20.1: Ecuaciones trigonométricas básicas
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\[\sin(x)=0.5 \nonumber \]
Sabemos que\(x=\dfrac{\pi}{6}\) resuelve esta ecuación. Sin embargo, también hay otras soluciones como\(x=\dfrac{5\pi}{6}\) o\(x=\dfrac{13\pi}{6}\) que se pueden verificar fácilmente con la calculadora. A continuación, estudiaremos cómo encontrar todas las soluciones de ecuaciones de la forma
\[\sin(x)=c, \quad \cos(x)=c, \quad\text{ and }\quad \tan(x)=c \nonumber \]
Comenzamos con ecuaciones que involucran la tangente.
La ecuación\(\tan(x)=c\)
Resolver para\(x\):\(\tan(x)=\sqrt{3}\)
Solución
Hay una solución obvia dada por\(x=\tan^{-1}(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3}\), as we studied in the last section. However, we can look for all solutions of \(\tan(x)=\sqrt{3}\) by studying the graph of the tangent function, that is, by finding all points where the graph of the \(y=\tan(x)\) intersects with the horizontal line \(y=\sqrt{3}\). Since the function \(y=\tan(x)\) is periodic with period \(\pi\), we see that the other solutions of \(\tan(x)=\sqrt{3}\) besides \(x=\dfrac{\pi}{3}\) are
\[\dfrac{\pi}{3}+\pi, \quad \dfrac{\pi}{3}+2\pi, \quad \dfrac{\pi}{3}+3\pi, \dots, \quad\text{ and }\quad \dfrac{\pi}{3}-\pi, \quad \dfrac{\pi}{3}-2\pi, \quad \dfrac{\pi}{3}-3\pi, \dots \nonumber \]
In general, we write the solution as
\[x=\dfrac{\pi}{3}+n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
The graph also shows that these are indeed all solutions of \(\tan(x)=\sqrt{3}\).
By the same argument we also get the general solution of \(\tan(x)=c\).
To solve \(\tan(x)=c\), we first determine one solution \(x=\tan^{-1}(c)\). Then the general solution is given by
\[\boxed{x=\tan^{-1}(c)+n\cdot \pi} \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Solve for \(x\):
- \(\tan(x)=1\)
- \(\tan(x)=-1\)
- \(\tan(x)=5.1\)
- \(\tan(x)=-3.7\)
Solution
- First, we find \(\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}\). The general solution is thus:
\[x=\dfrac{\pi}{4}+n\cdot \pi \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
- First, we need to find \(\tan^{-1}(-1)\). Recall from equation [EQU:tan-1(-x)] that \(\tan^{-1}(-c)=-\tan^{-1}(c)\), and recall further that \(\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}\). With this we have
\[\tan^{-1}(-1)=-\tan^{-1}(1)=-\dfrac{\pi}{4} \nonumber \]
The general solution of \(\tan(x)=-1\) is therefore,
\[x=-\dfrac{\pi}{4}+n\cdot \pi,\quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \dots \nonumber \]
For parts (c) and (d), we do not have an exact solution, so that the solution can only be approximated with the calculator.
- \(x=\tan ^{-1}(5.1)+n \pi \quad \approx 1.377+n \pi, \quad \text { where } n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)
- \(x=\tan ^{-1}(-3.7)+n \pi \quad \approx-1.307+n \pi, \quad \text { where } n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)
The equation \(\cos(x)=c\)
We start again with an example.
Solve for \(x\): \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\)
Solución
Tenemos la solución obvia a la ecuación\(x=\cos^{-1}\left(\dfrac 1 2\right)=\dfrac{\pi}{3}\). Sin embargo\(\cos(-x)=\cos(x)\), ya que, hay otra solución dada al tomar\(x=-\dfrac{\pi}{3}\):
\[\cos\Big(-\dfrac{\pi}{3}\Big)=\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}\Big)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]
Además, la\(y=\cos(x)\) función es periódica con periodo\(2\pi\), es decir, tenemos\(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\). Así, todos los números siguientes son soluciones de la ecuación\(\cos(x)=\dfrac 1 2\):
\ [\ begin {array} {rrrrrrr}
&\ ldots, &\ dfrac {\ pi} {3} -4\ pi, &\ dfrac {\ pi} {3} -2\ pi, &\ dfrac {\ pi} {3}, &\ dfrac {\ pi} {3} +2\ pi, &\ dfrac {\ pi} {3} +4\ pi, &\ ldots,\\
\ text {y:} &\ ldots, & -\ dfrac {\ pi} {3} -4\ pi, & -\ dfrac {\ pi} {3} -2\ pi, & -\ dfrac {\ pi} {3}, & -\ dfrac {\ pi} {3} +2\ pi, & -\ dfrac {\ pi} {3} +4\ pi, &\ ldots
\ end {array}\ nonumber\]
De la gráfica vemos que sólo hay dos soluciones de\(\cos(x)=\dfrac 1 2\) dentro de un periodo. Así, la lista anterior constituye todas las soluciones de la ecuación. Con esta observación, podemos escribir la solución general como:
\[x=\dfrac{\pi}3+2n\cdot \pi, \text{ or } x=-\dfrac{\pi}{3}+2n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\]
En definitiva, escribimos esto como:\(x=\pm\dfrac{\pi}3+2n\cdot \pi\) con\(n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\).
Generalizamos este ejemplo de la siguiente manera.
Para resolver\(\cos(x)=c\), primero determinamos una solución\(x=\cos^{-1}(c)\). Entonces la solución general viene dada por
\[x=\cos^{-1}(c)+2n\cdot \pi, \text{ or } x=-\cos^{-1}(c)+2n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
En definitiva, escribimos
\[\boxed{x=\pm\cos^{-1}(c)+2n\cdot \pi } \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Resolver para\(x\).
- \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos(x)=0.6\)
- \(\cos(x)=-3\)
- \(\cos(x)=-1\)
Solución
- Primero, tenemos que encontrar\(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). De la ecuación [equ:COS-1 (-x)] lo sabemos\(\cos^{-1}(-c)=\pi-\cos^{-1}(c)\), así que:
\[\cos^{-1}\bigg(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=\quad \pi-\cos^{-1}\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)= \quad \pi- \dfrac{\pi}{4}=\quad \dfrac{4\pi-\pi}{4}=\quad \dfrac{3\pi}{4}\]
Por lo tanto, la solución es,
\[x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2n\pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
- Calculamos\(\cos^{-1}(0.6)\approx 0.927\) con la calculadora. Por lo tanto, la solución general es,
\[x=\pm\cos^{-1}(0.6)+2n\pi\quad\approx \pm 0.927+2n\pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber\]
- Como el coseno es siempre\(-1\leq\cos(x)\leq 1\), el coseno nunca puede serlo\(-3\). Por lo tanto, no hay solución a la ecuación\(\cos(x)=-3\). Esto también se puede ver a partir de la gráfica que no se intersecta con la línea horizontal\(y=-3\).
- Una solución especial de\(\cos(x)=-1\) es
\[\cos^{-1}(-1)=\pi-\cos^{-1}(1)=\pi-0=\pi \nonumber \]
para que la solución general sea
\[x=\pm\pi+2n\pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Sin embargo\(-\pi+2\pi=+\pi\), ya que, las soluciones\(\pi+2n\pi\) y\(-\pi+2n\pi\) (for\(n=0,\pm1,\pm 2, \dots\)) pueden identificarse entre sí, y solo hay una solución en cada periodo. Así, la solución general puede escribirse como
\[x=\pi+2n\pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Las gráficas\(y=\cos(x)\) y\(y=-1\) confirman estas consideraciones.
La ecuación\(\sin(x)=c\)
Resolver para\(x\):\(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Solución
Primero, podemos encontrar una solución obvia\(x=\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{4}\). Además, de la ecuación superior derecha en [equ:Basic-TRIG-EQNS-WRT-PI], tenemos eso\(\sin(\pi-x)=\sin(x)\), de modo que otra solución viene dada por\(\pi-\dfrac{\pi}{4}\):
\[\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \nonumber \]
(Esto también se puede ver volviendo a la definición del círculo unitario). Todas estas son soluciones dentro de un periodo, como se puede comprobar a partir de la gráfica anterior. La función\(y=\sin(x)\) es periódica con periodo\(2\pi\), por lo que sumar\(2n\cdot \pi\) para cualquier\(n=0,\pm 1, \pm 2, \dots\) da todas las soluciones de\(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Esto significa que la solución general es:
\[x=\dfrac{\pi}{4}+2n\cdot \pi, \text{ or }x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+2n\cdot \pi, \quad \text{ for } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Reescribimos estas soluciones para obtener una sola fórmula para las soluciones. Tenga en cuenta, eso\(\pi-\dfrac{\pi}{4}+2n\cdot \pi=-\dfrac{\pi}{4}+(2n+1)\cdot \pi\). Por lo tanto, todas las soluciones son de la forma
\[x= \pm\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi \nonumber \]
donde, para par\(k=2n\), el letrero delante de\(\dfrac{\pi}{4}\) es “\(+\),” y, para impar\(k=2n+1\), el signo delante de\(\dfrac{\pi}{4}\) es “”\(-\). Esto se puede resumir como:
\[x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi \nonumber \]
Cambiando el nombre de la variable de indexación\(k\) a la habitual\(n\), obtenemos la versión final para las soluciones de\(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\[x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{4}+n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Tenemos la siguiente declaración general.
Para resolver\(\sin(x)=c\), primero determinamos una solución\(x=\sin^{-1}(c)\). Entonces la solución general viene dada por
\[\boxed{x=(-1)^n\cdot \sin^{-1}(c)+n\cdot \pi} \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\]
Resolver para\(x\).
- \(\sin(x)=\dfrac{1}{2}\)
- \(\sin(x)=-\dfrac{1}{2}\)
- \(\sin(x)=-\dfrac{5}{7}\)
- \(\sin(x)=1\)
Solución
- Primero, calculamos\(\sin^{-1}\left(\dfrac 1 2\right)=\dfrac{\pi}{6}\). Por lo tanto, la solución general es,
\[x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{6}+n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
- Primero, tenemos que encontrar\(\sin^{-1}\left(-\dfrac 1 2\right)\). De la ecuación [equ:SIN-1 (-x)] sabemos eso\(\sin^{-1}(-c)=-\sin^{-1}(c)\), así que eso\(\sin^{-1}\left(-\dfrac 1 2\right)=-\sin^{-1}\left(\dfrac 1 2\right)=-\dfrac{\pi}{6}\). Declaramos así la solución general como
\[x=(-1)^{n} \cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+n \cdot \pi=-(-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{6}+n \cdot \pi=(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{6}+n \cdot \pi , \text{ where } n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \nonumber \]
- No tenemos un valor exacto de\(\sin^{-1}\left(-\dfrac 5 7\right)\), por lo que o necesitamos dejarlo como esto, o aproximarlo con la calculadora\(\sin^{-1}\left(-\dfrac 5 7\right)\approx -0.796\). Obtenemos la solución:
\[x \approx(-1)^{n} \cdot(-0.796)+n \cdot \pi=(-1)^{n+1} \cdot 0.796+n \cdot \pi , \text{ where } n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \nonumber \]
- Calculamos\(\sin^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{2}\). La solución general\(x\) se puede escribir como
\[\label{EQU:a-trig-example} x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \]
Ahora bien, si miramos la gráfica, vemos que cada periodo sólo tiene una solución.
Álgebraicamente, podemos ver esto de la siguiente manera. Para un número par\(n\), la solución\(x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi\) coincide con la solución proveniente del índice\(n+1\), es decir:
\[\begin{aligned} (-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi &= +\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi, \text{ and } \\ (-1)^{n+1}\cdot\dfrac{\pi}{2}+(n+1)\cdot \pi &= -\dfrac{\pi}{2}+(n+1)\cdot \pi = -\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi +\pi\\ &= +\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi\end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto, podemos escribir la solución de manera más eficiente eliminando las soluciones impares (ya que coinciden con las soluciones pares), y declararlas como
\[x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0, \pm 2, \pm 4, \dots \nonumber \]
Ya que\((-1)^n=+1\) para par\(n\), solo podemos escribir esto como
\[\label{EQU:a-trig-example-simplified} x=\dfrac{\pi}{2}+2n\cdot \pi, \quad \text{ where } n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \]
Escribir las soluciones\(x=\dfrac{\pi}{2}+2n\cdot \pi\) como en\(\ref{EQU:a-trig-example-simplified}\) lugar del original\(x=(-1)^n\cdot\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi\) desde\(\ref{EQU:a-trig-example}\) para\(n=0,\pm1, \pm2, \dots\) ciertamente no cambia el conjunto general de soluciones. Sin embargo, escribir las soluciones como en\(\ref{EQU:a-trig-example-simplified}\) es más eficiente, ya que no repite ninguna de las soluciones, y por lo tanto es una forma simplificada y preferida de presentar las soluciones.
Resumen
Resumimos las diferentes fórmulas que utilizamos para resolver las ecuaciones trigonométricas básicas en la siguiente tabla.
| Resolver:\(\sin (x)=c\) | Resolver:\(\cos (x)=c\) | Resolver:\(\tan (x)=c\) |
|---|---|---|
| \ (\ sin (x) =c\) ">
Primero, encuentre una solución, es decir:\(\sin ^{-1}(c)\) Uso:\(\sin ^{-1}(-c)=-\sin ^{-1}(c)\) |
\ (\ cos (x) =c\) ">
Primero, encuentre una solución, es decir:\(\cos ^{-1}(c)\) Uso:\(\cos ^{-1}(-c)= \pi -\cos ^{-1}(c)\) |
\ (\ tan (x) =c\) ">
Primero, encuentre una solución, es decir:\(\tan ^{-1}(c)\) Uso:\(\tan ^{-1}(-c)=-\tan ^{-1}(c)\) |
| \ (\ sin (x) =c\) ">
La solución general es: \(\boxed {x=(-1)^{n} \sin ^{-1}(c)+n \pi} \) donde\(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) |
\ (\ cos (x) =c\) ">
La solución general es: \(\boxed {x=\pm \cos ^{-1}(c)+2 n \pi} \) donde\(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) |
\ (\ tan (x) =c\) ">
La solución general es: \(\boxed {x=\tan ^{-1}(c)+n \pi} \) donde\(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) |
Encuentre la solución general de la ecuación y establezca al menos soluciones\(5\) distintas.
- \(\sin(x)=-\dfrac{1}{2}\)
- \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Solución
- Ya calculamos la solución general en el ejemplo\(\PageIndex{6}\) (b). Es
\[x=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+n\cdot \pi, \quad \text{where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Simplificamos las soluciones para\(n=0,1,-1,2,-2\).
\[\begin{aligned} n=0: x&= (-1)^{0+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+0\cdot \pi =-\dfrac{\pi}{6} \\ n=1: x&= (-1)^{1+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+1\cdot \pi =\dfrac{\pi}{6}+\pi =\dfrac{\pi+6\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6} \\ n=-1: x&= (-1)^{-1+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+(-1)\cdot \pi =\dfrac{\pi}{6}-\pi =\dfrac{\pi-6\pi}{6}=\dfrac{-5\pi}{6} \\ n=2: x&= (-1)^{2+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+2\cdot \pi =-\dfrac{\pi}{6}+2\pi =\dfrac{-\pi+12\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6} \\ n=-2: x&= (-1)^{-2+1}\cdot\dfrac{\pi}{6}+(-2)\cdot \pi =-\dfrac{\pi}{6}-2\pi =\dfrac{-\pi-12\pi}{6}=\dfrac{-13\pi}{6}\end{aligned} \nonumber \]
- Lo es\(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi-\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{6\pi-\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\). Las soluciones de\(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) son:
\[x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi, \quad\text{ where } n=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \nonumber \]
Escribimos las\(6\) soluciones con\(n=0,+1,-1\), y para cada uso los dos primeros términos distintos\(+\dfrac{5\pi}6\) y\(-\dfrac{5\pi}6\).
\[\begin{aligned} n=0: x&= +\dfrac{5\pi}6+2\cdot 0 \cdot \pi=\dfrac{5\pi}6 \\ n=0: x&= -\dfrac{5\pi}6+2\cdot 0 \cdot \pi=-\dfrac{5\pi}6 \\ n=1: x&= +\dfrac{5\pi}6+2\cdot 1 \cdot \pi=\dfrac{5\pi}6+2\pi=\dfrac{5\pi+12\pi}{6}=\dfrac{17\pi}{6} \\ n=1: x&= -\dfrac{5\pi}6+2\cdot 1 \cdot \pi=-\dfrac{5\pi}6+2\pi=\dfrac{-5\pi+12\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6} \\ n=-1: x&= +\dfrac{5\pi}6+2\cdot (-1) \cdot \pi=\dfrac{5\pi}6-2\pi=\dfrac{5\pi-12\pi}{6}=\dfrac{-7\pi}{6} \\ n=-1: x&= -\dfrac{5\pi}6+2\cdot (-1) \cdot \pi=-\dfrac{5\pi}6-2\pi=\dfrac{-5\pi-12\pi}{6}=\dfrac{-17\pi}{6}\end{aligned} \nonumber \]
Se pueden encontrar otras soluciones tomando valores\(n=+2,-2,+3,-3,\dots\).