1.6: Funciones inversas

Un diseñador de moda viaja a Milán para un desfile de modas. Le pregunta a su asistente, Betty, qué 75 grados Fahrenheit es en Celsius, y tras una búsqueda rápida en Google, encuentra la fórmula\(C=\dfrac{5}{9} (F-32)\). Usando esta fórmula, calcula grados\(\dfrac{5}{9} (75-32)\approx 24\) centígrados. Al día siguiente, el diseñador envía a su asistente el pronóstico meteorológico de la semana para Milán, y le pide que convierta las temperaturas a Fahrenheit.

Al principio, Betty podría considerar usar la fórmula que ya encontró para hacer las conversiones. Después de todo, conoce su álgebra, y puede resolver fácilmente la ecuación\(F\) después de sustituir un valor por\(C\). Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir:

\[26 = \dfrac{5}{9}(F - 32)\nonumber \]

\[26 \cdot \dfrac{9}{5} = F - 32\nonumber \]

\[F = 26 \cdot \dfrac{9}{5} + 32 \approx 79\nonumber \]

Después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas se volvería muy tedioso, y se da cuenta de que como la evaluación es más fácil que resolver, sería mucho más conveniente tener una fórmula diferente, una que tome la temperatura Celsius y las salidas la temperatura Fahrenheit. Esta es la idea de una función inversa, donde la entrada se convierte en la salida y la salida se convierte en la entrada.

Definición: Función inversa

Si\(f(a)=b\), entonces una función\(g(x)\) es una inversa de\(f\) if\(g(b)=a\).

El inverso de\(f(x)\) es típicamente anotado\(f^{-1} (x)\), que se lee “\(f\)inverso de\(x\)”, de manera equivalente, si\(f(a)=b\) entonces\(f^{-1} (b)=a\).

Importante: El elevado -1 utilizado en la notación para funciones inversas es simplemente una notación, y no designa un exponente o potencia de -1.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si para una función en particular\(f(2)=4\),, ¿qué sabemos de la inversa?

Solución

La función inversa invierte qué cantidad se introduce y qué cantidad es la salida, así que si\(f(2)=4\), entonces\(f^{-1} (4)=2\).

Alternativamente, si desea cambiar el nombre de la función inversa\(g(x)\), entonces\(g(4) = 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dado eso\(h^{-1} (6)=2\), ¿qué sabemos de la función original\(h(x)\)?

Contestar

\(g(2) = 6\)

Observe que la función original y la función inversa se deshacen entre sí. Si\(f(a)=b\), entonces\(f^{-1} (b)=a\), regresándonos a la entrada original. En pocas palabras, si componemos estas funciones juntas obtienes la entrada original como tu respuesta.

\[f^{-1} (f(a))=a\text{ and }f(f^{-1} (b))=b\]

Dado que las salidas de la función\(f\) son las entradas a\(f^{-1}\), el rango de\(f\) es también el dominio de\(f^{-1}\). Asimismo, dado que las entradas a\(f\) son las salidas de\(f^{-1}\), el dominio de\(f\) es el rango de\(f^{-1}\).

Básicamente, como la forma en que cambian los valores de entrada y salida, también cambia el dominio y rangos. Pero ten cuidado, porque a veces una función ni siquiera tiene una función inversa, o solo tiene una inversa en un dominio limitado. Por ejemplo, la inversa de\(f(x)=\sqrt{x}\) es\(f^{-1} (x)=x^{2}\), ya que un cuadrado “deshace” una raíz cuadrada, pero es sólo la inversa de\(f(x)\) sobre el dominio\([0, \infty)\), ya que ese es el rango de\(f(x)=\sqrt{x}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La función\(f(x)=2^{x}\) tiene dominio\((-\infty ,\infty )\) y rango\((0,\infty )\), ¿cuál esperaríamos que fuera el dominio y el rango de\(f^{-1}\)?

Solución

Esperaríamos\(f^{-1}\) intercambiar el dominio y el rango de\(f\), por lo que\(f^{-1}\) tendría dominio\((0,\infty )\) y rango\((-\infty ,\infty )\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una función\(f(t)\) se da como una tabla a continuación, mostrando la distancia en millas que un automóvil ha recorrido en\(t\) minutos. Buscar e interpretar\(f^{-1} (70)\)

\(t\)(minutos)	30	50	70	90
\(f(t)\)(millas)	20	40	60	70

Solución

La función inversa toma una salida de\(f\) y devuelve una entrada para\(f\). Entonces en la expresión\(f^{-1} (70)\), el 70 es un valor de salida de la función original, que representa 70 millas. El inverso devolverá la entrada correspondiente de la función original\(f\), 90 minutos, así\(f^{-1} (70)=90\). Interpretando esto, significa que para conducir 70 millas, tardó 90 minutos.

Alternativamente, recordemos que la definición de lo inverso era que si\(f(a)=b\) entonces\(f^{-1} (b)=a\). Por esta definición, si te dan\(f^{-1} (70)=a\) entonces estás buscando un valor a para que\(f(a)=70\). En este caso, estamos buscando un\(t\) así que\(f(t)=70\), que es cuando\(t = 90\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Usando la tabla a continuación

\(t\)(minutos)	30	50	60	70	90
\(f(t)\)(millas)	20	40	50	60	70

Encuentra e interpreta lo siguiente

a.\(f(60)\)

b.\(f^{-1} (60)\)

Contestar

a\(f(60) = 50\). En 60 minutos, se recorren 50 millas.

b\(f^{-1}(60) = 70\). Para recorrer 60 millas, tardará 70 minutos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Una función\(g(x)\) se da como un gráfico a continuación. Encuentra\(g(3)\) y\(g^{-1} (3)\)

Solución

Para evaluar\(g(3)\), encontramos 3 en el eje horizontal y encontramos el valor de salida correspondiente en el eje vertical. El punto (3, 1) nos dice que\(g(3)=1\)

Para evaluar\(g^{-1} (3)\), recordemos que por definición\(g^{-1} (3)\) significa\(g(x) = 3\). Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical encontramos el punto (5, 3) en la gráfica, lo que significa\(g(5) = 3\), así por definición\(g^{-1} (3) =5\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usando la gráfica en el Ejemplo 4 anterior

a. encontrar\(g^{-1} (1)\)

b. estimación\(g^{-1} (4)\)

Contestar

a.\(g^{-1} (1) = 3\)

b.\(g^{-1} (4) = 5.5\) (esto es una aproximación - las respuestas pueden variar ligeramente)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Volviendo a nuestro asistente de diseñador, encuentra una fórmula para la función inversa que da temperatura Fahrenheit dada una temperatura Celsius.

Solución

Una búsqueda rápida en Google encontraría la función inversa, pero alternativamente, Betty podría mirar hacia atrás en cómo resolvió la temperatura de Fahrenheit para un valor Celsius específico, y repetir el proceso en general

\[\begin{array}{l} {C=\dfrac{5}{9} (F-32)} \\ {C\cdot \dfrac{9}{5} =F-32} \\ {F=\dfrac{9}{5} C+32} \end{array}\nonumber \]

Al resolver en general, hemos descubierto la función inversa. Si

\[C=h(F)=\dfrac{5}{9} (F-32)\nonumber \]

Entonces

\[F=h^{-1} (C)=\dfrac{9}{5} C+32\nonumber \]

En este caso, introdujimos una función h para representar la conversión ya que las variables de entrada y salida son descriptivas, y la escritura\(C^{-1}\) podría resultar confusa.

Es importante señalar que no todas las funciones tendrán una función inversa. Dado que la inversa\(f^{-1} (x)\) toma una salida de\(f\) y devuelve una entrada de\(f\), para\(f^{-1}\) que a sí misma sea una función, entonces cada salida de\(f\) (entrada a\(f^{-1}\)) debe corresponder exactamente a una entrada de\(f\) (salida de\(f^{-1}\))\(f^{-1}\) para que sea una función. Tal vez recuerde que esta es la definición de una función uno a uno.

Definición: Propiedades de los inversos

Para que una función tenga una inversa, debe ser una función uno a uno.

En algunos casos, es deseable tener una inversa para una función aunque la función no sea uno a uno. En esos casos, a menudo podemos limitar el dominio de la función original a un intervalo en el que la función es uno a uno, luego encontrar una inversa solo en ese intervalo.

Si aún no lo has hecho, vuelve a las funciones del kit de herramientas que no eran uno a uno y limita o restringe el dominio de la función original para que sea uno a uno. Si no está seguro de cómo hacer esto, continúe con el Ejemplo 6.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

La función cuadrática no\(h(x)=x^{2}\) es uno a uno. Encuentra un dominio en el que esta función sea uno a uno, y encuentra la inversa en ese dominio.

Solución

Podemos limitar el dominio\([0,\infty )\) a restringir la gráfica a una porción que es uno a uno, y encontrar una inversa en este dominio limitado.

Puede que ya hayas adivinado que como deshacemos un cuadrado con una raíz cuadrada, lo inverso de\(h(x)=x^{2}\) en este dominio es\(h^{-1} (x)=\sqrt{x}\).

También se puede resolver para la función inversa algebraicamente. Si\(h(x)=x^{2}\), podemos introducir la variable\(y\) para representar los valores de salida, permitiéndonos escribir\(y=x^{2}\). Para encontrar la inversa resolvemos para la variable de entrada

Para resolver para\(x\) tomamos la raíz cuadrada de cada lado. \(\sqrt{y} =\sqrt{x^{2} }\)y consigue\(\sqrt{y} =|x|\), entonces\(x=\pm \sqrt{y}\). Nos hemos restringido\(x\) a ser no negativos, así que usaremos la raíz cuadrada positiva,\(x=\sqrt{y}\) o\(h^{-1} (y)=\sqrt{y}\). En casos como este donde las variables no son descriptivas, es común ver la función inversa reescrita con la variable\(x\):\(h^{-1} (x)=\sqrt{x}\). Reescribir la inversa usando la variable a menudo\(x\) es necesaria para graficar funciones inversas usando calculadoras o computadoras.

Tenga en cuenta que el dominio y el rango de la función de raíz cuadrada se corresponden con el rango y dominio de la función cuadrática en el dominio limitado. De hecho, si graficamos\(h(x)\) en el dominio restringido y\(h^{-1} (x)\) en los mismos ejes, podemos notar simetría: la gráfica de\(h^{-1} (x)\) es la gráfica de h (x) reflejada sobre la línea\(y = x\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Dada la gráfica de que\(f(x)\) se muestra, bosquejar una gráfica de\(f^{-1} (x)\).

Solución

Esta es una función uno a uno, por lo que podremos esbozar una inversa. Tenga en cuenta que la gráfica mostrada tiene un dominio aparente de\((0, \infty)\) y rango de\((-\infty, \infty)\), por lo que la inversa tendrá un dominio de\((-\infty, \infty)\) y rango de\((0, \infty)\).

Reflejando esta gráfica de la línea\(y = x\), el punto (1, 0) refleja a (0, 1), y el punto (4, 2) refleja a (2, 4). Croquizar la inversa en los mismos ejes que la gráfica original:

Temas Importantes de esta Sección

Definición de una función inversa

La composición de las funciones inversas arroja el valor de entrada original

No todas las funciones tienen una función inversa

Para tener una inversa, una función debe ser uno a uno

Restringir el dominio de funciones que no son uno a uno.