11.2: Sección opcional- Funciones racionales a mano

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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En esta sección mostraremos cómo esbozar la gráfica de una función racional factorizada sin el uso de una calculadora. Será útil para el lector haber leído la sección 3 sobre graficar un polinomio a mano antes de continuar en esta sección. Además de tener las mismas dificultades que los polinomios, las calculadoras suelen tener dificultades para graficar funciones racionales cerca de una asíntota.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Grafica la función$p(x)=\dfrac{-3x^2(x-2)^3(x+2)}{(x-1)(x+1)^2(x-3)^3}$.

Solución

Podemos ver que$p$ tiene ceros en$x=0,2,$ y$-2$ y asíntotas verticales$x=1$,$x=-1$ y$x=3$. También tenga en cuenta que para grandes$|x|$,$p(x)\approx -3$. Entonces hay una asíntota horizontal$y=-3$. Indicamos cada uno de estos hechos en la gráfica:

$clipboard_e1ab5cc017086ae6ddfbc5b1e97a886ca.png$

De hecho, podemos obtener una declaración más precisa realizando una división larga y escribiendo$p(x)=\dfrac{n(x)}{d(x)}= -3+\dfrac{r(x)}{d(x)}$. Si se caen todos menos los términos de orden principal en el numerador y el denominador del segundo término, vemos que$p(x)\approx -3-\frac{12}{x}$ cuya gráfica para grandes$|x|$ se ve como

$clipboard_ec38d2a7bd99fe6baace384781d7e058b.png$

Este tipo de razonamiento puede hacer que la gráfica sea un poco más precisa pero no es necesaria para un boceto.

También tenemos la siguiente tabla:

\ [\ begin {array} {r|l|l|l}
\ text {for} a &\ text {near} a, p (x)\ approx &\ text {type} &\ text {cambio de signo en} a\
\ hline-2 & C_ {1} (x+2) &\ text {lineal} &\ text {cambia}\\
-1 y C_ {2}/(x+1) ^ {2} &\ text {asíntota} & \ text {no cambia}\\
0 & C_ {3} x^ {2} &\ text {parábola} &\ text {no cambia}\\
1 & C_ {4}/(x-1) &\ text {asíntota} &\ text {cambios}\\
2 & C_ {5} (x-2) ^ {3} &\ texto {cúbico} &\ text {cambios}\\
3 & C_ {6}/(x-3) ^ {3} &\ text {asíntota} &\ texto {cambios}
\ end {array}\ nonumber\]

Tenga en cuenta que si la potencia que aparece en la segunda columna es par entonces la función no cambia de un lado$a$ al otro. Si la potencia es impar, el signo cambia (ya sea de positivo a negativo o de negativo a positivo).

Ahora pasamos de grandes$x$ valores negativos hacia la derecha, tomando en cuenta la tabla anterior. Para negativo grande$x$, comenzamos nuestro boceto de la siguiente manera:

$clipboard_ec81bedade4b6eda8f6ade524b3e1e6af.png$

Y señalando que cerca de$x=-2$ la función$p(x)$ es aproximadamente lineal, tenemos

$clipboard_e989926d8794a318a3cefea902bc0570c.png$

Después señalando que tenemos una asíntota (señalando que no podemos cruzar el$x$ eje -sin crear una$x$ -intercepción) tenemos

$clipboard_e04a2ea647dacaef54850fb4154e2331c.png$

Ahora, desde la mesa vemos que no hay cambio de señal en$-1$ así que tenemos

$clipboard_e9e714f40cc75354c84e362afd3b3a8dd.png$

y de la tabla vemos que cerca de$x=0$ la función$p(x)$ es aproximadamente cuadrática y por lo tanto la gráfica parece una parábola. Esto junto con el hecho de que hay una asíntota en$x=1$ da

$clipboard_efc1a9a9350a0e803a3a050301a3b7811.png$

Ahora, de la tabla vemos que la función cambia de signo en la asíntota, así que mientras la gráfica “abraza” la parte superior de la asíntota en el lado izquierdo, “abraza” la parte inferior del lado derecho dando

$clipboard_e0d63cea5abaf6524dc049fffda77d4b3.png$

Ahora, de la mesa vemos que cerca$x=2$,$p(x)$ es aproximadamente cúbico. Además, hay una asíntota$x=3$ así que obtenemos

$clipboard_e49f2ce397ee19fd103adfd949b53cbc3.png$

Finalmente, vemos en la tabla que$p(x)$ cambia signo en la asíntota$x=3$ y tiene una asíntota horizontal$y=-3$, por lo que completamos el boceto:

$clipboard_ed49fe558b902b221b968d4e526646c6b.png$

Tenga en cuenta que si hubiéramos cometido un error en algún lugar hay una buena posibilidad de que no hubiéramos podido llegar a la asíntota horizontal del lado derecho sin crear una$x$ intercepción adicional.

¿Qué podemos concluir de este boceto? Este boceto exhibe solo la forma general que puede ayudar a decidir sobre una ventana apropiada si queremos investigar detalles usando tecnología. Además, podemos inferir dónde$p(x)$ es positivo y dónde$p(x)$ es negativo. No obstante, es importante notar, que puede haber meneos en la gráfica que no hayamos incluido en nuestro boceto.

Damos ahora un ejemplo más de graficar una función racional donde está la asíntota horizontal$y=0$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Esbozar el gráfico de\[r(x)=\dfrac{2x^2(x-1)^3(x+2)}{(x+1)^4(x-2)^3} \nonumber \]

Solución

Aquí vemos que hay$x$ -intercepciones en$(0,0)$,$(0,1)$, y$(0,-2)$. Hay dos asíntotas verticales:$x=-1$ y$x=2$. Además, hay una asíntota horizontal en$y=0$. (¿Por qué?) Poner esta información en la gráfica da

$clipboard_e4f859389afc0f55141632cd6fb48f000.png$

En este caso, es fácil obtener más información para grandes$|x|$ que será útil para bosquejar la función. En efecto, cuando$|x|$ es grande, podemos aproximarnos$r(x)$ bajando todos menos el término de orden más alto en el numerador y denominador que da$r(x)\approx\dfrac{2x^6}{x^7}=\frac{2}{x}$. Así que para grandes$|x|$, la gráfica de$r$ parece

$clipboard_e6d8053242b9025eb3893ad0d3846e40f.png$

La función da la siguiente tabla:

\ [\ begin {array} {r|l|l|l}
\ text {for} a &\ text {near} a, p (x)\ approx &\ text {type} &\ text {cambio de signo en} a\
\ hline-2 & C_ {1} (x+2) &\ text {lineal} &\ text {cambia}\\
-1 y C_ {2}/(x+1) ^ {4} &\ text {asíntota} & \ text {no cambia}\\
0 & C_ {3} x^ {2} &\ text {parábola} &\ text {no cambia}\\
1 & C_ {4} (x-1) ^ {3} &\ text {cúbico} &\ text {cambios}\\
2 & C_ {5}/(x-2) ^ {3} &\ texto {asíntota} &\ text {changes}
\ end {array}\ nonumber\]

Al mirar la tabla para esta función, vemos que la gráfica debe verse como una línea cerca del cero$(0,-2)$ y como tiene una asíntota$x=-1$, la gráfica se ve algo así como:

$clipboard_e3750fd92635a6d8bdc1c8744b304474c.png$

Entonces, mirando la mesa vemos que$r(x)$ no cambia su signo cerca$x=-1$, para que obtengamos:

$clipboard_e02cc987f68f398981d1e61fea94e2212.png$

Ahora, la función es aproximadamente cuadrática cerca$x=0$ por lo que la gráfica se ve así:

$clipboard_e1df40fffe76ea770a397737b676373c1.png$

Volviendo para dirigirse hacia la raíz en$1$ y señalando que la función es aproximadamente cúbica ahí, y que hay una asíntota$x=2$, tenemos:

$clipboard_e5a4f325fb48371afe146bc8194317af8.png$

Por último, vemos que la función cambia de signo en$x=2$ (ver la tabla). Entonces como la gráfica “abraza” a la asíntota cerca de la parte inferior de la gráfica en el lado izquierdo de la asíntota, “abrazará” a la asíntota cerca de la parte superior del lado derecho. Entonces esto junto con el hecho de que$y=0$ es una asíntota da el boceto (quizás usando un borrador para que coincida con la parte de la gráfica de la derecha que usa la grande$x$):

$clipboard_e93dd677eac58d09310564e3ba5b17f65.png$

Tenga en cuenta que si la gráfica no se pudo emparejar al final sin crear una$x$ intercepción extra, entonces se ha cometido un error.

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