5.4: Las Otras Funciones Trigonométricas
- Page ID
- 116577
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)En la sección anterior, definimos las funciones seno y coseno como proporciones de los lados de un triángulo rectángulo en un círculo. Dado que el triángulo tiene 3 lados hay 6 posibles combinaciones de relaciones. Si bien el seno y el coseno son las dos relaciones prominentes que se pueden formar, hay otras cuatro, y juntas definen las 6 funciones trigonométricas.
Definición: Funciones tangente, secante, cosecante y cotangente
Para el punto (\(x\),\(y\)) en un círculo de radio\(r\) en un ángulo de\(\theta\), podemos definir cuatro funciones adicionales
ionales importantes como las proporciones de los lados del triángulo correspondiente:
- La función tangente:\[\tan (\theta )=\dfrac{y}{x}\]
- La función secante:\[\sec (\theta )=\dfrac{r}{x}\]
- La función cosecante:\[\csc (\theta )=\dfrac{r}{y}\]
- La función cotangente:\[\cot (\theta )=\dfrac{x}{y}\]
Geométricamente, observe que la definición de tangente se corresponde con la pendiente del segmento de línea entre el origen (0, 0) y el punto (\(x\),\(y\)). Esta relación puede ser muy útil para pensar en valores tangentes.
También puede notar que las proporciones que definen la secante, cosecante y cotangente son las recíprocas de las relaciones que definen las funciones coseno, seno y tangente, respectivamente. Adicionalmente, observe que utilizando nuestros resultados de la última sección,
\[\tan (\theta )=\dfrac{y}{x} =\dfrac{r\sin (\theta )}{r\cos (\theta )} =\dfrac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\]
Aplicando este concepto a las otras funciones trigonométricas podemos declarar las identidades recíprocas.
Identidades
Las otras cuatro funciones trigonométricas se pueden relacionar de nuevo con las funciones seno y coseno utilizando estas relaciones básicas:
\[\tan (\theta )=\dfrac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\]
\[\sec (\theta )=\dfrac{1}{\cos (\theta )}\]
\[\csc (\theta )=\dfrac{1}{\sin (\theta )}\]
\[\cot (\theta )=\dfrac{1}{\tan (\theta )} =\dfrac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\]
Estas relaciones se llaman identidades. Las identidades son declaraciones que son verdaderas para todos los valores de la entrada en la que se definen. Las identidades suelen ser algo que se puede derivar de definiciones y relaciones que ya conocemos, similar a cómo las identidades anteriores se derivaron de las relaciones de círculo de las seis funciones trigonométricas. La identidad pitagórica que aprendimos anteriormente se derivó del Teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno. Discutiremos más el papel de las identidades después de un ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Evaluar\(\tan (45{}^\circ )\) y\(\sec \left(\dfrac{5\pi }{6} \right)\).
Solución
Dado que conocemos los valores de seno y coseno para estos ángulos, tiene sentido relacionar los valores tangente y secante de nuevo con los valores de seno y coseno.
\[\text{tan} (45^{\circ}) = \dfrac{\text{sin} (45^{\circ})}{\text{cos} (45^{\circ})} = \dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1\nonumber\]
Observe que este resultado es consistente con nuestra interpretación del valor tangente como la pendiente de la línea que pasa por el origen en el ángulo dado: una línea a 45 grados tendría efectivamente una pendiente de 1.
\[\text{sec}(\dfrac{5\pi}{6}) = \dfrac{1}{cos(\dfrac{5\pi}{6})} = \dfrac{1}{-\sqrt{3}/2} = \dfrac{-2}{\sqrt{3}}\quad\text{ ,which could also be written as}\quad \dfrac{-2\sqrt{3}}{3}\nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Evaluar\(\csc \left(\dfrac{7\pi }{6} \right)\).
- Responder
-
\[\text{csc}(\dfrac{7 \pi}{6}) = \dfrac{1}{\text{sin}(\dfrac{7 \pi}{6})} = \dfrac{1}{-1/2} = -2\nonumber\]
Así como a menudo necesitamos simplificar las expresiones algebraicas, a menudo también es necesario o útil simplificar las expresiones trigonométricas. Para ello, utilizamos las definiciones e identidades que hemos establecido.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Simplificar\(\dfrac{\sec \left(\theta \right)}{\tan \left(\theta \right)}\).
Solución
Podemos simplificar esto reescribiendo ambas funciones en términos de seno y coseno
\[\dfrac{\text{sec}(\theta)}{\text{tan}(\theta)} = \dfrac{1/\text{cos}(\theta)}{\text{sin}(\theta)/\text{cos}(\theta)}\nonumber\]Para dividir las fracciones podríamos invertir y multiplicar
\[=\dfrac{1}{\cos \left(\theta \right)} \dfrac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}\nonumber\]cancelando los cosenos,
\[=\dfrac{1}{\sin \left(\theta \right)} =\csc \left(\theta \right)\nonumber\]simplificar y usar la identidad
Al demostrar que se\(\dfrac{\sec \left(\theta \right)}{\tan \left(\theta \right)}\) puede simplificar para\(\csc \left(\theta \right)\), de hecho, hemos establecido una nueva identidad: esa\(\dfrac{\sec \left(\theta \right)}{\tan \left(\theta \right)} =\csc \left(\theta \right)\).
Ocasionalmente una pregunta puede pedirle que “acredite la identidad” o “establecer la identidad”. Esta es la misma idea que cuando un libro de álgebra hace una pregunta como “muestra eso”\((x-1)^{2} =x^{2} -2x+1\). En este tipo de preguntas, debemos mostrar las manipulaciones algebraicas que demuestran que el lado izquierdo y derecho de la ecuación son de hecho iguales. Se puede pensar en un problema de “probar la identidad” como un problema de simplificación donde conoces la respuesta: sabes cuál debe ser el objetivo final de la simplificación, y solo hay que mostrar los pasos para llegar allí.
Para probar una identidad, en la mayoría de los casos comenzarás con la expresión en un lado de la identidad y la manipularás usando álgebra e identidades trigonométricas hasta que la hayas simplificado a la expresión del otro lado de la ecuación. No trates la identidad como una ecuación para resolver — ¡no lo es! La prueba es establecer que las dos expresiones son iguales, por lo que debemos tener cuidado de trabajar con un lado a la vez en lugar de aplicar una operación simultáneamente a ambos lados de la ecuación.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Demostrar la identidad\(\dfrac{1+\cot (\alpha )}{\csc (\alpha )} =\sin (\alpha )+\cos (\alpha )\).
Solución
Como el lado izquierdo parece un poco más complicado, comenzaremos ahí y simplificaremos la expresión hasta obtener el lado derecho. Podemos usar el lado derecho como guía para lo que podrían ser buenos pasos a dar. En este caso, el lado izquierdo involucra una fracción mientras que el lado derecho no lo hace, lo que sugiere que deberíamos mirar para ver si la fracción se puede reducir.
Adicionalmente, dado que el lado derecho involucra seno y coseno y el izquierdo no, sugiere que reescribir la cotangente y cosecante usando seno y coseno podría ser una buena idea.
\[\dfrac{1+\cot (\alpha )}{\csc (\alpha )}\nonumber\]Reescribiendo la cotangente y cosecante
\[=\dfrac{1+\dfrac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )} }{\dfrac{1}{\sin (\alpha )} }\nonumber\] Para dividir las fracciones, invertimos y multiplicamos
\[=\left(1+\dfrac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )} \right)\dfrac{\sin (\alpha )}{1}\nonumber\] Distribuyendo,
\[=1\cdot \dfrac{\sin (\alpha )}{1} +\dfrac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )} \cdot \dfrac{\sin (\alpha )}{1}\nonumber\] Simplificando las fracciones,
\[=\sin (\alpha )+\cos (\alpha )\nonumber\] Estableciendo la identidad.
Observe que en el segundo paso, podríamos haber combinado el 1 y\(\dfrac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\) antes de invertir y multiplicar. Es muy común a la hora de probar o simplificar identidades para que haya más de una forma de obtener el mismo resultado.
También podemos utilizar identidades que hemos aprendido anteriormente, como la Identidad Pitagórica, a la vez que simplificamos o probamos identidades.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Establecer la identidad\(\dfrac{\cos ^{2} \left(\theta \right)}{1+\sin \left(\theta \right)} =1-\sin \left(\theta \right)\).
Solución
Dado que el lado izquierdo de la identidad es más complicado, tiene sentido comenzar ahí. Para simplificar esto, tendremos que reducir la fracción, lo que requeriría que el numerador tuviera un factor en común con el denominador. Adicionalmente, notamos que el lado derecho solo involucra seno. Ambos sugieren que necesitamos convertir el coseno en algo que involucre seno.
Recordemos la Identidad pitagórica que nos dijo\(\cos ^{2} (\theta )+\sin ^{2} (\theta )=1\). Al mover una de las funciones trigonométricas al otro lado, podemos establecer:
\[\sin ^{2} (\theta )=1-\cos ^{2} (\theta )\quad \text{ and }\quad \cos ^{2} (\theta )=1-\sin ^{2} (\theta )\nonumber\]
Utilizando esto, ahora podemos establecer la identidad. Empezamos por un lado y manipulamos:
\[\dfrac{\cos ^{2} \left(\theta \right)}{1+\sin \left(\theta \right)}\nonumber\]Utilizando la identidad pitagórica
\[=\dfrac{1-\sin ^{2} \left(\theta \right)}{1+\sin \left(\theta \right)}\nonumber\] Factorizar el numerador
\[=\dfrac{\left(1-\sin \left(\theta \right)\right)\left(1+\sin \left(\theta \right)\right)}{1+\sin \left(\theta \right)}\nonumber\] Cancelando los factores similares
\[=1-\sin \left(\theta \right)\nonumber\] Establecer la identidad
También podemos construir nuevas identidades a partir de identidades previamente establecidas. Por ejemplo, si dividimos ambos lados de la Identidad Pitagórica por coseno al cuadrado (lo cual está permitido ya que ya hemos demostrado que la identidad es verdadera),
\[\dfrac{\cos ^{2} (\theta )+\sin ^{2} (\theta )}{\cos ^{2} (\theta )} =\dfrac{1}{\cos ^{2} (\theta )}\nonumber\]Dividiendo la fracción de la izquierda,
\[\dfrac{\cos ^{2} (\theta )}{\cos ^{2} (\theta )} +\dfrac{\sin ^{2} (\theta )}{\cos ^{2} (\theta )} =\dfrac{1}{\cos ^{2} (\theta )}\nonumber\] Simplificando y usando las definiciones de tan y sec
\[1+\tan ^{2} (\theta )=\sec ^{2} (\theta ).\nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Utilizar un enfoque similar para establecer eso\(\cot ^{2} (\theta )+1=\csc ^{2} (\theta )\).
- Responder
-
\[\begin{array}{l} {\dfrac{\cos ^{2} (\theta )+\sin ^{2} (\theta )}{\sin ^{2} \theta } =1} \\ {} \\ {\dfrac{\cos ^{2} (\theta )}{\sin ^{2} (\theta )} +\dfrac{\sin ^{2} (\theta )}{\sin ^{2} (\theta )} =\dfrac{1}{\sin ^{2} (\theta )} } \\ {} \\ {\cot ^{2} (\theta )+1=\csc ^{2} (\theta )} \end{array}\nonumber\]
Identidades: Formas alternas de la Identidad Pitagórica
\[1+\tan ^{2} (\theta )=\sec ^{2} (\theta )\]
\[\cot ^{2} (\theta )+1=\csc ^{2} (\theta )\]
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Si\(\tan (\theta )=\dfrac{2}{7}\) y\(\theta\) está en el\({}^{rd}\) cuadrante 3, encuentra\(\cos (\theta )\).
Solución
Hay dos enfoques para este problema, los cuales funcionan igualmente bien.
Enfoque 1
Ya que\(\tan (\theta )=\dfrac{y}{x}\) y el ángulo está en el tercer cuadrante, podemos imaginar un triángulo en un círculo de algún radio para que el punto en el círculo sea (-7, -2), así\(\dfrac{y}{x} =\dfrac{-2}{-7} =\dfrac{2}{7}\).
Usando el Teorema de Pitágoras, podemos encontrar el radio del círculo:
\[(-7)^{2} +(-2)^{2} =r^{2}\quad\text{ ,so }\quad r=\sqrt{53}\nonumber\]
Ahora podemos encontrar el valor del coseno:
\[\cos (\theta )=\dfrac{x}{r} =\dfrac{-7}{\sqrt{53} }\nonumber\]
Enfoque 2
Usando la\(1+\tan ^{2} (\theta )=\sec ^{2} (\theta )\) forma de la Identidad Pitagórica con el valor tangente conocido,
\[1+\tan ^{2} (\theta )=\sec ^{2} (\theta )\nonumber\]
\[1+\left(\dfrac{2}{7} \right)^{2} =\sec ^{2} (\theta )\nonumber\]
\[\dfrac{53}{49} =\sec ^{2} (\theta )\nonumber\]
\[\sec (\theta )=\pm \sqrt{\dfrac{53}{49} } =\pm \dfrac{\sqrt{53} }{7}\nonumber\]
Dado que el ángulo está en el tercer cuadrante, el valor del coseno será negativo por lo que el valor secante también será negativo. Manteniendo el resultado negativo, y usando la definición de secante,
\[\sec (\theta )=-\dfrac{\sqrt{53} }{7}\nonumber\]
\[\dfrac{1}{\cos (\theta )} =-\dfrac{\sqrt{53} }{7}\nonumber\]Invertir ambos lados
\[\cos (\theta )=-\dfrac{7}{\sqrt{53} } =-\dfrac{7\sqrt{53} }{53}\nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Si\(\sec (\phi )=-\dfrac{7}{3}\) y\(\dfrac{\pi }{2} <\phi <\pi\), encontrar\(\tan (\phi )\) y\(\sin (\phi )\).
- Responder
-
\[\sec (\phi )=-\dfrac{7}{3}\nonumber \].
Por definición,\(\dfrac{1}{\cos (\phi )} =-\dfrac{7}{3}\), entonces\(\cos (\phi )=-\dfrac{3}{7}\).
Usando Identidad pitagórica con la sec,\(1+\tan ^{2} (\phi )=\left(-\dfrac{7}{3} \right)^{2}\). Resolver da\(\tan (\phi )=\dfrac{\sqrt{40} }{-3}\). Utilizamos la raíz cuadrada negativa ya que un ángulo en el segundo cuadrante tendría una tangente negativa.
Usando la identidad pitagórica con el cos,\(\sin ^{2} (\phi )+\left(-\dfrac{3}{7} \right)^{2} =1\). Resolviendo,\(\sin (\phi )=\dfrac{\sqrt{40} }{7}\).
Temas Importantes de esta Sección
- Seis funciones trigonométricas:
- Sine
- Coseno
- Tangente
- Cosecante
- Secante
- Cotangente
- Identidades trigonométricas