5.2: Transformación de Gráficas

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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Para una función dada, ahora estudiamos cómo cambia la gráfica de la función al realizar operaciones elementales, como sumar, restar o multiplicar un número constante a la entrada o salida. Estudiaremos el comportamiento en cinco ejemplos específicos.

Considera las siguientes gráficas:

$clipboard_eacf01f3495a998123b32303706956032.png$

Vemos que la función$y=x^2$ is shifted up by $2$ units, respectively down by $2$ units. In general, we have:

Observation: Shift-Up-Down

Consider the graph of a function $y=f(x)$. Then, the graph of $y=f(x)+c$ is that of $y=f(x)$ shifted up or down by $c$. If $c$ is positive, the graph is shifted up, if $c$ is negative, the graph is shifted down.

Next, we consider the transformation of $y=x^2$ given by adding or subtracting a constant to the input $x$.

$clipboard_e83d4f375b3adfb63d425181e07e22049.png$

Ahora, vemos que la función se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha. Tenga en cuenta, que$y=(x+1)^2$ desplaza la función hacia la izquierda, lo que se puede ver como correcta, ya que la entrada$x=-1$ da la salida$y=((-1)+1)^2=0^2=0$.

Observación: Mayús-Izquierda-Derecha

Considera la gráfica de una función$y=f(x)$. Entonces, la gráfica de$y=f(x+c)$ es la de$y=f(x)$ desplazada a la izquierda o a la derecha por$c$. Si$c$ es positivo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda, si$c$ es negativa, la gráfica se desplaza hacia la derecha.

Otra transformación se da multiplicando la función por un factor positivo fijo.

$clipboard_e5aee86938c686780f5d680badb76dded.png$

Esta vez, la función es estirada o comprimida hacia el$x$ eje.

Observación: Estiramiento

Considera la gráfica de una función$y=f(x)$ y deja$c>0$. Entonces, la gráfica de$y=c\cdot f(x)$ es la de$y=f(x)$ estirada o comprimida hacia el$x$ eje -por un factor$c$. Si$c>1$, la gráfica se estira alejándose del$x$ eje -, si$0<c<1$, la gráfica se comprime hacia el$x$ eje -eje.

De igual manera, podemos multiplicar la entrada por un factor positivo.

$clipboard_e1f150aca6544bfc81ba51b6da979f17f.png$

Esta vez, la función es estirada o comprimida hacia el$y$ eje.

Observación: Estiramiento

Considera la gráfica de una función$y=f(x)$ y deja$c>0$. Entonces, la gráfica de$y=f(c\cdot x)$ es la de$y=f(x)$ estirada o comprimida hacia el$y$ eje -por un factor$c$. Si$c>1$, la gráfica se comprime hacia el$y$ eje -eje, si$0<c<1$, la gráfica se estira alejándose del$y$ eje -eje.

La última transformación se da multiplicando$(-1)$ a la entrada o salida, como se muestra en el siguiente gráfico.

$clipboard_ed8d387a439315d49d4d2c54399f26df5.png$

Aquí, la función se refleja ya sea alrededor del$x$ eje -eje o el$y$ eje -eje.

Observación: Reflejar

Considera la gráfica de una función$y=f(x)$. Entonces, la gráfica de$y=-f(x)$ es la de$y=f(x)$ reflejada alrededor del$x$ eje -eje. Además, la gráfica de$y=f(-x)$ es la de$y=f(x)$ reflejada alrededor del$y$ eje.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Adivina la fórmula para la función, con base en las gráficas básicas de la Sección 5.1 y las transformaciones descritas anteriormente.

$clipboard_e33ea7738f147ef2725d16e5d7b2055b1.png$
$clipboard_eb902a566987864008a7aac201e7490be.png$
$clipboard_e6b8a32eaf1022662d6f1fe968fe73b15.png$
$clipboard_e9bd4dcc934a6595ce89ecc341eecc85e.png$

Solución

Esta es la función de raíz cuadrada desplazada hacia la izquierda por$2$. Así, por Observación, esta es la función$f(x)=\sqrt{x+2}$.
Esta es la gráfica de$y=\dfrac 1 x$ reflejado alrededor del$x$ eje -( o también$y=\dfrac 1 x$ reflejado alrededor del$y$ -eje). En cualquier caso, obtenemos la regla$y=-\dfrac 1 x$.
Esta es una parábola reflejada alrededor del$x$ eje y luego desplazada hacia arriba por$3$. Así, obtenemos:\ [\ begin {aligned}
&y=x^ {2}\\
\ text {reflexionando sobre el eje x da} &y=-x^ {2}\\
\ text {desplazando la gráfica hacia arriba por 3 da} &y=-x^ {2} +3
\ end {alineado}\ nonumber\]
Partiendo de la gráfica de la ecuación cúbica$y=x^3$, necesitamos reflexionar sobre el$x$ -eje (o también$y$ -eje), luego desplazarnos hacia arriba por$2$ y hacia la derecha por$3$. Estas transformaciones afectan a la fórmula de la siguiente manera:\ [\ begin {aligned}
& y=x^ {3}\
\\ text {reflejando sobre el eje x da} & y=-x^ {3}\\
\ text {desplazando hacia arriba por 2 da} & y=-x^ {3} +2\
\\ text {desplazando la derecha por 3 da} & y=- (x-3) ^ {3} +2
\ end {alineado}\ nonumber\]

Todas estas respuestas se pueden verificar graficando la función con el TI-84.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Esbozar la gráfica de la función, con base en las gráficas básicas de la Sección 5.1 y las transformaciones descritas anteriormente.

$y=x^2+3$
$y=(x+2)^2$
$y=|x-3|-2$
$y=2\cdot \sqrt{x+1}$
$y=-\left(\dfrac 1 {x}+2\right)$
$y=(-x+1)^3$

Solución

Esta es la parábola$y=x^2$ desplazada hacia arriba por$3$. A continuación se muestra la gráfica.

$clipboard_ebd9e3d479e36e62ef33c44f173bc0f7e.png$

$y=(x+2)^2$es la parábola$y=x^2$ desplazada$2$ unidades a la izquierda.
$clipboard_e84abcdd0f0f0b966023ac8e58ed9ac90.png$
La gráfica de la función$f(x)=|x-3|-2$ es el valor absoluto desplazado hacia la derecha por$3$ y hacia abajo por$2$. (Alternativamente, primero podemos cambiar hacia abajo$2$ y luego hacia la derecha por$3$.)

$clipboard_e4a44de08a35dd6eab8e06c99bbd34b72.png$

De igual manera, para llegar de la gráfica de$y=\sqrt{x}$ a la gráfica de$y=\sqrt{x+1}$, desplazamos la gráfica hacia la izquierda, y luego para$y=2\cdot \sqrt{x+1}$, necesitamos estirar la gráfica por un factor$2$ lejos del$x$ eje -eje. (Alternativamente, primero podríamos estirar la gráfica alejándola del$x$ eje -y luego desplazarla$1$ hacia la izquierda).
$clipboard_ebf4193c52ac19fe58b16470a0e2d3e06.png$
Para$y=-\left(\dfrac 1 x +2\right)$, empezamos con$y=\dfrac 1 x$ y sumamos$2$, dando$y=\dfrac 1 x +2$, que desplaza la gráfica hacia arriba por$2$. Después, tomando el negativo da$y=-\left(\dfrac 1 x +2\right)$, lo que corresponde a reflejar la gráfica alrededor del$x$ eje -eje. Obsérvese, que en este caso, no podemos realizar estas transformaciones en el orden opuesto, ya que el negativo de$y=\dfrac 1 x$ da$y=-\dfrac 1 x$, y sumar$2$ da$y=-\dfrac 1 x+2$ que no es igual a$-(\dfrac 1 x+2)$.

$clipboard_e93e36a24fe48134375899d959d0df5b0.png$

Empezamos con$y=x^3$. Añadiendo$1$ en el argumento$y=(x+1)^3$,, desplaza su gráfica hacia la izquierda por$1$. Entonces, tomando lo negativo en el argumento da$y=(-x+1)^3$, lo que refleja la gráfica alrededor del$y$ eje -eje. Aquí, el orden en que realizamos estas transformaciones vuelve a ser importante. De hecho, si primero tomamos lo negativo en el argumento, obtenemos$y=(-x)^3$. Entonces, agregar uno en el argumento daría$y=(-(x+1))^3=(-x-1)^3$ que es diferente a nuestra función dada$y=(-x+1)^3$.

$clipboard_e331efdd9b34835cb9dd09585f3002ec4.png$

Todas estas soluciones también se pueden verificar fácilmente usando la función gráfica de la calculadora.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

La gráfica de$f(x)=|x^3-5|$ se estira alejándose del$y$ eje -por un factor de$3$. ¿Cuál es la fórmula para la nueva función?
La gráfica de$f(x)=\sqrt{6x^2+3}$ se desplaza hacia arriba$5$ unidades, y luego se refleja alrededor del$x$ eje. ¿Cuál es la fórmula para la nueva función?
¿Cómo son las gráficas de$y=2x^3+5x-9$ y$y=2(x-2)^3+5(x-2)-9$ relacionadas?
¿Cómo son las gráficas de$y=(x-2)^2$ y$y=(-x+3)^2$ relacionadas?

Solución

Por Observación en la página, tenemos que multiplicar el argumento por$\frac 1 3$. Por lo tanto, la nueva función es:
\[f\Big(\dfrac 1 3 \cdot x\Big)=\left|\Big(\dfrac 1 3\cdot x \Big)^3-5\right|=\left|\dfrac 1 {27} \cdot x^3-5\right| \nonumber\]
Después del turno, tenemos la gráfica de una nueva$y=\sqrt{6x^2+3}+5$ función.Luego, una reflexión sobre el$x$ eje -da la gráfica de la función$y=-(\sqrt{6x^2+3}+5)$.
Por Observación en la página, vemos que necesitamos desplazar la gráfica de$y=2x^3+5x-9$ por$2$ unidades hacia la derecha.
Las fórmulas se pueden transformar entre sí de la siguiente manera:\ [\ begin {align*}
\ text {Empezamos con} & y =( x-2) ^ {2}\\
\ text {Reemplazar x por x+5 da} & y =( (x+5) -2) ^ {2} =( x+3) ^ {2}\
\ texto {Reemplazar x por -x da} & y =( (-x) +3) ^ {2} =( -x+3) ^ {2}
\ end {align*}\ nonumber\] Por lo tanto, hemos realizado un desplazamiento hacia la izquierda por$5$, y luego una reflexión sobre el$y$ eje -eje.

Queremos señalar que hay una segunda solución para este problema: Empezamos con &$y=(x-2)^2$.
Sustitución$x$ por$-x$ da$y=((-x)-2)^2=(-x-2)^2$.
Sustitución$x$ por$x-5$ da$y=(-(x-5)-2)^2=(-x+5-2)^2=(-x+3)^2$. Por lo tanto, también podríamos realizar primero una reflexión sobre el$y$ eje, y luego desplazar la gráfica hacia la derecha por$5$.

Algunas de las funciones anteriores tienen simetrías especiales, que investigamos ahora.

Definición: Even-Odd

Se$f$ llama a una función aunque sea$f(-x)=f(x)$ para todos$x$.

Del mismo modo, una función$f$ se llama impar si$f(-x)=-f(x)$ para todos$x$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Determinar, si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna. $f(x)=x^2$,$g(x)=x^3$, &$h(x)=x^4$,$k(x)=x^5$,
$l(x)=4x^5+7x^3-2x$, &$m(x)=x^2+5x$.

Solución

La función$f(x)=x^2$ es par, ya que$f(-x)=(-x)^2=x^2$. Del mismo modo,$g(x)=x^3$ es impar,$h(x)=x^4$ es par, y$k(x)=x^5$ es impar, ya que

\[\begin{aligned} g(-x)&=(-x)^3=-x^3=-g(x) \\ h(-x)&=(-x)^4=x^4=h(x) \\ k(-x)&=(-x)^5=-x^5=-k(x) \end{aligned}\]

En efecto, vemos que una función$y=x^n$ es par, precisamente cuando$n$ es par, y$y=x^n$ es impar, precisamente cuando$n$ es impar. (Estos ejemplos son, de hecho, la motivación detrás de definir funciones pares e impares como en la definición par-impar anterior.)

A continuación, para determinar si la función$l$ es par o impar, calculamos$l(-x)$ y comparamos con ella$l(x)$.

\[\begin{aligned} l(-x)&=4(-x)^5+7(-x)^3-2(-x)\\ &=-4x^5-7x^3+2x \\ &=-(4x^5+7x^3-2x)\\ &=-l(x) \end{aligned}\]

Por lo tanto,$l$ es una función impar.

Finalmente, para$m(x)=x^2+5x$, calculamos de la$m(-x)$ siguiente manera:

\[m(-x)=(-x)^2+5(-x)=x^2-5x \nonumber \]

Tenga en cuenta, esa no$m$ es una función par, ya que$x^2-5x\neq x^2+5x$. Además, tampoco$m$ es una función impar, ya que$x^2-5x\neq -(x^2+5x)$. Por lo tanto,$m$ es una función que no es ni par ni impar.

Observación: Even-Odd

Una función par$f$ es simétrica con respecto al$y-$ eje (si reflejas la gráfica de$f$ alrededor del$y-$ eje obtienes la misma gráfica), ya que incluso las funciones satisfacen$f(-x)=f(x)$:

Ejemplo$y=x^2$:

$clipboard_ea45ba4599677e2a2bd473f698992b6c6.png$

Una función impar$f$ es simétrica con respecto al origen (si refleja la gráfica de$f$ alrededor del$y-$ eje y luego alrededor del eje se obtiene la$x-$ misma gráfica de vuelta), ya que las funciones impares satisfacen$f(-x)=-f(x)$:

Ejemplo$y=x^3$:

$clipboard_e822dc0a1fb7c4bdfb6b8062f41e8da9f.png$

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Observation: Shift-Up-Down

Observación: Mayús-Izquierda-Derecha

Observación: Estiramiento

Observación: Estiramiento

Observación: Reflejar

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Definición: Even-Odd

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Observación: Even-Odd