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11.E: Secuencias, Probabilidad y Teoría del Recuento (Ejercicios)

  • Page ID
    121389
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    11.1 Secuencias y sus anotaciones

    Verbal

    1) Discutir el significado de una secuencia. Si una secuencia finita se define por una fórmula, ¿cuál es su dominio? ¿Y una secuencia infinita?

    Contestar

    Una secuencia es una lista ordenada de números que pueden ser finitos o infinitos en número. Cuando una secuencia finita se define por una fórmula, su dominio es un subconjunto de los números enteros no negativos. Cuando una secuencia infinita se define por una fórmula, su dominio es todo positivo o todos los enteros no negativos.

    2) Describir tres formas en las que se puede definir una secuencia.

    3) ¿El conjunto ordenado de números pares es una secuencia infinita? ¿Y el conjunto ordenado de números impares? Explique por qué o por qué no.

    Contestar

    Sí, ambos sets se prolongan indefinidamente, por lo que ambos son secuencias infinitas.

    4) ¿Qué sucede con los términos\(a_n\) de una secuencia cuando hay un factor negativo en la fórmula que se eleva a una potencia que incluye\(n\)? ¿Cuál es el término utilizado para describir este fenómeno?

    5) ¿Qué es un factorial y cómo se denota? Usa un ejemplo para ilustrar cómo la notación factorial puede ser beneficiosa.

    Contestar

    Un factorial es el producto de un entero positivo y todos los enteros positivos por debajo de él. Se utiliza un signo de exclamación para indicar la operación. Las respuestas pueden variar. Un ejemplo del beneficio de usar notación factorial es cuando se indica el producto Es mucho más fácil escribir que escribir\(13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)

    Algebraico

    Para los ejercicios 6-15, escribir los primeros cuatro términos de la secuencia.

    6)\(a_n=2^n-2\)

    7)\(a_n=-\dfrac{16}{n+1}\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos:\(-8\)\(−\dfrac{16}{3}\),\(−4\),\(−\dfrac{16}{5}\)

    8)\(a_n=-(-5)^{n-1}\)

    9)\(a_n=\dfrac{2^n}{n^3}\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos:\(2\)\(\dfrac{1}{2}\),\(\dfrac{8}{27}\),\(\dfrac{1}{4}\)

    10)\(a_n=\dfrac{2n+1}{n^3}\)

    11)\(a_n=1.25\cdot (-4)^{n-1}\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos:\(1.25\)\(-5\),\(20\),\(-80\)

    12)\(a_n=-4\cdot (-6)^{n-1}\)

    13)\(a_n=\dfrac{n^2}{2n+1}\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos:\(\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{4}{5}\),\(\dfrac{9}{7}\),\(\dfrac{16}{9}\)

    14)\(a_n=(-10)^n+1\)

    15)\(a_n=-\left ( \dfrac{4\cdot (-5)^{n-1}}{5} \right )\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos:\(-\dfrac{4}{5}\)\(4\),\(-20\),\(100\)

    Para los ejercicios 16-20, escriba los primeros ocho términos de la secuencia por partes.

    16)\(a_n=\begin{cases} (-2)^n-2 & \text{ if } n \text{ is even} \\ (3)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is odd} \end{cases}\)

    17)\(a_n=\begin{cases} \dfrac{n^2}{2n+1} & \text{ if } n\leq 5 \\ n^2-5 & \text{ if } n>5 \end{cases}\)

    Contestar

    \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{7}, \dfrac{16}{9}, \dfrac{25}{11}, 31, 44, 59\)

    18)\(a_n=\begin{cases} (2n+1)^2 & \text{ if } n \text{ is divisible by } 4 \\ \dfrac{2}{n} & \text{ if } n \text{ is not divisible by } 4 \end{cases}\)

    19)\(a_n=\begin{cases} -0.6\cdot 5^{n-1} & \text{ if } n \text{ is prime or } 1 \\ 2.5\cdot (-2)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is composite } \end{cases}\)

    Contestar

    \(−0.6,−3,−15,−20,−375,−80,−9375,−320\)

    20)\(a_n=\begin{cases} 4(n^2-2) & \text{ if } n\leq 3 \text{ or } n>6 \\ \dfrac{n^2-2}{4} & \text{ if } 3<n\leq>

    Para los ejercicios 21-25, escribir una fórmula explícita para cada secuencia.

    21)\(4, 7, 12, 19, 28,\ldots\)

    Contestar

    \(a_n = n^2 + 3\)

    22)\(-4,2,-10,14,-34,\ldots\)

    23)\(1,1,\dfrac{4}{3},2,\dfrac{16}{5},\ldots\)

    Contestar

    \(a_n=\dfrac{2^n}{2n} \text{ or } \dfrac{2^{n-1}}{n}\)

    24)\(0,\dfrac{1-e^1}{1+e^2}, \dfrac{1-e^2}{1+e^3}, \dfrac{1-e^3}{1+e^4}, \dfrac{1-e^4}{1+e^5},\ldots\)

    25)\(1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16},\ldots\)

    Contestar

    \(a_n=\left ( -\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

    Para los ejercicios 26-30, escribir los primeros cinco términos de la secuencia.

    26)\(a_1=9, a_n=a_{n-1}+n\)

    27)\(a_1=3, a_n=(-3)a_{n-1}\)

    Contestar

    Primeros cinco términos:\(3, -9, 27, -81, 243\)

    28)\(a_1=-4, a_n=\dfrac{a_{n-1}+2n}{a_{n-1}-1}\)

    29)\(a_1=-1, a_n=\dfrac{(-3)^{n-1}}{a_{n-1}-2}\)

    Contestar

    Primeros cinco términos:\(-1, 1, -9,\dfrac{27}{11},\dfrac{891}{5}\)

    30)\(a_1=-30, a_n=(2+a_{n-1})\left (\dfrac{1}{2} \right )^n\)

    Para los ejercicios 31-33, escribir los primeros ocho términos de la secuencia.

    31)\(a_1=\dfrac{1}{24},a_2=1, a_n=(2a_{n-2})(3a_{n-1})\)

    Contestar

    \(\dfrac{1}{24},1,\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4},\dfrac{81}{4},\dfrac{2187}{8},\dfrac{531,441}{16}\)

    32)\(a_1=-1,a_2=5, a_n=a_{n-2}(3-a_{n-1})\)

    33)\(a_1=2,a_2=10, a_n=\frac{2(a_{n-1}+2)}{a_{n-2}}\)

    Contestar

    \(2,10,12,\dfrac{14}{5},\dfrac{4}{5},2,10,12\)

    Para los ejercicios 34-38, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia.

    34)\(-2.5,-5,-10,-20,-40,\ldots\)

    35)\(-8,-6,-3,1,6,\ldots\)

    Contestar

    \(a_1=-8, a_n=a_{n-1}+n\)

    36)\(2,4,12,48,240,\ldots\)

    37)\(35,38,41,44,47,\ldots\)

    Contestar

    \(a_1=35, a_n=a_{n-1}+3\)

    38)\(15,3,\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{25},\dfrac{3}{125},\ldots\)

    Para los ejercicios 39-42, evaluar el factorial.

    39)\(6!\)

    Contestar

    \(720\)

    40)\(\left ( \dfrac{12}{6} \right )!\)

    41)\(\dfrac{12!}{6!}\)

    Contestar

    \(665,280\)

    42)\(\dfrac{100!}{99!}\)

    Para los ejercicios 43-46, escribir los primeros cuatro términos de la secuencia.

    43)\(a_n=\dfrac{n!}{n^2}\)

    Contestar

    Primeros cuatro términos: 1,\(\dfrac{1}{2}\),\(\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{3}{2}\)

    44)\(a_n=\dfrac{3\cdot n!}{4\cdot n!}\)

    45)\(a_n=\dfrac{n!}{n^2 - n - 1}\)

    Responder

    Primeros cuatro términos: -1, 2,\(\dfrac{6}{5}\),\(\dfrac{24}{11}\)

    46)\(a_n=\dfrac{100\cdot n}{n(n-1)!}\)

    Gráfica

    Para los ejercicios 47-51, graficar los cinco primeros términos de la secuencia indicada

    47)\(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+n\)

    Responder

    CNX_Precalc_Figure_11_01_201.jpg

    48)\(a_n=\begin{cases} \dfrac{4+n}{2n} & \text{ if } n \text{ is even } \\ 3+n & \text{ if } \text{ if } n \text{ is odd } \end{cases}\)

    49)\(a_1 = 2, a_n = (-a_{n-1} + 1)^2\)

    Responder

    CNX_Precalc_Figure_11_01_203.jpg

    50)\(a_n = 1, a_n = a_{n-1} + 8\)

    51)\(a_n=\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\)

    Responder

    CNX_Precalc_Figure_11_01_205.jpg

    Para los ejercicios 52-54, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los primeros cinco puntos mostrados en la gráfica.

    52)

    CNX_Precalc_Figure_11_01_206.jpg

    53)

    CNX_Precalc_Figure_11_01_207.jpg

    Responder

    \(a_n=2^{n-2}\)

    54)

    CNX_Precalc_Figure_11_01_208.jpg

    Para los ejercicios 55-56, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los primeros cinco puntos mostrados en la gráfica.

    55)

    CNX_Precalc_Figure_11_01_209.jpg

    Responder

    \(a_1=6, a_n=2a_{n-1}-5\)

    56)

    CNX_Precalc_Figure_11_01_210.jpg

    Tecnología

    Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente usando una calculadora gráfica:

    • En la pantalla de inicio, ingrese el valor para el término inicial\(a_1\) y presione [ENTRAR].
    • Ingrese la fórmula recursiva tecleando todos los valores numéricos dados en la fórmula, junto con las pulsaciones de tecla [2ND] ANS para el término anterior\(a_{n-1}\). Pulse [ENTER].
    • Continúe presionando [INTRO] para calcular los valores para cada término sucesivo.

    Para los ejercicios 57-61, utilice los pasos anteriores para encontrar el término o términos indicados para la secuencia.

    57) Encuentra los primeros cinco términos de la secuencia\(a_1=\dfrac{87}{111}\),\(a_n=\dfrac{4}{3}a_{n-1}+\dfrac{12}{37}\). Utilice la función > Frac para dar resultados fraccionarios.

    Responder

    Primeros cinco términos:\(\dfrac{29}{37},\dfrac{152}{111},\dfrac{716}{333},\dfrac{3188}{999},\dfrac{13724}{2997}\)

    58) Encuentra el\(15^{th}\) término de la secuencia\(a_1=625, a_n=0.8a_{n-1}+18\).

    59) Encuentra los primeros cinco términos de la secuencia\(a_1=2, a_n=2^{[(a_n-1)-1]}+1\).

    Responder

    Primeros cinco términos:\(2,3,5,17,65537\)

    60) Encuentra los primeros diez términos de la secuencia\(a_1=8, a_n=\frac{(a_{n-1}+1)!}{a_{n-1}!}\).

    61) Encuentra el décimo término de la secuencia\(a_1=2, a_n=na_{n-1}\).

    Responder

    \(a_{10}=7,257,600\)

    Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Usando un TI-84, haga lo siguiente.

    • En la pantalla de inicio, presione [2ND] LISTA.
    • Desplázate hasta OPS y elige “seq (” en la lista desplegable. Pulse [ENTER].
    • En la línea encabezada “Expr:” escriba la fórmula explícita, usando el\([X,T,\theta ,n]\) botón para\(n\)
    • En la línea encabezada “Variable:” escriba en la variable utilizada en el paso anterior.
    • En la línea encabezada “start:” clave en el valor de nnnque inicia la secuencia.
    • En la línea encabezada “end:” clave en el valor de nnnque termina la secuencia.
    • Pulse [ENTRAR]\(3\) veces para volver a la pantalla de inicio. Verás la sintaxis de la secuencia en la pantalla. Pulse [ENTRAR] para ver la lista de términos para la secuencia finita definida. Use la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos.

    Usando un TI-83, haga lo siguiente.

    • En la pantalla de inicio, presione [2ND] LISTA.
    • Desplázate hasta OPS y elige “seq (” en la lista desplegable. Pulse [ENTER].
    • Ingresa los artículos en el orden “Expr”, “Variable”, “start”, “end” separados por comas. Consulte las instrucciones anteriores para la descripción de cada artículo.
    • Pulse [ENTRAR] para ver la lista de términos para la secuencia finita definida. Use la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos.

    Para los ejercicios 62-66, usa los pasos anteriores para encontrar los términos indicados para la secuencia. Redondear a la milésima más cercana cuando sea necesario.

    62) Enumerar los cinco primeros términos de la secuencia\(a_n=-\dfrac{28}{9}n+\dfrac{5}{3}\).

    63) Enumerar los seis primeros términos de la secuencia\(a_n=\dfrac{n^3-3.5n^2+4.1n-1.5}{2.4n}\).

    Responder

    Primeros seis términos:\(0.042,0.146,0.875,2.385,4.708\)

    64) Enumerar los cinco primeros términos de la secuencia\(a_n=\dfrac{15n\cdot (-2)^{n-1}}{47}\).

    65) Enumerar los primeros cuatro términos de la secuencia\(a_n=5.7^n+0.275(n-1)!\)

    Responder

    Primeros cuatro términos:\(5.975,32.765,185.743,1057.25,6023.521\)

    66) Enumerar los seis primeros términos de la secuencia\(a_n=\dfrac{n!}{n}\).

    Extensiones

    67) Considerar la secuencia definida por\(a_n=-6-8n\). ¿\(a_n=-421\)Un término está en la secuencia? Verificar el resultado.

    Responder

    Si\(a_n=-421\) es un término en la secuencia, entonces resolver la ecuación\(-421=-6-8n\) para\(n\) producirá un entero no negativo. Sin embargo, si\(-421=-6-8n\),entonces\(n=51.875\) entonces no\(a_n=-421\) es un término en la secuencia.

    68) ¿Qué término en la secuencia\(a_n=\dfrac{n^2+4n+4}{2(n+2)}\) tiene el valor\(41\)? Verificar el resultado.

    69) Encontrar una fórmula recursiva para la secuencia\(1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1,\ldots\) (Pista: encontrar un patrón para\(a_n\) basado en los dos primeros términos.)

    Responder

    \(a_1=1, a_2=0, a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\)

    70) Calcular los primeros ocho términos de las secuencias\(a_n=\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}\) y\(b_n=n^3+3n^2+2n\), para luego hacer una conjetura sobre la relación entre estas dos secuencias.

    71) Demostrar la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

    Responder

    \(\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}=\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot (n)\cdot (n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n\)

    11.2 Secuencias aritméticas

    Verbal

    1) ¿Qué es una secuencia aritmética?

    Responder

    Una secuencia donde cada término sucesivo de la secuencia aumenta (o disminuye) en un valor constante.

    2) ¿Cómo se encuentra la diferencia común de una secuencia aritmética?

    3) ¿Cómo determinamos si una secuencia es aritmética?

    Responder

    Encontramos si la diferencia entre todos los términos consecutivos es la misma. Esto es lo mismo que decir que la secuencia tiene una diferencia común.

    4) ¿Cuáles son las principales diferencias entre usar una fórmula recursiva y usar una fórmula explícita para describir una secuencia aritmética?

    5) Describir cómo las funciones lineales y las secuencias aritméticas son similares. ¿En qué se diferencian?

    Responder

    Tanto las secuencias aritméticas como las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Son diferentes porque sus dominios no son los mismos; las funciones lineales se definen para todos los números reales, y las secuencias aritméticas se definen para los números naturales o un subconjunto de los números naturales.

    Algebraico

    Para los ejercicios 6-7, encuentra la diferencia común para la secuencia aritmética proporcionada.

    6)\(\left \{ 5,11,17,23,29,... \right \}\)

    7)\(\left \{ 0,\dfrac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,... \right \}\)

    Responder

    La diferencia común es\(\dfrac{1}{2}\)

    Para los ejercicios 8-9, determinar si la secuencia es aritmética. Si es así, encuentra la diferencia común.

    8)\(\left \{ 11.4,9.3,7.2,5.1,3,... \right \}\)

    9)\(\left \{ 4,16,64,256,1024,... \right \}\)

    Responder

    La secuencia no es aritmética porque\(16-4\neq 64-16\)

    Para los ejercicios 10-11, escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética dado el primer término y diferencia común.

    10)\(a_1=-25,d=-9\)

    11)\(a_1=0,d=\dfrac{2}{3}\)

    Responder

    \(0, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}, 2, \dfrac{8}{3}\)

    Para los ejercicios 12-13, escribir los primeros cinco términos de la serie aritmética dados dos términos.

    12)\(a_1=17, a_7=-31\)

    13)\(a_{13}=-60, a_{33}=-160\)

    Responder

    \(0,-5,-10,-15,-20\)

    Para los ejercicios 14-18, encuentra el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y diferencia común.

    14) Primer término es\(3\), diferencia común es\(4\), encontrar el\(5^{th}\) término.

    15) Primer término es\(4\), diferencia común es\(5\), encontrar el\(4^{th}\) término.

    Responder

    \(a_4=19\)

    16) Primer término es\(5\), diferencia común es\(6\), encontrar el\(8^{th}\) término.

    17) Primer término es\(6\), diferencia común es\(7\), encontrar el\(6^{th}\) término.

    Responder

    \(a_6=41\)

    18) Primer término es\(7\), diferencia común es\(8\), encontrar el\(7^{th}\) término.

    Para los ejercicios 19-23, encuentra el primer término dado dos términos a partir de una secuencia aritmética.

    19) Encontrar el primer término o\(a_1\) de una secuencia aritmética si\(a_6=12\) y\(a_{14}=28\).

    Responder

    \(a_1=2\)

    20) Encontrar el primer término o\(a_1\) de una secuencia aritmética si\(a_7=21\) y\(a_{15}=42\).

    21) Encontrar el primer término o\(a_1\) de una secuencia aritmética si\(a_8=40\) y\(a_{123}=115\).

    Responder

    \(a_1=5\)

    22) Encontrar el primer término o\(a_1\) de una secuencia aritmética si\(a_9=54\) y\(a_{17}=102\).

    23) Encontrar el primer término o\(a_1\) de una secuencia aritmética si\(a_{11}=11\) y\(a_{21}=16\).

    Responder

    \(a_1=6\)

    Para los ejercicios 24-25, encuentra el término especificado dado dos términos a partir de una secuencia aritmética.

    24)\(a_1=33\) y\(a_7=-15\). Encontrar\(a_4\).

    25)\(a_3=-17.1\) y\(a_{10}=-15.7\). Find\(a_{21}\).

    Responder

    \(a_{21}=-13.5\)

    Para los ejercicios 26-27, utilice la fórmula recursiva para escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética.

    26)\(a_1=39; a_n=a_{n-1}-3\)

    27)\(a_1=-19; a_n=a_{n-1}-1.4\)

    Responder

    \(-19,-20.4,-21.8,-23.2,-24.6\)

    Para los ejercicios 28-37, escribir una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética.

    28)\(a=\left \{ 40,60,80,... \right \}\)

    29)\(a=\left \{ 17,26,35,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=17; a_n=a_{n-1}+9, n\geq 2\)

    30)\(a=\left \{ -1,2,5,... \right \}\)

    31)\(a=\left \{ 12,17,22,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=12; a_n=a_{n-1}+5, n\geq 2\)

    32)\(a=\left \{ -15,-7,1,... \right \}\)

    33)\(a=\left \{ 8.9,10.3,11.7,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=8.9; a_n=a_{n-1}+1.4, n\geq 2\)

    34)\(a=\left \{ -0.52,-1.02,-1.52,... \right \}\)

    35)\(a=\left \{ \dfrac{1}{5},\dfrac{9}{20},\dfrac{7}{10},... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=\dfrac{1}{5}; a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{4}, n\geq 2\)

    36)\(a=\left \{ -\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{4},-2,... \right \}\)

    37)\(a=\left \{ \dfrac{1}{6},-\dfrac{11}{12},-2,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=\dfrac{1}{6}; a_n=a_{n-1}-\dfrac{13}{12}, n\geq 2\)

    Para los ejercicios 38-40, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego busque el término especificado.

    38)\(a=\left \{ 7, 4, 1, ... \right \}\); Encuentra el\(17^{th}\) término.

    39)\(a=\left \{ 4, 11, 18, ... \right \}\); Encuentra el\(14^{th}\) término.

    Responder

    \(a_1=4; a_n=a_{n-1}+7, a_{14}=95\)

    40)\(a=\left \{ 2, 6, 10, ... \right \}\); Encuentra el\(12^{th}\) término.

    Para los ejercicios 41-42, utilice la fórmula explícita para escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética.

    41)\(a_n=24-4n\)

    Responder

    Primeros cinco términos:\(20,16,12,8,4\).

    42)\(a_n=\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{2}\)

    Para los ejercicios 43-52, escribir una fórmula explícita para cada secuencia aritmética.

    43)\(a=\left \{ 3,5,7, ... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=1+2n\)

    44)\(a=\left \{ 32,24,16,... \right \}\)

    45)\(a=\left \{ -5, 95, 195, ... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=-105+100n\)

    46)\(a=\left \{ -17, -217, -417,... \right \}\)

    47)\(a=\left \{ 1.8, 3.6, 5.4, ... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=1.8n\)

    48)\(a=\left \{ -18.1,-16.2,-14.3,... \right \}\)

    49)\(a=\left \{ 15.8,18.5,21.2,... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=13.1+2.7n\)

    50)\(a=\left \{ \dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3},-3,... \right \}\)

    51)\(a=\left \{ 0,\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=\dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{3}\)

    52)\(a=\left \{ -5,-\dfrac{10}{3},-\dfrac{5}{3},... \right \}\)

    Para los ejercicios 53-55, encuentra el número de términos en la secuencia aritmética finita dada.

    53)\(a=\left \{ 3,-4,-11, ...,-60 \right \}\)

    Responder

    Hay\(10\) términos en la secuencia.

    54)\(a=\left \{ 1.2,1.4,1.6,...,3.8 \right \}\)

    55)\(a=\left \{ \dfrac{1}{2},2,\dfrac{7}{2},...,8 \right \}\)

    Responder

    Hay\(6\) términos en la secuencia.

    Gráfica

    Para los ejercicios 56-57, determinar si la gráfica mostrada representa una secuencia aritmética.

    56)

    Ex 11.2.56.png

    57)

    Ex 11.2.57.png

    Responder

    La gráfica no representa una secuencia aritmética.

    Para los ejercicios 58-60, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética.

    58)\(a_1=0,d=4\)

    59)\(a_1=9,a_n=a_{n-1}-10\)

    Responder

    Ex 11.2.59.png

    60)\(a_n=-12+5n\)

    Tecnología

    Para los ejercicios 61-63, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética\(a_n=3n-2\) usando una calculadora gráfica:

    • Presione [MODE]
      • Seleccione SEQ en la cuarta línea
      • Seleccione DOT en la quinta línea
      • Presione [ENTER]
    • Prensa [Y=]
      • \(n\text{Min}\)es el primer número de conteo para la secuencia. Set\(n\text{Min}=1\)
      • \(u(n\)es el patrón para la secuencia. Set\(u(n)=3n-2\)
      • \(u(n\text{Min})\)es el primer número de la secuencia. Set\(u(n\text{Min})=1\)
    • Presione [2ND] y luego [VENTANA] para ir a TBLSET
      • Set\(\text{TblStart}=1\)
      • Set\(\Delta \text{Tbl}=1\)
      • Establecer Indpnt: Auto y Depend: Auto
    • Presiona [2ND] y luego [GRÁFICO] para ir a la TABLA

    61) ¿Cuáles son los primeros siete términos que se muestran en la columna con el encabezamiento\(u(n)\)?

    Responder

    \(1,4,7,10,13,16,19\)

    62) Use la flecha de desplazamiento hacia abajo para desplazarse a\(n=50\).¿Para qué valor se da\(u(n)\)?

    63) Pulse [VENTANA]. Set\(n\text{Min}=1, n\text{Max}=5, x\text{Min}=0, x\text{Max}=6, y\text{Min}=-1, y\text{Max}=14\). Después presione [GRÁFICO]. Grafica la secuencia tal y como aparece en la calculadora gráfica.

    Responder

    Ex 11.2.63.png

    Para los ejercicios 64-65, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética\(a_n=\dfrac{1}{2}n+5\) usando una calculadora gráfica.

    64) ¿Cuáles son los primeros siete términos que se muestran en la columna con el encabezado\(u(n)\) en la función TABLE?

    65) Grafica la secuencia tal y como aparece en la calculadora gráfica. Asegúrese de ajustar la configuración de VENTANA según sea necesario.

    Responder

    Ex 11.2.65.png

    Extensiones

    66) Dar dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos\(4^{th}\) términos son\(9\).

    67) Dar dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos\(10^{th}\) términos son\(206\).

    Responder

    Las respuestas variarán. Ejemplos:\(a_n=20.6n\) y\(a_n=2+20.4n\).

    68) Encuentra el\(5^{th}\) término de la secuencia aritmética\(\left \{ 9b,5b,b, ... \right \}\).

    69) Encuentra el\(11^{th}\) term of the arithmetic sequence \(\left \{ 3a-2b,a+2b,-a+6b ... \right \}\)

    Responder

    \(a_{11}=-17a+38b\)

    70) ¿En qué plazo\(\left \{ 5.4,14.5,23.6,... \right \}\) excede la secuencia\(151\)?

    71) ¿En qué término la secuencia\(\left \{ \dfrac{17}{3},\dfrac{31}{6},\dfrac{14}{3},... \right \}\) comienza a tener valores negativos?

    Responder

    La secuencia comienza a tener valores negativos en el\(13^{th}\) término,\(a_{13}=-\dfrac{1}{3}\)

    72) ¿Para qué términos la secuencia aritmética finita\(\left \{ \dfrac{5}{2},\dfrac{19}{8},\dfrac{9}{4},...,\dfrac{1}{8} \right \}\) tiene valores enteros?

    73) Escribir una secuencia aritmética usando una fórmula recursiva. Mostrar los primeros\(4\) términos, y luego encontrar el\(31^{st}\) término.

    Responder

    Las respuestas variarán. Comprobar para ver que la secuencia es aritmética. Ejemplo: Fórmula recursiva:\(a_1=3,a_n=a_{n-1}-3\). Primeros\(4\) términos:\(3,0,-3,-6, a_{31}=-87\)

    74) Escribir una secuencia aritmética usando una fórmula explícita. Mostrar los primeros\(4\) términos, y luego encontrar el\(28^{th}\) término.

    11.3 Secuencias geométricas

    Verbal

    1) ¿Qué es una secuencia geométrica?

    Responder

    Una secuencia en la que la relación entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante.

    2) ¿Cómo se encuentra la relación común de una secuencia geométrica?

    3) ¿Cuál es el procedimiento para determinar si una secuencia es geométrica?

    Responder

    Dividir cada término en una secuencia por el término anterior. Si los cocientes resultantes son iguales, entonces la secuencia es geométrica.

    4) ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una secuencia geométrica?

    5) Describir cómo son similares las funciones exponenciales y las secuencias geométricas. ¿En qué se diferencian?

    Responder

    Tanto las secuencias geométricas como las funciones exponenciales tienen una relación constante. Sin embargo, sus dominios no son los mismos. Las funciones exponenciales se definen para todos los números reales, y las secuencias geométricas se definen solo para números enteros positivos. Otra diferencia es que la base de una secuencia geométrica (la razón común) puede ser negativa, pero la base de una función exponencial debe ser positiva.

    Algebraico

    Para los ejercicios 6-8, encuentra la proporción común para la secuencia geométrica.

    6)\(1,3,9,27,81,...\)

    7)\(-0.125,0.25,-0.5,1,-2,...\)

    Responder

    La relación común es\(-2\)

    8)\(-2,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8},-\dfrac{1}{32},-\dfrac{1}{128},...\)

    Para los ejercicios 9-13, determinar si la secuencia es geométrica. Si es así, encuentra la proporción común.

    9)\(-6,-12,-24,-48,-96,...\)

    Responder

    La secuencia es geométrica. La proporción común es\(2\).

    10)\(5,5.2,5.4,5.6,5.8,...\)

    11)\(-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},-\dfrac{1}{16},...\)

    Responder

    La secuencia es geométrica. La proporción común es\(-\dfrac{1}{2}\).

    12)\(6,8,11,15,20,...\)

    13)\(0.8,4,20,100,500,...\)

    Responder

    La secuencia es geométrica. La proporción común es\(5\).

    Para los ejercicios 14-15, escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica, dado el primer término y la relación común.

    14)\(a_1=8,r=0.3\)

    15)\(a_1=5,r=\dfrac{1}{5}\)

    Responder

    \(5,1,\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{25},\dfrac{1}{125}\)

    Para los ejercicios 16-17, escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica, dados dos términos cualesquiera.

    16)\(a_7=64, a_{10}=512\)

    17)\(a_6=25, a_8=6.25\)

    Responder

    \(800,400,200,100,50\)

    Para los ejercicios 18-19, encuentra el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la relación común.

    18) El primer término es\(2\), y la proporción común es\(3\). Encuentra el\(5^{th}\) término.

    19) El primer término es\(16\) y la proporción común es\(-\dfrac{1}{3}\). Encuentra el\(4^{th}\) término.

    Responder

    \(a_4=-\dfrac{16}{27}\)

    Para los ejercicios 20-21, encuentra el término especificado para la secuencia geométrica, dados los primeros cuatro términos.

    20)\(a_n=\left \{ -1,2,-4,8,... \right \}\). Encontrar\(a_{12}\).

    21)\(a_n=\left \{ -2,\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{27},... \right \}\). Encontrar\(a_7\).

    Responder

    \(a_7=-\dfrac{2}{729}\)

    Para los ejercicios 22-23, escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.

    22)\(a_1=-486, a_n=-\dfrac{1}{3}a_{n-1}\)

    23)\(a_1=7, a_n=0.2a_{n-1}\)

    Responder

    \(7,1.4,0.28,0.056,0.0112\)

    Para los ejercicios 24-31, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica.

    24)\(a_n=\left \{ -1,5,-25,125,... \right \}\)

    25)\(a_n=\left \{ -32,-16,-8,-4,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=-32, a_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}\)

    26)\(a_n=\left \{ 14,56,224,896,... \right \}\)

    27)\(a_n=\left \{ 10,-3,0.9,-0.27,... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=10, a_n=-0.3a_{n-1}\)

    28)\(a_n=\left \{ 0.61,1.83,5.49,16.47,... \right \}\)

    29)\(a_n=\left \{ \dfrac{3}{5},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{60},\dfrac{1}{360},... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=\dfrac{3}{5}, a_n=\dfrac{1}{26}a_{n-1}\)

    30)\(a_n=\left \{ -2,\dfrac{4}{3},-\dfrac{8}{9},\dfrac{16}{27},... \right \}\)

    31)\(a_n=\left \{ \dfrac{1}{512},-\dfrac{1}{128},\dfrac{1}{32},-\dfrac{1}{8},... \right \}\)

    Responder

    \(a_1=\dfrac{1}{512}, a_n=-4a_{n-1}\)

    Para los ejercicios 32-33, escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.

    32)\(a_n=-4\cdot 5^{n-1}\)

    33)\(a_n=12\cdot \left ( -\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

    Responder

    \(12,-2,3,-\dfrac{3}{2} ,\dfrac{3}{4}\)

    Para los ejercicios 34-41, escribir una fórmula explícita para cada secuencia geométrica.

    34)\(a_n=\left \{ -2,-4,-8,-16,... \right \}\)

    35)\(a_n=\left \{ 1,3,9,27,... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=3^{n-1}\)

    36)\(a_n=\left \{ -4,-12,-36,-108,... \right \}\)

    37)\(a_n=\left \{ 0.8,-4,20,-100,... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=0.8\cdot (-5)^{n-1}\)

    38)\(a_n=\left \{ -1.25,-5,-20,-80,... \right \}\)

    39)\(a_n=\left \{ -1,-\dfrac{4}{5},-\dfrac{16}{25},-\dfrac{64}{125},... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=-\left ( \dfrac{4}{5} \right )^{n-1}\)

    40)\(a_n=\left \{ 2,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{18},\dfrac{1}{108},... \right \}\)

    41)\(a_n=\left \{ 3,-1,\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{9},... \right \}\)

    Responder

    \(a_n=3\cdot \left ( -\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}\)

    Para los ejercicios 42-43, encuentra el término especificado para la secuencia geométrica dada.

    42) Vamos\(a_1=4\),\(a_n=-3a_{n-1}\). Encontrar\(a_8\).

    43) Vamos\(a_n=-\left ( -\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}\). Encontrar\(a_{12}\).

    Responder

    \(a_{12}=\dfrac{1}{177,147}\)

    Para los ejercicios 44-45, encuentra el número de términos en la secuencia geométrica finita dada.

    44)\(a_n=\left \{ -1,3,-9,...,2187 \right \}\)

    45)\(a_n=\left \{ 2,1,\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{1024} \right \}\)

    Responder

    Hay\(12\) términos en la secuencia.

    Gráfica

    Para los ejercicios 46-47, determinar si la gráfica mostrada representa una secuencia geométrica.

    46)

    CNX_Precalc_Figure_11_03_201.jpg

    47)

    CNX_Precalc_Figure_11_03_202.jpg

    Responder

    La gráfica no representa una secuencia geométrica.

    Para los ejercicios 48-50, utilice la información proporcionada para graficar los cinco primeros términos de la secuencia geométrica.

    48)\(a_1=1, r=\dfrac{1}{2}\)

    49)\(a_1=3, a_n=2a_{n-1}\)

    Responder

    CNX_Precalc_Figure_11_03_203.jpg

    50)\(a_n=27\cdot 0.3^{n-1}\)

    Extensiones

    51) Utilizar fórmulas recursivas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos\(3^{rd}\) términos son\(200\).

    Responder

    Las respuestas variarán. Ejemplos:\(a_1=800, a_n=0.5a_{n-1}\) y\(a_1=12.5, a_n=4a_{n-1}\)

    52) Utilizar fórmulas explícitas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos\(7^{th}\) términos son\(1024\).

    53) Encuentra el\(5^{th}\) término de la secuencia geométrica\(\left \{ b,4b,16b,... \right \}\).

    Responder

    \(a_5=256b\)

    54) Encuentra el\(7^{th}\) término de la secuencia geométrica\(\left \{ 64a(-b),32a(-3b),16a(-9b),... \right \}\).

    55) ¿En qué plazo\(\left \{ 10,12,14.4,17.28, ... \right \}\) excede la secuencia\(100\)?

    Responder

    La secuencia excede\(100\) en el\(14^{th}\) término,\(a_{14} \approx 107\).

    56) ¿En qué término\(\left \{ \dfrac{1}{2187},\dfrac{1}{729},\dfrac{1}{243},\dfrac{1}{81}, ... \right \}\) comienza la secuencia a tener valores enteros?

    57) ¿Para qué término la secuencia geométrica tiene\(a_n=-36\left (\dfrac{2}{3} \right )^{n-1}\) primero un valor no entero?

    Responder

    \(a_4=-\dfrac{32}{3}\)

    58) Usa la fórmula recursiva para escribir una secuencia geométrica cuya relación común es un entero. Mostrar los primeros cuatro términos, y luego encontrar el\(10^{th}\) término.

    59) Usa la fórmula explícita para escribir una secuencia geométrica cuya relación común es un número decimal entre\(0\) y\(1\). Mostrar los primeros\(4\) términos, y luego encontrar el\(8^{th}\) término.

    Responder

    Las respuestas variarán. Ejemplo: Fórmula explícita con una relación decimal común:\(a_n=400\cdot 0.5^{n-1}\); Primeros\(4\) términos:\(400,200,100,50; a_8=3.125\)

    60) ¿Es posible que una secuencia sea tanto aritmética como geométrica? Si es así, dar un ejemplo.

    11.4 Series y sus anotaciones

    Verbal

    1) ¿Qué es una suma\(n\text{th} \) parcial?

    Responder

    Una suma\(n\text{th} \) parcial es la suma de los primeros\(n\) términos de una secuencia.

    2) ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una serie aritmética?

    3) ¿Qué es una serie geométrica?

    Responder

    Una serie geométrica es la suma de los términos en una secuencia geométrica.

    4) ¿En qué se diferencia encontrar la suma de una serie geométrica infinita de encontrar la suma\(n\text{th} \) parcial?

    5) ¿Qué es una anualidad?

    Responder

    Una anualidad es una serie de pagos regulares iguales que ganan un interés compuesto constante.

    Algebraico

    Para los ejercicios 6-9, expresar cada descripción de una suma usando notación de suma.

    6) La suma de términos\(m^2+3m\) de\(m=1\) a\(m=5\).

    7) La suma de de\(n=0\) a\(n=4\) de\(5n\)

    Responder

    \(\displaystyle \sum_{n=0}^{4}5n\)

    8) La suma de\(6k-5\) desde\(k=-2\) hasta\(k-1\)

    9) La suma que resulta de sumar el número\(4\) cinco veces

    Responder

    \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}4\)

    Para los ejercicios 10-12, expresar cada suma aritmética usando notación de suma.

    10)\(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50\)

    11)\(10+18+26+\ldots +162\)

    Responder

    \(\displaystyle \sum_{k=1}^{20} 8k+2\)

    12)\(\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{3}{2}+2+\ldots +4\)

    Para los ejercicios 13-15, utilice la fórmula para la suma de los primeros\(n\) términos de cada secuencia aritmética.

    13)\(\dfrac{3}{2}+2+\dfrac{5}{2}+3+\dfrac{7}{2}\)

    Responder

    \(S_5=\dfrac{5\left ( \tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2} \right )}{2}\)

    14)\(19+25+31+\ldots +73\)

    15)\(3.2+3.4+3.6+\ldots +5.6\)

    Responder

    \(S_{13}=\dfrac{13\left ( 3.2+5.6 \right )}{2}\)

    Para los ejercicios 16-18, exprese cada suma geométrica usando notación de suma.

    16)\(1+3+9+27+81+243+729+2187\)

    17)\(8+4+2+\ldots +0.125\)

    Responder

    \(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}8\cdot 0.5^{k-1}\)

    18)\(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}+\ldots +\dfrac{1}{768}\)

    Para los ejercicios 19-21, use la fórmula para la suma de los primeros\(n\) términos de cada secuencia geométrica, y luego indique la suma indicada.

    19)\(9+3+1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\)

    Responder

    \(S_5=\dfrac{9\left ( 1-\left (\tfrac{1}{3} \right )^5 \right )}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{121}{9}\approx 13.44\)

    20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{9}5\cdot 2^{n-1}\)

    21)\(\displaystyle \sum_{a=1}^{11}64\cdot 0.2^{a-1}\)

    Responder

    \(S_{11}=\dfrac{64(1-0.2^{11})}{1-0.2}=\dfrac{781,249,984}{9,765,625}\approx 80\)

    Para los ejercicios 22-25, determinar si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escribe la fórmula para la suma. En caso contrario, indique la razón.

    22)\(12+18+24+30+\ldots\)

    23)\(2+1.6+1.28+1.024+\ldots\)

    Responder

    Se define la serie. \(S=\dfrac{2}{1-0.8}\)

    24)\(\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty }4^{m-1}\)

    25)\(\sum_{\infty }^{k=1} -\left ( -\frac{1}{2} \right )^{k-1}\)

    Responder

    Se define la serie. \(S=\dfrac{-1}{1-\left ( -\tfrac{1}{2} \right )}\)

    Gráfica

    Para los ejercicios 26-27, utilice el siguiente escenario. Javier realiza depósitos mensuales en una cuenta de ahorro. Abrió la cuenta con un depósito inicial de\(\$50\). Cada mes a partir de entonces incrementó el monto del depósito anterior en\(\$20\).

    26) Graficar la secuencia aritmética que muestra un año de los depósitos de Javier.

    27) Graficar la serie aritmética mostrando las sumas mensuales de un año de los depósitos de Javier.

    Responder

    CNX_Precalc_Figure_11_04_202.jpg

    Para los ejercicios 28-29, usa la serie geométrica \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\left ( \dfrac{1}{2} \right )^k\)

    28) Graficar las primeras sumas\(7\) parciales de la serie.

    29) ¿A qué número\(S_n\) parece acercarse en la gráfica? Encuentra la suma para explicar por qué esto tiene sentido.

    Responder

    Respuesta de muestra: La gráfica de\(S_n\) parece estar acercándose\(1\). Esto tiene sentido porque\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\left ( \dfrac{1}{2} \right )^k\) es una serie geométrica infinita definida con\(S=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\left ( \tfrac{1}{2} \right )}=1\).

    Numérico

    Para los ejercicios 30-33, encuentra la suma indicada.

    30)\(\displaystyle \sum_{a=1}^{14}a\)

    31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{6}n(n-2)\)

    Responder

    \(49\)

    32)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{17}k^2\)

    33)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}2^k\)

    Responder

    \(254\)

    Para los ejercicios 34-37, usa la fórmula para la suma de los primeros\(n\) términos de una serie aritmética para encontrar la suma.

    34)\(-1.7+-0.4+0.9+2.2+3.5+4.8\)

    35)\(6+\dfrac{15}{2}+9+\dfrac{21}{2}+12+\dfrac{27}{2}+15\)

    Responder

    \(S_7=\dfrac{147}{2}\)

    36)\(-1+3+7+\ldots +31\)

    37)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{11}\left ( \dfrac{k}{2}-\dfrac{1}{2} \right )\)

    Responder

    \(S_{11}=\dfrac{55}{2}\)

    Para los ejercicios 38-41, usa la fórmula para la suma de los primeros\(n\) términos de una serie geométrica para encontrar la suma parcial.

    38)\(S_6\) para la serie\(-2-10-50-250\ldots\)

    39)\(S_7\) para la serie\(0.4-2+10-50\ldots\)

    Responder

    \(S_7=5208.4\)

    40)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{9}2^{k-1}\)

    41)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}-2\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

    Responder

    \(S_{10}=-\dfrac{1023}{256}\)

    Para los ejercicios 42-45, encuentra la suma de la serie geométrica infinita.

    42)\(4+2+1+\dfrac{1}{2}+\ldots\)

    43)\(-1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{64}\ldots\)

    Responder

    \(S=-\dfrac{4}{3}\)

    44)\(\sum_{\infty }^{k=1}3\cdot \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{k-1}\)

    45)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }4.6\cdot 0.5^{n-1}\)

    Responder

    \(S=9.2\)

    Para los ejercicios 46-49, determinar el valor de la anualidad para el monto del depósito mensual indicado, el número de depósitos y la tasa de interés.

    46) Monto del depósito:\(\$50\); depósitos totales:\(60\); tasa de interés:\(5\%\), compuesto mensual

    47) Monto del depósito:\(\$150\); depósitos totales:\(24\); tasa de interés:\(3\%\), compuesto mensual

    Responder

    \(\$3705.42\)

    48) Monto del depósito:\(\$450\); depósitos totales:\(60\); tasa de interés:\(4.5\%\), compuesto trimestral

    49) Monto del depósito:\(\$100\); depósitos totales:\(120\); tasa de interés:\(10\%\), compuesto semestralmente

    Responder

    \(\$695,823.97\)

    Extensiones

    50) La suma de términos\(50-k^2\) de\(k=x\) a través\(7\) es\(115\). ¿Qué es\(x\)?

    51) Escribir una fórmula explícita para\(a_k\) tal que\(\displaystyle \sum_{k=0}^{6}a_k=189\). Supongamos que se trata de una serie aritmética.

    Responder

    \(a_k=30-k\)

    52) Encontrar el valor más pequeño de\(n\) tal que\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k-5)>100\).

    53) ¿Cuántos términos deben agregarse antes de que la serie\(-1-3-5-7\ldots\) tenga una suma menor que\(-75\)?

    Responder

    \(9\)términos

    54) Escribir\(0.\overline{65}\) como una serie geométrica infinita usando notación de suma. Luego usa la fórmula para encontrar la suma de una serie geométrica infinita\(0.\overline{65}\) para convertirla en una fracción.

    55) La suma de una serie geométrica infinita es cinco veces el valor del primer término. ¿Cuál es la proporción común de la serie?

    Responder

    \(r=\dfrac{4}{5}\)

    56) Para obtener las mejores tasas de préstamo disponibles, las Riquezas quieren ahorrar suficiente dinero para\(20\%\) colocar en una\(\$160,000\) casa. Planean hacer depósitos mensuales de\(\$125\) en una cuenta de inversión que ofrezca intereses\(8.5\%\) anuales compuestos semestralmente. ¿Las Riquezas tendrán suficiente para un pago\(20\%\) inicial después de cinco años de ahorro? ¿Cuánto dinero habrán ahorrado?

    57) Karl tiene dos años para ahorrar\(\$10,000\) para comprar un auto usado cuando se gradúa. Al dólar más cercano, ¿cuáles necesitarían ser sus depósitos mensuales si invierte en una cuenta que ofrezca una tasa de interés\(4.2\%\) anual que complica mensualmente?

    Responder

    \(\$400\)por mes

    Aplicaciones del mundo real

    58) Keisha ideó un plan de estudio de una semana de duración para prepararse para las finales. El primer día, planea estudiar por\(1\) hora, y cada día sucesivo aumentará en\(30\) minutos su tiempo de estudio. ¿Cuántas horas habrá estudiado Keisha después de una semana?

    59) Una roca rodó por una montaña, recorriendo 6 pies en el primer segundo. Cada segundo sucesivo, su distancia se incrementaba en\(8\) pies. ¿Hasta dónde viajó la roca después de\(10\) segundos?

    Responder

    \(420\)pies

    60) Un científico coloca\(50\) células en una placa de Petri. Cada hora, la población aumenta en\(1.5\%\). ¿Cuál será el recuento de células después\(1\) del día?

    61) Un péndulo recorre una distancia de\(3\) pies en su primer columpio. En cada swing sucesivo, recorre\(\dfrac{3}{4}\) la distancia del swing anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el péndulo cuando deja de balancearse?

    Responder

    \(12\)pies

    62) Rachael deposita\(\$1,500\) en un fondo de retiro cada año. El fondo gana intereses\(8.2\%\) anuales, compuestos mensualmente. Si abrió su cuenta cuando tenía\(19\) años, ¿cuánto tendrá para cuando esté\(55\)? ¿Cuánto de esa cantidad serán los intereses ganados?

    11.5 Principios de conteo

    Verbal

    Para los ejercicios 1-2, supongamos que hay\(n\) formas en que un evento\(A\) puede suceder,\(m\) formas en que un evento\(B\) puede suceder, y eso\(A\) y no\(B\) se superponen.

    1) Utilice el Principio de Adición de contar para explicar de cuántas maneras puede ocurrir el evento\(A\) o\(B\) puede ocurrir.

    Responder

    Hay\(m+n\) formas para que ocurra un evento\(A\) o\(B\) un evento.

    2) Utilice el Principio de Multiplicación del conteo para explicar de cuántas maneras puede ocurrir el evento\(A\) y\(B\) puede ocurrir.

    Contesta las preguntas 3-5.

    3) Cuando se dan dos eventos separados, ¿cómo sabemos si aplicar el Principio de Adición o el Principio de Multiplicación al calcular los posibles resultados? ¿Qué conjunciones pueden ayudar a determinar qué operaciones usar?

    Responder

    El principio de adición se aplica al determinar el total posible de resultados de cualquiera de los eventos ocurridos. El principio de multiplicación se aplica al determinar los resultados totales posibles de ambos eventos ocurridos. La palabra “o” suele implicar un problema de adición. La palabra “y” suele implicar un problema de multiplicación.

    4) Describir cómo la permutación de\(n\) objetos difiere de la permutación de elegir\(r\) objetos de un conjunto de\(n\) objetos. Incluya cómo se calcula cada uno.

    5) ¿Cuál es el término para el arreglo que selecciona\(r\) objetos de un conjunto de\(n\) objetos cuando el orden de los\(r\) objetos no es importante? ¿Cuál es la fórmula para calcular el número de posibles resultados para este tipo de arreglos?

    Responder

    Una combinación;\(C(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}\)

    Numérico

    Para los ejercicios 6-14, determinar si usar el Principio de Adición o el Principio de Multiplicación. Después realice los cálculos.

    6) Dejar que el conjunto\(A=\left \{ -5,-3,-1,2,3,4,5,6 \right \}\). ¿De cuántas formas hay de elegir un número negativo o par\(A\)?

    7) Dejar que el conjunto\(B=\left \{ -23,-16,-7,-2,20,36,48,72 \right \}\). ¿De cuántas formas hay de elegir un número positivo o impar\(A\)?

    Responder

    \(4+2=6\)

    8) ¿Cuántas formas hay de elegir un as rojo o un palo de una baraja de juego de cartas estándar?

    9) ¿Cuántas formas hay de elegir un color de pintura de\(5\) tonos de verde,\(4\) tonos de azul o\(7\) tonos de amarillo?

    Responder

    \(5+4+7=16\)

    10) ¿Cuántos resultados son posibles al lanzar un par de monedas?

    11) ¿Cuántos resultados son posibles de lanzar una moneda y rodar un dado\(6\) de lados?

    Responder

    \(2\times 6=12\)

    12) ¿Cuántas cadenas de dos letras —la primera letra de\(A\) y la segunda letra de\(B\) se pueden formar a partir de los conjuntos\(A=\left \{ b,c,d \right \}\) y\(B=\left \{ a,e,i,o,u \right \}\)?

    13) ¿Cuántas formas hay de construir una cadena de\(3\) dígitos si se pueden repetir los números?

    Responder

    \(10^3=1000\)

    14) ¿Cuántas formas hay de construir una cadena de\(3\) dígitos si no se pueden repetir los números?

    Para los ejercicios 15-24, computar el valor de la expresión.

    15)\(P(5,2)\)

    Responder

    \(P(5,2)=20\)

    16)\(P(8,4)\)

    17)\(P(3,3)\)

    Responder

    \(P(3,3)=6\)

    18)\(P(9,6)\)

    19)\(P(11,5)\)

    Responder

    \(P(11,5)=55,440\)

    20)\(C(8,5)\)

    21)\(C(12,4)\)

    Responder

    \(C(12,4)=495\)

    22)\(C(26,3)\)

    23)\(C(7,6)\)

    Responder

    \(C(7,6)=7\)

    24)\(C(10,3)\)

    Para los ejercicios 25-29, encuentra el número de subconjuntos en cada conjunto dado.

    25)\(\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right \}\)

    Responder

    \(2^{10}=1024\)

    26)\(\left \{ a,b,c,\ldots ,z \right \}\)

    27) Un conjunto que contiene números\(5\)\(4\) distintos, letras distintas y símbolos\(3\) distintos

    Responder

    \(2^{12}=4096\)

    28) El conjunto de números pares de\(2\) a\(28\)

    29) El conjunto de números de dos dígitos entre\(1\) y\(100\) que contiene el dígito\(0\)

    Responder

    \(2^{9}=512\)

    Para los ejercicios 30-34, encuentra el número distinto de arreglos.

    30) Las letras en la palabra “juggernaut”

    31) Las letras en la palabra “academia”

    Responder

    \(\dfrac{8!}{3!}=6720\)

    32) Las letras en la palabra “academia” que comienzan y terminan en “a”

    33) Los símbolos en la cadena\(\#,\#,\#,@,@,\$,\$,\$,\%,\%,\%,\%\)

    Responder

    \(\dfrac{12!}{3!2!3!4!}\)

    34) Los símbolos en la cadena\(\#,\#,\#,@,@,\$,\$,\$,\%,\%,\%,\%\) que comienzan y terminan con “\(\%\)

    Extensiones

    35) El conjunto,\(S\) consta de números\(900,000,000\) enteros, siendo cada uno el mismo número de dígitos de largo. ¿De cuántos dígitos es largo un número\(S\)? (Pista: use el hecho de que un número entero no puede comenzar con el dígito\(0\).)

    Responder

    \(9\)

    36) El número de subconjuntos\(5\) -elementos de un conjunto que contiene nnnelementos es igual al número de subconjuntos de 6 elementos del mismo conjunto. ¿Cuál es el valor de\(n\)? (Pista: el orden en que se eligen los elementos para los subconjuntos no es importante.)

    37) ¿\(C(n,r)\)Alguna vez puede igualar\(P(n,r)\)? Explique.

    Responder

    Sí, para los casos triviales\(r=0\) y\(r=1\). Si\(r=0\), entonces\(C(n,r)=P(n,r)=1\). Si\(r=1\), entonces\(r=1\),\(C(n,r)=P(n,r)=n\).

    38) Supongamos que un conjunto\(A\) tiene\(2,048\) subconjuntos. ¿Cuántos objetos distintos están contenidos en\(A\)?

    39) ¿Cuántos arreglos se pueden hacer a partir de las letras de la palabra “montañas” si todas las vocales deben formar una cadena?

    Responder

    \(\dfrac{6!}{2!}\times 4!=8640\)

    Aplicaciones del mundo real

    40) Una familia compuesta por\(2\) padres e\(3\) hijos es posar para una foto con los miembros de la\(2\) familia en la parte delantera y\(3\) trasera.

    1. ¿Cuántos arreglos son posibles sin restricciones?
    2. ¿Cuántos arreglos son posibles si los padres deben sentarse al frente?
    3. ¿Cuántos arreglos son posibles si los padres deben estar uno al lado del otro?

    41) Una compañía de telefonía celular ofrece\(6\) diferentes paquetes de voz y\(8\) diferentes paquetes de datos. De esos, los\(3\) paquetes incluyen tanto voz como datos. ¿Cuántas formas hay de elegir ya sea voz o datos, pero no ambas?

    Responder

    \(6-3+8-3=8\)

    42) En las carreras de caballos, una “trifecta” ocurre cuando un apostador gana seleccionando los tres primeros finalistas en el orden exacto (\(1^{st}\)lugar,\(2^{nd}\) lugar y\(3^{rd}\) lugar). ¿Cuántas trifectas diferentes son posibles si hay\(14\) caballos en una carrera?

    43) Una empresa de camisetas al por mayor ofrece tallas pequeñas, medianas, grandes y extra grandes en algodón orgánico o no orgánico y colores blanco, negro, gris, azul y rojo. ¿Cuántas camisetas diferentes hay para elegir?

    Responder

    \(4\times 2\times 5=40\)

    44) Héctor quiere colocar anuncios en cartelera en todo el condado para su nuevo negocio. ¿De cuántas maneras puede Héctor elegir\(15\) barrios para anunciarse si hay\(30\) barrios en el condado?

    45) Una tienda de arte cuenta con\(4\) marcas de bolígrafos de pintura en\(12\) diferentes colores y\(3\) tipos de tinta. ¿Cuántos bolígrafos de pintura hay para elegir?

    Responder

    \(4\times 12\times 3=144\)

    46) ¿De cuántas formas se puede formar un comité de\(3\) estudiantes de\(4\) primer y tercer año a partir de un grupo de\(8\) estudiantes de primer y\(11\) tercer año?

    47) ¿De cuántas maneras puede un entrenador de béisbol arreglar el orden de\(9\) los bateadores si hay\(15\) jugadores en el equipo?

    Responder

    \(P(15,9)=1,816,214,400\)

    48) Un director necesita\(5\) violonchelistas y\(5\) violinistas para tocar en un evento diplomático. Para ello, clasifica a los\(10\) violonchelistas y\(16\) violinistas de la orquesta en orden de dominio musical. ¿Cuál es la relación entre el ranking total de violonchelistas posibles y el ranking total de violinistas posibles?

    49) Una tienda de motocicletas cuenta con\(10\) choppers,\(6\) bolillos y\(5\) corredores de café, diferentes tipos de motocicletas antiguas. ¿De cuántas maneras puede elegir la tienda\(3\) choppers,\(5\) bobbers y corredores de\(2\) café para un escaparate de fin de semana?

    Responder

    \(C(10,3)\times C(6,5)\times C(5,2)=7,200\)

    50) Una tienda de monopatines almacena\(10\) tipos de tablas,\(3\) tipos de camiones y\(4\) tipos de ruedas. ¿Cuántas patinetas diferentes se pueden construir?

    51) Just-For-Kicks Sneaker Company ofrece un servicio de personalización en línea. ¿Cuántas formas hay de diseñar un par personalizado de zapatillas Just-For-Kicks si un cliente puede elegir desde un zapato básico hasta opciones\(11\) personalizables?

    Responder

    \(2^{11}=2048\)

    52) Un lavado de autos ofrece los siguientes servicios opcionales al lavado básico: cera de capa transparente, abrillantador de triple espuma, lavado de tren de rodaje, inhibidor de óxido, abrillantador de ruedas, ambientador y champú para interiores. ¿Cuántos lavados son posibles si se puede agregar alguna cantidad de opciones al lavado básico?

    53) Susan compró\(20\) plantas para arreglar a lo largo del borde de su jardín. ¿Cuántos arreglos distintos puede hacer si las plantas están compuestas de\(6\) tulipanes,\(6\) rosas y\(8\) margaritas?

    Responder

    \(\dfrac{20!}{6!6!8!}=116,396,280\)

    54) ¿De cuántas maneras únicas se puede organizar una cadena de luces navideñas a partir de bombillas de color\(9\) rojo,\(10\) verde,\(6\) blanco y\(12\) dorado?

    11.6 Teorema Binomial

    Verbal

    1) ¿Qué es un coeficiente binomial y cómo se calcula?

    Responder

    Un coeficiente binomial es una forma alternativa de denotar la combinación\(C(n,r)\). Se define como\(\dbinom{n}{r}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\).

    2) ¿Qué papel juegan los coeficientes binomiales en una expansión binomial? ¿Están restringidos a algún tipo de número?

    3) ¿Qué es el Teorema Binomial y cuál es su uso?

    Responder

    El Teorema Binomial se define como\((x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{r}x^{n-k}y^k\) y puede ser utilizado para expandir cualquier binomio.

    4) ¿Cuándo es una ventaja usar el Teorema Binomial? Explique.

    Algebraico

    Para los ejercicios 5-12, evaluar el coeficiente binomial.

    5)\(\dbinom{6}{2}\)

    Responder

    \(15\)

    6)\(\dbinom{5}{3}\)

    7)\(\dbinom{7}{4}\)

    Responder

    \(35\)

    8)\(\dbinom{9}{7}\)

    9)\(\dbinom{10}{9}\)

    Responder

    \(10\)

    10)\(\dbinom{25}{11}\)

    11)\(\dbinom{17}{6}\)

    Responder

    \(12,376\)

    12)\(\dbinom{200}{199}\)

    Para los ejercicios 13-22, utilice el Teorema Binomial para expandir cada binomio.

    13)\((4a-b)^3\)

    Responder

    \(64a^3-48a^2b+12ab^2-b^3\)

    14)\((5a+2)^3\)

    15)\((3a+2b)^3\)

    Responder

    \(27a^3+54a^2b+36ab^2+8b^3\)

    16)\((2x+3y)^4\)

    17)\((4x+2y)^5\)

    Responder

    \(1024x^5+2560x^4y+2560x^3y^2+1280x^2y^3+320xy^4+32y^5\)

    18)\((3x-2y)^4\)

    19)\((4x-3y)^5\)

    Responder

    \(1024x^5-3840x^4y+5760x^3y^2-4320x^2y^3+1620xy^4-243y^5\)

    20)\(\left ( \dfrac{1}{x}+3y \right )^5\)

    21)\(\left ( x^{-1}+2y^{-1} \right )^4\)

    Responder

    \(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{8}{x^3y}+\dfrac{24}{x^2y^2}+\dfrac{32}{xy^3}+\dfrac{16}{y^4}\)

    22)\(\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^5\)

    Para los ejercicios 23-29, utilice el Teorema Binomial para escribir los tres primeros términos de cada binomio.

    23)\((a+b)^{17}\)

    Responder

    \(a^{17}+17a^{16}b+136a^{15}b^2\)

    24)\((x-1)^{18}\)

    25)\((a-2b)^{15}\)

    Responder

    \(a^{15}-30a^{14}b+420a^{13}b^2\)

    26)\((x-2y)^8\)

    27)\((3a+b)^{20}\)

    Responder

    \(3,486,784,401a^{20}+23,245,229,340a^{19}b+73,609,892,910a^{18}b^2\)

    28)\((2a+4b)^7\)

    29)\(\left ( x^3-\sqrt{y} \right )^8\)

    Responder

    \(x^{24}-8x^{21}\sqrt{y}+28x^{18}y\)

    Para los ejercicios 30-39, encuentra el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio.

    30) El cuarto término de\((2x-3y)^4\)

    31) El cuarto término de\((3x-2y)^5\)

    Responder

    \(-720x^2y^3\)

    32) El tercer término de\((6x-3y)^7\)

    33) El octavo término de\((7+5y)^{14}\)

    Responder

    \(220,812,466,875,000y^7\)

    34) El séptimo término de\((a+b)^{11}\)

    35) El quinto término de\((x-y)^{7}\)

    Responder

    \(35x^3y^4\)

    36) El décimo término de\((x-1)^{12}\)

    37) El noveno término de\((a-3b^2)^{11}\)

    Responder

    \(1,082,565a^3b^{16}\)

    38) El cuarto término de\(\left ( x^3-\dfrac{1}{2} \right )^{10}\)

    39) El octavo término de\(\left ( \dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{x} \right )^{9}\)

    Responder

    \(\dfrac{1152y^2}{x^7}\)

    Gráfica

    Para los ejercicios 40-44, utilice el Teorema Binomial para expandir el binomio\(f(x)=(x+3)^4\). Después busque y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes.

    40) Encontrar y graficar\(f_1(x)\), tal que\(f_1(x)\) es el primer término de la expansión.

    41) Encontrar y graficar\(f_2(x)\), tal que\(f_2(x)\) es la suma de los dos primeros términos de la expansión.

    Responder

    \(f_2(x)=x^4+12x^3\)

    Ex 11.6.41.png

    42) Encontrar y graficar\(f_3(x)\), tal que\(f_3(x)\) es la suma de los tres primeros términos de la expansión.

    43) Encontrar y graficar\(f_4(x)\), tal que\(f_4(x)\) es la suma de los primeros cuatro términos de la expansión.

    Responder

    \(f_4(x)=x^4+12x^3+54x^2+108x\)

    Ex 11.6.43.png

    44) Encontrar y graficar\(f_5(x)\), tal que\(f_5(x)\) es la suma de los primeros cinco términos de la expansión.

    Extensiones

    45) En la expansión de\((5x+3y)^n\), cada término tiene la forma\(\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k\) donde\(k\) sucesivamente toma el valor\(0,1,2,\ldots ,n\). Si\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{7}{2}\), ¿cuál es el término correspondiente?

    Responder

    \(590,625x^5y^2\)

    46) En la expansión de\((a+b)^n\), ¿el coeficiente de\(a^{n-k}b^k\) es el mismo que el coeficiente de qué otro término?

    47) Considerar la ampliación de\((x+b)^{40}\). ¿De qué es el exponente\(b\) en el\(k\text {th}\) término?

    Responder

    \(k-1\)

    48) Encontrar\(\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k}\) y escribir la respuesta como un coeficiente binomial en la forma\(\dbinom{n}{k}\). Demuéstralo. Pista: Usa el hecho de que, para cualquier entero\(p\), tal que\(p\geq 1, p!=p(p-1)!\).

    Responder

    \ (\ comenzar {alinear*}
    \ dbinom {n} {k-1} +\ dbinom {n} {k} &=\ dfrac {n!} {k! (n-k)!} +\ frac {n!} {(k-1)! (n- (k-1))!} \\
    &=\ dfrac {n!} {k! (n-k)!} +\ frac {n!} {(k-1)! (n-k+1)!} \\
    &=\ dfrac {(n-k+1) n!} {(n-k+1) k! (n-k)!} +\ frac {kn!} {k (k-1)! (n-k+1)!} \\
    &=\ dfrac {(n-k+1) n! +kn!} {k! (n-k+1)!} \\
    &=\ dfrac {(n+1) n!} {k! ((n+1) -k)!} \\
    &=\ dfrac {(n+1)!} {k! ((n+1) -k)!} \\
    &=\ dbinom {n+1} {k}
    \ final {alinear*}\)

    49) ¿Qué expresión no se puede expandir usando el Teorema Binomial? Explique.

    • \((x^2-2x+1)\)
    • \(\left ( \sqrt{a}+4\sqrt{a}-5 \right )^8\)
    • \((x^3+2y^2-z)^5\)
    • \(\left ( 3x^2-\sqrt{2y^3} \right )^{12}\)
    Responder

    La expresión\((x^3+2y^2-z)^5\) no se puede expandir usando el Teorema Binomial porque no se puede reescribir como binomio.

    11.7 Probabilidad

    Verbal

    1) ¿Qué término se utiliza para expresar la probabilidad de que ocurra un evento? ¿Existen restricciones en sus valores? Si es así, ¿qué son? Si no, explique.

    Responder

    probabilidad; La probabilidad de un evento está restringida a valores entre\(0\) y\(1\), inclusive de\(0\) y\(1\).

    2) ¿Qué es un espacio de muestra?

    3) ¿Qué es un experimento?

    Responder

    Un experimento es una actividad con un resultado observable.

    4) ¿Cuál es la diferencia entre eventos y resultados? Dé un ejemplo de ambos usando el espacio de muestra de lanzar una moneda\(50\) veces.

    5) La unión de dos conjuntos se define como un conjunto de elementos que están presentes en al menos uno de los conjuntos. ¿En qué se parece esto a la definición utilizada para la unión de dos eventos a partir de un modelo de probabilidad? ¿En qué se diferencia?

    Responder

    La probabilidad de que ocurra la unión de dos eventos es un número que describe la probabilidad de que se produzca al menos uno de los eventos de un modelo de probabilidad. Tanto en una unión de conjuntos como\(A\)\(B\) y en una unión de eventos\(A\) y\(B\), la unión incluye uno\(A\)\(B\) o ambos. La diferencia es que una unión de conjuntos da como resultado otro conjunto, mientras que la unión de eventos es una probabilidad, por lo que siempre es un valor numérico entre\(0\) y\(1\).

    Numérico

    Para los ejercicios 6-13, use el spinner que se muestra en la Figura a continuación para encontrar las probabilidades indicadas.

    CNX_Precalc_Figure_11_07_201n.jpg

    6) Aterrizaje en rojo

    7) Aterrizaje en una vocal

    Responder

    \(\dfrac{1}{2}\)

    8) No aterrizar en azul

    9) Aterrizaje en púrpura o una vocal

    Responder

    \(\dfrac{5}{8}\)

    10) Aterrizaje en azul o una vocal

    11) Aterrizaje en verde o azul

    Responder

    \(\dfrac{1}{2}\)

    12) Aterrizaje en amarillo o una consonante

    13) No aterrizar en amarillo o una consonante

    Responder

    \(\dfrac{3}{8}\)

    Para los ejercicios 14-17, se lanzan dos monedas.

    14) ¿Cuál es el espacio de muestreo?

    15) Encuentra la probabilidad de tirar dos cabezas.

    Responder

    \(\dfrac{1}{4}\)

    16) Encuentra la probabilidad de tirar exactamente una cola.

    17) Encuentra la probabilidad de tirar al menos una cola.

    Responder

    \(\dfrac{3}{4}\)

    Para los ejercicios 18-25, se lanzan cuatro monedas.

    18) ¿Cuál es el espacio de muestreo?

    19) Encuentra la probabilidad de arrojar exactamente dos cabezas.

    Responder

    \(\dfrac{3}{8}\)

    20) Encuentra la probabilidad de tirar exactamente tres cabezas.

    21) Encuentra la probabilidad de lanzar cuatro cabezas o cuatro colas.

    Responder

    \(\dfrac{1}{8}\)

    22) Encuentra la probabilidad de tirar todas las colas.

    23) Encuentra la probabilidad de tirar no todas las colas.

    Responder

    \(\dfrac{15}{16}\)

    24) Encuentra la probabilidad de lanzar exactamente dos cabezas o al menos dos colas.

    25) Encuentra la probabilidad de lanzar dos cabezas o tres cabezas.

    Responder

    \(\dfrac{5}{8}\)

    Para los ejercicios 26-32, se extrae una carta de una baraja estándar de\(52\) cartas. Encuentra la probabilidad de dibujar lo siguiente:

    26) Un club

    27) A dos

    Responder

    \(\dfrac{1}{13}\)

    28) Seis o siete

    29) Rojo seis

    Responder

    \(\dfrac{1}{26}\)

    30) Un as o un diamante

    31) Un no-as

    Responder

    \(\dfrac{12}{13}\)

    32) Un corazón o un no-jack

    Para los ejercicios 33-42, se tiran dos dados, y se suman los resultados.

    33) Construir una tabla que muestre el espacio muestral de resultados y sumas.

    Responder
    1 2 3 4 5 6
    1 (1, 1)
    2
    (1, 2)
    3
    (1, 3)
    4
    (1, 4)
    5
    (1, 5)
    6
    (1, 6)
    7
    2 (2, 1)
    3
    (2, 2)
    4
    (2, 3)
    5
    (2, 4)
    6
    (2, 5)
    7
    (2, 6)
    8
    3 (3, 1)
    4
    (3, 2)
    5
    (3, 3)
    6
    (3, 4)
    7
    (3, 5)
    8
    (3, 6)
    9
    4 (4, 1)
    5
    (4, 2)
    6
    (4, 3)
    7
    (4, 4)
    8
    (4, 5)
    9
    (4, 6)
    10
    5 (5, 1)
    6
    (5, 2)
    7
    (5, 3)
    8
    (5, 4)
    9
    (5, 5)
    10
    (5, 6)
    11
    6 (6, 1)
    7
    (6, 2)
    8
    (6, 3)
    9
    (6, 4)
    10
    (6, 5)
    11
    (6, 6)
    12

    34) Encuentra la probabilidad de rodar una suma de\(3\).

    35) Encuentra la probabilidad de rodar al menos uno cuatro o una suma de\(8\).

    Responder

    \(\dfrac{5}{12}\)

    36) Encuentra la probabilidad de rodar una suma impar menor que\(9\).

    37) Encontrar la probabilidad de rodar una suma mayor o igual a\(15\).

    Responder

    \(0\)

    38) Encuentra la probabilidad de rodar una suma menor que\(15\).

    39) Encontrar la probabilidad de rodar una suma menor\(6\) o mayor que\(9\).

    Responder

    \(\dfrac{4}{9}\)

    40) Encontrar la probabilidad de rodar una suma entre\(6\) y\(9\), inclusive.

    41) Encuentra la probabilidad de rodar una suma de\(5\) o\(6\).

    Responder

    \(\dfrac{1}{4}\)

    42) Encuentra la probabilidad de rodar cualquier suma que no sea\(5\) o\(6\).

    Para los ejercicios 43-46, se lanza una moneda, y se saca una carta de una baraja estándar. Encuentra la probabilidad de lo siguiente:

    43) Una cabeza en la moneda o un palo

    Responder

    \(\dfrac{5}{8}\)

    44) Una cola en la moneda o as rojo

    45) Una cabeza en la moneda o una tarjeta frontal

    Responder

    \(\dfrac{8}{13}\)

    46) Sin ases

    Para los ejercicios 47-50, usa este escenario: una bolsa de M&Ms contiene M&Ms\(12\) azules,\(6\) marrones,\(10\) naranjas,\(8\) amarillos,\(8\) rojos y\(4\) verdes. Al llegar a la bolsa, una persona agarra\(5\) M&Ms.

    47) ¿Cuál es la probabilidad de obtener todas las M&Ms azules?

    Responder

    \(\dfrac{C(12,5)}{C(48,5)}=\dfrac{1}{2162}\)

    48) ¿Cuál es la probabilidad de obtener M&Ms\(4\) azules?

    49) ¿Cuál es la probabilidad de obtener M&Ms\(3\) azules?

    Responder

    \(\dfrac{C(12,3)C(36,2)}{C(48,5)}=\dfrac{175}{2162}\)

    50) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener M&Ms marrones?

    Extensiones

    Usa el siguiente escenario para los ejercicios que siguen: En el juego de Keno, un jugador comienza seleccionando\(20\) números de los números\(1\) a\(80\). Después de que el jugador haga sus selecciones, los números\(20\) ganadores se seleccionan aleatoriamente de números\(1\) a\(80\). Una victoria se produce si el jugador ha seleccionado correctamente\(3,4\) o\(5\) de los números\(20\) ganadores. (Redondear todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana.)

    51) ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente números\(3\) ganadores?

    Responder

    \(\dfrac{C(20,3)C(60,17)}{C(80,20)}\approx 12.49\%\)

    52) ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente números\(4\) ganadores?

    53) ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione todos los números\(5\) ganadores?

    Responder

    \(\dfrac{C(20,5)C(60,15)}{C(80,20)}\approx 23.33\%\)

    54) ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de ganar?

    55) ¿Cuánto menos es la posibilidad de un jugador de seleccionar números\(3\) ganadores que la posibilidad de seleccionar uno\(4\) o números\(5\) ganadores?

    Responder

    \(20.50+23.33-12.49=31.34\%\)

    Aplicaciones del mundo real

    Usa estos datos para los ejercicios 56-60: En 2013, había aproximadamente un\(317\) millón de ciudadanos en Estados Unidos, y alrededor de\(40\) un millón eran ancianos\(65\) (mayores de edad)

    56) Si conoces a un ciudadano estadounidense, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que la persona sea de edad avanzada? (Redondear a la décima más cercana de un porcentaje.)

    57) Si conoces a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente uno sea adulto mayor? (Redondear a la décima más cercana de un porcentaje.)

    Responder

    \(\dfrac{C(40000000,1)C(277000000,4)}{C(317000000,5)}\approx 36.78\%\)

    58) Si conoces a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que tres sean adultos mayores? (Redondear a la décima más cercana de un porcentaje.)

    59) Si conoces a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que cuatro sean adultos mayores? (Redondear a la milésima de porcentaje más cercana.)

    Responder

    \(\dfrac{C(40000000,4)C(277000000,1)}{C(317000000,5)}\approx 0.11\%\)

    60) Se pronostica que para 2030, uno de cada cinco ciudadanos estadunidenses será adulto mayor. ¿Cuánto mayores serán las posibilidades de conocer a una persona de la tercera edad en ese momento? ¿Qué cambios de política prevé si estas estadísticas son ciertas?

    Colaboradores y Atribuciones


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