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# 9.4: Fracciones Parciales

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##### Objetivos de aprendizaje

Descomponer$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$, donde

• $$Q(x)$$solo tiene factores lineales no repetidos.
• $$Q(x)$$tiene factores lineales repetidos.
• $$Q(x)$$tiene un factor cuadrático irreducible no repetido.
• $$Q(x)$$tiene un factor cuadrático irreducible repetido.

Anteriormente en este capítulo, estudiamos sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí presentamos otra forma en que se pueden utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de las expresiones racionales. Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

## Descomponer$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ donde solo$$Q(x)$$ tiene factores lineales no repetidos

Recordemos el álgebra respecto a sumar y restar expresiones racionales. Estas operaciones dependen de encontrar un denominador común para que podamos escribir la suma o diferencia como una sola expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de la fracción, que es la deshacer del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. En otras palabras, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamadas fracciones parciales.

Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:

$\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber$

Primero necesitaríamos encontrar un denominador común:$$(x+2)(x−3)$$.

A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y encontraríamos la suma de los términos.

\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}

La descomposición parcial de la fracción es lo contrario de este procedimiento. Comenzaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.

$\underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber$

Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante que hay que hacer es factor el denominador.

Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales, es probable que cada una de las expresiones racionales originales, que se sumaron o restaron, tuviera uno de los factores lineales como denominador. Es decir, utilizando el ejemplo anterior, los factores de$$x^2−x−6$$ son$$(x−3)(x+2)$$, los denominadores de la expresión racional descompuesta. Entonces reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y usaremos una variable para cada numerador. Entonces, resolveremos para cada numerador utilizando uno de los varios métodos disponibles para la descomposición parcial de la fracción.

##### DESCOMPOSICIÓN PARCIAL$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$: $$Q(x)$$ HAS NONREPEATED LINEAR FACTORS

La descomposición parcial de la fracción de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ cuando$$Q(x)$$ tiene factores lineales no repetidos y el grado de$$P(x)$$ es menor que el grado de$$Q(x)$$ es

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$

##### Cómo: Dada una expresión racional con distintos factores lineales en el denominador, descomponerla
1. Use una variable para los numeradores originales, generalmente$$A$$$$B$$, o$$C$$, dependiendo del número de factores, colocando cada variable sobre un solo factor. A los efectos de esta definición, utilizamos$$A_n$$ para cada numerador

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$$

2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
3. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
4. Establece coeficientes de términos similares desde el lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver para los numeradores.
##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Decomposing a Rational Function with Distinct Linear Factors

Descomponer la expresión racional dada con distintos factores lineales.

$$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}$$

Solución

Separaremos los factores del denominador y daremos a cada numerador una etiqueta simbólica, como$$A$$,$$B$$, o$$C$$.

$$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}$$

Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones:

$$(x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]$$

La ecuación resultante es

$$3x=A(x−1)+B(x+2)$$

Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.

\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}

Establecer un sistema de ecuaciones asociando los coeficientes correspondientes.

\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}

Agrega las dos ecuaciones y resuelve para$$B$$.

\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}

Sustituir$$B=1$$ en una de las ecuaciones originales en el sistema.

\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}

Así, la descomposición parcial de la fracción es

$$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$$

Otro método a utilizar para resolver para$$A$$ o$$B$$ es considerando la ecuación que resultó de eliminar las fracciones y sustituir un valor por$$x$$ eso hará que el$$B-$$ término$$A-$$ o sea igual a 0. Si lo dejamos$$x=1$$, el

$$A-$$término se convierte en 0 y simplemente podemos resolver para$$B$$.

\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}

A continuación, sustituya$$B=1$$ en la ecuación y resuelva$$A$$, o haga el$$B-$$ término$$0$$ sustituyendo$$x=−2$$ en la ecuación.

\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}

Obtenemos los mismos valores para$$A$$ y$$B$$ usando cualquiera de los dos métodos, por lo que las descomposiciones son las mismas usando cualquiera de los dos métodos.

$$\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}$$

Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones parciales de fracciones. Se le conoce como el método Heaviside, que lleva el nombre de Charles Heaviside, pionero en el estudio de la electrónica.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la descomposición parcial de la fracción de la siguiente expresión.

$$\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}$$

Contestar

$$\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}$$

## Descomponiendo$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ donde$$Q(x)$$ tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones que podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en poderes crecientes.

##### DESCOMPOSICIÓN PARCIAL$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$: $$Q(x)$$ HAS REPEATED LINEAR FACTORS

La descomposición parcial de la fracción de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$, cuando$$Q(x)$$ tiene un factor lineal repetido que ocurre n veces y el grado de$$P(x)$$ es menor que el grado de$$Q(x)$$, es

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$

Escribe los poderes denominador en orden creciente.

##### Cómo: descomponer una expresión racional con factores lineales repetidos
1. Utilizar una variable como$$A$$,$$B$$, o$$C$$ para los numeradores y dar cuenta de los poderes crecientes de los denominadores. $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}$
2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
3. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
4. Establece coeficientes de términos similares desde el lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver para los numeradores.
##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Decomposing with Repeated Linear Factors

Descomponer la expresión racional dada con factores lineales repetidos.

$$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}$$

Solución

Los factores denominador son$$x{(x−2)}^2$$. Para permitir el factor repetido de$$(x−2)$$, la descomposición incluirá tres denominadores:$$x$$,$$(x−2)$$, y$${(x−2)}^2$$. Por lo tanto,

$$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}$$

\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}

En el lado derecho de la ecuación, expandimos y recolectamos términos similares.

\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}

A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará el sistema de ecuaciones en tres variables:

\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}

Resolviendo para$$A$$ en la Ecuación\ ref {2.3}, tenemos

\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}

Sustituir$$A=1$$ en Ecuación\ ref {2.1}.

\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}

Entonces, para resolver para$$C$$, sustituir los valores para$$A$$ y$$B$$ en Ecuación\ ref {2.2}.

\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}

Por lo tanto,

$$\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encontrar la descomposición de la fracción parcial de la expresión con factores lineales repetidos.

$$\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}$$

Contestar

$\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber$

## Descomposición$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$, donde$$Q(x)$$ tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta el momento, hemos realizado descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y aplicamos numeradores$$A$$$$B$$, o$$C$$ representando constantes. Ahora veremos un ejemplo donde uno de los factores en el denominador es una expresión cuadrática que no factorial. Esto se conoce como un factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como$$Ax+B$$$$Bx+C$$,, etc.

##### DESPUESTA DE$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$: $$Q(x)$$ HAS A NONREPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

La descomposición parcial de la fracción de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ tal que$$Q(x)$$ tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de$$P(x)$$ es menor que el grado de$$Q(x)$$ se escribe como

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$

La descomposición puede contener expresiones más racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente:$$A$$,$$B$$,$$C$$, y así sucesivamente.

##### Cómo: descomponer una expresión racional donde los factores del denominador son factores cuadráticos distintos, irreducibles
1. Utilizar variables como$$A$$,$$B$$, o$$C$$ para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como$$A_1x+B_1$$,$$A_2x+B_2$$, etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador.

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}$$

2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
3. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
4. Establece coeficientes de términos similares desde el lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver para los numeradores.
##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Decomposing $$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ When $$Q(x)$$ Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor

Encontrar una fracción parcial de descomposición de la expresión dada.

$$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}$$

Solución

Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto,

$$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}$$

Seguimos los mismos pasos que en problemas anteriores. Primero, despeja las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común.

\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}

Observe que podríamos resolver fácilmente$$A$$ eligiendo un valor para$$x$$ eso hará que el$$Bx+C$$ término sea igual$$0$$. Dejar$$x=−3$$ y sustituirlo en la ecuación.

\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}

Ahora que conocemos el valor de$$A$$, sustituirlo de nuevo en la ecuación. Después expande el lado derecho y recoge términos similares.

\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}

Establecer los coeficientes de términos en el lado derecho iguales a los coeficientes de términos en el lado izquierdo da el sistema de ecuaciones.

\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}

Resolver para$$B$$ usar la ecuación\ ref {3.1}

\ [\ comenzar {alinear*} 2+B&= 8\ etiqueta {1}\\ [4pt] B&= 6\ final {alinear*}

y resolver por$$C$$ usar la ecuación\ ref {3.3}.

\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}

Así, la descomposición parcial de la fracción de la expresión es

$\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber$

##### Q&A: ¿Podríamos haber configurado un sistema de ecuaciones para resolver el ejemplo anterior?

Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver por$$A$$ primera vez. La expansión a la derecha sería:

\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}

Entonces el sistema de ecuaciones sería:

\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Encontrar la descomposición de la fracción parcial de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetible.

$\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber$

Contestar

$$\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}$$

## Descomponerse$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ cuando$$Q(x)$$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de la fracción cuando la expresión racional simplificada haya repetido factores cuadráticos irreducibles. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

##### DESPUESTA DE$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ WHEN $$Q(X)$$ HAS A REPEATED IRREDUCIBLE QUADRATIC FACTOR

La descomposición parcial de la fracción de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$, cuando$$Q(x)$$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de$$P(x)$$ es menor que el grado de$$Q(x)$$, es

$\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$

Escribir los denominadores en poderes crecientes.

##### Cómo: descomponer una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido
1. Usar variables como$$A$$,$$B$$, o$$C$$ para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como$$A_1x+B_1$$,$$A_2x+B_2$$, etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}$$

2. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
3. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
4. Establece coeficientes de términos similares desde el lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver para los numeradores.
##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Decomposing a Rational Function with a Repeated Irreducible Quadratic Factor in the Denominator

Descomponer la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador.

$$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}$$

Solución

Los factores del denominador son$$x$$,$$(x^2+1)$$, y$${(x^2+1)}^2$$. Recordemos que, cuando un factor en el denominador es un cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe ser de la forma lineal$$Ax+B$$. Entonces, comencemos la descomposición.

$$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}$$

Eliminamos los denominadores multiplicando cada término por$$x{(x^2+1)}^2$$. Por lo tanto,

\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}

Ahora vamos a recoger términos similares.

$$x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A$$

Establecer el sistema de ecuaciones que coincidan con los coeficientes correspondientes a cada lado del signo igual.

\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}

Podemos usar la sustitución a partir de este punto. Sustituir$$A=1$$ en la primera ecuación.

\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}

Sustituto$$A=1$$ y$$B=0$$ en la tercera ecuación.

\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}

Sustituir$$C=1$$ en la cuarta ecuación.

\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}

Ahora hemos resuelto por todas las incógnitas del lado derecho del signo igual. Tenemos$$A=1$$,,$$B=0$$$$C=1$$,$$D=−1$$, y$$E=−2$$. Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera:

$$\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encontrar la descomposición de la fracción parcial de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido.

$\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$

Contestar

$\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber$

##### Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con fracciones parciales.

## Conceptos clave

• Descomponerse$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ escribiendo las fracciones parciales como$\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber$ Resolver limpiando las fracciones, expandiendo el lado derecho, recopilando términos similares y estableciendo coeficientes correspondientes iguales entre sí, luego configurando y resolviendo un sistema de ecuaciones (ver Ejemplo$$\PageIndex{1}$$).
• La descomposición de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ con factores lineales repetidos debe dar cuenta de los factores del denominador en potencias crecientes (ver Ejemplo$$\PageIndex{2}$$).
• La descomposición de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en$$\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}$$ (ver Ejemplo$$\PageIndex{3}$$).
• En la descomposición de$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$, donde$$Q(x)$$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando se repiten los factores cuadráticos irreducibles, las potencias de los factores denominador deben representarse en potencias crecientes como$\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber$ Ver Ejemplo$$\PageIndex{4}$$.

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