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7.5: Resolver ecuaciones trigonométricas

  • Page ID
    121585
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno.
    • Resolver ecuaciones que involucran una sola función trigonométrica.
    • Resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora.
    • Resolver ecuaciones trigonométricas que son cuadráticas en forma.
    • Resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades fundamentales.
    • Resuelve ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos.
    • Resolver problemas del triángulo rectángulo.

    Tales de Mileto (circa 625—547 a.C.) es conocido como el fundador de la geometría. La leyenda es que calculó la altura de la Gran Pirámide de Giza en Egipto utilizando la teoría de triángulos similares, que desarrolló midiendo la sombra de su bastón. Basada en proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varias áreas, incluyendo geometría fractal, ingeniería y arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran usando triángulos similares.

    Foto de las pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Pirámides egipcias de pie cerca de una ciudad moderna. (crédito: Oisin Mulvihill)

    En secciones anteriores de este capítulo, observamos identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de ecuaciones trigonométricas para estudiar escenarios del mundo real como el hallazgo de las dimensiones de las pirámides.

    Resolución de ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

    Las ecuaciones trigonométricas son, como su nombre lo indica, ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Similar en muchos sentidos a resolver ecuaciones polinómicas o ecuaciones racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si hay soluciones en absoluto. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica a lo largo de un intervalo especificado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que busquemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones. Adicionalmente, al igual que las ecuaciones racionales, el dominio de la función debe ser considerado antes de suponer que cualquier solución es válida. El periodo tanto de la función sinusoidal como de la función coseno es\(2\pi\). Es decir, cada\(2\pi\) unidad, los valores y se repiten. Si necesitamos encontrar todas las soluciones posibles, entonces debemos agregar\(2\pi k\), donde\(k\) es un entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para indicar todas las soluciones posibles para una función donde el periodo es\(2\pi\):

    \[\sin \theta=\sin(\theta \pm 2k\pi)\]

    Existen reglas similares para indicar todas las soluciones posibles para las otras funciones trigonométricas. Resolver ecuaciones trigonométricas requiere las mismas técnicas que resolver ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, horizontalmente, como una oración. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, encontramos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que desarrollamos en las secciones anteriores.

    Ejemplo\(\PageIndex{1A}\): Solving a Linear Trigonometric Equation Involving the Cosine Function

    Encuentre todas las soluciones exactas posibles para la ecuación\(\cos \theta=\dfrac{1}{2}\).

    Solución

    Desde el círculo de unidades, sabemos que

    \[ \begin{align*} \cos \theta &=\dfrac{1}{2} \\[4pt] \theta &=\dfrac{\pi}{3},\space \dfrac{5\pi}{3} \end{align*}\]

    Estas son las soluciones en el intervalo\([ 0,2\pi ]\). Todas las soluciones posibles son dadas por

    \[\theta=\dfrac{\pi}{3} \pm 2k\pi \quad \text{and} \quad \theta=\dfrac{5\pi}{3} \pm 2k\pi \nonumber\]

    donde\(k\) es un número entero.

    Ejemplo\(\PageIndex{1B}\): Solving a Linear Equation Involving the Sine Function

    Encuentre todas las soluciones exactas posibles para la ecuación\(\sin t=\dfrac{1}{2}\).

    Solución

    Resolver para todos los valores posibles de\(t\) significa que las soluciones incluyen ángulos más allá del período de\(2\pi\). Desde la sección de Identidades Suma y Diferencia, podemos ver que las soluciones son\(t=\dfrac{\pi}{6}\) y\(t=\dfrac{5\pi}{6}\). Pero el problema es pedir todos los valores posibles que resuelvan la ecuación. Por lo tanto, la respuesta es

    \[t=\dfrac{\pi}{6}\pm 2\pi k \quad \text{and} \quad t=\dfrac{5\pi}{6}\pm 2\pi k \nonumber\]

    donde\(k\) es un número entero.

    Cómo: Dada una ecuación trigonométrica, resolver usando álgebra
    1. Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización.
    2. Sustituir la expresión trigonométrica por una sola variable, como\(x\) o\(u\).
    3. Resuelve la ecuación de la misma manera que se resolvería una ecuación algebraica.
    4. Sustituya la expresión trigonométrica de nuevo por la variable en las expresiones resultantes.
    5. Resuelve para el ángulo.
    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Solve the Linear Trigonometric Equation

    Resolver la ecuación exactamente:\(2 \cos \theta−3=−5\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Utilizar técnicas algebraicas para resolver la ecuación.

    \[\begin{align*} 2 \cos \theta-3&= -5\\ 2 \cos \theta&= -2\\ \cos \theta&= -1\\ \theta&= \pi \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resuelve exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo\([0,2\pi)\):\(2 \sin x+1=0\).

    Responder

    \(x=\dfrac{7\pi}{6},\space \dfrac{11\pi}{6}\)

    Resolver ecuaciones que involucran una sola función trigonométrica

    Cuando se nos dan ecuaciones que involucran solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y el círculo unitario (ver [link]). Necesitamos hacer varias consideraciones cuando la ecuación involucra funciones trigonométricas distintas de seno y coseno. Los problemas que involucran los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben ser vistos desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos para los ángulos usando la función. Además, una ecuación que involucra la función tangente es ligeramente diferente de una que contiene una función sinusoidal o coseno. Primero, como sabemos, el periodo de tangente es\(\pi\), no\(2\pi\). Además, el dominio de tangente es todos los números reales con la excepción de los múltiplos enteros impares de\(\dfrac{\pi}{2}\), a menos que, por supuesto, un problema coloque sus propias restricciones en el dominio.

    Ejemplo\(\PageIndex{3A}\): Solving a Problem Involving a Single Trigonometric Function

    Resolver el problema exactamente:\(2 {\sin}^2 \theta−1=0\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Como este problema no se factoriza fácilmente, resolveremos usando la propiedad raíz cuadrada. Primero, usamos álgebra para aislar\(\sin \theta\). Entonces encontraremos los ángulos.

    \ [\ begin {align*}
    2 {\ sin} ^2\ theta-1&= 0\\
    2 {\ sin} ^2\ theta&= 1\\
    {\ sin} ^2\ theta&=\ dfrac {1} {2}\
    \ sqrt

    ParseError: invalid DekiScript (click for details)
    Callstack:
        at (Matematicas/Precalculo_y_Trigonometria/Precálculo_(OpenStax)/07:_Identidades_trigonométricas_y_ecuaciones/7.05:_Resolver_ecuaciones_trigonométricas), /content/body/div[3]/div[1]/div/p[4]/span, line 1, column 1
    
    \\
    \ sin\ theta&=\ pm\ dfrac {1} {\ sqrt {2}}\\
    &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
    \ theta&=\ dfrac {\ pi} {4},\ espacio\ dfrac {3\ pi} {4},\ espacio\ dfrac {5\ pi} {4},\ espacio\ dfrac {7\ pi} {4}
    \ end {align*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3B}\): Solving a Trigonometric Equation Involving Cosecant

    Resuelve exactamente la siguiente ecuación:\(\csc \theta=−2\),\(0≤\theta<4\pi\).

    Solución

    Queremos todos los valores de\(\theta\) para los cuales\(\csc \theta=−2\) sobre el intervalo\(0≤\theta<4\pi\).

    \[\begin{align*} \csc \theta&= -2\\ \dfrac{1}{\sin \theta}&= -2\\ \sin \theta&= -\dfrac{1}{2}\\ \theta&= \dfrac{7\pi}{6},\space \dfrac{11\pi}{6},\space \dfrac{19\pi}{6}, \space \dfrac{23\pi}{6} \end{align*}\]

    Análisis

    Como\(\sin \theta=−\dfrac{1}{2}\), observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrantes.

    Ejemplo\(\PageIndex{3C}\): Solving an Equation Involving Tangent

    Resolver la ecuación exactamente:\(\tan\left(\theta−\dfrac{\pi}{2}\right)=1\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Recordemos que la función tangente tiene un periodo de\(\pi\). En el intervalo\([ 0,\pi )\), y en el ángulo de\(\dfrac{\pi}{4}\), la tangente tiene un valor de\(1\). No obstante, el ángulo que queremos es\(\left(\theta−\dfrac{\pi}{2}\right)\). Por lo tanto, si\(\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1\), entonces

    \[\begin{align*} \theta-\dfrac{\pi}{2}&= \dfrac{\pi}{4}\\ \theta&= \dfrac{3\pi}{4} \pm k\pi \end{align*}\]

    A lo largo del intervalo\([ 0,2\pi )\), tenemos dos soluciones:

    \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\)y\(\theta=\dfrac{3\pi}{4}+\pi=\dfrac{7\pi}{4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentre todas las soluciones para\(\tan x=\sqrt{3}\).

    Responder

    \(\dfrac{\pi}{3}\pm \pi k\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Identify all Solutions to the Equation Involving Tangent

    Identificar todas las soluciones exactas a la ecuación\(2(\tan x+3)=5+\tan x\),\(0≤x<2\pi\).

    Solución

    Podemos resolver esta ecuación usando solo álgebra. Aísle la expresión\(\tan x\) en el lado izquierdo del signo igual.

    \[\begin{align*} 2(\tan x)+2(3)&= 5+\tan x\\ 2\tan x+6&= 5+\tan x\\ 2\tan x-\tan x&= 5-6\\ \tan x&= -1 \end{align*}\]

    Hay dos ángulos en el círculo unitario que tienen un valor tangente de\(−1\):\(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\) y\(\theta=\dfrac{7\pi}{4}\).

    Resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora

    No todas las funciones se pueden resolver exactamente usando solo el círculo unitario. Cuando debemos resolver una ecuación que involucre un ángulo distinto de uno de los ángulos especiales, necesitaremos usar una calculadora. Asegúrese de que esté configurado en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.

    Ejemplo\(\PageIndex{5A}\): Using a Calculator to Solve a Trigonometric Equation Involving Sine

    Usa una calculadora para resolver la ecuación\(\sin \theta=0.8\), donde\(\theta\) está en radianes.

    Solución

    Asegúrese de que el modo esté configurado en radianes. Para buscar\(\theta\), usa la función sinusoidal inversa. En la mayoría de las calculadoras, deberá presionar el botón 2 ND y luego el botón SIN para que aparezca la\({\sin}^{−1}\) función. Lo que se muestra en la pantalla es\({\sin}^{−1}\) .La calculadora está lista para la entrada dentro de los paréntesis. Para este problema\({\sin}^{−1}(0.8)\), ingresamos y presionamos ENTRAR. Así, a cuatro decimales lugares,

    \({\sin}^{−1}(0.8)≈0.9273\)

    La solución es

    \(\theta≈0.9273\pm 2\pi k\)

    La medición del ángulo en grados es

    \[\begin{align*} \theta&\approx 53.1^{\circ}\\ \theta&\approx 180^{\circ}-53.1^{\circ}\\ &\approx 126.9^{\circ} \end{align*}\]

    Análisis

    Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función sinusoidal, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene mediante el uso\(\pi−\theta\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5B}\): Using a Calculator to Solve a Trigonometric Equation Involving Secant

    Usa una calculadora para resolver la ecuación\( \sec θ=−4, \) dando tu respuesta en radianes.

    Solución

    Podemos comenzar con algo de álgebra.

    \[\begin{align*} \sec \theta&= -4\\ \dfrac{1}{\cos \theta}&= -4\\ \cos \theta&= -\dfrac{1}{4} \end{align*}\]

    Verifique que el MODO esté en radianes. Ahora usa la función de coseno inverso

    \[\begin{align*}{\cos}^{-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right)&\approx 1.8235\\ \theta&\approx 1.8235+2\pi k \end{align*}\]

    Ya que\(\dfrac{\pi}{2}≈1.57\) y\(\pi≈3.14\),\(1.8235\) está entre estos dos números, así\(\theta≈1.8235\) está en el cuadrante II. El coseno también es negativo en el cuadrante III. Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o II para la función coseno, ya que ese es el rango del coseno inverso. Ver Figura\(\PageIndex{2}\).

    Gráfico de ángulos theta = aproximadamente 1.8235, theta prime = aproximadamente pi - 1.8235 = aproximadamente 1.3181, y luego theta prime = pi + 1.3181 = aproximadamente 4.4597
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Entonces, también necesitamos encontrar la medida del ángulo en el cuadrante III. En el cuadrante III, el ángulo de referencia es\(\theta '≈\pi−1.8235≈1.3181\). La otra solución en el cuadrante III es\(\theta '≈\pi+1.3181≈4.4597\).

    Las soluciones son\(\theta≈1.8235\pm 2\pi k\) y\(\theta≈4.4597\pm 2\pi k\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Resolver\(\cos \theta=−0.2\).

    Responder

    \(\theta≈1.7722\pm 2\pi k\)y\(\theta≈4.5110\pm 2\pi k\)

    Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

    Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos usar álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mira el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación, o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es cuadrada? Si sólo hay una función representada y uno de los términos es cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Reemplazar la función trigonométrica con una variable como\(x\) o\(u\). Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos usar los mismos métodos para resolver cuadráticas para resolver las ecuaciones trigonométricas.

    Ejemplo\(\PageIndex{6A}\): Solving a Trigonometric Equation in Quadratic Form

    Resolver la ecuación exactamente:\({\cos}^2 \theta+3 \cos \theta−1=0\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Comenzamos por usar la sustitución y reemplazando\(\cos \theta\) con\(x\). No es necesario utilizar la sustitución, pero puede hacer que el problema sea más fácil de resolver visualmente. Vamos\(\cos \theta=x\). Tenemos

    \(x^2+3x−1=0\)

    La ecuación no se puede factorizar, por lo que usaremos la fórmula cuadrática:\(x=\dfrac{−b\pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}\).

    \[\begin{align*} x&= \dfrac{ -3\pm \sqrt{ {(-3)}^2-4 (1) (-1) } }{2}\\ &= \dfrac{-3\pm \sqrt{13}}{2}\end{align*}\]

    Reemplazar\(x\) con\(\cos \theta \) y resolver.

    \[\begin{align*} \cos \theta&= \dfrac{-3\pm \sqrt{13}}{2}\\ \theta&= {\cos}^{-1}\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right) \end{align*}\]

    Tenga en cuenta que solo se utiliza el signo +. Esto se debe a que obtenemos un error cuando resolvemos\(\theta={\cos}^{−1}\left(\dfrac{−3−\sqrt{13}}{2}\right)\) en una calculadora, ya que el dominio de la función coseno inverso es\([ −1,1 ]\). Sin embargo, hay una segunda solución:

    \[\begin{align*} \theta&= {\cos}^{-1}\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)\\ &\approx 1.26 \end{align*}\]

    Este lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante I. Dado que el coseno también es positivo en el cuadrante IV, la segunda solución es

    \[\begin{align*} \theta&= 2\pi-{\cos}^{-1}\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)\\ &\approx 5.02 \end{align*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{6B}\): Solving a Trigonometric Equation in Quadratic Form by Factoring

    Resolver la ecuación exactamente:\(2 {\sin}^2 \theta−5 \sin \theta+3=0\),\(0≤\theta≤2\pi\).

    Solución

    Mediante la agrupación, esta cuadrática se puede factorizar. O hacer la sustitución real\(\sin \theta=u\), o imaginarlo, como facetamos:

    \[\begin{align*} 2 {\sin}^2 \theta-5 \sin \theta+3&= 0\\ (2 \sin \theta-3)(\sin \theta-1)&= 0 \qquad \text {Now set each factor equal to zero.}\\ 2 \sin \theta-3&= 0\\ 2 \sin \theta&= 3\\ \sin \theta&= \dfrac{3}{2}\\ \sin \theta-1&= 0\\ \sin \theta&= 1 \end{align*}\]

    Siguiente resolver para\(\theta\):\(\sin \theta≠\dfrac{3}{2}\), como es el rango de la función sinusoidal\([ −1,1 ]\). Sin embargo\(\sin \theta=1\),, dando la solución\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\).

    Análisis

    Asegúrese de verificar todas las soluciones en el dominio dado ya que algunos factores no tienen solución.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Resolver\({\sin}^2 \theta=2 \cos \theta+2\),\(0≤\theta≤2\pi\). [Pista: Hacer una sustitución para expresar la ecuación sólo en términos de coseno.]

    Responder

    \(\cos \theta=−1\),\(\theta=\pi\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7A}\): Solving a Trigonometric Equation Using Algebra

    Resolver exactamente:\(2 {\sin}^2 \theta+\sin \theta=0;\space 0≤\theta<2\pi\)

    Solución

    Este problema debería parecer familiar ya que es similar a un cuadrático. Vamos\(\sin \theta=x\). La ecuación se convierte\(2x^2+x=0\). Comenzamos por factorizar:

    \ [\ begin {align*}
    2x^2+x&= 0\\
    x (2x+1) &= 0\ qquad\ text {Establece cada factor igual a cero.} \\
    x&= 0\\
    2x+1&= 0\\
    x&= -\ dfrac {1} {2}\ end {align*}\]
    Luego, sustituya de nuevo en la ecuación la expresión original\(\sin \theta \) para\(x\). Así,
    \ [\ begin {align*}\ sin\ theta&= 0\\
    \ theta&= 0,\ pi\\
    \ sin\ theta&= -\ dfrac {1} {2}\
    \ theta&=\ dfrac {7\ pi} {6},\ dfrac {11\ pi} {6}
    \ end {align*}\]

    Las soluciones dentro del dominio\(0≤\theta<2\pi\) son\(\theta=0,\pi,\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\).

    Si preferimos no sustituir, podemos resolver la ecuación siguiendo el mismo patrón de factorización y estableciendo cada factor igual a cero.

    \[\begin{align*} {\sin}^2 \theta+\sin \theta&= 0\\ \sin \theta(2\sin \theta+1)&= 0\\ \sin \theta&= 0\\ \theta&= 0,\pi\\ 2 \sin \theta+1&= 0\\ 2\sin \theta&= -1\\ \sin \theta&= -\dfrac{1}{2}\\ \theta&= \dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6} \end{align*}\]

    Análisis

    Podemos ver las soluciones en la gráfica de la Figura\(\PageIndex{3}\). En el intervalo\(0≤\theta<2\pi\), la gráfica cruza el eje\(x\) - cuatro veces, en las soluciones señaladas. Observe que las ecuaciones trigonométricas que están en forma cuadrática pueden arrojar hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor de seno positivo dará dos ángulos que resultarían en ese valor.

    Gráfica de 2* (sin (theta)) ^2 + sin (theta) de 0 a 2pi. Los ceros están en 0, pi, 7pi/6 y 11pi/6.
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    También podemos verificar las soluciones en el círculo de unidades a través del resultado en la sección de Identidades Suma y Diferencia.

    Ejemplo\(\PageIndex{7B}\): Solving a Trigonometric Equation Quadratic in Form

    Resolver la ecuación cuadrática en forma exactamente:\(2 {\sin}^2 \theta−3 \sin \theta+1=0\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Podemos factorizar usando agrupación. Los valores de solución de se\(\theta\) pueden encontrar en el círculo unitario.

    \[\begin{align*} (2 \sin \theta-1)(\sin \theta-1)&= 0\\ 2 \sin \theta-1&= 0\\ \sin \theta&= \dfrac{1}{2}\\ \theta&= \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\\ \sin \theta&= 1\\ \theta&= \dfrac{\pi}{2} \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Resuelve la ecuación cuadrática\(2{\cos}^2 \theta+\cos \theta=0\).

    Responder

    \(\dfrac{\pi}{2}, \space \dfrac{2\pi}{3}, \space \dfrac{4\pi}{3}, \space \dfrac{3\pi}{2}\)

    Resolver ecuaciones trigonométricas usando identidades fundamentales

    Si bien el álgebra se puede utilizar para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos usar las identidades fundamentales porque simplifican la resolución de ecuaciones. Recuerda que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que las de verificación de identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.

    Ejemplo\(\PageIndex{8A}\): Use Identities to Solve an Equation

    Usa identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica a lo largo del intervalo\(0≤x<2\pi\).

    \(\cos x \cos(2x)+\sin x \sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    Solución

    Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la fórmula de diferencia para el coseno.

    \[\begin{align*} \cos x \cos(2x)+\sin x \sin(2x)&= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos(x-2x)&= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{Difference formula for cosine}\\ \cos(-x)&= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{Use the negative angle identity.}\\ \cos x&= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\]

    Desde el círculo unitario en la sección de Identidades Suma y Diferencia, vemos que\(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) cuando\(x=\dfrac{\pi}{6},\space \dfrac{11\pi}{6}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8B}\): Solving the Equation Using a Double-Angle Formula

    Resuelve la ecuación exactamente usando una fórmula de doble ángulo:\(\cos(2\theta)=\cos \theta\).

    Solución

    Tenemos tres opciones de expresiones para sustituir el doble ángulo del coseno. Como es más sencillo de resolver para una función trigonométrica a la vez, elegiremos la identidad de doble ángulo que involucra solo coseno:

    \[\begin{align*} \cos(2\theta)&= \cos \theta\\ 2{\cos}^2 \theta-1&= \cos \theta\\ 2 {\cos}^2 \theta-\cos \theta-1&= 0\\ (2 \cos \theta+1)(\cos \theta-1)&= 0\\ 2 \cos \theta+1&= 0\\ \cos \theta&= -\dfrac{1}{2}\\ \cos \theta-1&= 0\\ \cos \theta&= 1 \end{align*}\]

    Entonces, si\(\cos \theta=−\dfrac{1}{2}\), entonces\(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\pm 2\pi k\) y\(\theta=\dfrac{4\pi}{3}\pm 2\pi k\); si\(\cos \theta=1\), entonces\(\theta=0\pm 2\pi k\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8C}\): Solving an Equation Using an Identity

    Resuelve la ecuación exactamente usando una identidad:\(3 \cos \theta+3=2 {\sin}^2 \theta\),\(0≤\theta<2\pi\).

    Solución

    Si reescribimos el lado derecho, podemos escribir la ecuación en términos de coseno:

    \ [\ begin {alinear*}
    3\ cos\ theta+3&= 2 {\ sin} ^2\ theta\\
    3\ cos\ theta+3&= 2 (1- {\ cos} ^2\ theta)\\
    3\ cos\ theta+3&= 2-2 {\ cos} ^2\ theta\ 2 {\ cos}
    ^2\ theta+3\ cos\ theta+3\ cos\ theta\ eta+1&= 0\\
    (2\ cos\ theta+1) (\ cos\ theta+1) &= 0\\
    2\ cos\ theta+1&= 0\\\ cos
    \ theta&= -\ dfrac {1} {2}\\ theta&=
    \\ theta&=\ dfrac {2\ pi} {3},\ espacio\ dfrac {4\ pi} {3}\
    \ cos\ theta+1&= 0\\ cos
    \ theta&= -1\
    \ theta&= eta&=\ pi\\
    \ final {alinear*}\]

    Nuestras soluciones son\(\theta=\dfrac{2\pi}{3},\space \dfrac{4\pi}{3},\space \pi\).

    Resolver ecuaciones trigonométricas con múltiples ángulos

    En ocasiones no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tengan un ángulo múltiple, como\(\sin(2x)\) o\(\cos(3x)\). Al enfrentar estas ecuaciones, recordemos que\(y=\sin(2x)\) es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función\(y=\sin x\). En un intervalo de\(2\pi\), podemos graficar dos periodos de\(y=\sin(2x)\), a diferencia de un ciclo de\(y=\sin x\). Esta compresión de la gráfica nos lleva a creer que puede haber el doble de intercepciones x o soluciones\(\sin(2x)=0\) en comparación con\(\sin x=0\). Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Solving a Multiple Angle Trigonometric Equation

    Resolver exactamente:\(\cos(2x)=\dfrac{1}{2}\) on\([ 0,2\pi )\).

    Solución

    Podemos ver que esta ecuación es la ecuación estándar con un múltiplo de un ángulo. Si\(\cos(\alpha)=\dfrac{1}{2}\), sabemos que\(\alpha\) está en los cuadrantes I y IV. Si bien sólo\(\theta={\cos}^{−1} \dfrac{1}{2}\) se producirán soluciones en los cuadrantes I y II, reconocemos que las soluciones a la ecuación\(\cos \theta=\dfrac{1}{2}\) estarán en los cuadrantes I y IV.

    Por lo tanto, los ángulos posibles son\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) y\(\theta=\dfrac{5\pi}{3}\). Entonces,\(2x=\dfrac{\pi}{3}\) o\(2x=\dfrac{5\pi}{3}\), lo que significa que\(x=\dfrac{\pi}{6}\) o\(x=\dfrac{5\pi}{6}\). ¿Tiene sentido esto? Sí, porque\(\cos\left(2\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\).

    ¿Hay alguna otra respuesta posible? Volvamos a nuestro primer paso.

    En el cuadrante I,\(2x=\dfrac{\pi}{3}\), así\(x=\dfrac{\pi}{6}\) como se señaló. Volvamos a girar alrededor del círculo:

    \ [\ begin {align*}
    2x&=\ dfrac {\ pi} {3} +2\ pi\\
    &=\ dfrac {\ pi} {3} +\ dfrac {6\ pi} {3}\\
    &=\ dfrac {7\ pi} {3}\
    x&=\ dfrac {7\ pi} {6}\\
    \ text {Una rotación más rendimientos}\\
    2x&=\ dfrac {\ pi} {3} +4\ pi\\
    & ; =\ dfrac {\ pi} {3} +\ dfrac {12\ pi} {3}\\
    &=\ dfrac {13\ pi} {3}\\
    \ end {align*}\]

    \(x=\dfrac{13\pi}{6}>2\pi\), por lo que este valor para\(x\) es mayor que\(2\pi\), por lo que no es una solución en\([ 0,2\pi )\).

    En el cuadrante IV,\(2x=\dfrac{5\pi}{3}\), así\(x=\dfrac{5\pi}{6}\) como se señaló. Volvamos a girar alrededor del círculo:

    \[\begin{align*} 2x&= \dfrac{5\pi}{3}+2\pi\\ &= \dfrac{5\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}\\ &= \dfrac{11\pi}{3} \end{align*}\]

    así\(x=\dfrac{11\pi}{6}\).

    Una rotación más rinde

    \[\begin{align*} 2x&= \dfrac{5\pi}{3}+4\pi\\ &= \dfrac{5\pi}{3}+\dfrac{12\pi}{3}\\ &= \dfrac{17\pi}{3} \end{align*}\]

    \(x=\dfrac{17\pi}{6}>2\pi\), por lo que este valor para\(x\) es mayor que\(2\pi\), por lo que no es una solución en\([ 0,2\pi )\).

    Nuestras soluciones son\(x=\dfrac{\pi}{6}, \space \dfrac{5\pi}{6}, \space \dfrac{7\pi}{6}\), y\(\dfrac{11\pi}{6}\). Tenga en cuenta que siempre que resolvamos un problema en forma de\(sin(nx)=c\), debemos dar la vuelta a los\(n\) tiempos del círculo de la unidad.

    Resolviendo problemas del triángulo rectángulo

    Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que implican aplicar las propiedades de los triángulos rectos y el Teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido Teorema de Pitágoras,

    \[a^2+b^2=c^2 \label{Pythagorean}\]

    y modelar una ecuación para adaptarse a una situación.

    Ejemplo\(\PageIndex{10A}\): Using the Pythagorean Theorem to Model an Equation

    Uno de los cables que ancla el centro de la noria London Eye al suelo debe ser reemplazado. El centro de la noria está\(69.5\) a metros sobre el suelo, y el segundo ancla en el suelo está\(23\) a metros de la base de la noria. Aproximadamente, ¿cuánto dura el cable y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la noria)? Ver Figura\(\PageIndex{4}\).

    Diagrama básico de una noria (círculo) y sus cables de soporte (forman un triángulo rectángulo). Un cable va desde el centro del círculo hasta el suelo (fuera del círculo), es perpendicular al suelo, y tiene una longitud 69.5. Otro cable de longitud desconocida (la hipotenusa) va desde el centro del círculo hasta el suelo a 23 pies de distancia del otro cable en un ángulo de grados theta con el suelo. Entonces, al cierre, hay un triángulo rectángulo con base 23, altura 69.5, hipotenusa desconocida, y ángulo entre base e hipotenusa de grados theta.
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    Usa el Teorema de Pitágoras (Ecuación\ ref {Pitágoras}) y las propiedades de los triángulos rectos para modelar una ecuación que se ajuste al problema. Usando la información dada, podemos dibujar un triángulo rectángulo. Podemos encontrar la longitud del cable con el Teorema de Pitágoras.

    \[\begin{align*} a^2+b^2&= c^2\\ {(23)}^2+{(69.5)}^2&\approx 5359\\ \sqrt{5359}&\approx 73.2\space m \end{align*}\]

    El ángulo de elevación es\(\theta\), formado por el segundo anclaje en el suelo y el cable llegando al centro de la rueda. Podemos usar la función tangente para encontrar su medida. Redondear a dos decimales.

    \[\begin{align*} \tan \theta&= 69.523\\ {\tan}^{-1}(69.523)&\approx 1.2522\\ &\approx 71.69^{\circ} \end{align*}\]

    El ángulo de elevación es aproximadamente\(71.7°\), y la longitud del cable es de\(73.2\) metros.

    Ejemplo\(\PageIndex{10B}\): Using the Pythagorean Theorem to Model an Abstract Problem

    Las regulaciones de seguridad de OSHA requieren que la base de una escalera se coloque a un\(1\) pie de la pared por cada\(4\) pie de longitud de escalera. Encuentra el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que la escalera toca la pared.

    Solución

    Para cualquier longitud de escalera, la base debe estar a una distancia de la pared igual a una cuarta parte de la longitud de la escalera. Equivalentemente, si la base de la escalera está a “a” pies de la pared, la longitud de la escalera será\(4a\) pies. Ver Figura\(\PageIndex{5}\).

    Diagrama de un triángulo rectángulo con longitud de base a, longitud de altura b, longitud de hipotenusa 4a. Frente a la altura hay un ángulo de grados theta, y frente a la hipotenusa hay un ángulo de 90 grados.
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    El lado adyacente a\(\theta\) es\(a\) y la hipotenusa es\(4a\). Así,

    \[\begin{align*} \cos \theta&= \dfrac{a}{4a}\\ &= \dfrac{1}{4}\\ {\cos}^{-1}\left (\dfrac{1}{4}\right )&\approx 75.5^{\circ} \end{align*}\]

    La elevación de la escalera forma un ángulo\(75.5°\) con el suelo. La altura a la que la escalera toca la pared se puede encontrar usando el Teorema de Pitágoras:

    \[\begin{align*} a^2+b^2&= {(4a)}^2\\ b^2&= {(4a)}^2-a^2\\ b^2&= 16a^2-a^2\\ b^2&= 15a^2\\ b&= a\sqrt{15} \end{align*}\]

    Así, la escalera toca la pared a\(a\sqrt{15}\) pies del suelo.

    Medios

    Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones trigonométricas.

    • Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas I
    • Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas II
    • Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas III
    • Resolución de Ecuaciones Trigonométricas IV
    • Resolución de Ecuaciones Trigonométricas V
    • Resolución de Ecuaciones Trigonométricas VI

    Conceptos clave

    • Al resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos usar técnicas algebraicas tal como lo hacemos resolviendo ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, forma cuadrática, o una expresión que se preste bien a la sustitución. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
    • Las ecuaciones que involucran una sola función trigonométrica se pueden resolver o verificar usando el círculo unitario. Ver Ejemplo\(\PageIndex{4}\)\(\PageIndex{5}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{6}\), y Ejemplo\(\PageIndex{7}\).
    • También podemos resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora gráfica. Ver Ejemplo\(\PageIndex{8}\) y Ejemplo\(\PageIndex{9}\).
    • Muchas ecuaciones aparecen de forma cuadrática. Podemos usar la sustitución para hacer que la ecuación parezca más simple, y luego usar las mismas técnicas que usamos resolviendo una cuadrática algebraica: factorización, la fórmula cuadrática\(\PageIndex{10}\), etc. Ver Ejemplo\(\PageIndex{11}\), Ejemplo\(\PageIndex{12}\), y Ejemplo\(\PageIndex{13}\).
    • También podemos usar las identidades para resolver ecuaciones trigonométricas. Ver Ejemplo\(\PageIndex{14}\)\(\PageIndex{15}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{16}\).
    • Podemos usar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de múltiples ángulos, que es una compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y verificar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Ver Ejemplo\(\PageIndex{17}\).
    • Los escenarios del mundo real se pueden modelar y resolver usando el Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas. Ver Ejemplo\(\PageIndex{18}\).

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