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# 9.6: Resolviendo sistemas con eliminación gaussiana

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##### Objetivos de aprendizaje
• Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones.
• Escribir el sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada.
• Realizar operaciones de fila en una matriz.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices.

Carl Friedrich Gauss vivió a finales de$$18^{th}$$ siglo y principios de$$19^{th}$$ siglo, pero sigue siendo considerado uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como álgebra, teoría de números, análisis, geometría diferencial, astronomía y óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría matricial cambiaron la forma en que los matemáticos han trabajado durante los últimos dos siglos.

Primero encontramos la eliminación gaussiana en Sistemas de Ecuaciones Lineales: Dos Variables. En esta sección, revisaremos esta técnica para resolver sistemas, esta vez utilizando matrices.

#### Escribir la Matriz Aumentada de un Sistema de Ecuaciones

Una matriz puede servir como un dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, reemplazando esencialmente los signos iguales. Cuando un sistema se escribe en esta forma, lo llamamos matriz aumentada.

Por ejemplo, considere el siguiente$$2 × 2$$ sistema de ecuaciones.

\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}

Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]$$

También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. A esto se le llama la matriz de coeficientes.

$$\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}$$

Un sistema de ecuaciones de tres por tres como

\begin{align*} 3x-y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}

tiene una matriz de coeficientes

$$\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}$$

$$\left[ \begin{array}{ccc|c}3&−1&−1&0\\1&1&0&5\\2&0&−3&2\end{array} \right]$$

Observe que la matriz está escrita de manera que las variables se alineen en sus propias columnas:$$x$$ -terms van en la primera columna,$$y$$ -terms en la segunda columna y$$z$$ -terms en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación esté escrita en forma estándar$$ax+by+cz=d$$ para que las variables se alineen. Cuando falta un término variable en una ecuación, el coeficiente es$$0$$.

1. Escribe los coeficientes de los$$x$$ -terms como los números de la primera columna.
2. Escribe los coeficientes de los$$y$$ -terms como los números de la segunda columna.
3. Si hay$$z$$ -términos, escriba los coeficientes como los números abajo de la tercera columna.
4. Dibuja una línea vertical y escribe las constantes a la derecha de la línea.
##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Writing the Augmented Matrix for a System of Equations

\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}

Solución

La matriz aumentada muestra los coeficientes de las variables y una columna adicional para las constantes.

$$\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{array} \right]$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}

Contestar

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{array} \right]$$

#### Escribir un Sistema de Ecuaciones a partir de una Matriz Aumentada

Podemos usar matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están gravados por las variables. Sin embargo, es importante entender cómo moverse de un lado a otro entre formatos para que la búsqueda de soluciones sea más fluida e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información en una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Writing a System of Equations from an Augmented Matrix Form

Encuentra el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada.

$$\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{array} \right]$$

Solución

Cuando las columnas representan las variables$$x$$$$y$$, y$$z$$,

\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&-2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{array} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+5y+4z&= 6 \end{align*}

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Escribir el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada.

$$\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−1& 1&5\\2&−1&3&1\\0&1&1&-9\end{array}\right]$$

Contestar

\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}

## Realización de Operaciones de Fila en una Matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las diversas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como la suma, la multiplicación por una constante y el intercambio de filas.

Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz en forma de fila-escalón, en la que hay unos por debajo de la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra.

Forma fila-escalón$$\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&d\\0&0&1\end{bmatrix}$$

Utilizamos operaciones de fila correspondientes a operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es equivalente a fila en una forma más simple. Aquí están las pautas para obtener la forma fila-escalón.

1. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es a$$1$$. Se le llama líder$$1$$.
2. Cualquier fila todo cero se coloca en la parte inferior de la matriz.
3. Cualquier líder$$1$$ está por debajo y a la derecha de un líder anterior$$1$$.
4. Cualquier columna que contenga un$$1$$ interlineado tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a forma fila-escalón y hacer retro-sustitución para encontrar la solución.

1. Filas de intercambio. (Notación:$$R_i ↔ R_j$$)
2. Multiplica una fila por una constante. (Notación:$$cR_i$$)
3. Añadir el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila. (Notación:$$R_i+cR_j$$)

Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que rápidamente lograrán el objetivo de escribir una matriz en forma de fila-escalón. Para obtener una matriz en forma de fila-escalón para encontrar soluciones, utilizamos la eliminación gaussiana, un método que utiliza operaciones de fila para obtener a$$1$$ como primera entrada para que esa fila se$$1$$ pueda usar para convertir las filas restantes.

##### Eliminación Gaussiana

El método de eliminación gaussiana se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma fila-escalón de una matriz. El objetivo es escribir matriz$$A$$ con el número$$1$$ como la entrada por la diagonal principal y tener todos los ceros por debajo.

$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\xrightarrow{After\space Gaussian\space elimination} A=\begin{bmatrix}1&b_{12}& b_{13}\\0&1&b_{23}\\0&0&1\end{bmatrix}$$

El primer paso de la estrategia gaussiana incluye obtener a$$1$$ como primera entrada, por lo que esa fila$$1$$ puede ser utilizada para alterar las filas de abajo.

##### Cómo: Dada una matriz aumentada, realizar operaciones de fila para lograr la forma de escalón de filas
1. La primera ecuación debe tener un coeficiente principal de$$1$$. Intercambiar filas o multiplicar por una constante, si es necesario.
2. Utilice operaciones de fila para obtener ceros en la primera columna debajo de la primera entrada de$$1$$.
3. Utilice operaciones de fila para obtener una columna 2$$1$$ en la fila 2.
4. Utilice operaciones de fila para obtener ceros abajo columna 2, debajo de la entrada de 1.
5. Utilice operaciones de fila para obtener una columna 3$$1$$ en la fila 3.
6. Continuar con este proceso para todas las filas hasta que haya un\ (1 en cada entrada abajo de la diagonal principal y solo haya ceros debajo.
7. Si alguna fila contiene todos los ceros, colóquelos en la parte inferior.
##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Solving a $$2×2$$ System by Gaussian Elimination

Resolver el sistema dado por eliminación gaussiana.

\begin{align*} 2x+3y&= 6\\ x-y&= \dfrac{1}{2} \end{align*}

Solución

Primero, escribimos esto como una matriz aumentada.

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 2&3&6\\1&−1&12\end{array} \right]$$

Queremos una$$1$$ en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2.

$$R_1\leftrightarrow R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\2&3&6\end{array} \right]$$

Ahora tenemos a$$1$$ como primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora vamos a obtener una$$0$$ en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por$$−2$$, y luego agregando el resultado a la fila 2.

$$-2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&5&5\end{array} \right]$$

Sólo tenemos un paso más, para multiplicar la fila 2 por$$\dfrac{1}{5}$$.

$$\dfrac{1}{5}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&1&1\end{array} \right]$$

Utilice la sustitución por retroceso. La segunda fila de la matriz representa$$y=1$$. Volver$$y=1$$ a sustituir en la primera ecuación.

\begin{align*} x-(1)&= \dfrac{1}{2}\\ x&= \dfrac{3}{2} \end{align*}

La solución es el punto$$\left(\dfrac{3}{2},1\right)$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Resolver el sistema dado por eliminación gaussiana.

\begin{align*} 4x+3y&= 11\\ x-3y&= -1 \end{align*}

Contestar

$$(2, 1)$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Using Gaussian Elimination to Solve a System of Equations

Utilizar la eliminación gaussiana para resolver el$$2 × 2$$ sistema de ecuaciones dado.

\begin{align*} 2x+y&= 1\\ 4x+2y&= 6 \end{align*}

Solución

Escribe el sistema como una matriz aumentada.

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 2&1&1\\4&2&6\end{array} \right]$$

Obtener una$$1$$ en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por$$\dfrac{1}{2}$$.

$$\dfrac{1}{2} R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\4&2&6\end{array} \right]$$

A continuación, queremos una$$0$$ en la fila 2, columna 1. Multiplica la fila 1 por$$−4$$ y agrega la fila 1 a la fila 2.

$$-4R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\0&0&4\end{array} \right]$$

La segunda fila representa la ecuación$$0=4$$. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Solving a Dependent System

Resolver el sistema de ecuaciones.

\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 6x+8y&= 24 \end{align*}

Solución

Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para tratar de lograr la forma de escalón de filas.

$$A=\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&12\\6&8&24\end{array} \right]$$

$$-\dfrac{1}{2}R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 0&0&0\\6&8&24\end{array} \right]$$

$$R_1\leftrightarrow R_2=\left[ \begin{array}{cc|c} 6&8&24\\0&0&0\end{array} \right]$$

La matriz termina con todos los ceros en la última fila:$$0y=0$$. Así, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para encontrar la solución genérica, volver a una de las ecuaciones originales y resolver para$$y$$.

\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 4y&= 12-3x\\ y&= 3-\dfrac{3}{4}x \end{align*}

Entonces la solución a este sistema es$$\left(x,3−\dfrac{3}{4}x\right)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Performing Row Operations on a $$3×3$$ Augmented Matrix to Obtain Row-Echelon Form

Realizar operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma fila-escalón.

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\2&-5&6&6\\-3&3&4&6\end{array} \right]$$

Solución

La primera fila ya tiene un$$1$$ en fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por$$−2$$ y agregarla a la fila 2. Después, reemplace la fila 2 con el resultado.

$$-2R_1+R_2=R_2 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\-3&3&4&6\end{array} \right]$$

A continuación, obtener un cero en la fila 3, columna 1.

$$3R_1+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&-6&16&15\end{array} \right]$$

A continuación, obtener un cero en la fila 3, columna 2.

$$6R_2+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&4&15\end{array} \right]$$

El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3.

$$\dfrac{1}{3}R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&1&\dfrac{21}{2}\end{array} \right]$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Escribir el sistema de ecuaciones en forma de fila-escalón.

\begin{align*} x−2y+3z &= 9 \\ −x+3y &= −4 \\ 2x−5y+5z &= 17 \end{align*}

Contestar

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-\dfrac{5}{2}&\dfrac{5}{2}&\dfrac{17}{2}\\0&1&5&9\\0&0&1&2\end{array} \right]$$

#### Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Usando Matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada, y luego cómo usar operaciones de fila y retrosustitución para obtener la forma fila-escalón. Ahora, tomaremos la forma fila-escalón un paso más allá para resolver un$$3$$ por$$3$$ sistema de ecuaciones lineales. La idea general es eliminar todas las variables menos una usando operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: Solving a System of Linear Equations Using Matrices

Resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices.

\begin{align*} x-y+z&= 8\\ 2x+3y-z&= -2\\ 3x-2y-9z&= 9 \end{align*}

Solución

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\2&3&-1&-2\\3&-2&-9&9\end{array} \right]$$

A continuación, realizamos operaciones de fila para obtener la forma fila-escalón.

$$−2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\3&-2&-9&9\end{array} \right]$$

$$−3R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\0&1&-12&-15\end{array} \right]$$

La forma más fácil de obtener una$$1$$ en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar$$R_2$$ y$$R_3$$.

$$Interchange\space R_2\space and\space R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&5&-3&-18\end{array} \right]$$

Entonces

$$−5R_2+R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&57&57\end{array} \right]$$

$$−\dfrac{1}{57}R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&1&1\end{array} \right]$$

La última matriz representa el sistema equivalente.

\begin{align*} x−y+z &= 8 \\ y−12z &= −15 \\ z &= 1 \end{align*}

Utilizando la sustitución por retroceso, obtenemos la solución como$$(4,−3,1)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$: Solving a Dependent System of Linear Equations Using Matrices

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices.

\begin{align*} −x−2y+z &= −1 \\ 2x+3y &= 2 \\ y−2z &= 0 \end{align*}

Solución

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} -1&-2&1&-1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]$$

Primero, multiplica la fila 1 por$$−1$$ para obtener una$$1$$ en la fila 1, columna 1. Luego, realice operaciones de fila para obtener la forma fila-escalón.

$$-R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]$$

$$R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\2&3&0&2\end{array} \right]$$

$$−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&-1&2&0\end{array} \right]$$

$$R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&0&0&0\end{array} \right]$$

La última matriz representa el siguiente sistema.

\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y−2z &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align*}

Vemos por la identidad$$0=0$$ que se trata de un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego encontramos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación$$y$$ y sustituirla por la primera ecuación podemos resolver$$z$$ en términos de$$x$$.

\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y &= 2z \\ x+2(2z)−z &= 1 \\ x+3z &= 1 \\ z &=\dfrac{1−x}{3} \end{align*}

Ahora sustituimos la expresión por$$z$$ en la segunda ecuación para resolver$$y$$ en términos de$$x$$.

\begin{align*} y−2z &= 0 \\ z &= \dfrac{1−x}{3} \\ y−2\left(\dfrac{1−x}{3}\right) &= 0 \\ y &= \dfrac{2−2x}{3} \end{align*}

La solución genérica es$$\left(x,\dfrac{2−2x}{3},\dfrac{1−x}{3}\right)$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Resolver el sistema usando matrices.

\begin{align*} x+4y-z&= 4\\ 2x+5y+8z&= 1\\ 5x+3y-3z&= 1 \end{align*}

Contestar

$$(1,1,1)$$

##### Q&A: ¿Se puede resolver algún sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación gaussiana?

Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño puede resolverse mediante eliminación gaussiana.

##### Cómo: Dado un sistema de ecuaciones, resolver con matrices usando una calculadora
1. Guardar la matriz aumentada como una variable de matriz$$[A], [B], [C], ….$$
2. Utilice la función ref (en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.
##### Ejemplo$$\PageIndex{9A}$$: Solving Systems of Equations with Matrices Using a Calculator

Resolver el sistema de ecuaciones.

\begin{align*} 5x+3y+9z&= -1\\ -2x+3y-z&= -2\\ -x-4y+5z&= 1 \end{align*}

Solución

Escribir la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]$$

En la página de matriz de la calculadora, ingrese la matriz aumentada arriba como la variable de matriz$$[A]$$.

$$[A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]$$

Usa la función ref (en la calculadora, llamando a la variable matricial$$[A]$$.

ref ([A])

Evaluar

\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&\dfrac{3}{5}&\dfrac{9}{5}&\dfrac{1}{5}\\0&1&\dfrac{13}{21}&-\dfrac{4}{7}\\0&0&1&-\dfrac{24}{187}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+\dfrac{3}{5}y+\dfrac{9}{5}z &= -\dfrac{1}{5} \\ y+\dfrac{13}{21}z &= -\dfrac{4}{7} \\ z &= -\dfrac{24}{187} \end{align*}} \end{array}

Usando la sustitución por retroceso, la solución es$$\left(\dfrac{61}{187},−\dfrac{92}{187},−\dfrac{24}{187}\right)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{9B}$$: Applying $$2×2$$ Matrices to Finance

Carolyn invierte un total de$$12,000$$ en dos bonos municipales, uno pagando$$10.5%$$ intereses y el otro pagando$$12%$$ intereses. El interés anual devengado por las dos inversiones el año pasado fue$$1,335$$. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Dejar$$x=$$ la cantidad invertida a$$10.5%$$ intereses, y$$y=$$ la cantidad invertida a$$12%$$ interés.

\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0.105x+0.12y&= 1,335 \end{align*}

Como matriz, tenemos

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0.105&0.12&1,335\end{array} \right]$$

Multiplica la fila 1 por$$−0.105$$ y agrega el resultado a la fila 2.

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0&0.015&75\end{array} \right]$$

Entonces,

\begin{align*} 0.015y &= 75 \\ y &= 5,000 \end{align*}

Entonces$$12,000−5,000=7,000$$.

Así,$$5,000$$ se invirtió a$$12%$$ interés y$$7,000$$ a$$10.5%$$ interés.

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$: Applying $$3×3$$ Matrices to Finance

Ava invierte un total de$$10,000$$ en tres cuentas, una pagando$$5%$$ intereses, otra pagando$$8%$$ intereses y la tercera pagando$$9%$$ intereses. El interés anual devengado por las tres inversiones del año pasado fue$$770$$. El monto invertido en$$9%$$ fue el doble del monto invertido en$$5%$$. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Dejar$$x$$ ser la cantidad invertida a$$5%$$ intereses, dejar$$y$$ ser la cantidad invertida a$$8%$$ interés, y dejar$$z$$ ser la cantidad invertida a$$9%$$ interés. Por lo tanto,

\begin{align*} x+y+z &= 10,000 \\ 0.05x+0.08y+0.09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}

Como matriz, tenemos

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0.05&0.08&0.09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]$$

Ahora, realizamos la eliminación gaussiana para lograr la forma fila-escalón.

$$−0.05R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\2&0&-1&0\end{array} \right]$$

$$−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]$$

$$\dfrac{1}{0.03}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]$$

$$2R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&0&-\dfrac{1}{3}&-2,000\end{array} \right]$$

La tercera fila nos dice$$−\dfrac{1}{3}z=−2,000$$; así$$z=6,000$$.

La segunda fila nos dice$$y+\dfrac{4}{3}z=9,000$$. Sustituyendo$$z=6,000$$, obtenemos

\begin{align*} y+\dfrac{4}{3}(6,000) &= 9,000 \\ y+8,000 &= 9,000 \\ y &= 1,000 \end{align*}

La primera fila nos dice$$x+y+z=10,000$$. Sustituyendo$$y=1,000$$ y$$z=6,000$$, obtenemos

\begin{align*} x+1,000+6,000 &= 10,000 \\ x &= 3,000 \end{align*}

La respuesta se$$3,000$$ invierte en$$5%$$ intereses, se$$1,000$$ invierte en$$8%$$, y se$$6,000$$ invierte en$$9%$$ intereses.

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Una pequeña empresa de calzado sacó un préstamo de$$1,500,000$$ para ampliar su inventario. Parte del dinero fue prestado en$$7%$$, parte fue prestado en$$8%$$, y parte fue prestado en$$10%$$. El monto prestado en$$10%$$ fue cuatro veces el monto prestado en$$7%$$, y el interés anual de los tres préstamos fue$$130,500$$. Utilice matrices para encontrar la cantidad prestada a cada tasa.

Contestar

$$150,000$$en$$7%$$,$$750,000$$ at$$8%$$,$$600,000$$ at$$10%$$

##### Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con sistemas de resolución de ecuaciones lineales usando eliminación gaussiana.

## Conceptos clave

• Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y constantes de un sistema de ecuaciones. Ver Ejemplo$$\PageIndex{1}$$.
• Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema original de ecuaciones. Ver Ejemplo$$\PageIndex{2}$$.
• Las operaciones de fila incluyen multiplicar una fila por una constante, agregar una fila a otra fila e intercambiar filas.
• Podemos usar la eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones. Ver Ejemplo$$\PageIndex{3}$$$$\PageIndex{4}$$, Ejemplo y Ejemplo$$\PageIndex{5}$$.
• Las operaciones de fila se realizan en matrices para obtener la forma fila-escalón. Ver Ejemplo$$\PageIndex{6}$$.
• Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbelo en forma de matriz aumentada. Realizar operaciones de fila para obtener la forma fila-escalón. Back-sustituto para encontrar las soluciones. Ver Ejemplo$$\PageIndex{7}$$ y Ejemplo$$\PageIndex{8}$$.
• Una calculadora puede ser utilizada para resolver sistemas de ecuaciones usando matrices. Ver Ejemplo$$\PageIndex{9}$$.
• Muchos problemas del mundo real se pueden resolver usando matrices aumentadas. Ver Ejemplo$$\PageIndex{10}$$ y Ejemplo$$\PageIndex{11}$$.

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