7.4: Fórmulas Suma a Producto y Producto a Suma

Objetivos de aprendizaje

• Productos express como sumas.
• Sumas expresas como productos.

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que refuerza a la multitud. Ese sonido viaja como una onda que puede ser interpretada usando funciones trigonométricas.

Figura\(\PageIndex{1}\): La banda de música de UCLA (crédito: Eric Chan, Flickr).

Por ejemplo, Figura\(\PageIndex{2}\) representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Expresar productos como sumas

Ya hemos aprendido una serie de fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces es posible que necesitemos expresar el producto del coseno y del seno como una suma. Podemos usar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad coseno y luego la identidad sinusoidal.

Expresar productos como sumas para coseno

Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \underline{ \cos(\alpha+\beta) }\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\end{align*}\]

Luego, dividimos por 2 para aislar el producto de los cosenos:

\[ \cos \alpha \cos \beta= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \label{eq1}\]

Cómo: Dado un producto de cosenos, expresar como suma

1. Escribe la fórmula para el producto de los cosenos.
2. Sustituir los ángulos dados en la fórmula.
3. Simplificar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Writing the Product as a Sum Using the Product-to-Sum Formula for Cosine

Escribe el siguiente producto de cosenos como suma:\(2\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)\).

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula para el producto de los cosenos (Ecuación\ ref {eq1}):

\[ \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) ] \nonumber \]

Entonces podemos sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar.

\[\begin{align*} 2 \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)&= 2\left(\dfrac{1}{2}\right)[ \cos\left(\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{7x}{2}+\dfrac{3x}{2}\right) ]\\[4pt] &= \cos\left(\dfrac{4x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{10x}{2}\right) \\[4pt] &= \cos 2x+\cos 5x \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la fórmula de producto a suma (Ecuación\ ref {eq1}) para escribir el producto como una suma o diferencia:\(\cos(2\theta)\cos(4\theta)\).

Contestar

\(\dfrac{1}{2}(\cos 6\theta+\cos 2\theta)\)

Expresando el Producto de Seno y Coseno como una Suma

A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para seno y coseno a partir de las fórmulas suma y diferencia para seno. Si agregamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \cos(\alpha+\beta)\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of cosines:}\\[4pt] \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Writing the Product as a Sum Containing only Sine or Cosine

Expresar el siguiente producto como una suma que contenga solo seno o coseno y ningún producto:\(\sin(4\theta)\cos(2\theta)\).

Solución

Escribe la fórmula para el producto de seno y coseno. Después sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique.

\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]\\[4pt] \sin(4\theta)\cos(2\theta)&= \dfrac{1}{2}[\sin(4\theta+2\theta)+\sin(4\theta-2\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\sin(6\theta)+\sin(2\theta)] \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la fórmula de producto a suma para escribir el producto como una suma:\(\sin(x+y)\cos(x−y)\).

Contestar

\(\dfrac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2y)\)

Expresar productos de los senos en términos de coseno

Expresar el producto de los senos en términos de coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia para el coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas coseno:

\[\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)&= \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \underline{-\cos(\alpha+\beta)}&= -(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&= 2 \sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of sines:}\\[4pt] \sin \alpha \sin \beta&= \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ] \end{align*}\]

De igual manera podríamos expresar el producto de los cosenos en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

LAS FÓRULAS DE PRODUCTO

Las fórmulas de producto a suma son las siguientes:

\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\]

\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)]\]

\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)]\]

\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)]\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Express the Product as a Sum or Difference

Escribir\(\cos(3\theta) \cos(5\theta)\) como suma o diferencia.

Solución

Tenemos el producto de los cosenos, por lo que comenzamos por escribir la fórmula relacionada. Entonces sustituimos los ángulos dados y simplificamos.

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\[4pt] \cos(3\theta)\cos(5\theta)&= \dfrac{1}{2}[\cos(3\theta-5\theta)+\cos(3\theta+5\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\cos(2\theta)+\cos(8\theta)]\qquad \text{Use even-odd identity} \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar\(\cos \dfrac{11\pi}{12} \cos \dfrac{\pi}{12}\).

Contestar

\(\dfrac{−2−\sqrt{3}}{4}\)

Expresar sumas como productos

Algunos problemas requieren el reverso del proceso que acabamos de usar. Las fórmulas suma-a-producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas se pueden derivar de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con algunas sustituciones, podemos derivar la identidad suma-a-producto para seno. Dejar\(\dfrac{u+v}{2}=\alpha\) y\(\dfrac{u−v}{2}=\beta\).

Entonces,

\[\begin{align*} \alpha+\beta&= \dfrac{u+v}{2}+\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2u}{2}\\[4pt] &= u \end{align*}\]

\[\begin{align*} \alpha-\beta&= \dfrac{u+v}{2}-\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2v}{2}\\[4pt] &= v \end{align*}\]

Por lo tanto, reemplazando\(\alpha\) y\(\beta\) en la fórmula de producto a suma por las expresiones sustitutas, tenemos

\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\[4pt] \sin \left ( \frac{u+v}{2} \right ) \cos \left ( \frac{u-v}{2} \right )&= \frac{1}{2}[\sin u + \sin v]\qquad \text{Substitute for } (\alpha+\beta) \text{ and } (\alpha\beta)\\[4pt] 2\sin\left(\dfrac{u+v}{2}\right) \cos\left(\dfrac{u-v}{2}\right)&= \sin u+\sin v \end{align*}\]

Las otras identidades de suma a producto se derivan de manera similar.

Fórmulas Suma a Producto

Las fórmulas de suma a producto son las siguientes:

\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]

\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\]

\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]

\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Writing the Difference of Sines as a Product

Escribe la siguiente diferencia de expresión de senos como producto:\(\sin(4\theta)−\sin(2\theta)\).

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de senos.

\[\begin{align*} \sin \alpha-\sin \beta&= 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\\[4pt] \text {Substitute the values into the formula, and simplify.}\\[4pt] \sin(4\theta)-\sin(2\theta)&= 2\sin\left(\dfrac{4\theta-2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4\theta+2\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2\sin\left(\dfrac{2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{6\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2 \sin \theta \cos(3\theta) \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como un producto:\(\sin(3\theta)+\sin(\theta)\).

Contestar

\(2\sin(2\theta)\cos(\theta)\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Evaluating Using the Sum-to-Product Formula

Evaluar\(\cos(15°)−\cos(75°)\). Consulta la respuesta con una calculadora gráfica.

Solución

Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de cosenos.

\ [\ begin {align*}
\ cos\ alpha-\ cos\ beta&= -2\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha+\ beta} {2}\ right)\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha-\ beta} {2}\ right)\\ [4pt]
\ text {Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos.}\\ [4pt]
\ cos (15pt ^ {\ circ}) -\ cos (75^ {\ circ}) &= -2\ sin\ izquierda (\ dfrac {15^ {\ circ} +75^ {\ circ}} {2}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ dfrac {15^ {\ circ} -75^ {\ circ}} {2}\ derecha)\\ [4pt]
&= -2\ sin (45^ {\ circ})\ sin (-30^ {\ circ})\\ [4pt]
&= -2\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha)\ izquierda (-\ dfrac {1} {2}\ derecha)\\ [4pt]
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Proving an Identity

Demostrar la identidad:

\[\dfrac{\cos(4t)−\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}=−\tan t\]

Solución

Comenzaremos por el lado izquierdo, el lado más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho.

\[\begin{align*} \dfrac{\cos(4t)-\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}&= \dfrac{-2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}\\[4pt] &= \dfrac{-2 \sin(3t)\sin t}{2 \sin(3t)\cos t}\\[4pt] &= -\dfrac{\sin t}{\cos t}\\[4pt] &= -\tan t \end{align*}\]

Análisis

Recordemos que verificar identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando probamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacer sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro lado.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Verifying the Identity Using Double-Angle Formulas and Reciprocal Identities

Verificar la identidad\({\csc}^2 \theta−2=\cos(2\theta)\sin2\theta\).

Solución

Para verificar esta ecuación, estamos reuniendo varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula de doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y la reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo.

\[\begin{align*} \cos(2\theta)\sin2\theta&= \dfrac{1-2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= \dfrac{1}{{\sin}^2 \theta}-\dfrac{2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= {\csc}^2 \theta - 2 \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Verificar la identidad\(\tan \theta \cot \theta−{\cos}^2 \theta={\sin}^2 \theta\).

Contestar

\[\begin{align*} \tan \theta \cot \theta-{\cos}^2 \theta&= \left(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= 1-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= {\sin}^2 \theta \end{align*}\]

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con las identidades de producto a suma y suma a producto.

• Suma a las identidades del producto
• Suma a Producto y Producto a Suma Identidades

Ecuaciones Clave

Fórmulas de producto a suma

\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]

\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]

\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]

\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]

Fórmulas Suma a Producto

\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]

\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2}) \nonumber \]

\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]

\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]

Conceptos clave

• A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y las fórmulas de suma a producto para seno y coseno.
• Podemos usar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, productos de cosenos y productos de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
• También podemos derivar las identidades suma-a-producto a partir de las identidades de producto a suma usando la sustitución.
• Podemos usar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{4}\).
• Las expresiones trigonométricas suelen ser más simples de evaluar usando las fórmulas. Ver Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
• Las identidades se pueden verificar usando otras fórmulas o convirtiendo las expresiones en senos y cosenos. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo igual y lo reescribimos hasta que se transforma en el otro lado. Ver Ejemplo\(\PageIndex{6}\) y Ejemplo\(\PageIndex{7}\).