13.2: Círculo unitario - Funciones de seno y coseno

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Objetivos de aprendizaje

Encuentre valores de función para el seno y coseno de 30° o$(\frac{\pi}{6})$ ,45° o$(\frac{\pi}{4})$, y 60° o$(\frac{\pi}{3})$.
Identificar el dominio y rango de funciones sinusoidales y cosenales.
Encuentra ángulos de referencia.
Utilice ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas.

¿Buscas emoción? Entonces considera un paseo en el Singapore Flyer, la noria más alta del mundo. Ubicada en Singapur, la noria se dispara a una altura de 541 pies, ¡un poco más de una décima de milla! Descrita como una rueda de observación, los ciclistas disfrutan de vistas espectaculares mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, necesitamos definir primero el tipo de círculo, y luego colocar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos discutir el movimiento circular en términos de los pares de coordenadas.

Foto de una noria. — Figura$\PageIndex{1}$: El Singapore Flyer es la noria más alta del mundo. (crédito: “Vibin JK” /Flickr)

Encontrar valores de función para el seno y el coseno

Para definir nuestras funciones trigonométricas, comenzamos dibujando un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. El ángulo (en radianes) que$t$ intercepta forma un arco de longitud$s$. Usando la fórmula$s=rt$, y sabiendo eso$r=1$, vemos eso para un círculo unitario,$s=t$.

Recordemos que los ejes x e y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Etiquetamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barría un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes están etiquetados I, II, III y IV.

Para cualquier ángulo$t,$ podemos etiquetar la intersección del lado terminal y el círculo unitario como por sus coordenadas,$(x,y)$. Las coordenadas$x$ y$y$ serán las salidas de las funciones trigonométricas$f(t)= \cos t$ y$ f(t)= \sin t$, respectivamente. Esto significa$x= \cos t$ y$y= \sin t$.

Gráfica de un círculo con ángulo t, radio de 1, y un arco creado por el ángulo con longitud s. El lado terminal del ángulo cruza el círculo en el punto (x, y). — Figura$\PageIndex{2}$: Círculo unitario donde el ángulo central es$t$ radianes

CIRCULO UNIDAD

Un círculo unitario tiene un centro en$(0,0)$ y un radio$1$. En un círculo unitario, la longitud del arco interceptado es igual a la medida radianes del ángulo central$1$.

Dejar$(x,y)$ ser el punto final en el círculo unitario de un arco de longitud de arco$s$. Las$(x,y)$ coordenadas de este punto pueden describirse como funciones del ángulo.

Definición de funciones de seno y coseno

Ahora que tenemos nuestro círculo unitario etiquetado, podemos aprender cómo se relacionan las$(x,y)$ coordenadas con la longitud y el ángulo del arco. La función seno relaciona un número real$t$ con la coordenada y del punto donde el ángulo correspondiente intercepta el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo$t$ es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud$t$. En la Figura$\PageIndex{3}$, el seno es igual a$y$. Como todas las funciones, la función sinusoidal tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada y del punto correspondiente en el círculo unitario.

La función coseno de un ángulo$t$ es igual al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud$t$. En la Figura$\PageIndex{1}$, el coseno es igual a x.

Ilustración de un ángulo t, con longitud de lado terminal igual a 1, y un arco creado por ángulo con longitud t. El lado terminal del ángulo intersecta el círculo en el punto (x, y), que es equivalente a (cos t, sin t). — Figura$\PageIndex{3}$

Porque se entiende que seno y coseno son funciones, no siempre necesitamos escribirlas con paréntesis:$\sin t$ es lo mismo que$\sin (t)$ y$\cos t$ es lo mismo que$\cos (t)$. Asimismo,$\cos ^2 t$ es una notación taquigráfica de uso común para$( \cos (t))^2$. Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación taquigráfica. En caso de duda, use los paréntesis adicionales al ingresar cálculos en una calculadora o computadora.

FUNCIONES SINOIS Y COSINO

Si$t$ es un número real y un punto$(x,y)$ en el círculo unitario corresponde a un ángulo de$t$, entonces

\[ \begin{align} \cos t & = x \\ \sin t & = y \end{align}\]

CÓMO: Dado un punto$P(x,y)$ on the unit circle corresponding to an angle of $ t$, find the sine and cosine

El seno de$t$ es igual a la coordenada y del punto$P: \sin t=y$.
El coseno de$t$ es igual a la coordenada x del punto$P: \cos t=x$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding Function Values for Sine and Cosine

Punto$P$ es un punto en el círculo unitario correspondiente a un ángulo de$t$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$. Encontrar$\cos (t)$ y$\sin (t)$.

Gráfica de un círculo con ángulo t, radio de 1, y un lado terminal que cruza el círculo en el punto (1/2, raíz cuadrada de 3 sobre 2). — Figura$\PageIndex{4}$

Solución

Sabemos que$\cos t $ es la coordenada x del punto correspondiente en el círculo unitario y$\sin t$ es la coordenada y del punto correspondiente en el círculo unitario. Entonces:

\[\begin{align} x & = \cos t= \frac{1}{2} \\ y & = \sin t= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}\]

Ejercicio$\PageIndex{1}$:

Un cierto ángulo$t$ corresponde a un punto en el círculo unitario$(−\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$. Encontrar$\cos t$ y$\sin t$.

Gráfica de un círculo con ángulo t, radio de 1, y un lado terminal que cruza el círculo en el punto (raíz cuadrada negativa de 2 sobre 2, raíz cuadrada de 2 sobre 2). — Figura$\PageIndex{5$

Solución

\[\cos (t)=−\frac{ \sqrt{2} }{2}, \sin (t)=\frac {\sqrt{2}}{2} \]

Encontrar senos y cosenos de ángulos en un eje

Para los ángulos cuadrantrales, el punto correspondiente en el círculo unitario cae sobre el eje x o y. En ese caso, podemos calcular fácilmente coseno y seno a partir de los valores de$x$ y$y$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Calculating Sines and Cosines along an Axis

Encuentra$\cos (90°)$ y$\sin (90°).$

Solución

Moverse en$90°$ sentido antihorario alrededor del círculo unitario desde el eje x positivo nos lleva a la parte superior del círculo, donde están las$(x,y)$ coordenadas (0, 1), como se muestra en la Figura$\PageIndex{6}$.

Gráfica de un círculo con ángulo t, radio de 1, y un lado terminal que cruza el círculo en el punto (0,1). — Figura$\PageIndex{6}$

Usando nuestras definiciones de coseno y seno,

\[\begin{align} x & \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y & \sin t = \sin (90°) = 1 \end{align}\]

El coseno de 90° es 0; el seno de 90° es 1.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra coseno y seno del ángulo$π$.

Solución

$\cos (π)=−1, \sin (π)=0$

La identidad pitagórica

Ahora que podemos definir seno y coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación para el círculo unitario es$x^2+y^2=1$. Porque$x= \cos t$ y$y=\sin t$, podemos sustituir$ x$ y$y$ para obtener$\cos ^2 t+ \sin ^2 t=1.$ Esta ecuación,$ \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1,$ se conoce como la Identidad Pitagórica. Ver Figura$\PageIndex{7}$.

Gráfica de un ángulo t, con un punto (x, y) en el círculo unitario. Y ecuación que muestra la equivalencia de 1, x^2 + y^2, y cos^2 t + sin^2 t. — Figura$\PageIndex{7}$

Podemos usar la Identidad Pitagórica para encontrar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, o viceversa. Sin embargo, debido a que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos un conocimiento adicional del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde está el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta.

IDENTIDAD PITAGOREA

La Identidad Pitagórica afirma que, para cualquier número real$t$,

\[ \cos^2 t+ \sin^2 t=1\]

cómo: Dado el seno de algún ángulo t y su ubicación cuadrante, encontrar el coseno de t

Sustituir el valor conocido de$\sin (t)$ en la Identidad Pitagórica.
Resolver para$ \cos (t)$.
Elija la solución con el signo apropiado para los valores x en el cuadrante donde se encuentra t t.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

Si$\sin (t)=\frac{3}{7}$ y$t$ está en el segundo cuadrante, encuentra$ \cos (t)$.

Solución

Si dejamos caer una línea vertical desde el punto sobre el círculo unitario correspondiente a$t$, creamos un triángulo rectángulo, a partir del cual podemos ver que la Identidad Pitagórica es simplemente un caso del Teorema de Pitágoras. Ver Figura$\PageIndex{8}$.

Gráfica de un círculo unitario con un ángulo que cruza el círculo en un punto con la coordenada y igual a 3/7. — Figura$\PageIndex{8}$

Sustituyendo el valor conocido por seno en la Identidad Pitagórica,

\[\begin{align*} \cos ^2 (t)+ \sin ^2(t) &=1 \\ \cos ^2(t)+\dfrac{9}{49} &=1 \\ \cos ^2(t) & = \dfrac{40}{49} \\ \cos (t)=± \sqrt{\dfrac{40}{49}}=±\dfrac{\sqrt{40}}{7}=±\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \end{align*}\]

Debido a que el ángulo está en el segundo cuadrante, sabemos que el valor x es un número real negativo, por lo que el coseno también es negativo. Entonces

\[ \cos (t)=−\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Si$\cos (t)=\frac{24}{25}$ y tt está en el cuarto cuadrante, encuentra$ \sin (t)$.

Solución

$\sin (t)=−\frac{7}{25}$

Encontrar senos y cosenos de ángulos especiales

Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular senos y cosenos de los ángulos especiales utilizando la Identidad Pitagórica y nuestro conocimiento de los triángulos.

Hallazgo de senos y cosenos de ángulos de 45°

Primero, veremos ángulos de$45°$ o$\frac{π}{4}$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{9}$. Un$45°–45°–90°$ triángulo es un triángulo isósceles, por lo que las coordenadas x e y del punto correspondiente en el círculo son las mismas. Debido a que los valores x e y son iguales, los valores de seno y coseno también serán iguales.

Gráfica de ángulo de 45 grados inscrita dentro de un círculo con radio de 1. Se muestra la equivalencia entre los puntos (x, y) y (x, x). — Figura$\PageIndex{9}$

A$t=\frac{π}{4}$, que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular. Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea$y=x$. Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Entonces, el triángulo rectángulo formado debajo de la línea$y=x$ tiene lados$x$ y$y (y=x),$ y un radio = 1. Ver Figura$\PageIndex{10}$.

Gráfica de círculo con ángulo pi/4 inscrito y un radio de 1. — Figura$\PageIndex{10}$

Del Teorema de Pitágoras obtenemos

\[x^2+y^2=1\]

Sustituyendo$y=x$, obtenemos

\[x^2+x^2=1\]

Combinando términos similares que obtenemos

\[2x^2=1\]

Y resolviendo para$x$, obtenemos

\[\begin{align} x^2 &=\dfrac{1}{2} \\ x &=±\dfrac{1}{sqrt{2}} \end{align}\]

En el cuadrante I,$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

A$t=\frac{π}{4}$ o 45 grados,

\[\begin{align} (x,y) & =(x,x)=(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{2}},y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align}\]

Si luego racionalizamos a los denominadores, obtenemos

\[ \begin{align} \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]

Por lo tanto, las$(x,y)$ coordenadas de un punto en un círculo de radio$1$ en un ángulo de$45°$ son$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Hallazgo de senos y cosenos de ángulos de 30° y 60°

A continuación, encontraremos el coseno y el seno en un ángulo de$30°$, o$\frac{π}{6}$. Primero, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en ángulo de$30°$, y otro en un ángulo de$−30°$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{11}$. Si los dos triángulos rectos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo más grande serán$60°$, como se muestra en la Figura$\PageIndex{12}$.

Gráfica de un círculo con ángulo de 30 grados y ángulo negativo de 30 grados inscritos para formar un triángulo. — Figura$\PageIndex{11}$

Imagen de dos triángulos 30/60/90 espalda con espalda. Etiqueta para hipotenusa r y lado y. — Figura$\PageIndex{12}$

Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud$2y$, y como los lados son todos iguales, también podemos concluir que$r=2y$ o$y=\frac{1}{2}r$. Dado que$ \sin t=y$,

\[ \sin (\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2} \]

Y como$r=1$ en nuestro círculo de unidades,

\[\begin{align} \sin (\dfrac{π}{6}) & = \dfrac{1}{2}(1) \\ &= \dfrac{1}{2} \end{align}\]

Usando la Identidad Pitagórica, podemos encontrar el valor del coseno.

\begin{array}{l} 2 \frac{π}{6} + {pecado}^{2} (\frac{π}{6}) = 1 \\ 2 (\frac{π}{6}) + {(\frac{1}{2})}^{2} = 1 \\ 2 (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4} & Usar la propiedad raíz cuadrada . \\ (\frac{π}{6}) = \frac{\pm \sqrt{3}}{\pm \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} & Desde y es positivo, elige la raíz positiva . \end{array}

Las$(x,y)$ coordenadas para el punto en un círculo de radio$1$ en un ángulo de$30°$ son$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$. A$t=\frac{π}{3}$ (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados,$BAD,$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{13}$. Ángulo$A$ tiene medida 60°. 60°. En el punto$B,$ dibujamos un ángulo$ABC$ con medida de$ 60°$. Sabemos que los ángulos en un triángulo suman a$180°$, por lo que la medida del ángulo$C$ es también$60°$. Ahora tenemos un triángulo equilátero. Debido a que cada lado del triángulo equilátero$ABC$ tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deben ser de longitud 1.

Gráfica de círculo con un triángulo isósceles inscrito que se ha dividido por la mitad. El triángulo resultante tiene un radio de 1 y una altura de y, cada una de las dos bases para los triángulos tiene una longitud de x. — Figura$\PageIndex{13}$

La medida del ángulo$ABD$ es de 30°. Entonces, si es doble, el ángulo$ABC$ es de 60°. $BD$es la bisectriz perpendicular de$AC$, por lo que corta por$AC$ la mitad. Esto significa que$AD$ es$12$ el radio, o$12.$ Aviso que$AD$ es la coordenada x del punto$B$, que está en la intersección del ángulo de 60° y el círculo unitario. Esto nos da un triángulo$BAD$ con hipotenusa de 1 y lado$x$ de longitud$\frac{1}{2}$.

Del teorema de Pitágoras, obtenemos

\[x^2+y^2=1\]

Sustituyendo$x=\frac{1}{2}$, obtenemos

\[(\dfrac{1}{2})^2+y^2=1\]

Resolviendo para$y$, obtenemos

\[\begin{align} \dfrac{1}{4}+y^2 &=1 \\ y^2 &=1−\dfrac{1}{4} \\ y^2 &= \dfrac{3}{4} \\ y &=± \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}\]

Ya que$t=\frac{π}{3}$ tiene el lado terminal en el cuadrante I donde la coordenada y es positiva, elegimos$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$, el valor positivo.

A$t=\frac{π}{3}$ (60°), las$(x,y)$ coordenadas para el punto en un círculo de radio$1$ en un ángulo de$60°$ son$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, así podemos encontrar el seno y el coseno.

\begin{array}{l} (x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ x = \frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ t = \frac{1}{2}, pecado t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

Ahora hemos encontrado los valores de coseno y seno para todos los ángulos más comúnmente encontrados en el primer cuadrante del círculo unitario. Cuadro$\PageIndex{1}$ resume estos valores.

Mesa$\PageIndex{1}$
Ángulo	0	$\frac{π}{6}$, o 30	$\frac{π}{4}$, o 45°	$\frac{π}{3}$, o 60°	$\frac{π}{2}$, o 90°
Coseno	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
Sine	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1

La figura$\PageIndex{14}$ muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.

Gráfica de un cuarto de círculo con ángulos de 0, 30, 45, 60 y 90 grados inscritos. Se muestra la equivalencia de ángulos en radianes. Los puntos a lo largo del círculo están marcados. — Figura$\PageIndex{14}$

Uso de una calculadora para encontrar seno y coseno

Para encontrar el coseno y el seno de ángulos distintos de los ángulos especiales, recurrimos a una computadora o calculadora. Tenga en cuenta: La mayoría de las calculadoras se pueden establecer en modo “grado” o “radián”, que le dice a la calculadora las unidades para el valor de entrada. Cuando evaluamos$ \cos (30)$ en nuestra calculadora, la evaluará como el coseno de 30 grados si la calculadora está en modo grados, o el coseno de 30 radianes si la calculadora está en modo radianes.

Cómo: Dado un ángulo en radianes, use una calculadora gráfica para encontrar el coseno

Si la calculadora tiene modo grado y modo radianes, configúrela en modo radianes.
Presione la tecla COS.
Ingresa el valor radián del ángulo y presiona la tecla entre paréntesis “)”.
Presione ENTER.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

Evaluar$ \cos (\frac{5π}{3})$ usando una calculadora gráfica o computadora.

Solución

Introduzca las siguientes pulsaciones:

$\mathrm{COS( 5 × π ÷ 3 ) ENTER}$

\[ \cos (\dfrac{5π}{3})=0.5 \nonumber\]

Análisis

Podemos encontrar el coseno o seno de un ángulo en grados directamente en una calculadora con modo grados. Para calculadoras o software que usan solo modo radianes, podemos encontrar el signo de$20°$, por ejemplo, al incluir el factor de conversión a radianes como parte de la entrada:

\[\mathrm{SIN( 20 × π ÷ 180 ) ENTER} \nonumber\]

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Evaluar$\sin (\frac{π}{3})$.

Solución

aproximadamente 0.866025403

Identificación del dominio y rango de funciones sinusoidales y cosenales

Ahora que podemos encontrar el seno y el coseno de un ángulo, necesitamos discutir sus dominios y rangos. ¿Cuáles son los dominios de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números más pequeños y mayores que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los ángulos mayores que 2π 2π todavía se pueden graficar en el círculo unitario y tener valores reales de$x, y$$r$, y, no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden ser entradas a las funciones seno y coseno. La entrada a las funciones seno y coseno es la rotación desde el eje x positivo, y ese puede ser cualquier número real.

¿Cuáles son los rangos de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los menores y mayores valores posibles para su producción? Podemos ver las respuestas examinando el círculo unitario, como se muestra en la Figura$\PageIndex{15}$. Los límites de la coordenada x son$ [−1,1]$. Los límites de la coordenada y también lo son$[−1,1]$. Por lo tanto, el rango de las funciones tanto seno como coseno es$[−1,1]$.

Gráfica de círculo unitario. — Figura$\PageIndex{15}$

Encontrar ángulos de referencia

Hemos discutido encontrar el seno y el coseno para los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿y si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor sinusoidal. Debido a que el valor de seno es la coordenada y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y, pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo.

De igual manera, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor sinusoidal será el opuesto al valor sinusoidal del ángulo original.

Como se muestra en la Figura$\PageIndex{16}$, el ángulo$α$ tiene el mismo valor sinusoidal que el ángulo$t$; los valores coseno son opuestos. El ángulo$β$ tiene el mismo valor coseno que el ángulo$t$; los valores sinusoidales son opuestos.

\begin{array}{l} pecado (t) = pecado (α) & y & (t) = - (α) \\ pecado (t) = - pecado (β) & y & (t) = (β) \end{array}

Gráfica de dos círculos lado a lado. La primera gráfica tiene círculo con ángulo t y ángulo alfa con radio r. el ángulo t tiene su lado terminal en el cuadrante I mientras que el ángulo alfa tiene su lado terminal en el cuadrante II. La segunda gráfica tiene círculo con ángulo t y ángulo beta inscrito con radio r. El ángulo t tiene su lado terminal en el Cuadrante I mientras que el ángulo beta tiene su lado terminal en el Cuadrante IV. — Figura$\PageIndex{16}$

Recordemos que el ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo agudo$t$,, formado por el lado terminal del ángulo$t$ y el eje horizontal. Un ángulo de referencia es siempre un ángulo entre$0$ y$90°$, o$0$ y$\frac{π}{2}$ radianes. Como podemos ver en la Figura$\PageIndex{17}$, para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I.

Cuatro gráficas lado a lado. La primera gráfica muestra un ángulo de t en el cuadrante 1 en su posición normal. La segunda gráfica muestra un ángulo de t en el cuadrante 2 debido a una rotación de pi menos t. La tercera gráfica muestra un ángulo de t en el cuadrante 3 debido a una rotación de t menos pi. La cuarta gráfica muestra un ángulo de t en el cuadrante 4 debido a una rotación de dos pi menos t. — Figura$\PageIndex{17}$

cómo: Dado un ángulo entre$0$ and $2π$, find its reference angle

Un ángulo en el primer cuadrante es su propio ángulo de referencia.
Para un ángulo en el segundo o tercer cuadrante, el ángulo de referencia es$|π−t|$ o$|180°−t|$.
Para un ángulo en el cuarto cuadrante, el ángulo de referencia es$2π−t$ o$360°−t.$
Si un ángulo es menor$0$ o mayor que$2π,$ sumar o restar$2π$ tantas veces como sea necesario para encontrar un ángulo equivalente entre$0$ y$2π$.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Finding a Reference Angle

Encuentre el ángulo de referencia de$225°$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{18}$.

Gráfica de círculo con ángulo de 225 grados inscrito. — Figura$\PageIndex{18}$

Solución

Porque$ 225°$ está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es

\[|(180°−225°)|=|−45°|=45°\]

Ejercicio$\PageIndex{5}$:

Encuentra el ángulo de referencia de$\frac{5π}{3}$.

Solución

$\frac{π}{3}$

Uso de ángulos de referencia

Ahora tomemos un momento para reconsiderar la noria introducida al inicio de esta sección. Supongamos que un jinete toma una fotografía mientras se detiene veinte pies sobre el nivel del suelo. El jinete gira entonces tres cuartas partes del camino alrededor del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del piloto? Para responder preguntas como esta, necesitamos evaluar las funciones sinusoidales o cosenales en ángulos que sean mayores a 90 grados o en un ángulo negativo. Los ángulos de referencia permiten evaluar funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se pueden utilizar para encontrar$(x,y)$ coordenadas para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.

Uso de ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas

Podemos encontrar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo dependiendo del signo de los valores x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo dependiendo del signo de los valores y en ese cuadrante.

Usar ángulos de referencia para encontrar coseno y seno

Los ángulos tienen cosenos y senos con el mismo valor absoluto que los cosenos y los senos de sus ángulos de referencia. El signo (positivo o negativo) se puede determinar a partir del cuadrante del ángulo.

cómo: Dado un ángulo en posición estándar, encontrar el ángulo de referencia, y el coseno y el seno del ángulo original

Mida el ángulo entre el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Ese es el ángulo de referencia.
Determinar los valores del coseno y seno del ángulo de referencia.
Dale al coseno el mismo signo que los valores x en el cuadrante del ángulo original.
Dale al seno el mismo signo que los valores y en el cuadrante del ángulo original.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Using Reference Angles to Find Sine and Cosine

Usando un ángulo de referencia, encuentre el valor exacto de$\cos (150°)$ y$ \sin (150°)$.
Usando el ángulo de referencia, encontrar$ \cos \frac{5π}{4}$ y$\sin \frac{5π}{4}$.

Solución

Esto nos dice que 150° tiene los mismos valores de seno y coseno que 30°, a excepción del signo. Sabemos que

Dado que 150° está en el segundo cuadrante, la coordenada x del punto en el círculo es negativa, por lo que el valor del coseno es negativo. La coordenada y es positiva, por lo que el valor sinusoidal es positivo. $(150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2} y pecado (150°) = \frac{1}{2}$
$\frac{5π}{4}$está en el tercer cuadrante. Su ángulo de referencia es$\frac{5π}{4}−π=\frac{π}{4}$. El coseno y el seno de$\frac{π}{4}$ son ambos$\frac{sqrt{2}}{2}$. En el tercer cuadrante, tanto x x como y y son negativos, por lo que:
\[\cos \dfrac{5π}{4}=−\dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\; \text{and} \; \; \sin \dfrac{5π}{4}=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Utilice el ángulo de referencia de$315°$ para encontrar$ \cos (315°) $ y$\sin (315°)$.
Utilice el ángulo de referencia de$−\frac{π}{6}$ para encontrar$ \cos (−\frac{π}{6})$ y$ \sin (−\frac{π}{6})$.

Solución

$ \cos (315°)= \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (315°)=\frac{–\sqrt{2}}{2}$

$\cos (−\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin (−\frac{π}{6})=−\frac{1}{2} $

Uso de ángulos de referencia para buscar coordenadas

Ahora que hemos aprendido a encontrar los valores de coseno y seno para ángulos especiales en el primer cuadrante, podemos usar simetría y ángulos de referencia para rellenar los valores de coseno y seno para el resto de los ángulos especiales en el círculo unitario. Se muestran en la Figura$\PageIndex{19}$. Tómese el tiempo para aprender las$(x,y)$ coordenadas de todos los ángulos principales en el primer cuadrante.

Gráfica de círculo unitario con ángulos en grados, ángulos en radianes y puntos a lo largo del círculo inscrito. — Figura$\PageIndex{19}$: Ángulos especiales y coordenadas de puntos correspondientes en el círculo unitario

Además de aprender los valores para ángulos especiales, podemos usar ángulos de referencia para encontrar$(x,y)$ coordenadas de cualquier punto en el círculo unitario, usando lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades

\[\begin{align*} x &= \cos t \\ y & = \sin t \end{align*}\]

Primero encontramos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. Luego tomamos los valores de seno y coseno del ángulo de referencia, y les damos los signos correspondientes a los valores y - y x -del cuadrante.

cómo: Dado el ángulo de un punto en un círculo y el radio del círculo, encuentre el$(x,y)$ coordinates of the point

Encuentre el ángulo de referencia midiendo el ángulo más pequeño con respecto al eje x.
Encuentra el coseno y el seno del ángulo de referencia.
Determinar los signos apropiados para$x$ y$y$ en el cuadrante dado.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Using the Unit Circle to Find Coordinates

Encuentra las coordenadas del punto en el círculo unitario en un ángulo de$\frac{7π}{6}$.

Solución

Sabemos que el ángulo$\frac{7π}{6}$ está en el tercer cuadrante.

Primero, encontremos el ángulo de referencia midiendo el ángulo con el eje x. Para encontrar el ángulo de referencia de un ángulo cuyo lado terminal está en el cuadrante III, encontramos la diferencia del ángulo y π. π.

\[\dfrac{7π}{6}−π=\dfrac{π}{6}\]

A continuación, encontraremos el coseno y el seno del ángulo de referencia:

\[\cos (\dfrac{π}{6})=\dfrac{3}{2} \;\; \sin (\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2}\]

Debemos determinar los signos apropiados para x e y en el cuadrante dado. Debido a que nuestro ángulo original está en el tercer cuadrante, donde tanto x x como y son negativos, tanto el coseno como el seno son negativos.

\[\begin{align} \cos (\dfrac{7π}{6}) &=−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin (\dfrac{7π}{6}) & =−\dfrac{1}{2} \end{align}\]

Ahora podemos calcular las$(x,y)$ coordenadas usando las identidades$x= \cos θ$ y$y= \sin θ$.

Las coordenadas del punto están$(−\frac{\sqrt{3}}{2},−\frac{1}{2})$ en el círculo unitario.

Ejercicio$\PageIndex{7}$:

Encuentra las coordenadas del punto en el círculo unitario en un ángulo de$\frac{5π}{3}$.

Solución

$(\frac{1}{2},−\frac{\sqrt{3}}{2})$

medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con funciones sinusoidales y cosenales.

Ecuaciones Clave

Coseno	$ \cos t=x$
Sine	$ \sin t=y$
Identidad pitagórica	$ \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1$

Conceptos clave

Encontrar los valores de función para el seno y el coseno comienza con dibujar un círculo unitario, que está centrado en el origen y tiene un radio de 1 unidad.
Usando el círculo unitario, el seno de un ángulo$t$ es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud$t$ mientras que el coseno de un ángulo$t$ es igual al valor x del punto final. Ver Ejemplo.
Los valores de seno y coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente en el círculo unitario cae sobre un eje. Ver Ejemplo.
Cuando se conoce el seno o coseno, podemos usar la Identidad Pitagórica para encontrar al otro. La identidad pitagórica también es útil para determinar los senos y cosenos de ángulos especiales. Ver Ejemplo.
Las calculadoras y el software gráfico son útiles para encontrar senos y cosenos si se conoce el procedimiento adecuado para ingresar información. Ver Ejemplo.
El dominio de las funciones seno y coseno son todos números reales.
El rango de las funciones senoidal y coseno es$[−1,1]$.
El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia.
Los signos del seno y coseno se determinan a partir de los valores x - e y -en el cuadrante del ángulo original.
El ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo de tamaño$t$, formado por el lado terminal del ángulo$t$ y el eje horizontal. Ver Ejemplo.
Los ángulos de referencia se pueden utilizar para encontrar el seno y el coseno del ángulo original. Ver Ejemplo.
Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo. Ver Ejemplo.

Glosario

función coseno: el valor x del punto en un círculo unitario correspondiente a un ángulo dado

Identidad pitagórica: un corolario del Teorema de Pitágoras afirmando que el cuadrado del coseno de un ángulo dado más el cuadrado del seno de ese ángulo es igual a 1

función sinusoidal: el valor y del punto en un círculo unitario correspondiente a un ángulo dado

círculo de unidad: un círculo con un centro en$(0,0)$ y radio 1.

Ángulo	0	\(\frac{π}{6}\), o 30	\(\frac{π}{4}\), o 45°	\(\frac{π}{3}\), o 60°	\(\frac{π}{2}\), o 90°
Coseno	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
Sine	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1

Coseno	\( \cos t=x\)
Sine	\( \sin t=y\)
Identidad pitagórica	\( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1\)