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# 9.R: Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades (Revisión)

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## 9.1: Sistemas de Ecuaciones Lineales: Dos Variables

Para los ejercicios 1-2, determinar si el par ordenado es una solución al sistema de ecuaciones.

1)\begin{align*} 3x-y &= 4\\ x+4y &= -3 \end{align*}\; \; \text{ and }\; (-1,1)

Contestar

No

2)\begin{align*} 6x-2y &= 24\\ -3x+3y &= 18 \end{align*}\; \; \text{ and }\; (9,15)

Para los ejercicios 3-5, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

3)\begin{align*} 10x+5y &= -5\\ 3x-2y &= -12 \end{align*}

Contestar

$$(-2,3)$$

4)\begin{align*} \dfrac{4}{7}x+\dfrac{1}{5}y &= \dfrac{43}{70}\\ \dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{3}y &= -\dfrac{2}{3} \end{align*}

5)\begin{align*} 5x+6y &= 14\\ 4x+8y &= 8 \end{align*}

Contestar

$$(4,-1)$$

Para los ejercicios 6-8, use además para resolver el sistema de ecuaciones.

6)\begin{align*} 3x+2y &= -7\\ 2x+4y &= 6 \end{align*}

7)\begin{align*} 3x+4y &= 2\\ 9x+12y &= 3 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

8)\begin{align*} 8x+4y &= 2\\ 6x-5y &= 0.7 \end{align*}

Para los ejercicios 9-10, escribir un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resolver el sistema de ecuaciones.

9) Una fábrica tiene un costo de producción$$C(x)=150x+15,000$$ y una función de ingresos$$R(x)=200x$$. ¿Cuál es el punto de equilibrio?

Contestar

$$(300,60,000)$$

10) Un intérprete cobra$$C(x)=50x+10,000$$, donde$$x$$ es el número total de asistentes a un espectáculo. El lugar cobra$$\75$$ por boleto. Después de cuántas personas compran boletos, el lugar se equipara, y ¿cuál es el valor del total de boletos vendidos en ese momento?

Contestar

$$(400,30,000)$$

## 9.2: Sistemas de Ecuaciones Lineales: Tres Variables

Para los ejercicios 1-8, resolver el sistema de tres ecuaciones mediante sustitución o suma.

1)\begin{align*} 0.5x-0.5y &= 10\\ -0.2y+0.2x &= 4\\ 0.1x+0.1z &= 2 \end{align*}

Contestar

$$(10,-10,10)$$

2)\begin{align*} 5x+3y-z &= 5\\ 3x-2y+4z &= 13\\ 4x+3y+5z &= 22 \end{align*}

3)\begin{align*} x+y+z &= 1\\ 2x+2y+2z &= 1\\ 3x+3y &= 2 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

4)\begin{align*} 2x-3y+z &= -1\\ x+y+z &= -4\\ 4x+2y-3z &= 33 \end{align*}

5)\begin{align*} 3x+2y-z &= -10\\ x-y+2z &= 7\\ -x+3y+z &= -2 \end{align*}

Contestar

$$(-1,-2,3)$$

6)\begin{align*} 3x+4z &= -11\\ x-2y &= 5\\ 4y-z &= -10 \end{align*}

7)\begin{align*} 2x-3y+z &= 0\\ 2x+4y-3z &= 0\\ 6x-2y-z &= 0 \end{align*}

Contestar

$$\left (x, \dfrac{8x}{5}, \dfrac{14x}{5} \right )$$

8)\begin{align*} 6x-4y-2z &= 2\\ 3x+2y-5z &= 4\\ 6y-7z &= 5 \end{align*}

Para los ejercicios 9-10, escribir un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resolver el sistema de ecuaciones.

9) Tres números impares suman hasta$$61$$. Cuanto más pequeño es un tercio más grande y el número medio es$$16$$ menor que el mayor. ¿Cuáles son los tres números?

Contestar

$$11, 17, 33$$

10) Un teatro local se agota para su espectáculo. Venden todos los$$500$$ boletos por un monedero total de$$\8,070.00$$. Los boletos tenían un precio$$\15$$ para estudiantes,$$\12$$ para niños y$$\18$$ para adultos. Si la banda vendió tres veces más boletos para adultos que boletos infantiles, ¿cuántos de cada tipo se vendieron?

## 9.3: Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables

Para los ejercicios 1-5, resolver el sistema de ecuaciones no lineales.

1)\begin{align*} y &= x^2 - 7\\ y &= 5x-13 \end{align*}

Contestar

$$(2,−3),(3,2)$$

2)\begin{align*} y &= x^2 - 4\\ y &= 5x+10 \end{align*}

3)\begin{align*} x^2 + y^2 &= 16\\ y &= x-8 \end{align*}

Contestar

Sin solución

4)\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25\\ y &= x^2 + 5 \end{align*}

5)\begin{align*} x^2 + y^2 &= 4\\ y - x^2 &= 3 \end{align*}

Contestar

Sin solución

Para los ejercicios 6-7, grafica la desigualdad.

6)$$y>x^2 - 1$$

7)$$\dfrac{1}{4}x^2 + y^2 < 4$$

Contestar

Para los ejercicios 8-10, graficar el sistema de desigualdades.

8)\begin{align*} x^2 + y^2 +2x &<3 \\ y &>-x^2 - 3 \end{align*}

9)\begin{align*} x^2 -2x + y^2 - 4x &< 4\\ y &<-x+4 \end{align*}

Contestar

10)\begin{align*} x^2 + y^2 &< 1\\ y^2 &< x \end{align*}

## 9.4: Fracciones Parciales

Para los ejercicios 1-8, descomponerse en fracciones parciales.

1)$$\dfrac{-2x+6}{x^2 +3x+2}$$

Contestar

$$\dfrac{2}{x+2}, \dfrac{-4}{x+1}$$

2)$$\dfrac{10x+2}{4x^2 +4x+1}$$

3)$$\dfrac{7x+20}{x^2 +10x+25}$$

Contestar

$$\dfrac{7}{x+5}, \dfrac{-15}{(x+5)^2}$$

4)$$\dfrac{x-18}{x^2 -12x+36}$$

5)$$\dfrac{-x^2 +36x + 70}{x^3 -125}$$

Contestar

$$\dfrac{3}{x-5}, \dfrac{-4x+1}{x^2 +5x+25}$$

6)$$\dfrac{-5x^2 +6x-2}{x^3 +27}$$

7)$$\dfrac{x^3 -4x^2 +3x+11}{(x^2 -2)^2}$$

Contestar

$$\dfrac{x-4}{(x^2 -2)}, \dfrac{5x+3}{(x^2 -2)^2}$$

8)$$\dfrac{4x^4 -2x^3 +22x^2 -6x+48}{x(x^2 +4)^2}$$

## 9.5: Matrices y Operaciones Matriciales

Para los ejercicios 1-12, realizar las operaciones solicitadas en las matrices dadas.

$A=\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 & 7 & -3\\ 11 & -2 & 4 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 6 & 7\\ 11 & -2\\ 14 & 0 \end{bmatrix} D=\begin{bmatrix} 1 & -4 & 9\\ 10 & 5 & -7\\ 2 & 8 & 5 \end{bmatrix} E=\begin{bmatrix} 7 & -14 & 3\\ 2 & -1 & 3\\ 0 & 1 & 9 \end{bmatrix} \nonumber$

1)$$-4A$$

Contestar

$$\begin{bmatrix} -16 & 8\\ -4 & -12 \end{bmatrix}$$

2)$$10D-6E$$

3)$$B+C$$

Contestar

undefined; las dimensiones no coinciden

4)$$AB$$

5)$$BA$$

Contestar

undefined; las dimensiones internas no coinciden

6)$$BC$$

7)$$CB$$

Contestar

$$\begin{bmatrix} 113 & 28 & 10\\ 44 & 81 & -41\\ 84 & 98 & -42 \end{bmatrix}$$

8)$$DE$$

9)$$ED$$

Contestar

$$\begin{bmatrix} -127 & -74 & 176\\ -2 & 11 & 40\\ 28 & 77 & 38 \end{bmatrix}$$

10)$$EC$$

11)$$CE$$

Contestar

undefined; las dimensiones internas no coinciden

12)$$A^3$$

## 9.6: Resolviendo sistemas con eliminación gaussiana

Para los ejercicios 1-2, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indicar si habrá una solución única.

1)$$\left [ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right ]$$

Contestar

\begin{align*} x-3z &= 7\\ y+2z &= -5 \end{align*}\; \; \text{with infinite solutions}

2)$$\left [ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 5 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right ]$$

Para los ejercicios 3-5, escriba la matriz aumentada a partir del sistema de ecuaciones lineales.

3)\begin{align*} -2x+2y+z &= 7\\ 2x-8y+5z &= 0\\ 19x-10y+22z &= 3 \end{align*}

Contestar

$$\left [ \begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 1 & 7 \\ 2 & -8 & 5 & 0\\ 19 & -10 & 22 & 3\\ \end{array} \right ]$$

4)\begin{align*} 4x+2y-3z &= 14\\ -12x+3y+z &= 100\\ 9x-6y+2z &= 31 \end{align*}

5)\begin{align*} x+3z &= 12\\ -x+4y &= 0\\ y+2z &= -7 \end{align*}

Contestar

$$\left [ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 12 \\ -1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -7\\ \end{array} \right ]$$

Para los ejercicios 6-10, resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando la eliminación gaussiana.

6)\begin{align*} 3x-4y &= -7\\ -6x+8y &= 14 \end{align*}

7)\begin{align*} 3x-4y &= 1\\ -6x+8y &= 6 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

8)\begin{align*} -1.1x-2.3y &= 6.2\\ -5.2x-4.1y &= 4.3 \end{align*}

9)\begin{align*} 2x+3y+2z &= 1\\ -4x-6y-4z &= -2\\ 10x+15y+10z &= 0 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

10)\begin{align*} -x+2y-4z &= 8\\ 3y+8z &= -4\\ -7x+y+2z &= 1 \end{align*}

## 9.7: Resolver sistemas con inversos

Para los ejercicios 1-4, encuentra la inversa de la matriz.

1)$$\begin{bmatrix} -0.2 & 1.4\\ 1.2 & -0.4 \end{bmatrix}$$

Contestar

$$\dfrac{1}{8}\begin{bmatrix} 2 & 7\\ 6 & 1 \end{bmatrix}$$

2)$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}$$

3)$$\begin{bmatrix} 12 & 9 & -6\\ -1 & 3 & 2\\ -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$$

Contestar

No existe inversa.

4)$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

Para los ejercicios 5-8, encuentra las soluciones calculando la inversa de la matriz.

5)\begin{align*} 0.3x-0.1y &= -10\\ -0.1x+0.3y &= 14 \end{align*}

Contestar

$$(-20,40)$$

6)\begin{align*} 0.4x-0.2y &= -0.6\\ -0.1x+0.05y &= 0.3 \end{align*}

7)\begin{align*} 4x+3y-3z &= -4.3\\ 5x-4y-z &= -6.1\\ x+z &= -0.7 \end{align*}

Contestar

$$(-1, 0.2, 0.3)$$

8)\begin{align*} -2x-3y+2z &= 3\\ -x+2y+4z &= -5\\ -2y+5z &= -3 \end{align*}

Para los ejercicios 9-10, escribir un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resolver el sistema de ecuaciones.

9) Se pidió a los alumnos que llevaran su fruta favorita a clase. $$90\%$$de los frutos consistieron en plátano, manzana y naranjas. Si las naranjas fueran la mitad de populares que los plátanos y las manzanas fueran$$5\%$$ más populares que los plátanos, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta individual?

Contestar

$$17\%$$naranjas,$$34\%$$ plátanos,$$39\%$$ manzanas

10) Una hermandad realizó una venta de repostería para recaudar dinero y vendió brownies y galletas con chispas de chocolate. Le dieron un precio a los brownies$$\2$$ y a las galletas con chispas de chocolate en$$\1$$. Levantaron$$\250$$ y vendieron$$175$$ artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron?

## 9.8: Resolviendo sistemas con la regla de Cramer

Para los ejercicios 1-4, encuentra el determinante.

1)$$\begin{vmatrix} 100 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix}$$

Contestar

$$0$$

2)$$\begin{vmatrix} 0.2 & -0.6\\ 0.7 & -1.1 \end{vmatrix}$$

3)$$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 3\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$

Contestar

$$6$$

4)$$\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{vmatrix}$$

Para los ejercicios 5-10, usa la Regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones.

5)\begin{align*} 4x-2y &= 23\\ -5x-10y &= -35 \end{align*}

Contestar

$$\left(6, \dfrac{1}{2} \right)$$

6)\begin{align*} 0.2x-0.1y &= 0\\ -0.3x+0.3y &= 2.5 \end{align*}

7)\begin{align*} -0.5x+0.1y &= 0.3\\ -0.25x+0.05y &= 0.15 \end{align*}

Contestar

$$x, 5x+3$$

8)\begin{align*} x+6y+3z &= 4\\ 2x+y+2z &= 3\\ 3x-2y+z &= 0 \end{align*}

9)\begin{align*} 4x-3y+5z &= -\dfrac{5}{2}\\ 7x-9y-3z &= \dfrac{3}{2}\\ x-5y-5z &= \dfrac{5}{2} \end{align*}

Contestar

$$\left(0, 0, -\dfrac{1}{2} \right)$$

10)\begin{align*} \dfrac{3}{10}x-\dfrac{1}{5}y-\dfrac{3}{10}z &= -\dfrac{1}{50}\\ \dfrac{1}{10}x-\dfrac{1}{10}y-\dfrac{1}{2}z &= -\dfrac{9}{50}\\ \dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{2}y-\dfrac{3}{5}z &= -\dfrac{1}{5} \end{align*}

## Prueba de práctica

1) ¿El siguiente par ordenado es una solución al sistema de ecuaciones? \begin{align*} -5x-y &= 12 \text{ with } (-3,3)\\ x+4y &= 9 \end{align*} \nonumber

Contestar

Para los ejercicios 2-9, resolver los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución.

2)\begin{align*} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}y &= 4\\ \dfrac{3}{2}x-y &= 0 \end{align*}

3)\begin{align*} -\dfrac{1}{2}x-4y &= 4\\ 2x+16y &= 2 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

4)\begin{align*} 5x-y &= 1\\ -10x+2y &= -2 \end{align*}

5)\begin{align*} 4x-6y-2z &= \dfrac{1}{10}\\ x-7y+5z &= -\dfrac{1}{4}\\ 3x+6y-9z &= \dfrac{6}{5} \end{align*}

Contestar

$$\dfrac{1}{20} (10, 5, 4)$$

6)\begin{align*} x+z &= 20\\ x+y+z &= 20\\ x+2y+z &= 10 \end{align*}

7)\begin{align*} 5x-4y-3z &= 0\\ 2x+y+2z &= 0\\ x-6y-7z &= 0 \end{align*}

Contestar

$$\left ( x, \dfrac{16x}{5} - \dfrac{13x}{5} \right )$$

8)\begin{align*} y &= x^2 +2x-3\\ y &= x-1 \end{align*}

9)\begin{align*} y^2 + x^2 &= 25\\ y^2 -2x^2 &= 1 \end{align*}

Contestar

$$(-2\sqrt{2}, -\sqrt{17}), (-2\sqrt{2}, \sqrt{17}), (2\sqrt{2}, -\sqrt{17}), (2\sqrt{2}, \sqrt{17})$$

Para los ejercicios 10-11, grafica las siguientes desigualdades.

10)$$y < x^2 + 9$$

11)\begin{align*} x^2 + y^2 &> 4 \\ y &< x^2 + 1 \end{align*}

Contestar

Para los ejercicios 12-14, escriba la descomposición parcial de la fracción.

12)$$\dfrac{-8x-30}{x^2 + 10x+25}$$

13)$$\dfrac{13x+2}{(3x+1)^2}$$

Contestar

$$\dfrac{5}{3x+1}-\dfrac{2x+3}{(3x+1)^2}$$

14)$$\dfrac{x^4 - x^3 +2x-1}{x(x^2+1)^2}$$

Para los ejercicios 15-21, realizar las operaciones matriciales dadas.

15)$$5\begin{bmatrix} 4 & 9\\ -2 & 3 \end{bmatrix}+\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -6 & 12\\ 4 & -8 \end{bmatrix}$$

Contestar

$$\begin{bmatrix} 17 & 51\\ -8 & 11 \end{bmatrix}$$

16)$$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -7\\ -2 & 9 & 5\\ 12 & 0 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4\\ 1 & 3\\ 5 & 10 \end{bmatrix}$$

17)$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} ^{-1}$$

Contestar

$$\begin{bmatrix} 12 & -20\\ -15 & 30 \end{bmatrix}$$

18)$$\textbf{det}\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 400 & 4,000 \end{vmatrix}$$

19)$$\textbf{det}\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{vmatrix}$$

Contestar

$$-\dfrac{1}{8}$$

20) Si$$\textbf{det}(A)=-6$$, ¿cuál sería el determinante si cambiaras las filas 1 y 3, multiplicaras la segunda fila por$$12$$, y tomaras la inversa?

21) Reescribir el sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada. \begin{align*} 14x-2y-13z &= 140\\ -2x+3y-6z &= -1\\ x-5y+12z &= 11 \end{align*} \nonumber

Contestar

$$\left [ \begin{array}{ccc|c} 14 & -2 & 13 & 140 \\ -2 & 3 & -6 & -1\\ 1 & -5 & 12 & 11\\ \end{array} \right ]$$

22) Reescribir la matriz aumentada como un sistema de ecuaciones lineales. $\left [ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 12 \\ -2 & 4 & 9 & -5\\ -6 & 1 & 2 & 8\\ \end{array} \right ] \nonumber$

Para los ejercicios 23-24, utilizar la eliminación gaussiana para resolver los sistemas de ecuaciones.

23)\begin{align*} x-6y &= 4\\ 2x-12y &= 0 \end{align*}

Contestar

No existen soluciones.

24)\begin{align*} 2x+y+z &= -3\\ x-2y+3z &= 6\\ x-y-z &= 6 \end{align*}

Para los ejercicios 25-26, utilizar la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones.

25)\begin{align*} 4x-5y &= -50\\ -x+2y &= 80 \end{align*}

Contestar

$$(100, 90)$$

26)\begin{align*} \dfrac{1}{100}x-\dfrac{3}{100}y+\dfrac{1}{20}z &= -49\\ \dfrac{3}{100}x-\dfrac{7}{100}y-\dfrac{1}{100}z &= 13\\ \dfrac{9}{100}x-\dfrac{9}{100}y-\dfrac{9}{100}z &= 99 \end{align*}

Para los ejercicios 27-28, usa la Regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones.

27)\begin{align*} 200x-300y &= 2\\ 400x+715y &= 4 \end{align*}

Contestar

$$\left (\dfrac{1}{100}, 0 \right )$$

28)\begin{align*} 0.1x+0.1y-0.1z &= -1.2\\ 0.1x-0.2y+0.4z &= -1.2\\ 0.5x-0.3y+0.8z &= -5.9 \end{align*}

Para los ejercicios 29-30, resolver utilizando un sistema de ecuaciones lineales.

29) Una fábrica que produce teléfonos celulares tiene las siguientes funciones de costo e ingresos:$$C(x)=x^2+75x+2,688$$ y$$R(x)=x^2+160x$$. ¿Cuál es la gama de celulares que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondear al número más cercano que genere ganancias.

Contestar

$$32$$o más celulares por día

30) Un pequeño cobro justo$$\1.50$$ para los estudiantes,$$\1$$ para los niños y$$\2$$ para los adultos. En un día, asistieron tres veces más niños que adultos. Se vendieron un total de$$800$$ boletos por un ingreso total de$$\1,050$$. ¿Cuántos de cada tipo de boleto se vendió?