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3.6: Ceros de funciones polinómicas

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    Objetivos de aprendizaje

    • Evaluar un polinomio usando el Teorema del Resto.
    • Utilice el Teorema de Factores para resolver una ecuación polinómica.
    • Usa el Teorema del Cero Racional para encontrar ceros racionales.
    • Encontrar ceros de una función polinómica.
    • Utilice el Teorema de Factorización Lineal para encontrar polinomios con ceros dados.
    • Usa la Regla de Señales de Descartes.
    • Resolver aplicaciones del mundo real de ecuaciones polinómicas

    Una nueva panadería ofrece pasteles decorados para fiestas de cumpleaños infantiles y otras ocasiones especiales. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene la forma de un sólido rectangular. Quieren que el largo del pastel sea cuatro pulgadas más largo que el ancho del pastel y que la altura del pastel sea un tercio del ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde para pasteles?

    Este problema se puede resolver escribiendo una función cúbica y resolviendo una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, discutiremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas.

    Evaluación de un polinomio usando el teorema del resto

    En la última sección aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos usar la división polinómica para evaluar polinomios usando el Teorema del resto. Si el polinomio está dividido por\(x–k\), el resto se puede encontrar rápidamente evaluando la función polinómica en\(k\), es decir,\(f(k)\). Pasemos por la prueba del teorema.

    Recordemos que el Algoritmo de División establece que, dado un dividendo polinómico\(f(x)\) y un divisor polinómico distinto de cero\(d(x)\) donde el grado de\(d(x)\) es menor o igual al grado de\(f(x)\), existen polinomios únicos\(q(x)\) y\(r(x)\) tales que

    \[f(x)=d(x)q(x)+r(x) \nonumber\]

    Si el divisor,\(d(x)\), es\(x−k\), éste toma la forma

    \[f(x)=(x−k)q(x)+r \nonumber\]

    Desde el divisor\(x−k\)

    es lineal, el resto será una constante,\(r\). Y, si evaluamos esto\(x=k\), tenemos

    \[\begin{align*} f(k)&=(k−k)q(k)+r \\[4pt] &=0{\cdot}q(k)+r \\[4pt] &=r \end{align*}\]

    En otras palabras,\(f(k)\) se obtiene el resto dividiendo\(f(x)\) por\(x−k\).

    El teorema del resto

    Si un polinomio\(f(x)\) se divide por\(x−k\), entonces el resto es el valor\(f(k)\).

    altDada una función polinómica\(f\), evaluar\(f(x)\) al\(x=k\) usar el Teorema del Resto.

    1. Utilice la división sintética para dividir el polinomio por\(x−k\).
    2. El resto es el valor\(f(k)\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Using the Remainder Theorem to Evaluate a Polynomial

    Utilice el Teorema del Resto para evaluar\(f(x)=6x^4−x^3−15x^2+2x−7\) en\(x=2\).

    Solución

    Para encontrar el resto usando el Teorema del Resto, utilice la división sintética para dividir el polinomio por\(x−2\).

    \[ 2 \begin{array}{|ccccc} \; 6 & −1 & −15 & 2 & −7 \\ \text{} & 12 & 22 & 14 & 32 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{ccccc} 6 & 11 & \; 7 & \;\;16 & \;\; 25 \end{array} \]

    El resto es de 25. Por lo tanto,\(f(2)=25\).

    Análisis

    Podemos verificar nuestra respuesta evaluando\(f(2)\).

    \[\begin{align*} f(x)&=6x^4−x^3−15x^2+2x−7 \\ f(2)&=6(2)^4−(2)^3−15(2)^2+2(2)−7 \\ &=25 \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    se el Teorema del Resto a evaluar\(f(x)=2x^5−3x^4−9x^3+8x^2+2\) en\(x=−3\).

    Contestar

    \(f(−3)=−412\)

    Usando el Teorema de Factores para Resolver una Ecuación Polinómica

    El Teorema Factor es otro teorema que nos ayuda a analizar ecuaciones polinomiales. Nos dice cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de división.

    \[f(x)=(x−k)q(x)+r\]

    Si\(k\) es un cero, entonces el resto\(r\) es\(f(k)=0\) y\(f (x)=(x−k)q(x)+0\) o\(f(x)=(x−k)q(x)\).

    Aviso, escrito en esta forma,\(x−k\) es un factor de\(f(x)\). Podemos concluir si\(k\) es un cero de\(f(x)\), entonces\(x−k\) es un factor de\(f(x)\).

    Del mismo modo, si\(x−k\) es un factor de\(f(x)\), entonces el resto del Algoritmo de División\(f(x)=(x−k)q(x)+r\) es\(0\). Esto nos dice que\(k\) es un cero.

    Este par de implicaciones es el Teorema de los Factores. Como veremos pronto, un polinomio de grado\(n\) en el sistema numérico complejo tendrá\(n\) ceros. Podemos usar el Teorema de Factores para factorizar completamente un polinomio en el producto de\(n\) factores. Una vez que el polinomio ha sido completamente factorizado, podemos determinar fácilmente los ceros del polinomio.

    EL TEORMA DEL FACTOR

    Según el Teorema de los Factores,\(k\) es un cero de\(f(x)\) si y sólo si\((x−k)\) es un factor de\(f(x)\).

    Cómo: Dado un factor y un polinomio de tercer grado, utilizar el Teorema Factor para factorizar el polinomio

    1. Utilice la división sintética para dividir el polinomio por\((x−k)\).
    2. Confirmar que el resto es\(0\).
    3. Escribir el polinomio como producto de\((x−k)\) y el cociente cuadrático.
    4. Si es posible, factorizar la cuadrática.
    5. Escribir el polinomio como producto de factores.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Using the Factor Theorem to Solve a Polynomial Equation

    Demostrar que\((x+2)\) es un factor de\(x^3−6x^2−x+30\). Encuentra los factores restantes. Utilizar los factores para determinar los ceros del polinomio.

    Solución

    Podemos usar la división sintética para mostrar que\((x+2)\) es un factor del polinomio.

    \[ -2 \begin{array}{|cccc} \; 1 & −6 & −1 & 30 \\ \text{} & -2 & 16 & -30 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 1 & -8 & \; 15 & \;\;0 \end{array} \]

    El resto es cero, por lo que\((x+2)\) es un factor del polinomio. Podemos usar el Algoritmo de División para escribir el polinomio como producto del divisor y el cociente:

    \[(x+2)(x^2−8x+15)\]

    Podemos factorial el factor cuadrático para escribir el polinomio como

    \[(x+2)(x−3)(x−5)\]

    Por el Teorema de Factores, los ceros de\(x^3−6x^2−x+30\) son —2, 3 y 5.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Utilice el Teorema del Factor para encontrar los ceros de\(f(x)=x^3+4x^2−4x−16\) dado que\((x−2)\) es un factor del polinomio.

    Contestar

    Los ceros son 2, —2 y —4.

    Usando el teorema del cero racional para encontrar ceros racionales

    Otro uso para el Teorema del Resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. Pero primero necesitamos un charco de números racionales para probar. El Teorema del Cero Racional nos ayuda a reducir el número de ceros racionales posibles utilizando la relación de los factores del término constante y factores del coeficiente principal del polinomio

    Considerar una función cuadrática con dos ceros,\(x=\frac{2}{5}\) y\(x=\frac{3}{4}\). Por el Teorema de Factores, estos ceros tienen factores asociados a ellos. Establezcamos cada factor igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original ausente de su factor de estiramiento.

    alt

    Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. De igual manera, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4.

    Podemos inferir que los numeradores de las raíces racionales siempre serán factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del Teorema Racional del Cero; es un medio para darnos un charco de posibles ceros racionales.

    EL TEORMA RATIONAL DEL

    El Teorema del Cero Racional establece que, si el polinomio\(f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0\) tiene coeficientes enteros, entonces cada cero racional de\(f(x)\) tiene la forma\(\frac{p}{q}\) donde\(p\) es un factor del término constante\(a_0\) y\(q\) es un factor del coeficiente principal\(a_n\).

    Cuando el coeficiente inicial es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.

    Cómo: Dada una función polinómica\(f(x)\), use the Rational Zero Theorem to find rational zeros.

    1. Determinar todos los factores del término constante y todos los factores del coeficiente principal.
    2. Determinar todos los valores posibles de\(\dfrac{p}{q}\), donde\(p\) es un factor del término constante y\(q\) es un factor del coeficiente principal. Asegúrese de incluir candidatos tanto positivos como negativos.
    3. Determinar qué ceros posibles son ceros reales evaluando cada caso de\(f(\frac{p}{q})\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Listing All Possible Rational Zeros

    Enumere todos los ceros racionales posibles de\(f(x)=2x^4−5x^3+x^2−4\).

    Solución

    Los únicos ceros racionales posibles\(f(x)\) son los cocientes de los factores del último término, —4, y los factores del coeficiente principal, 2.

    El término constante es —4; los factores de —4 son\(p=±1,±2,±4\).

    El coeficiente principal es 2; los factores de 2 son\(q=±1,±2\).

    Si alguno de los cuatro ceros reales son ceros racionales, entonces serán de uno de los siguientes factores de —4 dividido por uno de los factores de 2.

    \[\dfrac{p}{q}=±\dfrac{1}{1},±\dfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \frac{p}{q}=±\dfrac{2}{1},±\dfrac{2}{2} \; \; \; \; \; \; \dfrac{p}{q}=±\dfrac{4}{1},±\dfrac{4}{2} \nonumber\]

    Tenga en cuenta que\(\frac{2}{2}=1\) y\(\frac{4}{2}=2\), que ya han sido listados. Para que podamos acortar nuestra lista.

    \[\dfrac{p}{q} = \dfrac{\text{Factors of the last}}{\text{Factors of the first}}=±1,±2,±4,±\dfrac{1}{2}\nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using the Rational Zero Theorem to Find Rational Zeros

    Utilice el Teorema del Cero Racional para encontrar los ceros racionales de\(f(x)=2x^3+x^2−4x+1\).

    Solución

    El Teorema del Cero Racional nos dice que si\(\frac{p}{q}\) es un cero de\(f(x)\), entonces\(p\) es un factor de 1 y\(q\) es un factor de 2.

    \[ \begin{align*} \dfrac{p}{q}=\dfrac{factor\space of\space constant\space term}{factor\space of\space leading\space coefficient} \\[4pt] &=\dfrac{factor\space of\space 1}{factor\space of\space 2} \end{align*}\]

    Los factores de 1 son ±1 y los factores de 2 son ±1 y ±2. Los valores posibles para\(\frac{p}{q}\) son ±1 y\(±\frac{1}{2}\). Estos son los posibles ceros racionales para la función. Podemos determinar cuáles de los ceros posibles son ceros reales sustituyendo estos valores por\(x\) in\(f(x)\).

    \[f(−1)=2{(−1)}^3+{(−1)}^2−4(−1)+1=4\]

    \[f(1)=1{(1)}^3+{(1)}^2−4(1)+1=0\]

    \[f(−\dfrac{1}{2})=2{(−\dfrac{1}{2})}^3+{(−\dfrac{1}{2})}^2−4(−\dfrac{1}{2})+1=3\]

    \[f(\dfrac{1}{2})=2{(\dfrac{1}{2})}^3+{(\dfrac{1}{2})}^2−4(\dfrac{1}{2})+1=−\dfrac{1}{2}\]

    De esos,\(−1\),\(−\dfrac{1}{2}\), y no\(\dfrac{1}{2}\) son ceros de\(f(x)\). 1 es el único cero racional de\(f(x)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Utilice el Teorema del Cero Racional para encontrar los ceros racionales de\(f(x)=x^3−5x^2+2x+1\).

    Contestar

    No hay ceros racionales.

    Encontrar los ceros de las funciones polinomiales

    El Teorema del Cero Racional nos ayuda a estrechar la lista de posibles ceros racionales para una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos usar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica.

    Cómo: Dada una función polinómica\(f\), use synthetic division to find its zeros.

    1. Utilice el Teorema del Cero Racional para enumerar todos los ceros racionales posibles de la función.
    2. Utilice la división sintética para evaluar un cero posible dado dividiendo sintéticamente al candidato en el polinomio. Si el resto es 0, el candidato es un cero. Si el resto no es cero, deseche al candidato.
    3. Repita el paso dos usando el cociente encontrado con división sintética. Si es posible, continuar hasta que el cociente sea cuadrático.
    4. Encuentra los ceros de la función cuadrática. Dos métodos posibles para resolver cuadráticas son factorizar y usar la fórmula cuadrática.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Finding the Zeros of a Polynomial Function with Repeated Real Zeros

    Encuentra los ceros de\(f(x)=4x^3−3x−1\).

    Solución

    El Teorema del Cero Racional nos dice que si\(\dfrac{p}{q}\) es un cero de\(f(x)\), entonces\(p\) es un factor de —1 y\(q\) es un factor de 4.

    \[\begin{align*}\dfrac{p}{q}=\dfrac{factor\space of\space constant\space term}{factor\space of\space leading\space coefficient} \\[4pt] =\dfrac{factor\space of\space -1}{factor\space of\space 4} \end{align*}\]

    Los factores de —1 son ±1 y los factores de 4 son ±1, ±2 y ±4. Los valores posibles para\(\dfrac{p}{q}\) son\(±1\),\(±\dfrac{1}{2}\), y\(±\dfrac{1}{4}\). Estos son los posibles ceros racionales para la función. Utilizaremos la división sintética para evaluar cada cero posible hasta que encontremos uno que dé un resto de 0. Empecemos con 1.

    Dividir por\((x−1)\) da un resto de 0, por lo que 1 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como

    \[(x−1)(4x^2+4x+1) \nonumber\]

    El cuadrático es un cuadrado perfecto. \(f(x)\)se puede escribir como

    \[(x−1){(2x+1)}^2\nonumber\]

    Ya sabemos que 1 es un cero. El otro cero tendrá una multiplicidad de 2 porque el factor es cuadrado. Para encontrar el otro cero, podemos establecer el factor igual a 0.

    \[ \begin{align*} 2x+1=0 \\[4pt] x &=−\dfrac{1}{2} \end{align*}\]

    Los ceros de la función son 1 y\(−\frac{1}{2}\) con multiplicidad 2.

    Análisis

    Mira la gráfica de la función\(f\) en la Figura\(\PageIndex{1}\). Observe, at\(x =−0.5\), la gráfica rebota en el eje x, indicando la multiplicidad par (2,4,6...) para el cero −0.5. At\(x=1\), la gráfica cruza el eje x, indicando la multiplicidad impar (1,3,5...) para el cero\(x=1\).

    CNX_Precalc_Figure_03_06_001.jpg
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    Usando el Teorema Fundamental del Álgebra

    Ahora que podemos encontrar ceros racionales para una función polinómica, veremos un teorema que discute el número de ceros complejos de una función polinómica. El Teorema Fundamental del Álgebra nos dice que cada función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema forma la base para resolver ecuaciones polinómicas.

    Supongamos que\(f\) es una función polinómica de grado cuatro, y\(f (x)=0\). El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que existe al menos una solución compleja, llámala\(c_1\). Por el Teorema Factorial, podemos escribir\(f(x)\) como producto\(x−c_1\) y cociente polinomial. Dado que\(x−c_1\) es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el Teorema Fundamental del Álgebra al cociente polinómico de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámalo\(c_2\). Así podemos escribir el cociente polinomial como producto de\(x−c_2\) y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continuar aplicando el Teorema Fundamental del Álgebra hasta que se encuentren todos los ceros. Habrá cuatro de ellos y cada uno dará un factor de\(f(x)\).

    EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

    El Teorema Fundamental del Álgebra establece que, si\(f(x)\) es un polinomio de grado\(n > 0\), entonces\(f(x)\) tiene al menos un cero complejo.

    Podemos usar este teorema para argumentar que, si\(f(x)\) es un polinomio de grado\(n >0\), y a es un número real distinto de cero, entonces\(f(x)\) tiene factores exactamente\(n\) lineales

    \[f(x)=a(x−c_1)(x−c_2)...(x−c_n)\]

    donde\(c_1,c_2\),... ,\(c_n\) son números complejos. Por lo tanto,\(f(x)\) tiene\(n\) raíces si permitimos multiplicidades.

    Q&A: ¿Cada polinomio tiene al menos un cero imaginario?

    No. Los números reales son un subconjunto de números complejos, pero no al revés. Un número complejo no es necesariamente imaginario. Los números reales también son números complejos.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding the Zeros of a Polynomial Function with Complex Zeros

    Encuentra los ceros de\(f(x)=3x^3+9x^2+x+3\).

    Solución

    El Teorema del Cero Racional nos dice que si\(\frac{p}{q}\) es un cero de\(f(x)\), entonces\(p\) es un factor de 3 y\(q\) es un factor de 3.

    \[ \begin{align*} \dfrac{p}{q}=\dfrac{factor\space of\space constant\space term}{factor\space of\space leading\space coefficient} \\[4pt] &=\dfrac{factor\space of\space 3}{factor\space of\space 3} \end{align*}\]

    Los factores de 3 son ±1 y ±3. Los valores posibles para\(\dfrac{p}{q}\), y por lo tanto los posibles ceros racionales para la función, son ±3, ±1 y\(±\dfrac{1}{3}\). Utilizaremos la división sintética para evaluar cada cero posible hasta que encontremos uno que dé un resto de 0. Empecemos con —3.

    Dividir por\((x+3)\) da un resto de 0, por lo que —3 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como

    \[(x+3)(3x^2+1) \nonumber\]

    Entonces podemos establecer la cuadrática igual a 0 y resolver para encontrar los otros ceros de la función.

    \[ \begin{align*} 3x^2+1=0 \\[4pt] x^2 &=−\dfrac{1}{3} \\[4pt] x&=±−\sqrt{\dfrac{1}{3}} \\[4pt] &=±\dfrac{i\sqrt{3}}{3} \end{align*}\]

    Los ceros de\(f(x)\) son\(–3\) y\(±\dfrac{i\sqrt{3}}{3}\).

    Análisis

    Mira la gráfica de la función\(f\) en la Figura\(\PageIndex{2}\). Observe que, at\(x =−3\), la gráfica cruza el eje x, indicando una multiplicidad impar (1) para el cero\(x=–3\). También anotar la presencia de los dos puntos de inflexión. Esto quiere decir que, al existir un\(3^{rd}\) grado polinomio, estamos viendo el número máximo de puntos de inflexión. Entonces, continuará el comportamiento final de aumentar sin atarse a la derecha y disminuir sin atarse a la izquierda. Así, se muestran todas las intercepciones x para la función. Entonces o la multiplicidad de\(x=−3\) es 1 y hay dos soluciones complejas, que es lo que encontramos, o la multiplicidad en\(x =−3\) es tres. De cualquier manera, nuestro resultado es correcto.

    CNX_Precalc_Figure_03_06_002.jpg
    Figura\(\PageIndex{2}\).

    \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra los ceros de\(f(x)=2x^3+5x^2−11x+4\).

    Solución

    Los ceros son\(–4\),\(\frac{1}{2}\), y\(1\).

    Uso del teorema de factorización lineal para encontrar polinomios con ceros dados

    Una implicación vital del Teorema Fundamental del Álgebra, como señalamos anteriormente, es que una función polinómica de grado n tendrá\(n\) ceros en el conjunto de números complejos, si permitimos multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en\(n\) factores. El Teorema de Factorización Lineal nos dice que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma\((x−c)\), donde c es un número complejo.

    Dejar\(f\) ser una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos\(a +bi\),\(b≠0\), es un cero de\(f(x)\). Entonces, por el Teorema del Factor,\(x−(a+bi)\) es un factor de\(f(x)\). \(f\)Para tener coeficientes reales, también\(x−(a−bi)\) debe ser un factor de\(f(x)\). Esto es cierto porque cualquier factor que no sea\(x−(a−bi)\), cuando se multiplica por\(x−(a+bi)\), dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará como resultado coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica\(f\) con coeficientes reales tiene un cero complejo\(a +bi\), entonces el conjugado complejo también\(a−bi\) debe ser un cero de\(f(x)\). Esto se llama Teorema de Conjugado Complejo.

    TEorema de conjugado complejo

    De acuerdo con el Teorema de Factorización Lineal, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma\((x−c)\), donde\(c\) es un número complejo.

    Si la función polinómica\(f\) tiene coeficientes reales y un cero complejo en la forma\(a+bi\), entonces el conjugado complejo del cero,\(a−bi\), también es un cero.

    Cómo

    Dados los ceros de una función polinómica\(f\) y un punto\((c, f(c))\) en la gráfica de\(f\), utilice el Teorema de Factorización Lineal para encontrar la función polinómica.

    1. Usa los ceros para construir los factores lineales del polinomio.
    2. Multiplicar los factores lineales para expandir el polinomio.
    3. Sustituir\((c,f(c))\) a la función para determinar el coeficiente principal.
    4. Simplificar.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Using the Linear Factorization Theorem to Find a Polynomial with Given Zeros

    Encuentra un polinomio de cuarto grado con coeficientes reales que tenga ceros de\(–3\),\(2\),\(i\), tal que\(f(−2)=100\).

    Solución

    Porque\(x =i\) es un cero, por el Teorema Conjugado Complejo también\(x =–i\) es un cero. El polinomio debe tener factores de\((x+3),(x−2),(x−i)\), y\((x+i)\). Ya que estamos buscando un polinomio grado 4, y ahora tenemos cuatro ceros, tenemos los cuatro factores. Empecemos multiplicando estos factores.

    \[\begin{align} f(x) & =a(x+3)(x−2)(x−i)(x+i) \\ f(x) & =a(x^2+x−6)(x^2+1) \\ f(x) & =a(x^4+x^3−5x^2+x−6) \end{align} \]

    Tenemos que encontrar\(a\) para asegurar\(f(–2)=100\). Sustituto\(x=–2\) y\(f (-2)=100\) en\(f (x)\).

    \[\begin{align} 100=a({(−2)}^4+{(−2)}^3−5{(−2)}^2+(−2)−6) \\ 100=a(−20) \\ −5=a \end{align} \]

    Entonces la función polinómica es

    \[f(x)=−5(x^4+x^3−5x^2+x−6)\]

    o

    \[f(x)=−5x^4−5x^3+25x^2−5x+30\] Análisis

    Encontramos que ambos\(i\) y\(−i\) eran ceros, pero sólo se necesitaba dar uno de estos ceros. Si\(i\) es un cero de un polinomio con coeficientes reales, entonces también\(−i\) debe ser un cero del polinomio porque\(−i\) es el complejo conjugado de\(i\).

    Q&A

    Si\(2+3i\) se dieran como cero de un polinomio con coeficientes reales, ¿\(2−3i\)también necesitaría ser un cero?

    Sí. Cuando cualquier número complejo con un componente imaginario se da como un cero de un polinomio con coeficientes reales, el conjugado también debe ser un cero del polinomio.

    \(\PageIndex{5}\)

    Encontrar un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que tenga ceros de\(5\) y\(−2i\) tal que\(f (1)=10\).

    Solución

    \(f(x)=−\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}x^2−2x+10\)

    Uso de la regla de signos de Descartes

    Existe una manera sencilla de determinar los posibles números de ceros reales positivos y negativos para cualquier función polinómica. Si el polinomio está escrito en orden descendente, la Regla de Signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en\(f(x)\) y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica a continuación tiene un cambio de signo.

    CNX_Precalc_Figure_03_06_003.jpg

    Esto nos dice que la función debe tener 1 cero real positivo.

    Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en\(f(−x)\) y el número de ceros reales negativos.

    CNX_Precalc_Figure_03_06_004.jpg

    En este caso,\(f(−x)\) tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que\(f(x)\) podría tener 3 o 1 ceros reales negativos.

    REGLA DE LAS SEÑALES DE DESCARTAS

    Según la Regla de Signos de Descartes, si dejamos\(f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0\) ser una función polinómica con coeficientes reales:

    • El número de ceros reales positivos es igual al número de cambios de signo\(f(x)\) o es menor que el número de cambios de signo por un entero par.
    • El número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo\(f(−x)\) o es menor que el número de cambios de signo por un entero par.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Using Descartes’ Rule of Signs

    Utilice la Regla de Signos de Descartes para determinar los posibles números de ceros reales positivos y negativos para\(f(x)=−x^4−3x^3+6x^2−4x−12\).

    Solución

    Comience por determinar el número de cambios de signo.

    Hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales positivas. A continuación, examinamos\(f(−x)\) para determinar el número de raíces reales negativas.

    \[ \begin{align} f(−x) & =−{(−x)}^4−3{(−x)}^3+6{(−x)}^2−4(−x)−12 \\ f(−x) & =−x^4+3x^3+6x^2+4x−12 \end{align} \]

    La función, f (-x) =-x^4+3x^3+6x^2+4x-12, tiene cambio de dos signos entre -x^4 y 3x^3, y 4x y -12. `

    Nuevamente, hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales negativas.

    Hay cuatro posibilidades, como podemos ver en Tabla\(\PageIndex{1}\).

    Mesa\(\PageIndex{1}\)
    Ceros reales positivos Ceros reales negativos Ceros Complejos Ceros Totales
    2 2 0 4
    2 0 2 4
    0 2 2 4
    0 0 4 4
    Análisis

    Podemos confirmar los números de raíces reales positivas y negativas examinando una gráfica de la función. Ver Figura\(\PageIndex{3}\). Podemos ver en la gráfica que la función tiene 0 raíces reales positivas y 2 raíces reales negativas.

    Gráfica de f (x) =-x^4-3x^3+6x^2-4x-12 con intercepciones x a -4.42 y -1.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    \(\PageIndex{6}\)

    Utilice la Regla de Signos de Descartes para determinar los números máximos posibles de ceros reales positivos y negativos para\(f(x)=2x^4−10x^3+11x^2−15x+12\). Utilice una gráfica para verificar los números de ceros reales positivos y negativos para la función.

    Solución

    Debe haber 4, 2 o 0 raíces reales positivas y 0 raíces reales negativas. La gráfica muestra que hay 2 ceros reales positivos y 0 ceros reales negativos.

    Resolver aplicaciones del mundo real

    Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Usemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería desde el inicio de la sección.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Resolviendo Ecuaciones Polinómicas

    Una nueva panadería ofrece pasteles decorados para fiestas de cumpleaños infantiles y otras ocasiones especiales. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene la forma de un sólido rectangular. Quieren que el largo del pastel sea cuatro pulgadas más largo que el ancho del pastel y que la altura del pastel sea un tercio del ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde para pasteles?

    Solución

    Comience por escribir una ecuación para el volumen del pastel. El volumen de un sólido rectangular viene dado por\(V=lwh\). Nos dieron que el largo debe ser cuatro pulgadas más largo que el ancho, para que podamos expresar la longitud del pastel como\(l=w+4\). Nos dieron que la altura del pastel es de un tercio del ancho, por lo que podemos expresar la altura del pastel como\(h=\dfrac{1}{3}w\). Escribamos el volumen del pastel en cuanto al ancho del pastel.

    \[V=(w+4)(w)(\dfrac{1}{3}w)\] \[V=\dfrac{1}{3}w^3+\dfrac{4}{3}w^2\]

    Sustituir el volumen dado en esta ecuación.

    \(351=13w^3+43w^2\)Sustituto 351 por V. \(1053=w^3+4w^2\) Multiplica ambos lados por 3. \(0=w^3+7w^2−1053\)Restar 1053 de ambos lados.

    La regla de signos de Descartes nos dice que hay una solución positiva. El Teorema del Cero Racional nos dice que los posibles ceros racionales son\(\pm 1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351,\) y\(±1053\). Podemos usar división sintética para probar estos posibles ceros. Solo los números positivos tienen sentido como dimensiones para un pastel, por lo que no necesitamos probar ningún valor negativo. Comencemos probando valores que tengan más sentido como dimensiones para un pequeño pastel de hoja. Use división sintética para verificar\(x=1\).

    alt

    Ya que 1 no es una solución, comprobaremos\(x=3\).

    alt

    Ya que 3 tampoco es una solución, vamos a probar\(x=9\).

    alt

    La división sintética da un resto de 0, por lo que 9 es una solución a la ecuación. Podemos usar las relaciones entre el ancho y las otras dimensiones para determinar la longitud y la altura del molde para tartas.

    \(l=w+4=9+4=13\)y\(h=\dfrac{1}{3}w=\dfrac{1}{3}(9)=3\)

    El molde de hoja para pastel debe tener dimensiones 13 pulgadas por 9 pulgadas por 3 pulgadas

    \(\PageIndex{7}\)

    Un contenedor de envío en forma de sólido rectangular debe tener un volumen de 84 metros cúbicos. El cliente le dice al fabricante que, por el contenido, la longitud del contenedor debe ser un metro más larga que la anchura, y la altura debe ser un metro mayor que el doble del ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del contenedor?

    Solución

    3 metros por 4 metros por 7 metros

    Conceptos clave

    • Para encontrar\(f(k)\), determinar el resto del polinomio\(f(x)\) cuando se divide por\(x−k\). Esto se conoce como el Teorema del Resto. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
    • Según el Teorema de los Factores,\(k\) es un cero de\(f(x)\) si y sólo si\((x−k)\) es un factor de\(f(x)\). Ver Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
    • Según el Teorema del Cero Racional, cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido por un factor del coeficiente inicial. Ver Ejemplo\(\PageIndex{3}\) y Ejemplo\(\PageIndex{4}\).
    • Cuando el coeficiente inicial es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.
    • La división sintética se puede utilizar para encontrar los ceros de una función polinómica. Ver Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
    • Según el Teorema Fundamental, cada función polinómica con grado mayor a 0 tiene al menos un cero complejo. Ver Ejemplo\(\PageIndex{6}\).
    • Al permitir multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor estará en la forma\((x−c)\), donde\(c\) es un número complejo. Ver Ejemplo\(\PageIndex{7}\).
    • El número de ceros reales positivos de una función polinómica es el número de cambios de signo de la función o menor que el número de cambios de signo por un entero par.
    • El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo\(f(−x)\) o menor que el número de cambios de signo por un entero par. Ver Ejemplo\(\PageIndex{8}\).
    • Las ecuaciones polinómicas modelan muchos escenarios del mundo real. Resolver las ecuaciones es más fácil de hacer por división sintética. Ver Ejemplo\(\PageIndex{9}\).

    Glosario

    Regla de Señales de Descartes

    una regla que determina los números máximos posibles de ceros reales positivos y negativos en función del número de cambios de signo de\(f(x)\) y\(f(−x)\)

    Teorema de factores

    \(k\)es un cero de función polinómica\(f(x)\) si y solo si\((x−k)\) es un factor de\(f(x)\)

    Teorema Fundamental de Álgebra

    una función polinómica con grado mayor que 0 tiene al menos un cero complejo

    Teorema de factorización lineal

    permitiendo multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma\((x−c)\), donde\(c\) es un número complejo

    Teorema Racional Cero

    los posibles ceros racionales de una función polinómica tienen la forma\(\frac{p}{q}\) donde\(p\) es un factor del término constante y\(q\) es un factor del coeficiente inicial.

    Teorema del resto

    si un polinomio\(f(x)\) se divide por\(x−k\), entonces el resto es igual al valor\(f(k)\)


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