5.5: Trigonometría de Triángulo Recto

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En la Sección 5.3 se nos introdujo la función seno y coseno como proporciones de los lados de un triángulo dibujado dentro de un círculo, y pasamos el resto de esa sección discutiendo el papel de esas funciones en la búsqueda de puntos en el círculo. En esta sección, volvemos al triángulo, y exploramos las aplicaciones de las funciones trigonométricas a triángulos rectos donde los círculos pueden no estar involucrados.

Recordemos que definimos seno y coseno como $Un círculo centrado en el origen con una línea etiquetada r dibujada en un ángulo de theta. El punto donde la línea se encuentra con el círculo se etiqueta x coma y. Una línea vertical se dibuja desde ese punto hasta el eje x formando un triángulo, con la longitud vertical etiquetada y. La pata horizontal del triángulo desde el origen hasta la línea vertical se etiqueta x.$

\[\sin (\theta ) = \dfrac{y}{r}\nonumber\]

\[\cos(\theta ) = \dfrac{x}{r}\nonumber\]

Separando el triángulo del círculo, podemos hacer definiciones equivalentes pero más generales del seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo. En el triángulo rectángulo, etiquetaremos la hipotenusa así como el lado opuesto al ángulo y el lado adyacente (junto a) el ángulo.

Relaciones triángulo rectángulo

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo de$\theta$

$Un triángulo rectángulo con un ángulo etiquetado theta. La pierna que toca el ángulo theta está etiquetada adyacente. La pierna al otro lado del ángulo está etiquetada opuesta. La hipotenusa está etiquetada como hipotenusa.$

\[\text{sin} (\theta) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\]

\[\text{cos} (\theta) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\]

\[\text{tan} (\theta) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\]

Un mnemotécnico común para recordar estas relaciones es SohCahtoA, formado a partir de las primeras letras de “S ine is o pposite over h ypotenuse, C osine is a djacent over h ypotenuse, T angent is o pposite over un djacente”.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$\alpha$$\alpha$Dado el triángulo mostrado, encuentra el valor para$\text{cos}(\alpha)$. $Un triángulo rectángulo con hipotenusa 17 y patas 8 y 15. El ángulo entre los lados de longitud 15 y 17 está etiquetado como alfa.$

El lado adyacente al ángulo es 15, y la hipotenusa del triángulo es 17, entonces

\[\text{cos}(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{15}{17}\nonumber\]

Cuando se trabaja con triángulos rectos generales, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar el seno y el coseno de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo.

$Un triángulo rectángulo girado con ángulos etiquetados alfa y beta. La pierna que toca la esquina con ángulo alfa se etiqueta adyacente a alfa opuesta beta. La pierna que toca la esquina con ángulo beta está etiquetada adyacente a beta opuesta a alfa.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Usando el triángulo mostrado, evalúe cos ($\alpha$), sin ($\alpha$), cos ($\beta$) y sin ($\beta$),

$Un triángulo rectángulo girado con lados etiquetados 3, 4 y 5. El ángulo entre lados de longitud 3 y 5 está etiquetado como alfa. El ángulo entre lados de longitud 4 y 5 está etiquetado como beta.$

Solución

\[\text{cos}(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent to } \alpha}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{3}{5}\nonumber\]

\[\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{opposite } \alpha}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{4}{5}\nonumber\]

\[\text{cos}(\beta) = \dfrac{\text{adjacent to } \beta}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{4}{5}\nonumber\]

\[\text{cos}(\beta) = \dfrac{\text{opposite } \beta}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{3}{5}\nonumber\]

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Se dibuja un triángulo rectángulo con ángulo$\alpha$ opuesto a un lado con longitud 33, ángulo$\beta$ opuesto a un lado con longitud 56, e hipotenusa 65. Encuentra el seno y el coseno de$\alpha$ y$\beta$

Contestar

\[\text{sin} (\alpha) = \frac{33}{65}\nonumber\]

\[\text{cos} (\alpha) = \frac{56}{65}\nonumber\]

\[\text{sin} (\beta) = \frac{56}{65}\nonumber\]

\[\text{cos} (\beta) = \frac{33}{65}\nonumber\]

Te habrás dado cuenta de que en el ejemplo anterior eso$\cos (\alpha )=\sin (\beta )$ y$\cos (\beta )=\sin (\alpha )$. Esto tiene sentido ya que el lado opuesto también$\alpha$ es adyacente al$\beta$. Dado que los tres ángulos en un triángulo necesitan sumar a$\pi$, o 180 grados, entonces los otros dos ángulos deben sumar a$\dfrac{\pi }{2}$, o 90 grados, entonces$\beta =\dfrac{\pi }{2} -\alpha$, y$\alpha =\dfrac{\pi }{2} -\beta$. Desde$\cos (\alpha )=\sin (\beta )$ entonces$\cos (\alpha )=\sin \left(\dfrac{\pi }{2} -\alpha \right)$.

IDENTIDADES COFUNCIÓN

Las identidades de confunción para seno y coseno son:

\[\text{cos} (\theta) = \text{sin} (\dfrac{\pi}{2} - \theta)\]

\[\text{sin} (\theta) = \text{cos} (\dfrac{\pi}{2} - \theta)\]

En los ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados del triángulo. La trigonometría del triángulo rectángulo se vuelve poderosa cuando empezamos a mirar triángulos en los que conocemos un ángulo pero no conocemos todos los lados.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra los lados desconocidos del triángulo que se muestran aquí.

$Un triángulo rectángulo. La hipotenusa está etiquetada como b y las patas están etiquetadas con a y 7. El ángulo entre los lados de longitud a y b es de 30 grados.$

Solución

Ya que$\text{sin} (\theta) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$. $\text{sin}(30^{\circ}) = \dfrac{7}{b}$.

A partir de esto, podemos resolver por el lado$b$.

\[b\sin (30{}^\circ )=7\nonumber\]
\[b=\dfrac{7}{\sin (30{}^\circ )}\nonumber\]

Para obtener un valor, podemos evaluar el seno y simplificar

\[b = \dfrac{7}{1/2} = 14\nonumber\]

Para encontrar el valor de lado$a$, podríamos usar el coseno, o simplemente aplicar el Teorema de Pitágoras:

\[a^2 + 7^2 = b^2\nonumber\]
\[a^2 + 7^2 = 14^2\nonumber\]
\[a = \sqrt{147}\nonumber\]

Observe que si conocemos al menos uno de los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo y un lado, podemos encontrar el resto de los lados y ángulos.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de$\dfrac{\pi }{3}$ y una hipotenusa de 20. Encuentra los lados y ángulos desconocidos del triángulo.

Contestar

\[\text{cos} (\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoteuse}} = \dfrac{\text{Adj}}{20}\nonumber\]por lo que,\[\text{adjacent} = 20 \text{cos} (\dfrac{\pi}{3}) = 20 (\dfrac{1}{2}) = 10\nonumber\]

\[\text{sin} (\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{\text{Opposite}}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{\text{Opp}}{20}\nonumber\]por lo que,\[\text{opposite} = 20 \text{sin} (\dfrac{\pi}{3}) = 20 (\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3}\nonumber\]

Ángulo faltante = 180 - 90 - 60 = 30 grados o$\pi / 6$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol, y mide el ángulo desde el suelo hasta la parte superior del árbol para ser de 57 grados. Encuentra la altura del árbol.

Solución

Podemos introducir una variable,$h$, para representar la altura del árbol. Los $Una imagen de un árbol. Se muestra un punto a una distancia horizontal de 30 pies a la izquierda del árbol. A partir de ese punto se dibuja una línea hasta la parte superior del árbol, con el ángulo entre la línea y la horizontal es de 57 grados.$ dos lados del triángulo que son más importantes para nosotros son el lado opuesto al ángulo, la altura del árbol que estamos buscando, y el lado adyacente, el lado que nos dicen es de 30 pies de largo.

La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto al ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente.

\[\text{tan} (57^{\circ}) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \dfrac{h}{30}\nonumber\]Resolviendo para$h$,

\[h=30\tan (57{}^\circ )\nonumber\]Usando la tecnología, podemos aproximar un valor

\[h=30\tan (57{}^\circ )\approx 46.2\text{ feet}\nonumber\]

El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Una persona parada en el techo de un edificio de 100 pies de altura mira hacia un rascacielos a pocas cuadras de distancia, preguntándose qué tan alto es. Ella mide el ángulo de declinación desde el techo del edificio hasta la base del rascacielos para ser de 20 grados y el ángulo de inclinación a la parte superior del rascacielos para ser de 42 grados.

Solución

Para abordar este problema, sería bueno comenzar con una imagen. A pesar de que nos interesa la altura, $Se muestran dos edificios. El edificio de la izquierda mide 100 pies de altura; el edificio de la derecha tiene la altura etiquetada h. Desde la parte superior del primer edificio se dibuja una línea horizontal derecha al otro edificio con longitud etiquetada x. Una línea se dibuja desde la parte superior del primer edificio hasta la parte inferior del segundo edificio, en un ángulo de 20 grados por debajo de la horizontal. Se dibuja una línea desde la parte superior del primer edificio hasta la parte superior del segundo edificio, en un ángulo de 42 grados. La distancia vertical desde la línea horizontal hasta la parte superior del segundo edificio está etiquetada como.$ $h$, del rascacielos, puede ser útil etiquetar también otras cantidades desconocidas en la imagen —en este caso la distancia horizontal$x$ entre los edificios y$a$, la altura del rascacielos por encima de la persona.

Para empezar a resolver este problema, fíjate que tenemos dos triángulos rectos. En el triángulo superior, sabemos que un ángulo es de 42 grados, pero no conocemos ninguno de los lados del triángulo, así que aún no sabemos lo suficiente para trabajar con este triángulo.

En el triángulo inferior derecho, sabemos que un ángulo es de 20 grados, y conocemos la medida de altura vertical de 100 pies. Ya que conocemos estas dos piezas de información, podemos resolver por la distancia desconocida$x$.

\[\text{tan} (20^{\circ}) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \dfrac{100}{x}\nonumber\]Resolviendo para$x$
\[x \text{tan} (20^{\circ}) = 100\nonumber\]
\[x = \dfrac{100}{\text{tan} (20^{\circ})}\nonumber\]

Ahora que hemos encontrado la distancia$x$, conocemos la información suficiente para resolver el triángulo superior derecho.

\[\text{tan} (42^{\circ}) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \dfrac{a}{x} = \dfrac{a}{100/\text{tan}(20^{circ})}\nonumber\]
\[\text{tan} (42^{\circ}) = \dfrac{a\text{tan} (20^{\circ})}{100}\nonumber\]
\[100 \text{tan} (42^{\circ}) = a\text{tan} (20^{\circ})\nonumber\]
\[\dfrac{\text{tan} (42^{\circ})}{\text{tan} (20^{\circ})} = a\nonumber\]

Aproximando un valor,

\[a=\dfrac{100\tan (42{}^\circ )}{\tan (20{}^\circ )} \approx 247.4\text{ feet}\nonumber\]

Sumando la altura del primer edificio, determinamos que el rascacielos mide aproximadamente 347 pies de altura.

Temas Importantes de esta Sección

SOH CAH TOA
Identidades de cofunción
Aplicaciones con triángulos rectos

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