7.R: Identidades y Ecuaciones Trigonométricas (Revisión)
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- 121574
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Para los ejercicios 1-6, encuentra todas las soluciones exactamente que existen en el intervalo\([0,2\pi )\)
1)\(\csc ^2 t=3\)
- Contestar
-
\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), \pi +\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), 2\pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )\)
2)\(\cos ^2 x=\dfrac{1}{4}\)
3)\(2\sin \theta =-1\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7\pi }{6}, \dfrac{11\pi }{6}\)
4)\(\tan x \sin x+\sin(-x)=0\)
5)\(9\sin \omega -2=4\sin^2 \omega\)
- Contestar
-
\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right ), \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )\)
6)\(1-2\tan(\omega )=\tan^2(\omega )\)
Para los ejercicios 7-8, utilizar identidades básicas para simplificar la expresión.
7)\(\sec x \cos x+\cos x-\dfrac{1}{\sec x}\)
- Contestar
-
\(1\)
8)\(\sin^3 x+\cos^2 x \sin x\)
Para los ejercicios 9-10, determinar si las identidades dadas son equivalentes.
9)\(\sin^2 x+\sec^2 x -1=\dfrac{(1-\cos ^2 x)(1+\cos ^2 x)}{\cos ^2 x}\)
- Responder
-
Sí
10)\(\tan^3 x \csc^2 x \cot^2 x \cos x \sin x=1\)
7.2: Identidades de suma y diferencia
Para los ejercicios 1-4, encuentra el valor exacto.
1)\(\tan \left (\dfrac{7\pi }{12} \right )\)
- Responder
-
\(-2-\sqrt{3}\)
2)\(\cos \left (\dfrac{25\pi }{12} \right )\)
3)\(\sin(70^{\circ})\cos(25^{\circ})-\cos(70^{\circ})\sin(25^{\circ})\)
- Responder
-
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
4)\(\cos(83^{\circ})\cos(23^{\circ})+\sin(83^{\circ})\sin(23^{\circ})\)
Para los ejercicios 5-6, acreditar la identidad.
5)\(\cos(4x)-\cos(3x)\cos x=\sin^2 x-4\cos^2 x \sin^2 x\)
- Responder
-
\ (\ begin {alinear*}
\ cos (4x) -\ cos (3x)\ cos x &=\ cos (2x+2x) -\ cos (x+2x)\ cos x\\
&=\ cos (2x)\ cos (2x) -\ sin (2x)\ sin (2x) -\ cos x\ cos (2x)\ cos x+\ sin x\ sin (2x)\ cos x\
= (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) ^2-4\ cos ^2 x\ sin ^2 x-\ cos ^2 x (\ cos ^2
x-\ sin ^2 x) +\ sin x (2)\ sin x\ cos x\ cos x\\
&= (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) ^2-4\ cos ^2 x\ sin ^2 x-\ cos ^2 x (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) +2\ sin ^2 x\ cos ^2 x\ cos ^2 x\
&=\ cos ^4x-2\ cos^2x\ sen ^2x+\ sin ^4-\ cos^2x\ sen ^2x-\ cos^4x+\ cos^2x\ sen ^2x+2\ sen ^2x\ cos^2x\ cos^2x\\
&= \ sin^4x-4\ cos^2x\ sen ^2x+\ cos^2x\ sen ^2x\\
&=\ sen ^2x (\ sen ^2x+\ cos^2x) -4\ cos^2x\ sen ^2x\ sen ^2x\\
&=\ sen ^2 x-4\ cos^2 x\ sen ^2 x\ sen ^2 x
\ end {alinear*}\)
6)\(\cos(3x)-\cos^3x=-\cos x \sin^2x-\sin x \sin(2x)\)
Para el ejercicio 7, simplificar la expresión.
7)\(\dfrac{\tan \left ( \tfrac{1}{2}x \right )+\tan \left ( \tfrac{1}{8}x \right )}{1-\tan \left ( \tfrac{1}{8}x \right )\tan \left ( \tfrac{1}{2}x \right )}\)
- Responder
-
\(\tan \left ( \dfrac{5}{8}x \right )\)
Para los ejercicios 8-9, encuentra el valor exacto.
8)\(\cos \left ( \sin^{-1}(0)-\cos^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \right )\)
9)\(\tan \left ( \sin^{-1}(0)-\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \right )\)
- Responder
-
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
7.3: Fórmulas de doble ángulo, medio ángulo y reducción
Para los ejercicios 1-4, encuentra el valor exacto.
1) Encontrar\(\sin (2\theta )\),\(\cos (2\theta )\)
2) Encontrar\(\sin (2\theta )\),\(\cos (2\theta )\), y\(\tan (2\theta )\) dado\(\sec \theta =-\dfrac{5}{3}\) y\(\theta \) está en el intervalo\(\left [\dfrac{\pi }{2} , \pi \right ]\).
- Responder
-
\(-\dfrac{24}{25}, -\dfrac{7}{25}, \dfrac{24}{7}\)
3)\(\sin \left (\dfrac{7\pi }{8} \right )\)
4)\(\sec \left (\dfrac{3\pi }{8} \right )\)
- Responder
-
\(\sqrt{2(2+\sqrt{2})}\)
Para los ejercicios 5-6, usa la Figura a continuación para encontrar las cantidades deseadas.
5)\(\sin(2\beta ),\cos(2\beta ),\tan(2\beta ),\sin(2\alpha ),\cos(2\alpha ),\tan(2\alpha )\)
6)\(\sin \left (\frac{\beta }{2} \right ) ,\cos\left (\frac{\beta }{2} \right ),\tan\left (\frac{\beta }{2} \right ),\sin\left (\frac{\alpha }{2} \right ),\cos\left (\frac{\alpha }{2} \right ),\tan\left (\frac{\alpha }{2} \right )\)
- Responder
-
\(\dfrac{\sqrt{2}}{10},\dfrac{7\sqrt{2}}{10},\dfrac{1}{7},\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{4}\)
Para los ejercicios 7-8, acreditar la identidad.
7)\(\dfrac{2\cos (2x)}{\sin (2x)}=\cot x-\tan x\)
8)\(\cot x \cos (2x) = -\sin (2x)+\cot x\)
- Responder
-
\(\begin{align*} \cot x \cos (2x) &= \cot x(1-2\sin ^2 x)\\ &= \cot x-\dfrac{\cos x}{\sin x}(2)\sin ^2 x\\ &= -2\sin x \cos \\ &= -\sin (2x)+\cot x \end{align*}\)
Para los ejercicios 9-10, reescribe la expresión sin poderes.
9)\(\cos ^2 x \sin ^4 (2x)\)
10)\(\tan ^2 x \sin ^3 x\)
- Responder
-
\(\dfrac{10\sin x-5\sin (3x)+\sin (5x)}{8(\cos (2x)+1)}\)
7.4: Fórmulas Suma a Producto y Producto a Suma
Para los ejercicios 1-3, evaluar el producto para la expresión dada usando una suma o diferencia de dos funciones. Escribe la respuesta exacta.
1)\(\cos \left ( \dfrac{\pi }{3} \right )\sin \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )\)
2)\(2\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3} \right )\sin \left ( \dfrac{5\pi }{6} \right )\)
- Responder
-
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
3)\(2\cos \left ( \dfrac{\pi }{5} \right )\cos \left ( \dfrac{\pi }{3} \right )\)
Para los ejercicios 4-5, evalúe la suma usando una fórmula de producto. Escribe la respuesta exacta.
4)\(\sin \left ( \dfrac{\pi }{12} \right )-\sin \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )\)
- Responder
-
\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
5)\(\cos \left ( \dfrac{5\pi }{12} \right )+\cos \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )\)
Para los ejercicios 6-9, cambiar las funciones de un producto a una suma o una suma a un producto.
6)\(\sin(9x)\cos(3x)\)
- Responder
-
\(\dfrac{1}{2}(\sin(6x)+\sin(12x))\)
7)\(\cos(7x)\cos(12x)\)
8)\(\sin(11x)+\sin(2x)\)
- Responder
-
\(2\sin \left (\dfrac{13}{2}x \right )\cos \left (\dfrac{9}{2}x \right )\)
9)\(\cos(6x)+\cos(5x)\)
7.5: Resolver ecuaciones trigonométricas
Para los ejercicios 1-2, encuentra todas las soluciones exactas en el intervalo\([0,2\pi )\).
1)\(\tan x+1=0\)
- Responder
-
\(\dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}\)
2)\(2\sin(2x)+\sqrt{2}=0\)
Para los ejercicios 3-7, encuentra todas las soluciones exactas en el intervalo\([0,2\pi )\).
3)\(2\sin^2 x-\sin x=0\)
- Responder
-
\(0, \dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}, \pi \)
4)\(\cos^2 x-\cos x -1=0\)
5)\(2\sin^2 x+5\sin x +3=0\)
- Responder
-
\(\dfrac{3\pi }{2}\)
6)\(\cos x - 5\sin(2x)=0\)
7)\(\dfrac{1}{\sec ^2 x}+2+\sin^2 x+4\cos ^2 x=0\)
- Responder
-
Sin solución.
Para los ejercicios 8-9, simplificar la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego use una calculadora para encontrar las soluciones en el intervalo\([0,2\pi )\)
8)\(\sqrt{3}\cot ^2 x+\cot x=1\)
9)\(\csc ^2 x-3\csc x-4=0\)
- Responder
-
\(0.2527,2.8889,4.7124\)
Para los ejercicios 10-11, grafica cada lado de la ecuación para encontrar los ceros en el intervalo\([0,2\pi )\).
10)\(20\cos^2x+21\cos x+1=0\)
11)\(\sec^2x-2\sec x=15\)
- Responder
-
\(1.3694, 1.9106, 4.3726, 4.9137\)
7.6: Modelado con Ecuaciones Trigonométricas
Para los ejercicios 1-3, grafica los puntos y encuentra una posible fórmula para los valores trigonométricos en la tabla dada.
1)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 6 | 11 | 6 | 1 | 6 |
2)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \ (x\) ">0 | \ (y\) ">-2 |
| \ (x\) ">1 | \ (y\) ">1 |
| \ (x\) ">2 | \ (y\) ">-2 |
| \ (x\) ">3 | \ (y\) ">-5 |
| \ (x\) ">4 | \ (y\) ">-2 |
| \ (x\) ">5 | \ (y\) ">1 |
- Responder
-
\(3\sin \left ( \dfrac{x\pi }{2} \right )-2\)
3)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \ (x\) ">-3 | \ (y\) ">\(3+2\sqrt{2}\) |
| \ (x\) ">-2 | \ (y\) ">3 |
| \ (x\) ">-1 | \ (y\) ">\(2\sqrt{2}-1\) |
| \ (x\) ">0 | \ (y\) ">1 |
| \ (x\) ">1 | \ (y\) ">\(3-2\sqrt{2}\) |
| \ (x\) ">2 | \ (y\) ">-1 |
| \ (x\) ">3 | \ (y\) ">\(-1-2\sqrt{2}\) |
4) Un hombre con\(6\) los pies a la altura de los ojos sobre el suelo está parado a\(3\) pies de distancia de la base de una escalera vertical de\(15\) -pie. Si mira hacia la parte superior de la escalera, ¿a qué ángulo por encima de la horizontal está mirando?
- Responder
-
\(71.6^{\circ}\)
5) Usando la escalera del ejercicio anterior, si un trabajador de la construcción de un\(6\) pie de altura parado en la parte superior de la escalera mira hacia abajo a los pies del hombre parado en la parte inferior, ¿qué ángulo desde la horizontal está mirando?
Para los ejercicios 6-7, construir funciones que modelen el comportamiento descrito.
6) Una población de lemmings varía con un mínimo anual de\(500\) en marzo. Si la población promedio anual de lemmings es\(950\), escribir una función que modele la población con respecto a\(t\)
- Responder
-
\(P(t)=950-450\sin \left ( \dfrac{\pi }{6}t \right )\)
7) Las temperaturas diarias en el desierto pueden ser muy extremas. Si la temperatura varía de\(90^{\circ}\) F a\(30^{\circ}\) F y la temperatura media diaria ocurre primero a las 10 AM, escriba una función modelando este comportamiento.
Para los ejercicios 8-9, encuentre la amplitud, frecuencia y período de las ecuaciones dadas.
8)\(y=3\cos(x\pi )\)
- Responder
-
Amplitud:\(3\), periodo:\(2\), frecuencia:\(\dfrac{1}{2}\) Hz
9)\(y=-2\sin(16x\pi )\)
Para los ejercicios 10-11, modele el comportamiento descrito y encuentre los valores solicitados.
10) Una especie invasora de carpa se introduce en el lago de agua dulce. Inicialmente hay\(100\) carpas en el lago y la población varía según los\(20\) peces estacionalmente. Si por año\(5\), hay\(625\) carpas, encuentra una función modelando la población de carpas con respecto a\(t\)
- Responder
-
\(C(t)=20\sin (2\pi t)+100(1.4427)^t\)
11) La población de peces nativos del Lago de Agua Dulce promedia\(2500\) peces, variando según\(100\) los peces estacionalmente. Debido a la competencia por los recursos de la carpa invasora, se espera que la población de peces nativos disminuya\(5\%\) cada año. Encontrar una función modelando la población de peces nativos con respecto a\(t\)
Prueba de práctica
Para los ejercicios 1-2, simplifique la expresión dada.
1)\(\cos(-x)\sin x \cot x+\sin^2x\)
- Responder
-
\(1\)
2)\(\sin(-x)\cos(-2x)-\sin(-x)\cos(-2x)\)
Para los ejercicios 3-6, encuentra el valor exacto.
3)\(\cos \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )\)
- Responder
-
\(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
4)\(\tan \left ( \dfrac{3\pi }{8} \right )\)
5)\(\tan \left (\sin^{-1}\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )+\tan^{-1}\sqrt{3} \right )\)
- Responder
-
\(-\sqrt{2}-\sqrt{3}\)
6)\(2\sin \left (\dfrac{\pi }{4} \right )\sin \left (\dfrac{\pi }{6} \right )\)
Para los ejercicios 7-16, encuentra todas las soluciones exactas a la ecuación sobre\([0,2\pi )\).
7)\(\cos^2x-\sin^2x-1=0\)
- Responder
-
\(0, \pi \)
8)\(\cos^2x=\cos x\)
- Responder
-
\(\sin^{-1}\left (\dfrac {1}{4}\left(\sqrt{13}-1\right) \right ), \pi - \sin^{-1}\left (\dfrac {1}{4}\left(\sqrt{13}-1\right) \right )\)
9)\(\cos (2x)+\sin ^2 x = 0\)
10)\(2\sin ^2 x - \sin x = 0\)
- Responder
-
\(0, \dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}, \pi\)
11) Reescribe la expresión como un producto en lugar de una suma:\(\cos (2x)+\cos (-8x)\)
12) Encuentra todas las soluciones de\(\tan (x)-\sqrt{3}=0\).
- Responder
-
\(\dfrac{\pi }{3}+k\pi\)
13) Encuentra las soluciones de\(\sec ^2x -2\sec x=15\) en el intervalo\([0,2\pi )\) algebraicamente; luego grafica ambos lados de la ecuación para determinar la respuesta.
14) Encontrar\(\sin (2\theta )\),\(\cos (2\theta )\), y\(\tan (2\theta )\) dado\(\cot \theta =-\dfrac{3}{4}\) y\(\theta \) está en el intervalo\(\left [ \dfrac{\pi }{2}, \pi \right ]\).
- Responder
-
\(-\dfrac{24}{25}, -\dfrac{7}{25}, \dfrac{24}{7}\)
15) Encontrar\(\sin \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\),\(\cos \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\), y\(\tan \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\) dado\(\cos \theta =-\dfrac{7}{25}\) y\(\theta \) está en cuadrante\(\mathrm{IV}\).
16) Reescribir la expresión\(\sin ^4 x\) sin poderes mayores que\(1\).
- Responder
-
\(\dfrac{1}{8}(3+\cos (4x)-4\cos (2x))\)
Para los ejercicios 17-19, acreditar la identidad.
17)\(\tan^3x-\tan x \sec^2x=\tan(-x)\)
18)\(\sin(3x)-\cos x \sin(2x)=\cos^2x \sin x-\sin^3x\)
- Responder
-
\(\begin{align*} \sin(3x)-\cos x \sin(2x) &= \\ \sin(x+2x)-\cos x(2\sin x \cos x) &= \\ \sin x \cos(2x)+\sin(2x)\cos x -2\sin x \cos ^2x &= \\ \sin x(\cos ^2x - \sin ^2x)+2\sin x \cos x \cos x - 2\sin x \cos ^2x &= \\ \sin x \cos ^2x - \sin ^3x +0 &= \\ \cos^2x \sin x - \sin ^3x &= \cos^2x \sin x-\sin^3x \end{align*}\)
19)\(\dfrac{\sin (2x)}{\sin x}-\dfrac{\cos (2x)}{\cos x}=\sec x\)
20) Trazar los puntos y encontrar una función de la forma\(y=A\cos(Bx+C)+D\) que se ajuste a los datos dados.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | -2 | 2 | -2 | 2 | -2 | 2 |
- Responder
-
\(y=2\cos(\pi x+\pi )\)
21) El desplazamiento\(h(t)\) en centímetros de una masa suspendida por un resorte es modelado por la función\(h(t)=\dfrac{1}{4}\sin (120\pi t)\)
22) Una mujer se encuentra a\(300\) pies de distancia de un edificio\(2000\) de pies. Si mira hacia la parte superior del edificio, ¿a qué ángulo por encima de la horizontal está mirando? Una trabajadora aburrida la mira desde el piso 15 (\(1500\)pies por encima de ella). ¿En qué ángulo la está mirando hacia abajo? Redondear a la décima de grado más cercana.
- Responder
-
\(81.5^{\circ}, 78.7^{\circ}\)
23) Se tocan dos frecuencias de sonido en un instrumento gobernado por la ecuación\(n(t)=8\cos(20\pi t)\cos(1000\pi t)\)
24) La nevada promedio mensual en un pequeño pueblo del Himalaya es de\(6\) pulgadas, con la baja de\(1\) pulgada ocurriendo en julio. Construir una función que modele este comportamiento. ¿Durante qué periodo hay más de\(10\) centímetros de nevadas?
- Responder
-
\(6+5\cos \left ( \dfrac{\pi }{6}(1-x) \right )\). Del 23 de noviembre al 6 de febrero.
25) Un resorte unido a un techo se tira hacia abajo\(20\) cm. Después de\(3\) segundos, en donde\(6\) completa periodos completos, la amplitud es de sólo\(15\) cm. Encuentra la función modelando la posición del resorte\(t\) segundos después de ser liberado. ¿A qué hora vendrá a descansar la primavera? En este caso, use\(1\) cm de amplitud como reposo.
26) Los niveles de agua cerca de un glaciar actualmente promedian\(9\) pies, variando estacionalmente por\(2\) pulgadas por encima y por debajo del promedio y alcanzando su punto más alto en enero. Debido al calentamiento global, el glaciar ha comenzado a derretirse más rápido de lo normal. Cada año, los niveles de agua suben\(3\) centímetros constantes. Encuentra una función modelando la profundidad del agua\(t\) meses a partir de ahora. Si los muelles están a\(2\) pies por encima de los niveles actuales de agua, ¿en qué punto el agua se elevará primero por encima de los muelles?
- Responder
-
\(D(t)=2\cos \left ( \dfrac{\pi }{6}t \right )+108+\dfrac{1}{4}t\),\(93.5855\) meses (o\(7.8\) años) a partir de ahora