8.7: Ecuaciones Paramétricas - Gráficas
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- Gráfica ecuaciones paramétricas.
Es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos hombres en base. El equipo local está perdiendo por dos carreras. El bateador se balancea y golpea el beisbol a\(140\) pies por segundo y en un ángulo de aproximadamente\(45°\) a la horizontal. ¿Hasta dónde viajará la pelota? ¿Despejará la barda para un jonrón ganador del juego? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente qué tan lejos viajará usando ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como problemas de movimiento de proyectiles.
Figura\(\PageIndex{1}\): Las ecuaciones paramétricas pueden modelar la trayectoria de un proyectil. (crédito: Paul Kreher, Flickr)
Graficar Ecuaciones Paramétricas por Trazado de Puntos
En lugar de una calculadora gráfica o un programa de gráficos por computadora, trazar puntos para representar la gráfica de una ecuación es el método estándar. Siempre y cuando seamos cuidadosos en el cálculo de los valores, el trazado de puntos es altamente confiable.
- Construir una tabla con tres columnas:\(t\),\(x(t)\), y\(y(t)\).
- Evaluar\(x\) y\(y\) para valores de tt sobre el intervalo para el que se definen las funciones.
- Trazar los pares resultantes\((x,y)\).
Esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas\(x(t)=t^2+1\),\( y(t)=2+t\).
Solución
Construya una tabla de valores para\(t\)\(x(t)\), y\(y(t)\), como en Tabla\(\PageIndex{1}\), y trazar los puntos en un plano.
| \(t\) | \(x(t)=t^2+1\) | \(y(t)=2+t\) |
|---|---|---|
| \(−5\) | \(26\) | \(−3\) |
| \(−4\) | \(17\) | \(−2\) |
| \(−3\) | \(10\) | \(−1\) |
| \(−2\) | \(5\) | \(0\) |
| \(−1\) | \(2\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(2\) | \(5\) | \(4\) |
| \(3\) | \(10\) | \(5\) |
| \(4\) | \(17\) | \(6\) |
| \(5\) | \(26\) | \(7\) |
El gráfico es una parábola con vértice en el punto\((1,2)\), que se abre a la derecha. Ver Figura\(\PageIndex{2}\).
Figura\(\PageIndex{2}\)
Análisis
Como valores para el\(t\) progreso en una dirección positiva de\(0\) a\(5\), los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. A medida que los valores a veces t se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican dirección según valores crecientes de\(t\). El gráfico no representa una función, ya que fallará la prueba de línea vertical. La gráfica se dibuja en dos partes: los valores positivos para\(t\), y los valores negativos para\(t\).
Esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas\(x=\sqrt{t}\),\( y=2t+3\),\(0≤t≤3\).
- Contestar
-
Figura\(\PageIndex{3}\)
Construir una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y bosquejar la gráfica:
\(x=2 \cos t\)
\(y=4 \sin t\)
Solución
Construir una tabla como esa en Tabla\(\PageIndex{2}\) usando la medida del ángulo en radianes como entradas para\(t\), y evaluando\(x\) y\(y\). El uso de ángulos con valores conocidos de seno y coseno para\(t\) facilita los cálculos.
| \(t\) | \(x=2 \cos t\) | \(y=4 \sin t\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(x=2 \cos(0)=2\) | \(y=4 \sin(0)=0\) |
| \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{\pi}{6})=\sqrt{3}\) | \(y=4 \sin(\dfrac{π}{6})=2\) |
| \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{\pi}{3})=1\) | \(y=4 \sin(\dfrac{\pi}{3})=2\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{\pi}{2})=0\) | \(y=4 \sin(\dfrac{\pi}{2})=4\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{2\pi}{3})=−1\) | \(y=4 \sin(\dfrac{2\pi}{3})=2\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{5\pi}{6})=−\sqrt{3}\) | \(y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{6})=2\) |
| \(\pi\) | \(x=2 \cos(\pi)=−2\) | \(y=4 \sin(\pi)=0\) |
| \(\dfrac{7\pi}{6}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{7\pi}{6})=−\sqrt{3}\) | \(y=4 \sin(\dfrac{7\pi}{6})=−2\) |
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{4\pi}{3})=−1\) | \(y=4 \sin(\dfrac{4\pi}{3})=−2\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{3\pi}{2})=0\) | \(y=4 \sin(\dfrac{3\pi}{2})=−4\) |
| \(\dfrac{5\pi}{3}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{5\pi}{3})=1\) | \(y=4 \sin(\dfrac{5\pi}{3})=−2\sqrt{3}\) |
| \(\dfrac{11\pi}{6}\) | \(x=2 \cos(\dfrac{11\pi}{6})=\sqrt{3}\) | \(y=4 \sin(\dfrac{11\pi}{6})=−2\) |
| \(2\pi\) | \(x=2 \cos(2\pi)=2\) | \(y=4 \sin(2\pi)=0\) |
En la figura se\(\PageIndex{4}\) muestra la gráfica.
Figura\(\PageIndex{4}\)
Por la simetría mostrada en los valores de\(x\) y\(y\), vemos que las ecuaciones paramétricas representan una elipse. La elipse se mapea en sentido contrario a las agujas del reloj como lo muestran las flechas que indican\(t\) valores crecientes.
Análisis
Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden graficar trazando puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará algo de tiempo y revelará matices en una gráfica que pueden ser demasiado tediosos de descubrir usando solo cálculos manuales. Asegúrese de cambiar el modo de la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la\(Y=\) ventana debe mostrar
\[\begin{align*} X_{1T} &= \\ Y_{1T} &= \end{align*}\]
en lugar de\(Y_1=\).
Grafica las ecuaciones paramétricas:\(x=5 \cos t\),\(y=3 \sin t\).
- Contestar
-
Figura\(\PageIndex{5}\)
Grafique las ecuaciones paramétricas\(x=5 \cos t\) y\(y=2 \sin t\). Primero, construya la gráfica utilizando puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica. Después grafica la forma rectangular de la ecuación. Compara las dos gráficas.
Solución
Construir una tabla de valores como esa en Tabla\(\PageIndex{3}\).
| \(t\) | \(x=5 \cos t\) | \(y=2 \sin t\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(x=5 \cos(0)=5\) | \(y=2 \sin(0)=0\) |
| \(1\) | \(x=5 \cos(1)≈2.7\) | \(y=2 \sin(1)≈1.7\) |
| \(2\) | \(x=5 \cos(2)≈−2.1\) | \(y=2 \sin(2)≈1.8\) |
| \(3\) | \(x=5 \cos(3)≈−4.95\) | \(y=2 \sin(3)≈0.28\) |
| \(4\) | \(x=5 \cos(4)≈−3.3\) | \(y=2 \sin(4)≈−1.5\) |
| \(5\) | \(x=5 \cos(5)≈1.4\) | \(y=2 \sin(5)≈−1.9\) |
| \(−1\) | \(x=5 \cos(−1)≈2.7\) | \(y=2 \sin(−1)≈−1.7\) |
| \(−2\) | \(x=5 \cos(−2)≈−2.1\) | \(y=2 \sin(−2)≈−1.8\) |
| \(−3\) | \(x=5 \cos(−3)≈−4.95\) | \(y=2 \sin(−3)≈−0.28\) |
| \(−4\) | \(x=5 \cos(−4)≈−3.3\) | \(y=2 \sin(−4)≈1.5\) |
| \(−5\) | \(x=5 \cos(−5)≈1.4\) | \(y=2 \sin(−5)≈1.9\) |
Trazar los\((x,y)\) valores de la tabla (Figura\(\PageIndex{6}\)).
Figura\(\PageIndex{6}\)
A continuación, traducir las ecuaciones paramétricas a forma rectangular. Para ello, resolvemos para\(t\) en cualquiera\(x(t)\) o\(y(t)\), y luego sustituimos la expresión por\(t\) en la otra ecuación. El resultado será una función\(y(x)\) si resolver para\(t\) como una función de\(x\), o\(x(y)\) si resolver para\(t\) como una función de\(y\).
\[\begin{align*} x &= 5 \cos t \\ \dfrac{x}{5} &= \cos t \end{align*}\]
Resolver para\(\cos t\).
\(y=2 \sin t\)
Resolver para\(\sin t\).
\(\dfrac{y}{2}=\sin t\)
Entonces, usa el Teorema de Pitágoras.
\[\begin{align*} {\cos}^2 t+{\sin}^2 t &=1 \\ {\left(\dfrac{x}{5}\right)}^2+{\left(\dfrac{y}{2}\right)}^2 &= 1 \\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4} &=1 \end{align*}\]
Análisis
En la Figura\(\PageIndex{7}\), los datos de las ecuaciones paramétricas y la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; la gráfica para la ecuación rectangular se dibuja encima de la paramétrica en un estilo discontinuo de color rojo. Claramente, ambas formas producen la misma gráfica.
Figura\(\PageIndex{7}\)
Grafique las ecuaciones paramétricas\(x=t+1\) y\(y=\sqrt{t}\)\(t≥0\),, y el equivalente rectangular\(y=\sqrt{x−1}\) en el mismo sistema de coordenadas.
Solución
Construir una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas, como hicimos en el ejemplo anterior, y graficamos\(y=\sqrt{t}\),\(t≥0\) en la misma cuadrícula, como en la Figura\(\PageIndex{8}\).
Figura\(\PageIndex{8}\)
Análisis
Con el dominio en\(t\) restringido, solo trazamos valores positivos de\(t\). Los datos paramétricos se grafican en azul y el gráfico de la ecuación rectangular se discontinua en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen.
Dibuje la gráfica de las ecuaciones paramétricas\(x=2 \cos \theta\) y\(y=4 \sin \theta\), junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula.
- Contestar
-
La gráfica de las ecuaciones paramétricas está en rojo y la gráfica de la ecuación rectangular se dibuja en puntos azules encima de las ecuaciones paramétricas.
Figura\(\PageIndex{9}\)
Aplicaciones de ecuaciones paramétricas
Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se vuelven obvias cuando se aplican a la resolución de problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares\(x\) entran y\(y\) dan una imagen general de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento específico. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de\(x\) y\(y\) cambian dependiendo de\(t\), como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.
Una aplicación común de ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectiles. En este tipo de movimiento, un objeto es propulsado hacia adelante en dirección ascendente formando un ángulo de\(\theta\) a la horizontal, con una velocidad inicial de\(v_0\), y a una altura\(h\) por encima de la horizontal.
La trayectoria de un objeto propulsada\(\theta\) a una inclinación de la horizontal, con velocidad inicial\(v_0\), y a una altura por\(h\) encima de la horizontal, viene dada por
\[\begin{align*} x &= (v_0 \cos \theta)t \\ y &= −\dfrac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta)t+h \end{align*}\]
donde\(g\) da cuenta de los efectos de la gravedad y\(h\) es la altura inicial del objeto. Dependiendo de las unidades involucradas en el problema, uso\(g=32 ft / s^2\) o\(g=9.8 m / s^2\). La ecuación para\(x\) da distancia horizontal, y la ecuación para\(y\) da la distancia vertical.
- La distancia horizontal viene dada por\(x=(v_0 \cos \theta)t\). Sustituir la velocidad inicial del objeto por\(v_0\).
- La expresión\(\cos \theta\) indica el ángulo en el que se propulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por\(\cos \theta\).
- La distancia vertical viene dada por la fórmula\(y=−\dfrac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta)t+h\). El término\(−\dfrac{1}{2}gt^2\) representa el efecto de la gravedad. Dependiendo de las unidades involucradas, uso\(g=32 ft/s^2\) o\(g=9.8 m/s^2\). Nuevamente, sustituya la velocidad inicial por\(v_0\), y la altura a la que se propulsó el objeto\(h\).
- Proceder calculando cada término a resolver para\(t\).
Resolver el problema presentado al inicio de esta sección. ¿El bateador golpea el jonrón ganador del juego? Supongamos que la pelota es golpeada con una velocidad inicial de\(140\) pies por segundo en un ángulo con respecto\(45°\) a la horizontal, haciendo contacto\(3\) pies por encima del suelo.
- Encuentra las ecuaciones paramétricas para modelar el camino del béisbol.
- ¿Dónde está el balón después de\(2\) segundos?
- ¿Cuánto dura la pelota en el aire?
- ¿Es un jonrón?
Solución
1. Usa las fórmulas para configurar las ecuaciones. La posición horizontal se encuentra usando la ecuación paramétrica para\(x\). Por lo tanto,
\[\begin{align*} x &= (v_0 \cos \theta)t \\ x &= (140 \cos(45°))t \end{align*}\]
La posición vertical se encuentra usando la ecuación paramétrica para\(y\). Por lo tanto,
\[\begin{align*} y &=−16t^2+(v_0 \sin \theta)t+h \\ y &= −16t^2+(140 \sin(45°))t+3 \end{align*}\]
2. Sustituye\(2\) en las ecuaciones para encontrar las posiciones horizontal y vertical de la pelota.
\[\begin{align*} x &= (140 \cos(45°))(2) \\ x &= 198\space feet \\ y &= −16{(2)}^2+(140 \sin(45°))(2)+3 \\ y &=137\space feet \end{align*}\]
Después de\(2\) segundos, la pelota está a\(198\) pies de distancia de la caja del bateador y\(137\) pies sobre el suelo.
3. Para calcular cuánto tiempo está la pelota en el aire, tenemos que averiguar cuándo golpeará el suelo, o cuándo\(y=0\). Por lo tanto,
\[\begin{align*} y &= −16t^2+(140\sin(45∘))t+3 \\ y &=0 \text{ Set }y(t)=0 \text{ and solve the quadratic.} \\ t &= 6.2173 \end{align*}\]
Cuando\(t=6.2173\) segundos, la pelota ha golpeado el suelo. (La ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero este problema se resolvió usando un programa de computación matemática).
4. No podemos confirmar que el hit fue un jonrón sin considerar el tamaño de los outfield, que varía de un campo a otro. Sin embargo, en aras de la simplicidad, supongamos que la pared del campo está a\(400\) pies del plato principal en la parte más profunda del parque. Supongamos también que la pared tiene\(10\) pies de altura. Para determinar si la pelota despeja la pared, necesitamos calcular qué tan alta es la pelota cuando\(x = 400\) los pies. Entonces estableceremos\(x = 400\), resolveremos e ingresaremos tt en\(y\).\(t\)
\[\begin{align*} x &= (140 \cos(45°))t \\ 400 &= (140 \cos(45°))t \\ t &= 4.04 \\ y &= −16{(4.04)}^2+(140 \sin(45°))(4.04)+3 \\ y &= 141.8 \end{align*}\]
El balón es\(141.8\) pies en el aire cuando se eleva fuera del estadio de béisbol. De hecho, fue un jonrón. Ver Figura\(\PageIndex{10}\).
Figura\(\PageIndex{10}\)
Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con gráficas de ecuaciones paramétricas.
Conceptos clave
- Cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro del cual\(x\) y\(y\) dependen, se pueden utilizar ecuaciones paramétricas.
- Para graficar ecuaciones paramétricas trazando puntos, haga una tabla con tres columnas etiquetadas\(t\),\(x(t)\), y\(y(t)\). Elija valores fort t en orden creciente. Trazar las dos últimas columnas para\(x\) y\(y\). Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\) y Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
- Al graficar una curva paramétrica trazando puntos, anote los t -valores asociados y muestre flechas en la gráfica indicando la orientación de la curva. Ver Ejemplo\(\PageIndex{3}\) y Ejemplo\(\PageIndex{4}\).
- Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en la gráfica. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que involucran movimiento. Ver Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
- El movimiento del proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas:\(x=(v_0 \cos \theta)t\) y\(y=−16t^2+(v_0 \sin \theta)t+h\). La velocidad inicial se simboliza como\(v_0\). \(\theta\)representa el ángulo inicial del objeto cuando se lanza, y\(h\) representa la altura a la que se propulsa el objeto.