Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

11.7: Forma polar de números complejos

  • Page ID
    119501
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En esta sección, volvemos a nuestro estudio de los números complejos que se introdujeron por primera vez en la Sección 3.4. Recordemos que un número complejo es un número de la forma\(z=a+b i\) donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria definida por\(i=\sqrt{-1}\). Al número\(a\) se le llama la parte real de\(z\), denota Re (\(z\)), mientras que al número real\(b\) se le llama la parte imaginaria de\(z\), denota Im (\(z\)). Desde Álgebra Intermedia, sabemos que si\(z = a + bi = c + di\) dónde\(a, b, c\) y\(d\) son números reales, entonces\(a = c\) y\(b = d\), que significa Re (\(z\)) e Im (\(z\)) están bien definidos. 1 Para comenzar esta sección, asociamos cada número complejo\(z = a + bi\) con el punto (\(a, b\)) en el plano de coordenadas. En este caso, el\(x\) eje -se vuelve a marcar como el eje real, que corresponde a la recta numérica real como de costumbre, y el\(y\) -eje se vuelve a marcar como el eje imaginario, que se demarca en incrementos de la unidad imaginaria\(i\). El plano determinado por estos dos ejes se denomina plano complejo.

    Screen Shot 2022-06-03 en 6.02.56 PM.png

    Dado que el par ordenado\((a, b)\) da las coordenadas rectangulares asociadas con el número complejo\(z = a + bi\), la expresión\(z = a + bi\) se llama la forma rectangular de\(z\). Por supuesto, podríamos asociarnos con la misma facilidad\(z\) con un par de coordenadas polares\((r, \theta)\). Aunque no es tan sencillo como las definiciones de Re (\(z\)) e Im (\(z\)), todavía podemos dar\(r\) y nombres\(\theta\) especiales en relación con\(z\).

    Definición 11.2. El módulo y argumento de los números complejos

    Dejar\(z = a + bi\) ser un número complejo con\(a\) = Re (\(z\)) y\(b\) = Im (\(z\)). Dejar\((r, \theta)\) ser una representación polar del punto con coordenadas rectangulares (\(a, b\)) donde\(r \geq 0\).

    • El módulo de\(z\), denotado\(|z|\), se define por\(|z| = r\).
    • El ángulo\(\theta\) es un argumento de\(z\). El conjunto de todos los argumentos de\(z\) se denota arg (\(z\)).
    • Si\(z \neq 0\) y\(-\pi<\theta \leq \pi\), entonces\(\theta\) es el argumento principal de\(z\), escrito\(\theta=\operatorname{Arg}(z)\).

    Algunos comentarios sobre la Definición 11.2 están en orden. Sabemos por la Sección 11.4 que cada punto del plano tiene infinitamente muchas representaciones de coordenadas polares, lo\((r, \theta)\) que significa que merece nuestro tiempo para asegurarnos de que las cantidades 'módulo', 'argumento' y 'argumento principal' estén bien definidas. En cuanto al módulo, si\(z = 0\) entonces el punto asociado con\(z\) es el origen. En este caso, el único\(r\) -valor que se puede usar aquí es\(r = 0\). De ahí que para\(z = 0\),\(|z| = 0\) esté bien definido. Si\(z \neq 0\), entonces el punto asociado con no\(z\) es el origen, y hay dos posibilidades para\(r\): una positiva y otra negativa. No obstante, estipulamos\(r \geq 0\) en nuestra definición así que esto fija el valor de\(|z|\) a uno y sólo un número. Así, el módulo también está bien definido en este caso. 2 Incluso con el requisito\(r \geq 0\), hay infinitamente muchos ángulos\(\theta\) que pueden ser utilizados en una representación polar de un punto\((r, \theta)\). Si\(z \neq 0\) entonces el punto en cuestión no es el origen, entonces todos estos ángulos\(\theta\) son coterminales. Dado que los ángulos coterminales están exactamente separados por\(2 \pi\) radianes, se nos garantiza que solo uno de ellos se encuentra en el intervalo\((-\pi, \pi]\), y este ángulo es lo que llamamos el argumento principal de\(z\),\(\operatorname{Arg}(z)\). De hecho, el conjunto\(\arg (z)\) de todos los argumentos de se\(z\) puede describir usando la notación set-builder como\(\arg (z)=\{\operatorname{Arg}(z)+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\}\). Tenga en cuenta que ya que\(\arg (z)\) es un conjunto, vamos\('\theta \in \arg (z)’\) a escribir para significar '\(\theta\)está en 3 el conjunto de argumentos de\(z\)'. Si\(z = 0\) entonces el punto en cuestión es el origen, que sabemos que se puede representar en coordenadas polares como\((0, \theta)\) para cualquier ángulo\(\theta\). En este caso, tenemos\(\arg (0)=(-\infty, \infty)\) y como no hay un solo valor del\(\theta\) que yace\((-\pi, \pi]\), dejamos\(\operatorname{Arg}(0)\) indefinido. 4 Es hora de un ejemplo.

    Ejemplo 11.7.1

    Para cada uno de los siguientes números complejos encontrar\(\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z),|z|, \arg (z)\) y\(\operatorname{Arg}(z)\). Parcela\(z\) en el plano complejo.

    1. \(z=\sqrt{3}-i\)
    2. \(z=-2+4 i\)
    3. \(z = 3i\)
    4. \(z = −117\)
    Solución
    1. Para\(z=\sqrt{3}-i=\sqrt{3}+(-1) i\), tenemos\(\operatorname{Re}(z)=\sqrt{3}\) y\(\operatorname{Im}(z)=-1\). Para encontrar\(|z|, \arg (z)\) y\(\operatorname{Arg}(z)\), necesitamos encontrar una representación polar\((r, \theta)\) con\(r \geq 0\) para el punto\(P(\sqrt{3},-1)\) asociado con\(z\). Sabemos\(r^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}=4\), entonces\(r=\pm 2\). Ya que requerimos\(r \geq 0\), elegimos\(r = 2\), entonces\(|z| = 2\). A continuación, encontramos un ángulo correspondiente\(\theta\). Ya que\(r > 0\) y\(P\) se encuentra en el Cuadrante IV,\(\theta\) es un ángulo Cuadrante IV. Sabemos\(\tan (\theta)=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\), así que\(\theta=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k\) para los enteros\(k\). De ahí,\(\arg (z)=\left\{-\frac{\pi}{6}+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\right\}\). De estos valores, sólo\(\theta=-\frac{\pi}{6}\) satisface el requisito de que\(-\pi<\theta \leq \pi\), de ahí\(\operatorname{Arg}(z)=-\frac{\pi}{6}\).
    2. El número complejo\(z = −2 + 4i\) tiene\(\operatorname{Re}(z)=-2, \operatorname{Im}(z)=4\), y está asociado con el punto\(P(−2, 4)\). Nuestra siguiente tarea es encontrar una representación polar para\(P\) dónde\(r \geq 0\). Correr a través de los cálculos habituales da\(r=2 \sqrt{5}\), entonces\(|z|=2 \sqrt{5}\). Para encontrar\(\theta\), obtenemos\(\tan (\theta)=-2\), y desde\(r > 0\) y\(P\) yace en el Cuadrante II, sabemos que\(\theta\) es un ángulo del Cuadrante II. Encontramos\(\theta=\pi+\arctan (-2)+2 \pi k\), o, más sucintamente\(\theta=\pi-\arctan (2)+2 \pi k\) para enteros\(k\). De ahí\(\arg (z)=\{\pi-\arctan (2)+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\}\). Sólo\(\theta=\pi-\arctan (2)\) satisface el requisito\(-\pi<\theta \leq \pi\), entonces\(\operatorname{Arg}(z)=\pi-\arctan (2)\).
    3. Reescribimos\(z = 3i as z = 0 + 3i\) para encontrar\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)=3\). El punto en el plano que corresponde\(z\) es (0, 3) y si bien podríamos pasar por los cálculos habituales para encontrar la forma polar requerida de este punto, casi podemos 'ver' la respuesta. El punto (0, 3) se encuentra a 3 unidades del origen en el\(y\) eje positivo. De ahí,\(r=|z|=3\) y\(\theta=\frac{\pi}{2}+2 \pi k\) para enteros\(k\). Obtenemos\(\arg (z)=\left\{\frac{\pi}{2}+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\right\}\) y\(\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{2}\).
    4. Como en el problema anterior, escribimos\(z = −117 = −117 + 0i\) así\(\operatorname{Re}(z)=-117\) y\(\operatorname{Im}(z)=0\). El número\(z = −117\) corresponde al punto (−117, 0), y esta es otra instancia donde podemos determinar la forma polar 'a ojo'. El punto (−117, 0) está a 117 unidades del origen a lo largo del\(x\) eje negativo. De ahí,\(r = |z| = 117\) y\(\theta=\pi+2 \pi=(2 k+1) \pi k\) para enteros\(k\). Tenemos\(\arg (z)=\{(2 k+1) \pi \mid k \text { is an integer}\}\). Sólo uno de estos valores,\(\theta=\pi\), apenas se encuentra en el intervalo\((-\pi, \pi]\) que significa y\(\operatorname{Arg}(z)=\pi\). Trazamos\(z\) junto con los otros números en este ejemplo a continuación.

      Screen Shot 2022-06-04 a las 12.30.44 PM.png

    Ahora que hemos tenido algo de práctica computando el módulo y argumento de algunos números complejos, es el momento de explorar sus propiedades. Tenemos el siguiente teorema.

    Teorema 11.14. Propiedades del Módulo

    Dejar\(z\) y\(w\) ser números complejos.

    • \(|z|\)es la distancia de\(z\) a 0 en el plano complejo
    • \(|z| \geq 0\)y\(|z| = 0\) si y solo si\(z = 0\)
    • \(|z|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}}\)
    • Regla del producto:\(|z w|=|z||w|\)
    • Regla de Poder:\(\left|z^{n}\right|=|z|^{n}\) para todos los números naturales,\(n\)
    • Regla del cociente:\(\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\), siempre y cuando\(w \neq 0\)

    Para probar las tres primeras propiedades en el Teorema 11.14, supongamos\(z = a + bi\) dónde\(a\) y\(b\) son números reales. Para determinar\(|z|\), encontramos una representación polar\((r, \theta)\) con\(r \geq 0\) para el punto\((a, b)\). De la Sección 11.4,\(r^{2}=a^{2}+b^{2}\) lo sabemos así\(r=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Ya que requerimos\(r \geq 0\), entonces debe ser eso\(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), lo que significa\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Usando la fórmula de distancia, encontramos la distancia de (0, 0) a (a, b) también es\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), estableciendo la primera propiedad. 5 Para la segunda propiedad, tenga en cuenta que ya que\(|z|\) es una distancia,\(|z| \geq 0\). Además,\(|z| = 0\) si y sólo si la distancia de\(z\) a 0 es 0, y esto último sucede si y sólo si\(z = 0\), que es lo que nos pidieron mostrar. 6 Para la tercera propiedad, observamos que desde\(a=\operatorname{Re}(z)\) y\(b=\operatorname{Im}(z), z=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}}\).

    Para probar la regla del producto, supongamos\(z = a + bi\) y\(w = c + di\) para números reales\(a, b, c\) y\(d\). Entonces\(zw = (a + bi)(c + di)\). Después de la aritmética habitual 7 obtenemos\(zw = (ac − bd) + (ad + bc)i\). Por lo tanto,

    \ (\ begin {alineado}
    |z w| &=\ sqrt {(a c-b d) ^ {2} + (a d+b c) ^ {2}} &\\
    &=\ sqrt {a^ {2} c^ {2} -2 a b c d+b^ {2} d^ {2} +a^ {2} d^ {2} +2 a b c d+b^ {2} c^ {2}} & &\ texto {Expandir}\\
    &=\ sqrt {a^ {2} c^ {2} +a^ {2} d^ {2} +b^ {2} c^ {2} +b^ {2} d^ {2}} & &\ text { Reorganizar los términos}\\
    &=\ sqrt {a^ {2}\ left (c^ {2} +d^ {2}\ right) +b^ {2}\ left (c^ {2} +d^ {2}\ right)} &\ text {Factor}\\
    &=\ sqrt {\ left (a^ {2} +b^ {2}\ right)\ left (^ {2} +d^ {2}\ derecha)} & &\ text {Factor}\\
    &=\ sqrt {a^ {2} +b^ {2}}\ sqrt {c^ {2} +d^ {2}} & &\ text {Regla de producto para radicales}\\
    &=|z||w| & &\ text {Definición de} |z|\ text {y} |w|
    \ end {alineado}\)

    De ahí\(|zw| = |z||w|\) que se requiera.

    Ahora que se ha establecido la Regla del Producto, la utilizamos y el Principio de Inducción Matemática 8 para probar la regla de poder. \(P(n)\)Déjese ser la declaración\(\left|z^{n}\right|=|z|^{n}\). Entonces\(P(1)\) es cierto desde entonces\(\left|z^{1}\right|=|z|=|z|^{1}\). A continuación, asumir que\(P(k)\) es cierto. Es decir, asuma\(\left|z^{k}\right|=|z|^{k}\) para algunos\(k \geq 1\). Nuestro trabajo es demostrar que eso\(P(k + 1)\) es cierto, es decir\(\left|z^{k+1}\right|=|z|^{k+1}\). Como es habitual con las pruebas de inducción, primero intentamos reducir el problema de tal manera que se utilice la Hipótesis de Inducción.

    \ [\ begin {array} {rll}
    \ izquierda|z^ {k+1}\ derecha| & =\ izquierda|z^ {k} z\ derecha|\ quad &\ text {Propiedades de los Exponentes}\\
    & =\ izquierda|z^ {k}\ derecha| z\ mid &\ text {Regla del producto}\\
    & =|z|z|^ {k} |z| &\ texto {Hipótesis de inducción}\\
    & =|z|^ { k+1} &\ text {Propiedades de los Exponentes}
    \ end {array}\ nonumber\]

    De ahí,\(P(k + 1)\) es cierto, lo que significa que\(\left|z^{n}\right|=|z|^{n}\) es cierto para todos los números naturales\(n\).

    Al igual que la Regla de Poder, la Regla del Cociente también se puede establecer con la ayuda de la Regla del Producto.

    Asumimos\(w \neq 0\) (así\(|w| \neq 0\)) y obtenemos

    \ [\ begin {alineado}
    \ izquierda|\ frac {z} {w}\ derecha| &=\ izquierda| (z)\ izquierda (\ frac {1} {w}\ derecha)\ derecha|\\
    &=|z|\ izquierda|\ frac {1} {w}\ derecha|\ quad\ text {Regla del producto.}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    De ahí que la prueba realmente se reduce a mostrar\(\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|}\). Esto se deja como ejercicio.

    A continuación, caracterizamos el argumento de un número complejo en términos de sus partes reales e imaginarias.

    Teorema 11.15. Propiedades del Argumento

    Dejar\(z\) ser un número complejo.

    • Si\(\operatorname{Re}(z) \neq 0\) y\(\theta \in \arg (z)\), entonces\(\tan (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\).
    • Si\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)>0\), entonces\(\arg (z)=\left\{\frac{\pi}{2}+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\right\}\).
    • Si\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)<0\), entonces\(\arg (z)=\left\{-\frac{\pi}{2}+2 \pi k \mid k \text { is an integer }\right\}\).
    • Si\(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z)=0\), entonces\(z = 0\) y\(\arg (z)=(-\infty, \infty)\).

    Para probar el Teorema 11.15, supongamos\(z = a+bi\) para números reales\(a\) y\(b\). Por definición,\(a=\operatorname{Re}(z)\) y\(b=\operatorname{Im}(z)\), así el punto asociado con\(z\) es\((a, b)=(\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z))\). De la Sección 11.4, sabemos que si\((r, \theta)\) es una representación polar para\((\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z))\), entonces\(\tan (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\), proporcionada\(\operatorname{Re}(z) \neq 0\). Si\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)>0\), entonces\(z\) yace sobre el eje imaginario positivo. Ya que tomamos r > 0, tenemos que\(\theta\) es coterminal con\(\frac{\pi}{2}\), y el resultado sigue. Si\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)<0\), entonces\(z\) se encuentra en el eje imaginario negativo, y un argumento similar muestra\(\theta\) que es coterminal con\(-\frac{\pi}{2}\). La última propiedad en el teorema ya se discutió en los comentarios siguientes a la Definición 11.2.

    Nuestro siguiente objetivo es casar completamente la Geometría y el Álgebra de los números complejos. Para ello, considere la siguiente figura.

    Screen Shot 2022-06-04 en 1.25.30 PM.png

    Sabemos por el Teorema 11.7 que\(a=r \cos (\theta)\) y\(b=r \sin (\theta)\). Haciendo estas sustituciones para\(a\) y\(b\) da\(z=a+b i=r \cos (\theta)+r \sin (\theta) i=r[\cos (\theta)+i \sin (\theta)]\). La expresión '\(\cos (\theta)+i \sin (\theta)\)' se abrevia\(\operatorname{cis}(\theta)\) para que podamos escribir\(z=r \operatorname{cis}(\theta)\). Desde\(r=|z|\) y\(\theta \in \arg (z)\), obtenemos

    Definición 11.3. Una forma polar de un número complejo

    Supongamos que\(z\) es un número complejo y\(\theta \in \arg (z)\). La expresión:

    \(|z| \operatorname{cis}(\theta)=|z|[\cos (\theta)+i \sin (\theta)]\)

    se llama una forma polar para\(z\).

    Ya que hay infinitamente muchas opciones para\(\theta \in \arg (z)\), hay infinitamente muchas formas polares para\(z\), así que usamos el artículo indefinido 'a' en la Definición 11.3. Es hora de dar un ejemplo.

    Ejemplo 11.7.2
    1. Encuentra la forma rectangular de los siguientes números complejos. Encontrar\(\operatorname{Re}(z)\) y\(\operatorname{Im}(z)\).
      1. \(z=4 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\)
      2. \(z=2 \operatorname{cis}\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\)
      3. \(z=3 \operatorname{cis}(0)\)
      4. \(z=\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
    2. Utilice los resultados del Ejemplo 11.7.1 para encontrar una forma polar de los siguientes números complejos.
      1. \(z=\sqrt{3}-i\)
      2. \(z=-2+4 i\)
      3. \(z =i\)
      4. \(z = −117\)
    Solución
    1. La clave de este problema es escribir\(\operatorname{cis}(\theta)\) como\(\cos (\theta)+i \sin (\theta)\).
      1. Por definición,\(z=4 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=4\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]\). Después de algunas simplificaciones, obtenemos\(z=-2+2 i \sqrt{3}\), así que eso\(\operatorname{Re}(z)=-2\) y\(\operatorname{Im}(z)=2 \sqrt{3}\).
      2. Ampliando, obtenemos\(z=2 \operatorname{cis}\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)=2\left[\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\right]\). A partir de esto, nos encontramos\(z=-\sqrt{2}-i \sqrt{2}\), así\(\operatorname{Re}(z)=-\sqrt{2}=\operatorname{Im}(z)\).
      3. Obtenemos\(z=3 \operatorname{cis}(0)=3[\cos (0)+i \sin (0)]=3\). Escribiendo\(3 = 3 + 0i\), obtenemos\(\operatorname{Re}(z)=3\) y\(\operatorname{Im}(z)=0\), lo cual tiene sentido viendo como 3 es un número real.
      4. Por último, tenemos\(z=\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=i\). Ya que\(i = 0 + 1i\), obtenemos\(\operatorname{Re}(z)=0\) y\(\operatorname{Im}(z)=1\). Dado que\(i\) se llama la 'unidad imaginaria', estas respuestas tienen sentido directo.
    2. Para escribir una forma polar de un número complejo\(z\), necesitamos dos piezas de información: el módulo\(|z|\) y un argumento (no necesariamente el argumento principal) de\(z\). Desvergonzadamente minamos nuestra solución al Ejemplo 11.7.1 para encontrar lo que necesitamos.
      1. Para\(z=\sqrt{3}-i,|z|=2\) y\(\theta=-\frac{\pi}{6}\), entonces\(z=2 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{6}\right)\). Podemos verificar nuestra respuesta convirtiéndola de nuevo a forma rectangular para ver que se simplifica a\(z=\sqrt{3}-i\).
      2. Para\(z=-2+4 i,|z|=2 \sqrt{5}\) y\(\theta=\pi-\arctan (2)\). De ahí,\(z=2 \sqrt{5} \operatorname{cis}(\pi-\arctan (2))\). Es un buen ejercicio para demostrar realmente que esta forma polar se reduce a\(z=-2+4 i\).
      3. Para\(z=3 i,|z|=3\) y\(\theta=\frac{\pi}{2}\). En este caso,\(z=3 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)\). Esto se puede verificar geométricamente. Cabeza 3 unidades de 0 a lo largo del eje real positivo. Rotación de\(\frac{\pi}{2}\) radianes en sentido antihorario le aterriza exactamente 3 unidades por encima de 0 en el eje imaginario en\(z=3i\).
      4. Por último, pero no menos importante, para\(z=-117,|z|=117\) y\(\theta=\pi\). Obtenemos\(z=117 \operatorname{cis}(\pi)\). Al igual que con el problema anterior, nuestra respuesta es fácilmente verificada geométricamente.

    El siguiente teorema resume las ventajas de trabajar con números complejos en forma polar.

    Teorema 11.16. Productos, Poderes y Cocientes Números Complejos en Forma Polar

    Supongamos\(z\) y\(w\) son números complejos con formas polares\(z=|z| \operatorname{cis}(\alpha)\) y\(w=|w| \operatorname{cis}(\beta)\). Entonces

    • Regla del producto:\(z w=|z||w| \operatorname{cis}(\alpha+\beta)\)
    • Regla de Poder (Teorema de Demoivre):\(z^{n}=|z|^{n} \operatorname{cis}(n \theta)\) por cada número natural\(n\)
    • Regla del cociente:\(\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|} \operatorname{cis}(\alpha-\beta)\), siempre y cuando\(|w| \neq 0\)

    La prueba del Teorema 11.16 requiere de una sana mezcla de definición, aritmética e identidades. Primero comenzamos con la regla del producto.

    \ [\ begin {alineado}
    z w &= [|z|\ nombreoperador {cis} (\ alpha)] [|w|\ nombreoperador {cis} (\ beta)]\\
    &=|z||w| [\ cos (\ alpha) +i\ sin (\ alpha)] [\ cos (\ beta) +i\ sin (\ beta)]
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Ahora nos centramos en la cantidad entre paréntesis en el lado derecho de la ecuación.

    \ [\ begin {alineado}
    {[\ cos (\ alpha) +i\ sin (\ alpha)] [\ cos (\ beta) +i\ sin (\ beta)] =} &\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) +i\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) &\\
    &+i\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +i^ {2}\ sin (\ alfa)\ sin (\ beta) &\\
    =&\ cos (\ alfa)\ cos (\ beta) +i^ {2} \ sin (\ alpha)\ sin (\ beta) &\ text {Reordenando términos}\\
    &+i\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +i\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) &\
    =& (\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta)\ sin (\ beta)) &\ text {Desde} i^ {2} =-1\\
    &+i (\ sin (\ alfa)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)) & &\ text {Factor de salida} i\\
    =&\ cos (\ alpha+\ beta) +i\ sin (\ alpha+\ beta) &\ text {Suma identidades}\\
    =&\ nombre del operador {cis} (\ alpha+\ beta) &&\ text {Definición de 'cis'}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Armando esto con nuestro trabajo anterior, obtenemos\(z w=|z||w| \operatorname{cis}(\alpha+\beta)\), según sea necesario.

    Avanzando a lo largo, apuntamos a la Regla del Poder, más conocida como el Teorema de DemoIVRE. 9 Se procede por inducción en\(n\). Que\(P(n)\) sea la sentencia\(z^{n}=|z|^{n} \operatorname{cis}(n \theta)\). Entonces\(P(1)\) es cierto, ya que\(z^{1}=z=|z| \operatorname{cis}(\theta)=|z|^{1} \operatorname{cis}(1 \cdot \theta)\). Ahora asumimos que\(P(k)\) es cierto, es decir, asumimos\(z^{k}=|z|^{k} \operatorname{cis}(k \theta)\) para algunos\(k \geq 1\). Nuestro objetivo es demostrar que\(P(k + 1)\) es verdad, o eso\(z^{k+1}=|z|^{k+1} \operatorname{cis}((k+1) \theta)\). Tenemos

    \ [\ begin {aligned}
    z^ {k+1} &=z^ {k} z & &\ text {Propiedades de los Exponentes}\\
    &=\ left (|z|^ {k}\ operatorname {cis} (k\ theta)\ right) (|z|\ operatorname {cis} (\ theta)) &\ text {Hipótesis de inducción}\\
    &=\ left (z|^ {k} |z|\ derecha)\ nombreoperador { cis} (k\ theta+\ theta) &\ text {Regla del producto}\\
    &=|z|^ {k+1}\ nombreoperador {cis} ((k+1)\ theta) &
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    De ahí, asumiendo que\(P(k)\) es verdad, tenemos que eso\(P(k + 1)\) es cierto, así por el Principio de Inducción Matemática,\(z^{n}=|z|^{n} \operatorname{cis}(n \theta)\) para todos los números naturales\(n\).

    La última propiedad en el Teorema 11.16 para probar es la regla del cociente. Suponiendo\(|w| \neq 0\) que tenemos

    \ [\ begin {alineado}
    \ frac {z} {w} &=\ frac {|z|\ nombreoperador {cis} (\ alpha)} {|w|\ nombreoperador {cis} (\ beta)}\\
    &=\ izquierda (\ frac {|z|} {|w|}\ derecha)\ frac {\ cos (\ alfa) +i\ sin (\ alfa)} {\ cos (\ beta) +i\ sin (\ beta)}
    \ fin {alineado}\ nonumber\]

    A continuación, multiplicamos tanto el numerador como el denominador del lado derecho por el\((\cos (\beta)-i \sin (\beta))\) cual es el complejo conjugado de\((\cos (\beta)+i \sin (\beta))\) para obtener

    \[\frac{z}{w}=\left(\frac{|z|}{|w|}\right) \frac{\cos (\alpha)+i \sin (\alpha)}{\cos (\beta)+i \sin (\beta)} \cdot \frac{\cos (\beta)-i \sin (\beta)}{\cos (\beta)-i \sin (\beta)}\nonumber\]

    Si dejamos que el numerador sea\(N=[\cos (\alpha)+i \sin (\alpha)][\cos (\beta)-i \sin (\beta)]\) y simplificamos obtenemos

    \ [\ begin {alineado}
    N &= [\ cos (\ alpha) +i\ sin (\ alpha)] [\ cos (\ beta) -i\ sin (\ beta)] & &\\
    &=\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) -i\ cos (\ alpha)\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) +i\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) -i^ {2} sin\ (\ alpha)\ sin (\ beta) & &\ text {Expandir}\\
    &= [\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta)] +i [\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)] &\ text {Reorganizar y Factor}\\
    &=\ cos (\ alpha-\ beta) +i\ sin (\ alpha-\ beta) &\ text {Diferencia Identidades}\\
    &=\ nombreoperador {cis} (\ alfa-\ beta) & &\ text {Definición de 'cis'}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Si llamamos al denominador\(D\) entonces obtenemos

    \ [\ begin {alineado}
    D &= [\ cos (\ beta) +i\ sin (\ beta)] [\ cos (\ beta) -i\ sin (\ beta)] &\\
    &=\ cos ^ {2} (\ beta) -i\ cos (\ beta)\ sin (\ beta) +i\ cos (\ beta)\ sin (\ beta) -i^ {2}\ sin ^ {2}\ sin ^ {2} (\ beta) &\ texto {Expandir}\\
    &=\ cos ^ {2} (\ beta) -i^ {2}\ sin ^ {2} (\ beta) & &\ text {Simplificar}\\
    &=\ cos ^ {2} (\ beta) +\ sin ^ {2} (\ beta) & &\ text {De nuevo,} i^ {2} =-1\\
    &=1 & &\ text {Identidad pitagórica}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Poniéndolo todo junto, obtenemos

    \ [\ begin {alineado}
    \ frac {z} {w} &=\ left (\ frac {|z|} {|w|}\ derecha)\ frac {\ cos (\ alpha) +i\ sin (\ alpha)} {\ cos (\ beta) +i\ sin (\ beta)}\ cdot\ frac {\ cos (\ beta) -i\ sin (\ beta)}\ cos (\ beta) -i\ sin (\ beta)}\\
    &=\ izquierda (\ frac {|z|} {|w|}\ derecha)\ frac {\ nombre del operador {cis} (\ alfa-\ beta)} {1}\\
    &=\ frac {|z|} {|w|}\ nombreoperador {cis} (\ alfa-\ beta)
    \ fin {alineado}\ nonumber\]

    y ya terminamos. El siguiente ejemplo hace buen uso del Teorema 11.16.

    Ejemplo 11.7.3

    Dejar\(z=2 \sqrt{3}+2 i\) y\(w=-1+i \sqrt{3}\). Utilice el Teorema 11.16 para encontrar lo siguiente.

    1. \(zw\)
    2. \(w^{5}\)
    3. \(\frac{z}{w}\)

    Escribe tus respuestas finales en forma rectangular.

    Solución

    Para poder utilizar el Teorema 11.16, necesitamos escribir z y w en forma polar. Para\(z=2 \sqrt{3}+2 i\), encontramos\(|z|=\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{16}=4\). Si\(\theta \in \arg (z)\), sabemos\(\tan (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}=\frac{2}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Ya que\(z\) se encuentra en el Cuadrante I, tenemos\(\theta=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\) para enteros\(k\). De ahí,\(z=4 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)\). Para\(w=-1+i \sqrt{3}\), tenemos\(|w|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\). Para un argumento\(\theta\) de\(w\), tenemos\(\tan (\theta)=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}\). Ya que\(w\) se encuentra en el Cuadrante II,\(\theta=\frac{2 \pi}{3}+2 \pi k\) para enteros\(k\) y\(w=2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\). Ya podemos proceder.

    1. Obtenemos\(z w=\left(4 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=8 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=8 \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=8\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right]\).
    2. Utilizamos el teorema de Demoivre que yeilds\(w^{5}=\left[2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]^{5}=2^{5} \operatorname{cis}\left(5 \cdot \frac{2 \pi}{3}\right)=32 \operatorname{cis}\left(\frac{10 \pi}{3}\right)\). Ya que\(\frac{10 \pi}{3}\) es coterminal con\(\frac{4 \pi}{3}\), obtenemos\(w^{5}=32\left[\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right]=-16-16 i \sqrt{3}\).
    3. Por último, pero no menos importante, tenemos\(\frac{z}{w}=\frac{4 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)}=\frac{4}{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{2 \pi}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\). Dado que\(-\frac{\pi}{2}\) es un ángulo cuadrangular, podemos 'ver' la forma rectangular desplazando 2 unidades a lo largo del eje real positivo, luego rotando\(\frac{\pi}{2}\) radianes en el sentido de las agujas del reloj para llegar al punto 2 unidades por debajo de 0 en el eje imaginario. El largo y corto de ello es eso\(\frac{z}{w}=-2 i\).

    Algunas observaciones están en orden. Primero, es posible que el lector no se venda usando la forma polar de números complejos para multiplicar números complejos, especialmente si no se dan en forma polar para empezar. En efecto, se necesitaba mucho trabajo para convertir los números\(z\) y\(w\) en el Ejemplo 11.7.3 en forma polar, computar su producto y volver a convertir a forma rectangular —ciertamente más trabajo del que se requiere a\(z w=(2 \sqrt{3}+2 i)(-1+i \sqrt{3})\) la antigua usanza. No obstante, el Teorema 11.16 paga enormes dividendos a la hora de calcular potencias de números complejos. Consideremos cómo calculamos\(w^{5}\) anteriormente y comparamos eso con el uso del Teorema Binomial, Teorema 9.4, para lograr la misma hazaña expandiéndose\((-1+i \sqrt{3})^{5}\). La división es complicada en el mejor de los tiempos, y nos ahorramos mucho tiempo y esfuerzo usando el Teorema 11.16 para encontrar y simplificar el\(\frac{z}{w}\) uso de sus formas polares en lugar de comenzar con\(\frac{2 \sqrt{3}+2 i}{-1+i \sqrt{3}}\), racionalizar el denominador, y así sucesivamente.

    Hay razón geométrica para estudiar estas formas polares y quedaríamos abandonados en nuestros deberes si no mencionáramos la Geometría oculta en el Teorema 11.16. Tome la regla del producto, Si\(z=|z| \operatorname{cis}(\alpha)\) y\(w=|w| \operatorname{cis}(\beta)\), la fórmula se\(z w=|z||w| \operatorname{cis}(\alpha+\beta)\) puede ver geométricamente como un proceso de dos pasos. La multiplicación\(|z|\) por\(|w|\) puede interpretarse como magnificar 10 la distancia\(|z|\) de\(z\) a 0, por el factor\(|w|\). Agregar el argumento de\(w\) al argumento de se\(z\) puede interpretar geométricamente como una rotación de\(\beta\) radianes en sentido antihorario. 11 Centrándonos en\(z\) y\(w\) desde el Ejemplo 11.7.3, podemos llegar al producto\(zw\) trazando\(z\), duplicando su distancia desde 0 (desde\(|w| = 2\)), y rotando\(\frac{2 \pi}{3}\) radianes en sentido antihorario. La secuencia de diagramas a continuación intenta describir este proceso geométricamente.

    Screen Shot 2022-06-06 en 5.01.16 PM.png

    También podemos visualizar la división de manera similar. Aquí, la fórmula\(\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|} \operatorname{cis}(\alpha-\beta)\) puede interpretarse como reducir 12 la distancia de 0 a\(z\) por el factor\(|w|\), seguido por una rotación de\(\beta\) radianes en sentido horario 13. En el caso del Ejemplo 11.7.3\(z\) y\(w\) del Ejemplo 11.7.3, llegamos primero\(\frac{z}{w}\) reduciendo a la mitad la distancia de 0 a\(z\), luego rotando\(\frac{2 \pi}{3}\) radianes en sentido horario.

    Screen Shot 2022-06-06 at 5.05.03 PM.png

    Nuestro último objetivo de la sección es revertir el teorema de Demoivre para extraer raíces de números complejos.

    Definición 11.4

    Dejar\(z\) y\(w\) ser números complejos. Si hay un número natural\(n\) tal que\(w^{n}=z\), entonces\(w\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz de\(z\).

    A diferencia de la Definición 5.4 en la Sección 5.3, no especificamos una\(n^{\text {th }}\) raíz prinicpal particular, de ahí el uso del artículo indefinido 'an' como en 'una\(n^{\text {th }}\) raíz de\(z\) '. Usando esta definición, tanto 4 como - 4 son raíces cuadradas de 16, mientras que\(\sqrt{16}\) significa la raíz cuadrada principal de 16 como en\(\sqrt{16}=4\). Supongamos que deseamos encontrar todas las terceras raíces complejas (cubo) de 8. Álgebraicamente, estamos tratando de resolver\(w^{3}=8\). Sabemos que solo hay una solución real a esta ecuación, a saber\(w=\sqrt[3]{8}=2\), pero si nos tomamos el tiempo para reescribir esta ecuación como\(w^{3}-8=0\) y factor, obtenemos\((w-2)\left(w^{2}+2 w+4\right)=0\). El factor cuadrático da dos raíces cubicas más\(w=-1 \pm i \sqrt{3}\), para un total de tres raíces cubicas de 8. De acuerdo con el Teorema 3.14, dado que el grado de\(p(w)=w^{3}-8\) es tres, hay tres ceros complejos, contando multiplicidad. Como hemos encontrado tres ceros distintos, sabemos que estos son todos ceros, así que hay exactamente tres raíces cubitas distintas de 8. Resolvamos ahora este mismo problema utilizando la maquinaria desarrollada en esta sección. Para ello, expresamos\(z = 8\) en forma polar. Ya que\(z = 8\) se encuentra a 8 unidades de distancia en el eje real positivo, obtenemos\(z=8 \operatorname{cis}(0)\). Si dejamos\(w=|w| \operatorname{cis}(\alpha)\) ser una forma polar de\(w\), la ecuación\(w^{3}=8\) se convierte en

    \ [\ begin {aligned}
    w^ {3} &=8\\
    (|w|\ operatorname {cis} (\ alpha)) ^ {3} &=8\ operatorname {cis} (0)\\
    |w|^ {3}\ operatorname {cis} (3\ alpha) &=8\ operatorname {cis} (0) quad\ text {teoreore's demoivre m}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    El número complejo del lado izquierdo de la ecuación corresponde al punto con coordenada polar\(\left(|w|^{3}, 3 \alpha\right)\), mientras que el número complejo del lado derecho corresponde al punto con coordenadas polares (8, 0). Ya que\(|w| \geq 0\), así es\(|w|^{3}\), que medias\(\left(|w|^{3}, 3 \alpha\right)\) y (8, 0) son dos representaciones polares correspondientes al mismo número complejo, ambas con\(r\) valores positivos. De la Sección 11.4, sabemos\(|w|^{3}=8\) y\(3 \alpha=0+2 \pi k\) para enteros\(k\). Ya que\(|w|\) es un número real, lo resolvemos\(|w|^{3}=8\) extrayendo la raíz cubo principal para obtener\(|w|=\sqrt[3]{8}=2\). En cuanto a\(\alpha\), obtenemos\(\alpha=\frac{2 \pi k}{3}\) para enteros\(k\). Esto produce tres puntos distintos con coordenadas polares correspondientes a\(k = 0\),\(1\) y\(2\): específicamente\((2, 0)\),\(\left(2, \frac{2 \pi}{3}\right)\) y\(\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right)\). Estos corresponden a los números complejos\(w_{0}=2 \operatorname{cis}(0), w_{1}=2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) \text { and } w_{2}=2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\), respectivamente. Escribirlos en forma rectangular rinde\(w_{0}=2, w_{1}=-1+i \sqrt{3} \text { and } w_{2}=-1-i \sqrt{3}\). Si bien este proceso parece un poco más involucrado que nuestro enfoque anterior de factorización, este procedimiento puede generalizarse para encontrar, por ejemplo, todas las quintas raíces de 32. (¡Intenta usar las técnicas del Capítulo 3 sobre eso!) Si empezamos con un número complejo genérico en forma polar\(z=|z| \operatorname{cis}(\theta)\) y resolvemos\(w^{n}=z\) de la misma manera que antes, llegamos al siguiente teorema.

    Teorema 11.17. El\(n^{\text {th }}\) roots of a Complex Number

    Dejar\(z \neq 0\) ser un número complejo con forma polar\(z=r \operatorname{cis}(\theta)\). Para cada número natural\(n\),\(z\) tiene\(n^{\text {th }}\) raíces\(n\) distintas, que denotamos por\(w_{0}, w_{1}, \ldots, w_{n-1}\), y están dadas por la fórmula

    \[w_{k}=\sqrt[n]{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 \pi}{n} k\right)\nonumber\]

    La prueba del Teorema 11.17 se divide en dos partes: primero, mostrando que cada una\(w_{k}\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz, y segunda, mostrando que el conjunto\(\left\{w_{k} \mid k=0,1, \ldots,(n-1)\right\}\) consta de\(n\) diferentes números complejos. Para mostrar\(w_{k}\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz de\(z\), utilizamos el teorema de Demoivre para mostrar\(\left(w_{k}\right)^{n}=z\).

    \ [\ comenzar {alineado}
    \ izquierda (w_ {k}\ derecha) ^ {n} &=\ izquierda (\ sqrt [n] {r}\ nombre del operador {cis}\ izquierda (\ frac {\ theta} {n} {n} +\ frac {2\ pi} {n} k\ derecha)\ derecha) ^ {n}\\
    & =(\ sqrt [n] {r}) ^ {n}\ nombreoperador {cis}\ izquierda (n\ cdot\ izquierda [\ frac {\ theta} {n} +\ frac {2\ pi} {n} k\ derecha]\ derecha)\ quad\ texto {DemoIvre's Teorema}\\
    &=r\ nombreoperador {cis} (\ theta+2\ pi k)
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Ya que\(k\) es un número entero,\(\cos (\theta+2 \pi k)=\cos (\theta)\) y\(\sin (\theta+2 \pi k)=\sin (\theta)\). De ahí que se deduce que\(\operatorname{cis}(\theta+2 \pi k)=\operatorname{cis}(\theta)\), así\(\left(w_{k}\right)^{n}=r \operatorname{cis}(\theta)=z\), según se requiera. Para demostrar que la fórmula en el Teorema 11.17 genera números\(n\) distintos, asumimos\(n \geq 2\) (o de lo contrario no hay nada que probar) y señalar que el módulo de cada uno de los\(w_{k}\) es el mismo, a saber\(\sqrt[n]{r}\). Por lo tanto, la única forma en que dos de estas formas polares corresponden al mismo número es si sus argumentos son coterminales, es decir, si los argumentos difieren en un múltiplo entero de\(2 \pi\). Supongamos\(k\) y\(j\) son números enteros entre 0 y\((n−1)\), inclusive, con\(k \neq j\). Ya que\(k\) y\(j\) son diferentes, supongamos por el bien del argumento que\(k > j\). Entonces\(\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 \pi}{n} k\right)-\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 \pi}{n} j\right)=2 \pi\left(\frac{k-j}{n}\right)\). Para que esto sea un múltiplo entero de\(2 \pi\),\((k − j)\) debe ser un múltiplo de\(n\). Pero debido a las restricciones sobre\(k\) y\(j\),\(0 < k − j ≤ n − 1\). (Piense esto a través de.) De ahí,\((k − j)\) es un número positivo menor que\(n\), por lo que no puede ser un múltiplo de n. Como resultado,\(w_{k}\) y\(w_{j}\) son diferentes números complejos, y ya estamos hechos. Por Teorema 3.14, sabemos que hay a lo\(n\) sumo soluciones distintas para\(w^{n}=z\), y acabamos de encontrarlas todas. Ilustramos el Teorema 11.17 en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 11.7.4

    Utilice el Teorema 11.17 para encontrar lo siguiente:

    1. ambas raíces cuadradas de\(z=-2+2 i \sqrt{3}\)
    2. las cuatro cuartas raíces\(z=-16\)
    3. las tres raíces cubitas de\(z=\sqrt{2}+i \sqrt{2}\)
    4. las cinco quintas raíces de\(z=1\).
    Solución
    1. Empezamos por escribir\(z=-2+2 i \sqrt{3}=4 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\). Para utilizar el Teorema 11.17, identificamos\(r=4\),\(\theta=\frac{2 \pi}{3}\) y\(n=3\). Sabemos que\(z\) tiene dos raíces cuadradas, y de acuerdo con la notación en el Teorema 11.17, los llamaremos\(w_{0}\) y\(w_{1}\). Obtenemos\(w_{0}=\sqrt{4} \operatorname{cis}\left(\frac{(2 \pi / 3)}{2}+\frac{2 \pi}{2}(0)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)\) y\(w_{1}=\sqrt{4} \operatorname{cis}\left(\frac{(2 \pi / 3)}{2}+\frac{2 \pi}{2}(1)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\). En forma rectangular, las dos raíces cuadradas de\(z\) son\(w_{0}=1+i \sqrt{3}\) y\(w_{1}=-1-i \sqrt{3}\). Podemos verificar nuestras respuestas al cuadrarlas y demostrar que obtenemos\(z=-2+2 i \sqrt{3}\).
    2. Procediendo como arriba, obtenemos\(z=-16=16 \operatorname{cis}(\pi)\). Con\(r=16\),\(\theta=\pi\) y\(n = 4\), obtenemos las cuatro cuartas raíces de\(z\) ser\(w_{0}=\sqrt[4]{16} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{4}(0)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\),\(w_{1}=\sqrt[4]{16} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{4}(1)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{4} \right)\),\(w_{2}=\sqrt[4]{16} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{4}(2)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{4}\right)\) y\(w_{3}=\sqrt[4]{16} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{4}(3)\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\). La conversión de estos a forma rectangular da\(w_{0}=\sqrt{2}+i \sqrt{2}, w_{1}=-\sqrt{2}+i \sqrt{2}, w_{2}=-\sqrt{2}-i \sqrt{2}\) y\(w_{3}=\sqrt{2}-i \sqrt{2}\).
    3. Para\(z=\sqrt{2}+i \sqrt{2}\), tenemos\(z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\). Con\(r=2\),\(\theta=\frac{\pi}{4}\) y\(n = 3\) los cálculos habituales rinden\(w_{0}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right), w_{1}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{9 \pi}{12}\right)=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\) y\(w_{2}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{17 \pi}{12}\right)\). Si fuéramos a convertir estos a forma rectangular, necesitaríamos usar ya sea las Identidades Suma y Diferencia en el Teorema 10.16 o las Identidades de Medio Ángulo en el Teorema 10.19 para evaluar\(w_{0}\) y\(w_{2}\). Como no se nos dice explícitamente que lo hagamos, dejamos esto como un ejercicio bueno, pero desordenado.
    4. Para encontrar las cinco quintas raíces de 1, escribimos\(1=1 \operatorname{cis}(0)\). Tenemos\(r=1, \theta=0 \text { and } n=5\). Ya que\(\sqrt[5]{1}=1\), las raíces son\(w_{0}=\operatorname{cis}(0)=1, w_{1}=\operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{5}\right), w_{2}=\operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{5}\right), w_{3}=\operatorname{cis}\left(\frac{6 \pi}{5}\right)\) y\(w_{4}=\operatorname{cis}\left(\frac{8 \pi}{5}\right)\). La situación aquí es aún más grave que en el ejemplo anterior, ya que no hemos desarrollado ninguna identidad que nos ayude a determinar el coseno o seno de\(\frac{2 \pi}{5}\). En esta etapa, podríamos aproximar nuestras respuestas usando una calculadora, y dejamos esto como un ejercicio.

    Ahora que hemos hecho algunos cálculos usando el Teorema 11.17, damos un paso atrás para mirar las cosas geométricamente. Esencialmente, el Teorema 11.17 dice que para encontrar las\(n^{\text {th }}\) raíces de un número complejo, primero tomamos la\(n^{\text {th }}\) raíz del módulo y dividimos el argumento por\(n\). Esto da la primera raíz\(w_{0}\). Cada raíz sucesiva se encuentra agregando\(\frac{2 \pi}{n}\) al argumento, lo que equivale a rotar\(w_{0}\) por\(\frac{2 \pi}{n}\) radianes. Esto da como resultado\(n\) raíces, espaciadas por igual alrededor del plano complejo. Como ejemplo de esto, trazamos nuestras respuestas al número 2 en el Ejemplo 11.7.4 a continuación.

    Screen Shot 2022-06-07 a las 4.12.45 PM.png

    Solo hemos vislumbrado la belleza de los números complejos en esta sección. El plano complejo es sin duda uno de los constructos matemáticos más importantes jamás concebidos. Junto con Cálculo, es el lugar para aplicaciones de Ciencia e Ingeniería increíblemente importantes. 14 Por ahora, los siguientes ejercicios tendrán que ser suficientes.

    11.7.1 Ejercicios

    En los Ejercicios 1 - 20, encontrar una representación polar para el número complejo\(z\) y luego identificar\(\operatorname{Re}(z)\),\(\operatorname{Im}(z),|z|, \arg (z)\) y\(\operatorname{Arg}(z)\).

    1. \(z=9+9 i\)
    2. \(z=5+5 i \sqrt{3}\)
    3. \(z = 6i\)
    4. \(z=-3 \sqrt{2}+3 i \sqrt{2}\)
    5. \(z=-6 \sqrt{3}+6 i\)
    6. \(z = −2\)
    7. \(z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\)
    8. \(z = −3 − 3i\)
    9. \(z = −5i\)
    10. \(z=2 \sqrt{2}-2 i \sqrt{2}\)
    11. \(z = 6\)
    12. \(z=i \sqrt[3]{7}\)
    13. \(z = 3 + 4i\)
    14. \(z=\sqrt{2}+i\)
    15. \(z = −7 + 24i\)
    16. \(z = −2 + 6i\)
    17. \(z = −12 − 5i\)
    18. \(z = −5 − 2i\)
    19. \(z = 4 − 2i\)
    20. \(z = 1 − 3i\)

    En Ejercicios 21 - 40, encuentra la forma rectangular del número complejo dado. Utilice las identidades que sean necesarias para encontrar los valores exactos.

    1. \(z=6 \operatorname{cis}(0)\)
    2. \(z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
    3. \(z=7 \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
    4. \(z=3 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
    5. \(z=4 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\)
    6. \(z=\sqrt{6} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\)
    7. \(z=9 \operatorname{cis}(\pi)\)
    8. \(z=3 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\)
    9. \(z=7 \operatorname{cis}\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\)
    10. \(z=\sqrt{13} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\)
    11. \(z=\frac{1}{2} \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\)
    12. \(z=12 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
    13. \(z=8 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
    14. \(z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{8}\right)\)
    15. \(z=5 \operatorname{cis}\left(\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\right)\)
    16. \(z=\sqrt{10} \operatorname{cis}\left(\arctan \left(\frac{1}{3}\right)\right)\)
    17. \(z=15 \operatorname{cis}(\arctan (-2))\)
    18. \(z=\sqrt{3}(\arctan (-\sqrt{2}))\)
    19. \(z=50 \operatorname{cis}\left(\pi-\arctan \left(\frac{7}{24}\right)\right)\)
    20. \(z=\frac{1}{2} \operatorname{cis}\left(\pi+\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)\)

    Para los Ejercicios 41 - 52, utilizar\(z=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2} i\) y\(w=3 \sqrt{2}-3 i \sqrt{2}\) calcular la cantidad. Exprese sus respuestas en forma polar usando el argumento principal.

    1. \(zw\)
    2. \(\frac{z}{w}\)
    3. \(\frac{w}{z}\)
    4. \(z^{4}\)
    5. \(w^{3}\)
    6. \(z^{5} w^{2}\)
    7. \(z^{3} w^{2}\)
    8. \(\frac{z^{2}}{w}\)
    9. \(\frac{w}{z^{2}}\)
    10. \(\frac{z^{3}}{w^{2}}\)
    11. \(\frac{w^{2}}{z^{3}}\)
    12. \(\left(\frac{w}{z}\right)^{6}\)

    En los Ejercicios 53 - 64, usa el Teorema de Demoivre para encontrar la potencia indicada del número complejo dado. Exprese sus respuestas finales en forma rectangular.

    1. \((-2+2 i \sqrt{3})^{3}\)
    2. \((-\sqrt{3}-i)^{3}\)
    3. \((-3+3 i)^{4}\)
    4. \((\sqrt{3}+i)^{4}\)
    5. \(\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{2} i\right)^{3}\)
    6. \(\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{6}\)
    7. \(\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\right)^{3}\)
    8. \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3} i\right)^{4}\)
    9. \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)^{4}\)
    10. \((2+2 i)^{5}\)
    11. \((\sqrt{3}-i)^{5}\)
    12. \((1-i)^{8}\)

    En Ejercicios 65 - 76, encuentra las raíces complejas indicadas. Exprese sus respuestas en forma polar y luego conviértalas en forma rectangular.

    1. las dos raíces cuadradas de\(z = 4i\)
    2. las dos raíces cuadradas de\(z = −25i\)
    3. las dos raíces cuadradas de\(z=1+i \sqrt{3}\)
    4. las dos raíces cuadradas de\(\frac{5}{2}-\frac{5 \sqrt{3}}{2} i\)
    5. las tres raíces cubitas de\(z = 64\)
    6. las tres raíces cubitas de\(z = −125\)
    7. las tres raíces cubitas de\(z = i\)
    8. las tres raíces cubitas de\(z = −8i\)
    9. las cuatro cuartas raíces de\(z = 16\)
    10. las cuatro cuartas raíces de\(z = −81\)
    11. las seis sextas raíces de\(z = 64\)
    12. las seis sextas raíces de\(z = −729\)
    13. Utilice las identidades de suma y diferencia en el teorema 10.16 o las identidades de medio ángulo en el teorema 10.19 para expresar las tres raíces cubicas de\(z=\sqrt{2}+i \sqrt{2}\) en forma rectangular. (Ver Ejemplo 11.7.4, número 3.)
    14. Utilice una calculadora para aproximar las cinco quintas raíces de 1. (Ver Ejemplo 11.7.4, número 4.)
    15. De acuerdo con el Teorema 3.16 en la Sección 3.4, el polinomio\(p(x)=x^{4}+4\) puede ser factorizado en los factores lineales del producto e irreducibles cuadráticos. En el Ejercicio 28 de la Sección 8.7, te mostramos cómo factorizar este polinomio en el producto de dos factores cuadráticos irreducibles utilizando un sistema de ecuaciones no lineales. Ahora que podemos calcular las cuartas raíces complejas de −4 directamente, simplemente podemos aplicar el Teorema de Factorización Compleja, Teorema 3.14, para obtener la factorización lineal\(p(x) = (x − (1 + i))(x − (1 − i))(x − (−1 + i))(x − (−1 − i))\). Al multiplicar los dos primeros factores juntos y luego los dos segundos factores juntos, emparejando así los pares conjugados complejos de ceros El teorema 3.15 nos dijo que obtendríamos, tenemos eso\(p(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)\left(x^{2}+2 x+2\right)\). Utilice las 12 raíces complejas 12 th de 4096 para factorizar\(p(x)=x^{12}-4096\) en un producto de factores cuadráticos lineales e irreducibles.
    16. Completar la prueba del Teorema 11.14 demostrando que si\(w \neq 0\) que\(\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|}\).
    17. Recordemos de la Sección 3.4 que dado un número complejo\(z = a+bi\) su conjugado complejo, denotado\(\bar{z}\), viene dado por\(\bar{z}=a-b i\).
      1. \(|\bar{z}|=|z|\)Demuéstralo.
      2. Demostrar que\(|z|=\sqrt{z \bar{z}}\)
      3. Demuestre eso\(\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}\) y\(\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}\)
      4. Demuéstralo si\(\theta \in \arg (z)\) entonces\(-\theta \in \arg (\bar{z})\). Interpreta este resultado geométricamente.
      5. ¿Siempre es cierto eso\(\operatorname{Arg}(\bar{z})=-\operatorname{Arg}(z)\)?
    18. Dado cualquier número natural\(n \geq 2\), las\(n^{\text {th }}\) raíces\(n\) complejas del número\(z = 1\) se llaman las\(n^{\text {th }}\) Raíces de la Unidad. En los siguientes ejercicios, supongamos que\(n\) es un número fijo, pero arbitrario, natural tal que\(n \geq 2\).
      1. Demostrar que\(w = 1\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz de unidad.
      2. Demostrar que si ambos\(w_{j}\) y\(w_{k}\) son\(n^{\text {th }}\) raíces de unidad entonces también lo es su producto\(w_{j} w_{k}\).
      3. Demostrar que si\(w_{j}\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz de unidad entonces existe otra\(n^{\text {th }}\) raíz de unidad\(w_{j^{\prime}}\) tal que\(w_{j} w_{j^{\prime}}=1\). Pista: Si se\(w_{j}=\operatorname{cis}(\theta)\) deja\(w_{j^{\prime}}=\operatorname{cis}(2 \pi-\theta)\). Habrá que verificar que efectivamente\(w_{j^{\prime}}=\operatorname{cis}(2 \pi-\theta)\) es una\(n^{\text {th }}\) raíz de unidad.
    19. Otra forma de expresar la forma polar de un número complejo es usar la función exponencial. Para números reales\(t\), la Fórmula de Euler define\(e^{i t}=\cos (t)+i \sin (t)\).
      1. Utilice el Teorema 11.16 para mostrar que\(e^{i x} e^{i y}=e^{i(x+y)}\) para todos los números reales\(x\) y\(y\).
      2. Usa el Teorema 11.16 para mostrar eso\(\left(e^{i x}\right)^{n}=e^{i(n x)}\) para cualquier número real\(x\) y cualquier número natural\(n\).
      3. Utilice el Teorema 11.16 para mostrar que\(\frac{e^{i x}}{e^{i y}}=e^{i(x-y)}\) para todos los números reales\(x\) y\(y\).
      4. Si\(z=r \operatorname{cis}(\theta)\) es la forma polar de\(z\), mostrar que\(z=r e^{i t}\) donde\(\theta=t\) radianes.
      5. \(e^{i \pi}+1=0\)Demuéstralo. (Esta famosa ecuación relaciona las cinco constantes más importantes en todas las Matemáticas con las tres operaciones más fundamentales en Matemáticas).
      6. Demuestre eso\(\cos (t)=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}\) y eso\(\sin (t)=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2 i}\) para todos los números reales\(t\).

    11.7.2 Respuestas

    1. \ (\ begin {aligned}
      &z=9+9 i=9\ sqrt {2}\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {4}\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =9,\ quad\ operatorname {Im} (z) =9,\ quad|z|=9\ sqrt {2}\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {\ pi} {4} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ frac {\ pi} {4}.
      \ end {alineado}\)
    2. \ (\ begin {aligned}
      &z=5+5 i\ sqrt {3} =10\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {3}\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =5,\ quad\ operatorname {Im} (z) =5\ sqrt {3},\ |quadz|=10\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {\ pi} {3} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ frac {\ pi} {3}
      \ end {alineado}\)
    3. \ (\ begin {aligned}
      &z=6 i=6\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {2}\ right),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =0,\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =6,\ quad|z|=6\\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ frac {\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    4. \ (\ begin {aligned}
      &z=-3\ sqrt {2} +3 i\ sqrt {2} =6\ operatorname {cis}\ left (\ frac {3\ pi} {4}\ right),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =-3\ sqrt {2},\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =3\ sqrt {2},\ quad|z|=6\\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {3\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\} \ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ frac {3\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    5. \ (\ begin {aligned}
      &z=-6\ sqrt {3} +6 i=12\ operatorname {cis}\ left (\ frac {5\ pi} {6}\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-6\ sqrt {3},\ quad\ operatorname {Im} (z) =6,\ quadz|=12\
      &\ g (z) =\ izquierda\ {\ frac {5\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ frac {5\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    6. \ (\ begin {aligned}
      &z=-2=2\ operatorname {cis} (\ pi),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-2,\ quad\ operatorname {Im} (z) =0,\ quad|z|=2\\
      &\ arg (z) =\ left\ {(2k+1)\ pi\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ pi.
      \ end {alineado}\)
    7. \ (\ begin {alineado}
      &z=-\ frac {\ sqrt {3}} {2} -\ frac {1} {2} i=\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {7\ pi} {6}\ derecha),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-\ frac {\ sqrt {3}} {2},\ quad\ operatorname {Im} (z) =-\ frac {1} {2},\ quad|z|=1\\
      &\ arg (z) =\ left\ {\ frac {7\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =-\ frac {5\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    8. \ (\ begin {aligned}
      &z=-3-3 i=3\ sqrt {2}\ operatorname {cis}\ left (\ frac {5\ pi} {4}\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-3,\ quad\ operatorname {Im} (z) =-3,\ quad|z|=3\ sqrt {2}\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {5\ pi} {4} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =-\ frac {3\ pi} {4}.
      \ end {alineado}\)
    9. \ (\ begin {aligned}
      &z=-5 i=5\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =0,\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =-5,\ quad|z|=5\\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {3\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =-\ frac {\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    10. \ (\ begin {aligned}
      &z=2\ sqrt {2} -2 i\ sqrt {2} =4\ operatorname {cis}\ left (\ frac {7\ pi} {4}\ right),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =2\ sqrt {2},\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =-2\ sqrt {2},\ quad|z|=4\\
      &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {7\ pi} {4} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ text {y}\ operatorname {Arg} (z) =-\ frac {\ pi} {4}.
      \ end {alineado}\)
    11. \ (\ begin {aligned}
      &z=6=6\ operatorname {cis} (0),\ quad\ operatorname {Re} (z) =6,\ quad\ operatorname {Im} (z) =0,\ quad|z|=6\\
      &\ arg (z) =\ left\ {2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\} text {y}\ operatorname {Arg} (z) =0.
      \ end {alineado}\)
    12. \ (\ begin {aligned}
      &z=i\ sqrt [3] {7} =\ sqrt [3] {7}\ nombreoperador {cis}\ left (\ frac {\ pi} {2}\ derecha),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =0,\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =\ sqrt [3] {7},\ quadrt |z|=\ sqrt [3] {7}
      \\ &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ frac {\ pi} {2} +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecha\}\ text {y}\ operatorname {Arg} (z) =\ frac {\ pi} {2}.
      \ end {alineado}\)
    13. \ (\ begin {aligned}
      &z=3+4 i=5\ operatorname {cis}\ left (\ arctan\ left (\ frac {4} {3}\ right)\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =3,\ quad\ operatorname {Im} (z) =4,\ quad|z|=5
      \ &\ arg (z) =\ left\ {\ operatorname {arctan}\ left (\ frac {4} {3}\ right) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero }\ derecha\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {4} {3}\ derecha).
      \ end {alineado}\)
    14. \ (\ begin {aligned}
      &z=\ sqrt {2} +i=\ sqrt {3}\ operatorname {cis}\ left (\ arctan\ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ right)\ right)\ quad\ operatorname {Re} (z) =\ sqrt {2},\ quad\ operatorname {Im} (z) =\ sqrt {2},\ quad\ operatorname {Im} (z) =1,\ quad|z|=
      \ sqrt {3}\\ &\ arg (z) =\ left\ {\ operatorname {arctan}\ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha).
      \ end {alineado}\)
    15. \ (\ begin {aligned}
      &z=-7+24 i=25\ operatorname {cis}\ left (\ pi-\ arctan\ left (\ frac {24} {7}\ right)\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-7,\ quad\ operatorname {im} (z) =24,\ |quadz|=25
      \ &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ pi-\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {24} {7}\ derecha) +2\ pi k\ mid k\ texto {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ pi-\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {24} {7}\ derecha).
      \ end {alineado}\)
    16. \ (\ begin {aligned}
      &z=-2+6 i=2\ sqrt {10}\ nombreoperador {cis} (\ pi-\ arctan (3)),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =-2,\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =6,\ quad|z|=2\ sqrt {10}
      \\ &\ arg (z) =\ left\ {\ pi-\ operatorname {arctan} (3) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ right\}\ text {y }\ nombreoperador {Arg} (z) =\ pi-\ nombreoperador {arctan} (3).
      \ end {alineado}\)
    17. \ (\ begin {aligned}
      &z=-12-5 i=13\ operatorname {cis}\ left (\ pi+\ arctan\ left (\ frac {5} {12}\ right)\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-12,\ quad\ operatorname {im} (z) =-5,\ |quadz|=13
      \ &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ pi+\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {5} {12}\ derecha) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ right\}\ text {y}\ operatorname {Arg} (z) =\ operatorname {arctan}\ left (\ frac {5} {12}\ right) -\ pi.
      \ end {alineado}\)
    18. \ (\ begin {aligned}
      &z=-5-2 i=\ sqrt {29}\ operatorname {cis}\ left (\ pi+\ arctan\ left (\ frac {2} {5}\ right)\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =-5,\ quad\ operatorname {im} (z) =-2,\ quad|z|=\ sqrt {29}
      \\ &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ pi+\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ right\}\ text {y}\ operatorname {Arg} (z) =\ operatorname {arctan}\ left (\ frac {2} {5}\ right) -\ pi.
      \ end {alineado}\)
    19. \ (\ begin {aligned}
      &z=4-2 i=2\ sqrt {5}\ operatorname {cis}\ left (\ arctan\ left (-\ frac {1} {2}\ right)\ right),\ quad\ operatorname {Re} (z) =4,\ quad\ operatorname {Im} (z) =-2,\ quad|z|=2\ sqrt {5}
      \\ &\ arg (z) =\ izquierda\ {\ operatorname {arctan}\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha) +2\ pi k\ mid k \ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha) =-\ nombreoperador {arctan}\ izquierda (\ frac {1} {2}\ derecha).
      \ end {alineado}\)
    20. \ (\ begin {aligned}
      &z=1-3 i=\ sqrt {10}\ nombreoperador {cis} (\ arctan (-3)),\ quad\ nombreoperador {Re} (z) =1,\ quad\ nombreoperador {Im} (z) =-3,\ quad|z|=\ sqrt {10}
      \\ &\ arg (z) =\ left\ {\ opername {arctan} (-3) +2\ pi k\ mid k\ text {es un entero}\ derecho\}\ texto {y}\ nombreoperador {Arg} (z) =\ nombreoperador {arctan} (-3) =-\ nombreoperador {arctan} (3).
      \ end {alineado}\)
    21. \(z=6 \operatorname{cis}(0)=6\)
    22. \(z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+i\)
    23. \(z=7 \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)=7+7 i\)
    24. \(z=3 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)=3 i\)
    25. \(z=4 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-2+2 i \sqrt{3}\)
    26. \(z=\sqrt{6} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-\sqrt{3}+i \sqrt{3}\)
    27. \(z=9 \operatorname{cis}(\pi)=-9\)
    28. \(z=3 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-\frac{3}{2}-\frac{3 i \sqrt{3}}{2}\)
    29. \(z=7 \operatorname{cis}\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)=-\frac{7 \sqrt{2}}{2}-\frac{7 \sqrt{2}}{2} i\)
    30. \(z=\sqrt{13} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-i \sqrt{13}\)
    31. \(z=\frac{1}{2} \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}-i \frac{\sqrt{2}}{4}\)
    32. \(z=12 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right)=6-6 i \sqrt{3}\)
    33. \(z=8 \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right)=4 \sqrt{2+\sqrt{3}}+4 i \sqrt{2-\sqrt{3}}\)
    34. \(z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{8}\right)=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}\)
    35. \(z=5 \operatorname{cis}\left(\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\right)=3+4 i\)
    36. \(z=\sqrt{10} \operatorname{cis}\left(\arctan \left(\frac{1}{3}\right)\right)=3+i\)
    37. \(z=15 \operatorname{cis}(\arctan (-2))=3 \sqrt{5}-6 i \sqrt{5}\)
    38. \(z=\sqrt{3} \operatorname{cis}(\arctan (-\sqrt{2}))=1-i \sqrt{2}\)
    39. \(z=50 \operatorname{cis}\left(\pi-\arctan \left(\frac{7}{24}\right)\right)=-48+14 i\)
    40. \(z=\frac{1}{2} \operatorname{cis}\left(\pi+\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)=-\frac{6}{13}-\frac{5 i}{26}\)

    En Ejercicios 41 - 52, tenemos eso\(z=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2} i=3 \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\) y\(w=3 \sqrt{2}-3 i \sqrt{2}=6 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\) así obtenemos lo siguiente.

    1. \(z w=18 \operatorname{cis}\left(\frac{7 \pi}{12}\right)\)
    2. \(\frac{z}{w}=\frac{1}{2} \operatorname{cis}\left(-\frac{11 \pi}{12}\right)\)
    3. \(\frac{w}{z}=2 \operatorname{cis}\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\)
    4. \(z^{4}=81 \operatorname{cis}\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\)
    5. \(w^{3}=216 \operatorname{cis}\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\)
    6. \(z^{5} w^{2}=8748 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
    7. \(z^{3} w^{2}=972 \operatorname{cis}(0)\)
    8. \(\frac{z^{2}}{w}=\frac{3}{2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{12}\right)\)
    9. \(\frac{w}{z^{2}}=\frac{2}{3} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
    10. \(\frac{z^{3}}{w^{2}}=\frac{3}{4} \operatorname{cis}(\pi)\)
    11. \(\frac{w^{2}}{z^{3}}=\frac{4}{3} \operatorname{cis}(\pi)\)
    12. \(\left(\frac{w}{z}\right)^{6}=64 \operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
    13. \((-2+2 i \sqrt{3})^{3}=64\)
    14. \((-\sqrt{3}-i)^{3}=-8 i\)
    15. \((-3+3 i)^{4}=-324\)
    16. \((\sqrt{3}+i)^{4}=-8+8 i \sqrt{3}\)
    17. \(\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{2} i\right)^{3}=-\frac{125}{4}+\frac{125}{4} i\)
    18. \(\left(-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{6}=1\)
    19. \(\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\right)^{3}=-\frac{27}{4}-\frac{27}{4} i\)
    20. \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3} i\right)^{4}=-\frac{8}{81}-\frac{8 i \sqrt{3}}{81}\)
    21. \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)^{4}=-1\)
    22. \((2+2 i)^{5}=-128-128 i\)
    23. \((\sqrt{3}-i)^{5}=-16 \sqrt{3}-16 i\)
    24. \((1-i)^{8}=16\)
    25. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=4 i=4\ operatorname {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =2\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {4}\ right) =\ sqrt {2} +i\ sqrt {2}\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {5\ pi} {4}\ derecha) =-\ sqrt {2} - i\ sqrt {2}
      \ fin {alineado}\)
    26. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=-25 i=25\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =5\ operatorname {cis}\ left (\ frac {3\ pi} {4}\ derecha) =-\ frac {5\ sqrt {2}} {2} +\ frac {5\ sqrt {2}} {2} i\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =5\ operatorname {cis}\ left (\ frac {7\ pi} {4}\ derecha) =\ frac {5\ sqrt {2}} {2} -\ frac {5\ sqrt {2}} {2} i
      \ end {alineado}\)
    27. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=1+i\ sqrt {3} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {3}\ derecha)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =\ sqrt {2}\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {6}\ derecha) =\ frac {\ sqrt {6}} {2} +\ frac {\ sqrt {2}} {2} i\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =\ sqrt {2}\ nombreoperador { cis}\ izquierda (\ frac {7\ pi} {6}\ derecha) =-\ frac {\ sqrt {6}} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2} i
      \ end {alineado}\)
    28. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=\ frac {5} {2} -\ frac {5\ sqrt {3}} {2} i=5\ operatorname {cis}\ left (\ frac {5\ pi} {3}\ right)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =\ sqrt {5}\ nombreoperador cis {}\ izquierda (\ frac {5\ pi} {6}\ derecha) =-\ frac {\ sqrt {15}} {2} +\ frac {\ sqrt {5}} {2} i\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =\ sqrt {5}\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {11\ pi} {6}\ derecha) =\ frac {\ sqrt {15}} {2} -\ frac {\ sqrt {5}} {2} i
      \ end {alineado}\)
    29. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=64=64\ operatorname {cis} (0)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =4\ nombreoperador {cis} (0) =4\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =4\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {2\ pi} {3} derecha) =-2+2 i\ sqrt {3}\ quad\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple w_ {2} =4\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {4\ pi } {3}\ derecha) =-2-2 i\ sqrt {3}
      \ end {alineado}\)
    30. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=-125=125\ operatorname {cis} (\ pi)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =5\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {3}\ derecha) =\ frac {5} {2} +\ frac {5\ sqrt {3}} {2} i\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple w_ {1} =5\ nombreoperador {cis} (\ pi) =-5\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple w_ {2} =5\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {5\ pi} {3}\ derecha) =\ frac {5} {2} -\ frac {5\ sqrt {3}} {2} i
      \ end {alineado}\)
    31. \ (\ begin {alineado}
      &\ text {Desde} z=i=\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {6}\ derecha) =\ frac {\ sqrt {3}} {2} +\ frac {1} {2} i\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {1} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {5\ pi} {6}\ derecha) =-\ frac {\ sqrt {3}} {2} +\ frac {1} {2} i\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {2} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha) =-i
      \ end {alineado}\)
    32. \ (\ begin {aligned}
      &\ text {Desde} z=-8 i=8\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha)\ text {tenemos}\\
      &w_ {0} =2\ nombreoperador {cis}\ left (\ frac {\ pi} {2}\ right) =2 i\ quad\ quad\ quad\ w_ {1} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {7\ pi} {6}\ derecha) =-\ sqrt {3} -i\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad w_ {2} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {11\ pi} {6}\ derecha) =\ sqrt {3} -i
      \ end {alineado}\)
    33. \ (\ begin {array} {l}
      &\ text {Desde} z=16=16\ operatorname {cis} (0)\ text {tenemos} &\\
      &w_ {0} =2\ nombreoperador {cis} (0) =2 & w_ {1} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2}\ derecha) =2 i\\
      &w_ {2} =2\ nombreoperador {cis} (\ pi) =-2 & w_ {3} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha) =-2 i
      \ end {array}\)
    34. \ (\ begin {array} {ll}
      \ text {Desde} z=-81=81\ operatorname {cis} (\ pi)\ text {tenemos}\
      w_ {0} =3\ nombreoperador {cis}\ left (\ frac {\ pi} {4}\ right) =\ frac {3\ sqrt {2}} {2} +\ frac {3\ sqrt {2}} {2} +\ frac {3\ sqrt {2} {2}} {2} i & w_ {1} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {3\ pi} {4}\ derecha) =-\ frac {3\ sqrt {2}} {2} +\ frac {3\ sqrt {2}} {2} i\\
      w_ {2} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {5\ pi} {4}\ derecha) =-\ frac {3\ sqrt {2}} {2} -\ frac {3\ sqrt {2}} {2} i & w_ {3} =3\ operatorname {cis}\ left (\ frac {7\ pi} {4}\ derecha) =\ frac {3\ sqrt {2}} {2} -\ frac {3\ sqrt {2}} {2} i
      \ end {array}\)
    35. \ (\ begin {array} {ll}
      \ text {Desde} z=64=64\ operatorname {cis} (0)\ text {tenemos}\
      w_ {0} =2\ nombreoperador {cis} (0) =2 & w_ {1} =2\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {3}\ right) =1+\ sqrt {3} i & w_ {2} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {2\ pi} {3}\ derecha) =-1+\ sqrt {3} i\\
      w_ {3} =2\ nombreoperador {cis} (\ pi) =-2 & w_ {4} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (-\ frac {2\ pi} {3}\ derecha) =-1-\ sqrt {3} i & w_ {5} =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (-\ frac {\ pi} {3} derecha) =1-\ sqrt {3} i
      \ end {array}\)
    36. \ (\ begin {array} {ll}
      \ text {Desde} z=-729=729\ nombreoperador {cis} (\ pi)\ texto {tenemos}\\
      w_ {0} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {\ pi} {6}\ derecha) =\ frac {3\ sqrt {3}} {2} +\ frac {3} {2} i & w_ {1} =3\ operatorname {cis}\ left (\ frac {\ pi} {2}\ right) =3 i & w_ {2} =3\ operatorname {cis}\ left (\ frac {5\ pi} {6}\ derecha) =-\ frac {3\ sqrt {3}} {2} +\ frac {3} {2} i\
      w_ {3} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {7\ pi} {6}\ derecha) =-\ frac {3\ sqrt {3}} {2} -\ frac ac {3} {2} i & w_ {4} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (-\ frac {3\ pi} {2}\ derecha) =-3 i & w_ {5} =3\ nombreoperador {cis}\ izquierda (-\ frac {11\ pi} {6}\ derecha) =\ frac {3\ sqrt {3}} {2} -\ frac {3} {2} i
      \ end {array}\)
    37. Nota: En las respuestas para\(w_{0}\) y\(w_{2}\) la primera forma rectangular proviene de aplicar la Suma o Diferencia de Identidad apropiada\(\left(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \text { and } \frac{17 \pi}{12}=\frac{2 \pi}{3}+\frac{3 \pi}{4}, \text { respectively }\right)\) y la segunda viene de usar la segunda proviene de usar las Identidades de Medio Ángulo.

      \(w_{0}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\right)=\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+i \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)\)

      \(w_{1}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\)

      \(w_{2}=\sqrt[3]{2} \operatorname{cis}\left(\frac{17 \pi}{12}\right)=\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+i\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)\right)=\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+i \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)\)

    38. \ (\ begin {aligned}
      &w_ {0} =\ nombreoperador {cis} (0) =1\\
      &w_ {1} =\ nombreoperador {cis}\ left (\ frac {2\ pi} {5}\ derecha)\ aproximadamente 0.309+0.951 i\\
      &w_ {2} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {4\ pi} 5}\ derecha)\ aprox-0.809+0.588 i\\
      &w_ {3} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {6\ pi} {5}\ derecha)\ aprox-0.809-0.588 i\\
      &w_ {4} =\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {8\ pi} {5}\ derecha)\ aproximadamente 0.309-0.951 i
      \ end {alineado}\)

    39. \(p(x)=x^{12}-4096=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)\left(x^{2}-2 x+4\right)\left(x^{2}+2 x+4\right)\left(x^{2}-2 \sqrt{3} x+4\right)\left(x^{2}+2 \sqrt{3}+4\right)\)

    Referencia

    1 'Bien definido' significa que no importa cómo expresemos\(z\), el número Re (\(z\)) es siempre el mismo, y el número Im (\(z\)) es siempre el mismo. Es decir, Re e Im son funciones de números complejos.

    2 En caso de que se lo esté preguntando, el uso de la notación de valor absoluto\(|z|\) para el módulo se explicará en breve.

    3 Recordemos el símbolo que se utiliza aquí, '\(\in\),' es el símbolo matemático que denota pertenencia a un conjunto.

    4 Si tuviéramos Cálculo, lo consideraríamos\(\operatorname{Arg}(0)\) como una 'forma indeterminada'. Pero no lo hacemos, así que no lo haremos.

    5 Dado que el valor absoluto\(|x|\) de un número real\(x\) puede verse como la distancia de\(x\) a 0 en la línea numérica, esta primera propiedad justifica la notación\(|z|\) para módulo. Dejamos al lector demostrar que si\(z\) es real, entonces la definición de módulo coincide con el valor absoluto por lo que la notación\(|z|\) es inequívoca.

    6 Esto puede ser considerado por algunos como un poco tramposo, así que trabajamos a través del Álgebra subyacente para ver que esto es cierto. Sabemos\(|z| = 0\) si y solo\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\) si y solo si\(a^{2}+b^{2}=0\), que es cierto si y solo si\(a = b = 0\). Esto último sucede si y sólo si\(z = a + bi = 0\). Ahí.

    7 Véase el Ejemplo 3.4.1 en la Sección 3.4 para una revisión de la aritmética de números complejos.

    8 Véase la Sección 9.3 para una revisión de esta técnica.

    9 Comparar esta prueba con la prueba de la Regla de Poder en el Teorema 11.14.

    10 Suponiendo\(|w| > 1\).

    11 Suponiendo\(\beta>0\).

    12 De nuevo, asumiendo\(|w|>1\).

    13 De nuevo, asumiendo\(\theta >0\).

    14 Para más información sobre esto, vea el epílogo bellamente escrito de la Sección 3.4 que se encuentra en la página 294.


    This page titled 11.7: Forma polar de números complejos is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Carl Stitz & Jeff Zeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.