 2022-06-02 a las 4.42.50 AM.png

    3. \(5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-4 \sqrt{2} x+4 \sqrt{2} y=0\)se convierte\(\left(x^{\prime}\right)^{2}+\frac{\left(y^{\prime}+2\right)^{2}}{4}=1\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{4}\).

      Screen Shot 2022-06-02 en 4.44.41 AM.png

    4. \(x^{2}+2 \sqrt{3} x y+3 y^{2}+2 \sqrt{3} x-2 y-16=0\)se convierte\(\left(x^{\prime}\right)^{2}=y^{\prime}+4\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{3}\)

      Screen Shot 2022-06-02 en 4.50.40 AM.png

    5. \(13 x^{2}-34 x y \sqrt{3}+47 y^{2}-64=0\)se convierte\(\left(y^{\prime}\right)^{2}-\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{16}=1\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{6}\).

      Screen Shot 2022-06-02 en 4.54.15 AM.png

    6. \(x^{2}-2 \sqrt{3} x y-y^{2}+8=0\)se convierte\(\frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{4}-\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{4}=1\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\frac{\pi}{3}\)

      Screen Shot 2022-06-02 a las 5.00.03 AM.png

    7. \(x^{2}-4 x y+4 y^{2}-2 x \sqrt{5}-y \sqrt{5}=0\)se convierte\(\left(y^{\prime}\right)^{2}=x\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\arctan \left(\frac{1}{2}\right)\).

      Screen Shot 2022-06-03 a las 4.39.24 PM.png

    8. \(8 x^{2}+12 x y+17 y^{2}-20=0\)se convierte\(\left(x^{\prime}\right)^{2}+\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{4}=1\) después de girar en sentido antihorario\(\theta=\arctan (2)\)

      Screen Shot 2022-06-03 en 4.41.11 PM.png

    9. \(r=\frac{2}{1-\cos (\theta)}\)es una directrix de parábola\(x = −2\), vértice (−1, 0) foco (0, 0), diámetro focal 4

      Screen Shot 2022-06-03 en 4.44.52 PM.png

    10. \(r=\frac{3}{2+\sin (\theta)}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2} \sin (\theta)}\)es una directriz elipse\(y = 3\), vértices (0, 1), (0, −3) centro (0, −2), focos (0, 0), (0, −2) longitud del eje menor\(2 \sqrt{3}\)

      Screen Shot 2022-06-03 en 4.46.10 PM.png

    11. \(r=\frac{3}{2-\cos (\theta)}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2} \cos (\theta)}\)es una elipse directrix\(x = −3\), vértices (−1, 0), (3, 0) centro (1, 0), focos (0, 0), (2, 0) longitud del eje menor\(2 \sqrt{3}\)

      Screen Shot 2022-06-03 en 4.55.20 PM.png

    12. \(r=\frac{2}{1+\sin (\theta)}\)es una directrix parábola\(y = 2\), vértice (0, 1) foco (0, 0), diámetro focal 4

      Screen Shot 2022-06-03 en 5.01.04 PM.png

    13. \(r=\frac{4}{1+3 \cos (\theta)}\)es una directriz de hipérbola\(x=\frac{4}{3}\), vértices (1, 0), (2, 0) centro\(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\), focos (0, 0), (3, 0) longitud del eje conjugado\(2 \sqrt{2}\)

      Screen Shot 2022-06-03 a 5.02.50 PM.png

    14. \(r=\frac{2}{1-2 \sin (\theta)}\)es una directriz de hipérbola\(y = −1\),\(\left(0,-\frac{2}{3}\right),(0,-2)\) centro de vértices\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\), focos\((0,0),\left(0,-\frac{8}{3}\right)\) conjugados longitud del eje\(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)

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    15. \(r=\frac{2}{1+\sin \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}\)es la parábola\(r=\frac{2}{1+\sin (\theta)}\) girada\(\phi=\frac{\pi}{3}\)

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    16. \(r=\frac{6}{3-\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\)es la elipse\(r=\frac{6}{3-\cos (\theta)}=\frac{2}{1-\frac{1}{3} \cos (\theta)}\) girada\(\phi=-\frac{\pi}{4}\)

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    Referencia

    1 ¿Te suena familiar? En la Sección 11.4, las ecuaciones\(x=r \cos (\theta)\) y\(y=r \sin (\theta)\) facilitan la conversión de puntos de coordenadas polares en coordenadas rectangulares, y facilitan la conversión de ecuaciones de coordenadas rectangulares en coordenadas polares.

    2 Podríamos, por supuesto, intercambiar los roles de\(x\) y\(x^{\prime}\),\(y\)\(y^{\prime}\) y reemplazar\(\phi\) con\(-\phi\) para conseguir\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\) en términos de\(x\) y\(y\), pero eso parece hacer trampa. La matriz A introducida aquí es revisitada en los Ejercicios.

    3 Se invita al lector a pensar\(\sin (2 \theta)=0\) geométricamente en el caso. ¿Qué pasa con los ejes en este caso?

    4 Como de costumbre, hay infinitamente muchas soluciones para\(\tan (\theta)=\frac{3}{4}\). Elegimos el ángulo agudo\(\theta=\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\). Se anima al lector a pensar por qué siempre hay al menos una respuesta aguda\(\cot (2 \theta)=\frac{A-C}{B}\) y qué significa esto geométricamente en términos de lo que estamos tratando de lograr rotando los ejes. También se anima al lector a que vigile los ángulos que satisfacen\(\tan (\theta)=-\frac{4}{3}\) en nuestra gráfica final. (Pista:\(\left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)=-1\).)

    5 Esperamos que algún día veas por qué esto funciona de la manera que lo hace.

    6 Gire\(r=e(d+r \cos (\theta))\) hacia\(r=e(d+x)\) y cuadre ambos lados para obtener\(r^{2}=e^{2}(d+x)^{2}\). Reemplace\(r^2\) con\(x^{2}+y^{2}\)\((d+x)^{2}\), amplíe, combine términos similares, complete el cuadrado\(x\) y limpie las cosas.

    7 Ya que,\(e > 1\) en este caso,\(1-e^{2}<0\). De ahí que reescribamos\(\left(1-e^{2}\right)^{2}=\left(e^{2}-1\right)^{2}\) para ayudar a simplificar las cosas más adelante.

    8 Como comprobación rápida, tenemos desde el Teorema 11.12 el eje mayor debe tener longitud\(\frac{2 e d}{1-e^{2}}=\frac{(2)(4)}{1-(1 / 3)^{2}}=9\).


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