7.4: Fórmulas Suma a Producto y Producto a Suma
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- Sumas expresas como productos.
Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que refuerza a la multitud. Ese sonido viaja como una onda que puede ser interpretada usando funciones trigonométricas.
Figura\(\PageIndex{1}\): La banda de música de UCLA (crédito: Eric Chan, Flickr).
Por ejemplo, Figura\(\PageIndex{2}\) representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.
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Figura\(\PageIndex{2}\)
Expresar productos como sumas
Ya hemos aprendido una serie de fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces es posible que necesitemos expresar el producto del coseno y del seno como una suma. Podemos usar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad coseno y luego la identidad sinusoidal.
Expresar productos como sumas para coseno
Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \underline{ \cos(\alpha+\beta) }\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\end{align*}\]
Luego, dividimos por 2 para aislar el producto de los cosenos:
\[ \cos \alpha \cos \beta= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \label{eq1}\]
- Escribe la fórmula para el producto de los cosenos.
- Sustituir los ángulos dados en la fórmula.
- Simplificar.
Escribe el siguiente producto de cosenos como suma:\(2\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)\).
Solución
Comenzamos por escribir la fórmula para el producto de los cosenos (Ecuación\ ref {eq1}):
\[ \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) ] \nonumber \]
Entonces podemos sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar.
\[\begin{align*} 2 \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)&= 2\left(\dfrac{1}{2}\right)[ \cos\left(\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{7x}{2}+\dfrac{3x}{2}\right) ]\\[4pt] &= \cos\left(\dfrac{4x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{10x}{2}\right) \\[4pt] &= \cos 2x+\cos 5x \end{align*}\]
Utilice la fórmula de producto a suma (Ecuación\ ref {eq1}) para escribir el producto como una suma o diferencia:\(\cos(2\theta)\cos(4\theta)\).
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{2}(\cos 6\theta+\cos 2\theta)\)
Expresando el Producto de Seno y Coseno como una Suma
A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para seno y coseno a partir de las fórmulas suma y diferencia para seno. Si agregamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \cos(\alpha+\beta)\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of cosines:}\\[4pt] \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align*}\]
Expresar el siguiente producto como una suma que contenga solo seno o coseno y ningún producto:\(\sin(4\theta)\cos(2\theta)\).
Solución
Escribe la fórmula para el producto de seno y coseno. Después sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique.
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]\\[4pt] \sin(4\theta)\cos(2\theta)&= \dfrac{1}{2}[\sin(4\theta+2\theta)+\sin(4\theta-2\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\sin(6\theta)+\sin(2\theta)] \end{align*}\]
Utilice la fórmula de producto a suma para escribir el producto como una suma:\(\sin(x+y)\cos(x−y)\).
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2y)\)
Expresar productos de los senos en términos de coseno
Expresar el producto de los senos en términos de coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia para el coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas coseno:
\[\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)&= \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \underline{-\cos(\alpha+\beta)}&= -(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&= 2 \sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of sines:}\\[4pt] \sin \alpha \sin \beta&= \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ] \end{align*}\]
De igual manera podríamos expresar el producto de los cosenos en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.
Las fórmulas de producto a suma son las siguientes:
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)]\]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)]\]
Escribir\(\cos(3\theta) \cos(5\theta)\) como suma o diferencia.
Solución
Tenemos el producto de los cosenos, por lo que comenzamos por escribir la fórmula relacionada. Entonces sustituimos los ángulos dados y simplificamos.
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\[4pt] \cos(3\theta)\cos(5\theta)&= \dfrac{1}{2}[\cos(3\theta-5\theta)+\cos(3\theta+5\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\cos(2\theta)+\cos(8\theta)]\qquad \text{Use even-odd identity} \end{align*}\]
Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar\(\cos \dfrac{11\pi}{12} \cos \dfrac{\pi}{12}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{−2−\sqrt{3}}{4}\)
Expresar sumas como productos
Algunos problemas requieren el reverso del proceso que acabamos de usar. Las fórmulas suma-a-producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas se pueden derivar de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con algunas sustituciones, podemos derivar la identidad suma-a-producto para seno. Dejar\(\dfrac{u+v}{2}=\alpha\) y\(\dfrac{u−v}{2}=\beta\).
Entonces,
\[\begin{align*} \alpha+\beta&= \dfrac{u+v}{2}+\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2u}{2}\\[4pt] &= u \end{align*}\]
\[\begin{align*} \alpha-\beta&= \dfrac{u+v}{2}-\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2v}{2}\\[4pt] &= v \end{align*}\]
Por lo tanto, reemplazando\(\alpha\) y\(\beta\) en la fórmula de producto a suma por las expresiones sustitutas, tenemos
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\[4pt] \sin \left ( \frac{u+v}{2} \right ) \cos \left ( \frac{u-v}{2} \right )&= \frac{1}{2}[\sin u + \sin v]\qquad \text{Substitute for } (\alpha+\beta) \text{ and } (\alpha\beta)\\[4pt] 2\sin\left(\dfrac{u+v}{2}\right) \cos\left(\dfrac{u-v}{2}\right)&= \sin u+\sin v \end{align*}\]
Las otras identidades de suma a producto se derivan de manera similar.
Las fórmulas de suma a producto son las siguientes:
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
Escribe la siguiente diferencia de expresión de senos como producto:\(\sin(4\theta)−\sin(2\theta)\).
Solución
Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de senos.
\[\begin{align*} \sin \alpha-\sin \beta&= 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\\[4pt] \text {Substitute the values into the formula, and simplify.}\\[4pt] \sin(4\theta)-\sin(2\theta)&= 2\sin\left(\dfrac{4\theta-2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4\theta+2\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2\sin\left(\dfrac{2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{6\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2 \sin \theta \cos(3\theta) \end{align*}\]
Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como un producto:\(\sin(3\theta)+\sin(\theta)\).
- Contestar
-
\(2\sin(2\theta)\cos(\theta)\)
Evaluar\(\cos(15°)−\cos(75°)\). Consulta la respuesta con una calculadora gráfica.
Solución
Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de cosenos.
\ [\ begin {align*}
\ cos\ alpha-\ cos\ beta&= -2\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha+\ beta} {2}\ right)\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha-\ beta} {2}\ right)\\ [4pt]
\ text {Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.}\\ [4pt]
\ cos (15pt ^ {\ circ}) -\ cos (75^ {\ circ}) &= -2\ sin\ izquierda (\ dfrac {15^ {\ circ} +75^ {\ circ}} {2}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ dfrac {15^ {\ circ} -75^ {\ circ}} {2}\ derecha)\\ [4pt]
&= -2\ sin (45^ {\ circ})\ sin (-30^ {\ circ})\\ [4pt]
&= -2\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha)\ izquierda (-\ dfrac {1} {2}\ derecha)\\ [4pt]
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {align*}\]
Demostrar la identidad:
\[\dfrac{\cos(4t)−\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}=−\tan t\]
Solución
Comenzaremos por el lado izquierdo, el lado más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho.
\[\begin{align*} \dfrac{\cos(4t)-\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}&= \dfrac{-2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}\\[4pt] &= \dfrac{-2 \sin(3t)\sin t}{2 \sin(3t)\cos t}\\[4pt] &= -\dfrac{\sin t}{\cos t}\\[4pt] &= -\tan t \end{align*}\]
Análisis
Recordemos que verificar identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando probamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacer sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro lado.
Verificar la identidad\({\csc}^2 \theta−2=\cos(2\theta)\sin2\theta\).
Solución
Para verificar esta ecuación, estamos reuniendo varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula de doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y la reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo.
\[\begin{align*} \cos(2\theta)\sin2\theta&= \dfrac{1-2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= \dfrac{1}{{\sin}^2 \theta}-\dfrac{2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= {\csc}^2 \theta - 2 \end{align*}\]
Verificar la identidad\(\tan \theta \cot \theta−{\cos}^2 \theta={\sin}^2 \theta\).
- Contestar
-
\[\begin{align*} \tan \theta \cot \theta-{\cos}^2 \theta&= \left(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= 1-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= {\sin}^2 \theta \end{align*}\]
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con las identidades de producto a suma y suma a producto.
Ecuaciones Clave
Fórmulas de producto a suma
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
Fórmulas Suma a Producto
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
Conceptos clave
- A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y las fórmulas de suma a producto para seno y coseno.
- Podemos usar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, productos de cosenos y productos de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
- También podemos derivar las identidades suma-a-producto a partir de las identidades de producto a suma usando la sustitución.
- Podemos usar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{4}\).
- Las expresiones trigonométricas suelen ser más simples de evaluar usando las fórmulas. Ver Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
- Las identidades se pueden verificar usando otras fórmulas o convirtiendo las expresiones en senos y cosenos. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo igual y lo reescribimos hasta que se transforma en el otro lado. Ver Ejemplo\(\PageIndex{6}\) y Ejemplo\(\PageIndex{7}\).