8.6: Ecuaciones paramétricas

Objetivos de aprendizaje

• Parametrizar una curva.
• Elimine el parámetro.
• Encuentra una ecuación rectangular para una curva definida paramétricamente.
• Encuentra ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares.

Considera el camino que sigue una luna ya que orbita un planeta, el cual gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la Figura\(\PageIndex{1}\). En cualquier momento, la luna se encuentra en un punto particular relativo al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver para una variable a la vez.

Figura\(\PageIndex{1}\)

En esta sección, consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por\(x(t)\) y\(y(t)\) dónde\(t\) está la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en una serie de aplicaciones cuando estamos buscando no sólo una posición particular sino también la dirección del movimiento. A medida que trazamos valores sucesivos de\(t\), la orientación de la curva se vuelve clara. Esta es una de las principales ventajas del uso de ecuaciones paramétricas: somos capaces de trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria según el tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Después aprenderemos a eliminar el parámetro, traducir las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares, y encontrar las ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares.

Parametrización de una Curva

Cuando un objeto se mueve a lo largo de una curva, o trayectoria curvilínea, en una dirección determinada y en una cantidad de tiempo determinada, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada\(x\) - y la coordenada\(y\) -. Sin embargo, ambos\(x\) y\(y\) varían a lo largo del tiempo y también lo son las funciones del tiempo. Por esta razón, agregamos otra variable, el parámetro, sobre el cual ambas\(x\) y\(y\) son funciones dependientes. En el ejemplo en el abridor de sección, el parámetro es tiempo,\(t\). La\(x\) posición de la luna en el tiempo,\(t\), se representa como la función\(x(t)\), y la\(y\) posición de la luna en el tiempo,\(t\), se representa como la función\(y(t)\). Juntos,\(x(t)\) y\(y(t)\) se llaman ecuaciones paramétricas, y generan un par ordenado\((x(t), y(t))\). Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.

Cuando parametrizamos una curva, estamos traduciendo una sola ecuación en dos variables, como\(x\) y\(y\), en un par equivalente de ecuaciones en tres variables,\(x\),\(y\), y\(t\). Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas arrojan más información: específicamente, la dirección del movimiento del objeto a lo largo del tiempo.

Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de\(x\) y de\(y\). Hay una serie de formas que no se pueden representar en la forma\(y=f(x)\), es decir, que no son funciones. Por ejemplo, considere la gráfica de un círculo, dada como\(r^2=x^2+y^2\). Resolviendo para\(y\) da\(y=\pm \sqrt{r^2−x^2}\), o dos ecuaciones:\(y_1=\sqrt{r^2−x^2}\) y\(y_2=−\sqrt{r^2−x^2}\). Si graficamos\(y_1\) y\(y_2\) juntos, la gráfica no pasará la prueba de línea vertical, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Así, la ecuación para la gráfica de un círculo no es una función.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Sin embargo, si tuviéramos que graficar cada ecuación por su cuenta, cada una pasaría la prueba de línea vertical y por lo tanto representaría una función. En algunos casos, el concepto de romper la ecuación para un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que usamos dos funciones para producir una no función. Esto se hará más claro a medida que avancemos.

Ecuaciones paramétricas

Supongamos que\(t\) es un número en un intervalo,\(I\). El conjunto de pares ordenados,\((x(t), y(t))\), donde\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\), forma una curva plana basada en el parámetro\(t\). Las ecuaciones\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\) son las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Parameterizing a Curve

Parametrizar la curva\(y=x^2−1\) dejando\(x(t)=t\). Grafica ambas ecuaciones.

Solución

Si\(x(t)=t\), entonces para encontrar\(y(t)\) reemplazamos la variable\(x\) con la expresión dada en\(x(t)\). En otras palabras,\(y(t)=t^2−1\) .Hacer una tabla de valores similar a Tabla\(\PageIndex{1}\), y bosquejar la gráfica.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(t\)	\(x(t)\)	\(y(t)\)
\ (t\) ">\(−4\)	\ (x (t)\) ">\(−4\)	\ (y (t)\) ">\(y(−4)={(−4)}^2−1=15\)
\ (t\) ">\(−3\)	\ (x (t)\) ">\(−3\)	\ (y (t)\) ">\(y(−3)={(−3)}^2−1=8\)
\ (t\) ">\(−2\)	\ (x (t)\) ">\(−2\)	\ (y (t)\) ">\(y(−2)={(−2)}^2−1=3\)
\ (t\) ">\(−1\)	\ (x (t)\) ">\(−1\)	\ (y (t)\) ">\(y(−1)={(−1)}^2−1=0\)
\ (t\) ">\(0\)	\ (x (t)\) ">\(0\)	\ (y (t)\) ">\(y(0)={(0)}^2−1=−1\)
\ (t\) ">\(1\)	\ (x (t)\) ">\(1\)	\ (y (t)\) ">\(y(1)={(1)}^2−1=0\)
\ (t\) ">\(2\)	\ (x (t)\) ">\(2\)	\ (y (t)\) ">\(y(2)={(2)}^2−1=3\)
\ (t\) ">\(3\)	\ (x (t)\) ">\(3\)	\ (y (t)\) ">\(y(3)={(3)}^2−1=8\)
\ (t\) ">\(4\)	\ (x (t)\) ">\(4\)	\ (y (t)\) ">\(y(4)={(4)}^2−1=15\)

Ver las gráficas en la Figura\(\PageIndex{3}\). Puede ser útil usar la función TRACE de una calculadora gráfica para ver cómo se generan los puntos a medida que\(t\) aumenta.

Figura\(\PageIndex{3}\): (a) Paramétrico\(y(t)=t^2−1\) (b) Rectangular\(y=x^2−1\)

Análisis

Las flechas indican la dirección en la que se genera la curva. Observe que la curva es idéntica a la curva de\(y=x^2−1\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Construir una tabla de valores y trazar las ecuaciones paramétricas:\(x(t)=t−3\),\(y(t)=2t+4\);\(−1≤t≤2\).

Contestar

\(t\)	\(x(t)\)	\(y(t)\)
\ (t\) ">\(-1\)	\ (x (t)\) ">\(-4\)	\ (y (t)\) ">\(2\)
\ (t\) ">\(0\)	\ (x (t)\) ">\(-3\)	\ (y (t)\) ">\(4\)
\ (t\) ">\(1\)	\ (x (t)\) ">\(-2\)	\ (y (t)\) ">\(6\)
\ (t\) ">\(2\)	\ (x (t)\) ">\(-1\)	\ (y (t)\) ">\(8\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding a Pair of Parametric Equations

Encuentra un par de ecuaciones paramétricas que modele la gráfica de\(y=1−x^2\), usando el parámetro\(x(t)=t\). Trazar algunos puntos y bosquejar la gráfica.

Solución

Si\(x(t)=t\) y\(t\) sustituimos\(x\) en la\(y\) ecuación, entonces\(y(t)=1−t^2\). Nuestro par de ecuaciones paramétricas es

\[\begin{align*} x(t) &=t \\ y(t) &= 1−t^2 \end{align*}\]

Para graficar las ecuaciones, primero construimos una tabla de valores como esa en Tabla\(\PageIndex{2}\). Podemos elegir valores alrededor\(t=0\), de\(t=−3\) a\(t=3\). Los valores en la\(x(t)\) columna serán los mismos que los de la\(t\) columna porque\(x(t)=t\). Calcular valores para la columna\(y(t)\).

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\ (t)	\(x(t)=t\)	\(y(t)=1−t^2\)
\ (t) ">\ (−3\)	\ (x (t) =t\) ">\(−3\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(−3)=1−{(−3)}^2=−8\)
\ (t) ">\ (−2\)	\ (x (t) =t\) ">\(−2\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(−2)=1−{(−2)}^2=−3\)
\ (t) ">\ (−1\)	\ (x (t) =t\) ">\(−1\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(−1)=1−{(−1)}^2=0\)
\ (t) ">\ (0\)	\ (x (t) =t\) ">\(0\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(0)=1−0=1\)
\ (t) ">\ (1\)	\ (x (t) =t\) ">\(1\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(1)=1−{(1)}^2=0\)
\ (t) ">\ (2\)	\ (x (t) =t\) ">\(2\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(2)=1−{(2)}^2=−3\)
\ (t) ">\ (3\)	\ (x (t) =t\) ">\(3\)	\ (y (t) =1−t^2\) ">\(y(3)=1−{(3)}^2=−8\)

La gráfica de\(y=1−t^2\) es una parábola orientada hacia abajo, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\). Hemos mapeado la curva a lo largo del intervalo\([−3, 3]\), mostrada como una línea sólida con flechas que indican la orientación de la curva de acuerdo a\(t\). La orientación se refiere a la trayectoria trazada a lo largo de la curva en términos de valores crecientes de\(t\). Como esta parábola es simétrica con respecto a la línea\(x=0\), los valores de\(x\) se reflejan a través del eje y.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Parametrizar la curva dada por\(x=y^3−2y\).

Contestar

\(x(t)=t^3−2t\)

\(y(t)=t\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding Parametric Equations That Model Given Criteria

Un objeto viaja a una velocidad constante a lo largo de una trayectoria recta\((−5, 3)\) hasta\((3, −1)\) en el mismo plano en cuatro segundos. Las coordenadas se miden en metros. Encuentra ecuaciones paramétricas para la posición del objeto.

Solución

Las ecuaciones paramétricas son expresiones lineales simples, pero necesitamos ver este problema de manera paso a paso. El valor x del objeto comienza en\(−5\) metros y va a\(3\) metros. Esto significa que la distancia\(x\) ha cambiado en\(8\) metros en\(4\) segundos, que es una tasa de\(\dfrac{8\space m}{4\space s}\), o\(2\space m/s\). Podemos escribir la coordenada x como una función lineal con respecto al tiempo como\(x(t)=2t−5\). En la plantilla de función lineal\(y=mx+b\),\(2t=mx\) y\(−5=b\).

De igual manera, el\(y\) -valor del objeto comienza en\(3\) y va a\(−1\), que es un cambio en la distancia\(y\) de\(−4\) metros en\(4\) segundos, que es una tasa de\(\dfrac{−4\space m}{4\space s}\), o\(−1\space m/s\). También podemos escribir la coordenada y como la función lineal\(y(t)=−t+3\). En conjunto, estas son las ecuaciones paramétricas para la posición del objeto, donde\(x\) y\(y\) se expresan en metros y\(t\) representa el tiempo:

\[\begin{align*} x(t) &= 2t−5 \\ y(t) &= −t+3 \end{align*}\]

Usando estas ecuaciones, podemos construir una tabla de valores para\(t\),\(x\), y\(y\) (ver Tabla\(\PageIndex{3}\)). En este ejemplo, limitamos valores de\(t\) a números no negativos. En general, se\(t\) puede utilizar cualquier valor de.

Mesa\(\PageIndex{3}\)

\(t\)	\(x(t)=2t−5\)	\(y(t)=−t+3\)
\ (t\) ">\(0\)	\ (x (t) =2t−5\) ">\(x=2(0)−5=−5\)	\ (y (t) =−t+3\) ">\(y=−(0)+3=3\)
\ (t\) ">\(1\)	\ (x (t) =2t−5\) ">\(x=2(1)−5=−3\)	\ (y (t) =−t+3\) ">\(y=−(1)+3=2\)
\ (t\) ">\(2\)	\ (x (t) =2t−5\) ">\(x=2(2)−5=−1\)	\ (y (t) =−t+3\) ">\(y=−(2)+3=1\)
\ (t\) ">\(3\)	\ (x (t) =2t−5\) ">\(x=2(3)−5=1\)	\ (y (t) =−t+3\) ">\(y=−(3)+3=0\)
\ (t\) ">\(4\)	\ (x (t) =2t−5\) ">\(x=2(4)−5=3\)	\ (y (t) =−t+3\) ">\(y=−(4)+3=−1\)

A partir de esta tabla, podemos crear tres gráficas, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\).

Figura\(\PageIndex{6}\): (a) Una gráfica de\(x\) vs.\(t\), que representa la posición horizontal a lo largo del tiempo. (b) Una gráfica de\(y\) vs.\(t\), que representa la posición vertical a lo largo del tiempo. (c) Una gráfica de\(y\) vs.\(x\), que representa la posición del objeto en el plano en el momento\(t\).

Análisis

Nuevamente, vemos que, en la Figura\(\PageIndex{6}\) (c), cuando el parámetro representa el tiempo, podemos indicar el movimiento del objeto a lo largo de la trayectoria con flechas.

Eliminando el parámetro

En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas pero encontramos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como\(x\) y\(y\). Eliminar el parámetro es un método que puede hacer que graficar algunas curvas sea más fácil. Sin embargo, si nos preocupa el mapeo de la ecuación según el tiempo, entonces será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro\(t\) de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.

Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas

Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que se manipula más fácilmente y resolvemos para\(t\). Sustituimos la expresión resultante por\(t\) en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en\(x\) y\(y\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Eliminating the Parameter in Polynomials

Dado\(x(t)=t^2+1\) y\(y(t)=2+t\), eliminar el parámetro, y escribir las ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana.

Solución

Comenzaremos con la ecuación para\(y\) porque la ecuación lineal es más fácil de resolver\(t\).

\[\begin{align*} y &= 2+t \\ y−2 &=t \end{align*}\]

A continuación, sustituya\(y−2\)\(t\) en\(x(t)\).

\[\begin{align*} x &= t^2+1 \\ x &= {(y−2)}^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\; \text{Substitute the expression for }t \text{ into }x. \\ x &= y^2−4y+4+1 \\ x &= y^2−4y+5 \\ x &= y^2−4y+5 \end{align*}\]

La forma cartesiana es\(x=y^2−4y+5\).

Análisis

Esta es una ecuación para una parábola en la que, en términos rectangulares,\(x\) depende de\(y\). Desde el vértice de la curva en\((1,2)\), la gráfica barre hacia la derecha. Ver Figura\(\PageIndex{7}\). En esta sección, consideramos conjuntos de ecuaciones dadas por las funciones\(x(t)\) y\(y(t)\), donde\(t\) está la variable independiente del tiempo. Notar, ambos\(x\) y\(y\) son funciones del tiempo; así que en general no\(y\) es una función de\(x\).

Figura\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dadas las ecuaciones siguientes, eliminar el parámetro y escribir como una ecuación rectangular para\(y\) como una función de\(x\).

\[\begin{align*} x(t) &= 2t^2+6 \\ y(t) &= 5−t \end{align*}\]

Contestar

\(y=5−\sqrt{\frac{1}{2}x−3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Eliminating the Parameter in Exponential Equations

Eliminar el parámetro y escribir como una ecuación cartesiana:\(x(t)=e^{−t}\) y\(y(t)=3e^t\),\(t>0\).

Solución

Aislar\(e^t\).

\[\begin{align*} x &=e^{−t} \\ e^t &= \dfrac{1}{x} \end{align*}\]

Sustituir la expresión en\(y(t)\).

\[\begin{align*} y &= 3e^t \\ y &= 3 \left(\dfrac{1}{x}\right) \\ y &= \dfrac{3}{x} \end{align*}\]

La forma cartesiana es\(y=\dfrac{3}{x}\).

Análisis

La gráfica de la ecuación paramétrica se muestra en la Figura\(\PageIndex{8a}\). El dominio está restringido a\(t>0\). La ecuación cartesiana,\(y=\dfrac{3}{x}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{8b}\) y tiene sólo una restricción en el dominio,\(x≠0\).

0, y una gráfica de esa ecuación paramétrica en coordenadas polares con dominio solo restringido a x no igual a 0. La versión de coordenadas cartesianas tiene un reflejo extra de la función a través del origen en Q 3 (el original estaba justo en Q 1)." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...3487926125.png">

Figura\(\PageIndex{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Eliminating the Parameter in Logarithmic Equations

Eliminar el parámetro y escribir como una ecuación cartesiana:\(x(t)=\sqrt{t}+2\) y\(y(t)=\log(t)\).

Solución

Resuelve la primera ecuación para\(t\).

\[\begin{align*} x &= \sqrt{t}+2 \\ x−2 &= \sqrt{t} \\ {(x−2)}^2 &= t \;\;\;\;\;\;\;\; \text{Square both sides.} \end{align*}\]

Después, sustituya la expresión por\(t\) en la\(y\) ecuación.

\[\begin{align*} y &= \log(t) \\ y &= \log{(x−2)}^2 \end{align*}\]

La forma cartesiana es\(y=\log{(x−2)}^2\).

Análisis

Para asegurarse de que las ecuaciones paramétricas son equivalentes a la ecuación cartesiana, verifique los dominios. Las ecuaciones paramétricas restringen el dominio\(x=\sqrt{t}+2\) a\(t>0\); restringimos el dominio\(x\) a\(x>2\). El dominio para la ecuación paramétrica\(y=\log(t)\) está restringido a\(t>0\); limitamos el dominio\(y=\log{(x−2)}^2\) a\(x>2\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Elimine el parámetro y escriba como una ecuación rectangular.

\[\begin{align*} x(t) &= t^2 \\ y(t) &= \ln t\text{, } t>0 \end{align*}\]

Contestar

\(y=\ln \sqrt{x}\)

Eliminación del parámetro de ecuaciones trigonométricas

Eliminar el parámetro de las ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos usar algunas de las identidades trigonométricas familiares y el Teorema de Pitágoras.

Primero, usamos las identidades:

\[\begin{align*} x(t) &= a \cos t \\ y(t) &= b \sin t \end{align*}\]

Resolviendo para\(\cos t\) y\(\sin t\), tenemos

\[\begin{align*} \dfrac{x}{a} &= \cos t \\ \dfrac{y}{b} &= \sin t \end{align*}\]

Luego, usa el Teorema de Pitágoras:

\({\cos}^2 t+{\sin}^2 t=1\)

Sustitución da

\({\cos}^2 t+{\sin}^2 t={\left(\dfrac{x}{a}\right)}^2+{\left(\dfrac{y}{b}\right)}^2=1\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Eliminating the Parameter from a Pair of Trigonometric Parametric Equations

Eliminar el parámetro del par dado de ecuaciones trigonométricas donde\(0≤t≤2\pi\) y bosquejar la gráfica.

\[\begin{align*} x(t) &=4 \cos t \\ y(t) &=3 \sin t \end{align*}\]

Solución

Resolviendo para\(\cos t\) y\(\sin t\), tenemos

\[\begin{align*} x &=4 \cos t \\ \dfrac{x}{4} &= \cos t \\ y &=3 \sin t \\ \dfrac{y}{3} &= \sin t \end{align*}\]

A continuación, utilizar la identidad pitagórica y hacer las sustituciones.

\[\begin{align*} {\cos}^2 t+{\sin}^2 t &= 1 \\ {\left(\dfrac{x}{4}\right)}^2+{\left(\dfrac{y}{3}\right)}^2 &=1 \\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9} &=1 \end{align*}\]

La gráfica para la ecuación se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\).

Figura\(\PageIndex{9}\)

Análisis

Aplicando las ecuaciones generales para secciones cónicas (introducidas en Geometría Analítica, podemos identificar\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\) como una elipse centrada en\((0,0)\). Observe que cuando\(t=0\) las coordenadas son\((4,0)\), y cuando\(t=\dfrac{\pi}{2}\) las coordenadas son\((0,3)\). Esto muestra la orientación de la curva con valores crecientes de\(t\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Elimine el parámetro del par dado de ecuaciones paramétricas y escriba como una ecuación cartesiana:\(x(t)=2 \cos t\) y\(y(t)=3 \sin t\).

Contestar

\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)

Encontrar ecuaciones cartesianas a partir de curvas definidas paramétricamente

Cuando se nos da un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos encontrar una ecuación cartesiana equivalente, esencialmente estamos “eliminando el parámetro”. Sin embargo, existen varios métodos que podemos usar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más simple es establecer una ecuación igual al parámetro, tal como\(x(t)=t\). En este caso,\(y(t)\) puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.

\[\begin{align*} x(t) &=t \\ y(t) &= t^2−3 \end{align*}\]

Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es una cuestión de\(x\) sustituirlo\(t\). Así, la ecuación cartesiana es\(y=x^2−3\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Finding a Cartesian Equation Using Alternate Methods

Utilice dos métodos diferentes para encontrar la ecuación cartesiana equivalente al conjunto dado de ecuaciones paramétricas.

\[\begin{align*} x(t) &= 3t−2 \\ y(t) &= t+1 \end{align*}\]

Solución

Método 1. Primero, resolvamos la\(x\) ecuación para\(t\). Entonces podemos sustituir el resultado en la\(y\) ecuación.

\[\begin{align*} x &= 3t−2 \\ x+2 &= 3t \\ \dfrac{x+2}{3} &= t \end{align*}\]

Ahora sustituya la expresión por\(t\) en la\(y\) ecuación.

\[\begin{align*} y &= t+1 \\ y & = \left(\dfrac{x+2}{3}\right)+1 \\ y &= \dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}+1 \\ y &= \dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3} \end{align*}\]

Método 2. Resuelva la\(y\) ecuación\(t\) y sustituya esta expresión en la\(x\) ecuación.

\[\begin{align*} y &= t+1 \\ y−1 &=t \end{align*}\]

Hacer la sustitución y luego resolver para\(y\).

\[\begin{align*} x &= 3(y−1)−2 \\ x &= 3y−3−2 \\ x &= 3y−5 \\ x+5 &= 3y \\ \dfrac{x+5}{3} &= y \\ y &= \dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3} \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Escribe las ecuaciones paramétricas dadas como una ecuación cartesiana:\(x(t)=t^3\) y\(y(t)=t^6\).

Contestar

\(y=x^2\)

Búsqueda de ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Si bien acabamos de demostrar que solo hay una manera de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, existen múltiples formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que podamos usar para encontrar las ecuaciones paramétricas es válida si produce equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar\(x\), y luego la sustituimos en la\(y\) ecuación, y produce la misma gráfica sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se restringe en el conjunto de ecuaciones paramétricas, y la función no permite los mismos valores para\(x\) que el dominio de la ecuación rectangular, entonces las gráficas serán diferentes.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Finding a Set of Parametric Equations for Curves Defined by Rectangular Equations

Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas equivalentes para\(y={(x+3)}^2+1\).

Solución

Una opción obvia sería dejar\(x(t)=t\). Entonces\(y(t)={(t+3)}^2+1\). Pero probemos algo más interesante. ¿Y si lo dejamos\(x=t+3\)? Entonces tenemos

\[\begin{align*} y &= {(x+3)}^2+1 \\ y &= {((t+3)+3)}^2+1 \\ y &= {(t+6)}^2+1 \end{align*}\]

El conjunto de ecuaciones paramétricas es

\[\begin{align*} x(t) &= t+3 \\ y(t) &= {(t+6)}^2+1 \end{align*}\]

Ver Figura\(\PageIndex{10}\).

Figura\(\PageIndex{10}\)

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con ecuaciones paramétricas.

• Introducción a las Ecuaciones Paramétricas
• Conversión de ecuaciones paramétricas a forma rectangular

Conceptos clave

• Parametrizar una curva implica traducir una ecuación rectangular en dos variables,\(x\) y\(y\), en dos ecuaciones en tres variables,\(x\),\(y\), y\(t\). A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
• A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar\(t\), una ecuación en\(x\) y\(y\) es el resultado.
• Eliminar\(t\), resolver una de las ecuaciones para\(t\), y sustituir la expresión en la segunda ecuación. Ver Ejemplo\(\PageIndex{4}\), Ejemplo\(\PageIndex{5}\)\(\PageIndex{6}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{7}\).
• Encontrar la ecuación rectangular para una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelve para\(t\) en una de las ecuaciones, y sustituye la expresión en la segunda ecuación. Ver Ejemplo\(\PageIndex{8}\).
• Hay un número infinito de formas de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular.
• Encuentra una expresión para\(x\) tal que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Ver Ejemplo\(\PageIndex{9}\).

Colaboradores

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