1.5: Logaritmos y Funciones Exponenciales

En esta sección, discutiremos las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales. Las reglas de exponentes que aprendimos en la última sección también se aplican a los exponentes que vemos en las funciones exponenciales, por lo que aquí nos centraremos en la relación entre funciones exponenciales y logarítmicas. Como mencionamos anteriormente, estas funciones son inversas entre sí, en el mismo sentido que las raíces cuadradas y la cuadratura son inversas unas de otras.

Las funciones logarítmicas y exponenciales se utilizan para describir muchas aplicaciones, como el crecimiento de la población y el valor de las inversiones a lo largo del tiempo. Los logarítmicos son muy frecuentes en cursos posteriores como las ecuaciones diferenciales, por lo que una comprensión sólida de sus propiedades ahora te ayudará a prepararte para estos cursos posteriores.

1.5.1: La relación entre funciones logarítmicas y exponenciales

Vimos antes que una función exponencial es cualquier función de la forma\(f(x)=b^x\), dónde\(b>0\) y\(b\neq1\). Una función logarítmica es cualquier función de la forma\(g(x)=\log_b{(x)}\), donde\(b>0\) y\(b\neq1\). No es casualidad que ambas formas tengan las mismas restricciones\(b\) porque son inversas la una de la otra. Esto significa que, por el mismo valor de\(b\),\(b^{\log_b{(x)}}=x\) para\(x>0\) y\(\log_b{b^x}=x\).

También discutimos dos funciones logarítmicas de uso común que tienen notación especial. La función logarítmica\(f(x)=\log{(x)}\) es una forma especial de escribir\(f(x)=\log_{10}{(x)}\) y\(g(x)=\ln{x}\) es una forma especial de escribir\(g(x)=\log_e{(x)}\). Estos también tienen nombres especiales;\(\log{(x)}\) se llama logaritmo común y\(\ln{(x)}\) se llama logaritmo natural. Tenga en cuenta que\(e\) es solo un número:\(e \approx 2.71828\);\(e\) es un número irracional, igual que\(\pi\), lo que significa que no se puede escribir como una fracción de números enteros.

Veamos algunos ejemplos concretos para ayudar a ilustrar esta relación. Echemos un vistazo\(b=2\). Para\(b=2\),\(f(x)=2^x\). Entonces, podemos ver eso\(f(3)=2^3 = 8\). Ya que son funciones inversas,\(g(8) = \log_2{(8)} =3\). En general esto se explica como:

\[ \text{If }a=b^c \text{, then }c=\log_b{(a)}. \label{log}\]

Otra forma de pensarlo es usar la pregunta “¿y se eleva b a qué poder?” cuando veas\(\log_b{(y)}\). Por ejemplo, cuando vemos\(\log_2{(16)}\), preguntamos “¿16 es 2 elevado a qué poder?” A través de un poco de conjetura y cheque obtenemos\(2^1=2\)\(2^2=4\),\(2^3=8\),, y\(2^4=16\). Esto nos dice que 2 elevado al 4\(^{th}\) poder nos da 16, entonces\(\log_2{(16)}=4\). Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Evaluating Logarithmic Functions

Evalúe cada una de las siguientes afirmaciones:

\[\begin{array}{lll}{\text{1. }\log_{3}(9)}&{\qquad}&{\text{4. }\log_{2}(2)} \\ {\text{2. }\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)}&{\qquad}&{\text{5. }\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)} \\ {\text{3. }\log_{9}(3)}&{\qquad}&{\text{6. }\log_{2}1}\end{array}\nonumber\]

Solución

Trabajaremos en estos uno a la vez.

1. Para esta afirmación, estamos respondiendo a la pregunta “¿9 es 3 elevado a qué poder?” Podemos ver a través de un poco de prueba y error eso\(3^2=9\), así que lo conseguimos
   \[\log_{3}(9)=2\]
2. Para esta afirmación, estamos respondiendo a la pregunta “¿\(\frac{1}{9}\)se plantea 3 a qué poder?” Vimos en la pregunta anterior aquello\(\log_3{(9)} = 2\) que nos da un indicio de que nuestra respuesta está relacionada con 2, pero\(3^2\) que necesitamos estar en el denominador. Ya que\(3^{-2} = \frac{1}{9}\), conseguimos que
   \[\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)=-2\]
3. Para esta afirmación, tenemos una base diferente. Aquí nuestra base es 9, así que estamos respondiendo a la pregunta “¿3 es 9 elevado a qué poder?” Tal vez lo reconozcas\(\sqrt{9}=3\); vimos en nuestro último apartado que otra forma de escribir\(\sqrt{9}\) es\(9^{1/2}\). Esto nos dice que
   \[\log_{9}(3)=\frac{1}{2}\]
4. Para esta afirmación, estamos respondiendo a la pregunta “¿2 es 2 elevado a qué poder?” Rápidamente podemos ver eso\(2^1=2\), así lo conseguimos
   \[\log_{2}(2)=1\]
5. Para esta afirmación, estamos respondiendo a la pregunta “¿\(\frac{1}{2}\)se plantea 2 a qué poder?” Este es un poco complicado, pero hemos visto algo similar en la pregunta 2. En la pregunta 2, vimos que porque teníamos una fracción con una potencia de 3 (la base con la que estábamos trabajando) en el denominador, que nuestra respuesta final fue negativa. Aquí si lo intentamos\(2^{-1}\), lo conseguimos\(\frac{1}{2}\). Esto nos dice que
   \[\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=-1\]
6. Para esta afirmación, estamos respondiendo a la pregunta “¿1 es 2 elevado a qué poder?” Sabemos que nuestra respuesta no puede ser un entero positivo porque 2 elevado a un entero positivo se hace más grande, y sabemos que no puede ser un entero negativo ya que 2 elevado a un entero negativo da números menores que 1. Veamos qué pasa si intentamos cero:\(2^0=1\), entonces tenemos eso
   \[\log_{2}(1)=0\]

Recomendamos revisar estas preguntas e identificar patrones. ¿Cuándo obtuvimos una respuesta positiva? ¿Cuándo obtuvimos una respuesta negativa? ¿Cuándo obtuvimos una respuesta fraccionaria? ¿Puedes probar algunos problemas similares y ver si tus respuestas se ajustan a los patrones que identificaste? No tuvimos ninguna respuesta que fuera fracciones negativas; ¿se te ocurre tal problema? Observe que todas nuestras preguntas tuvieron aportes positivos; no es posible encontrar una respuesta con una entrada negativa. ¿Por qué? Volvamos a pensar en la pregunta que hicimos para cada problema anterior. Si tratamos de evaluar\(\log_2{(-2)}\) pediríamos “-2 es 2 elevado a qué poder?” ¿Hay un exponente, digamos\(x\), dónde\(2^x=-2\)? ¡No! No podemos tomar un número positivo y elevarlo a una potencia y terminar con un número negativo.

1.5.2: Reglas de logaritmo

Tenemos cinco reglas principales que necesitaremos usar al trabajar con logaritmos. Todas estas reglas se basan en las reglas que tenemos para los exponentes. Asegúrese de tener cuidado con los detalles en cada una de estas reglas; en algunas de ellas todos los logaritmos tienen la misma base, pero en otros la base cambia para mostrar la relación entre diferentes funciones logarítmicas. Como ya hemos visto, la base juega un papel importante en el significado específico de la función, así que ten en cuenta las reglas que tienen la misma base en todas partes y las reglas donde cambia la base. Adicionalmente, recuerde que cada base debe ser positiva y no igual a una; además, todos los insumos deben ser positivos.

• \(\log_b{(x^a)} = a \log_b{(x)}\)

• \(\log_b{(xy)} = \log_b{(x)} + \log_b{(y)}\)

• \(\displaystyle \log_b{\Bigg( \frac{x}{y} \Bigg)} = \log_b{(x)} - \log_b{(y)}\)

• \(\displaystyle \log_a{(b)} = \frac{1}{\log_b{(a)}}\)

• \(\displaystyle \log_b{(x)} = \frac{\log_c{(x)}}{\log_c{(b)}}\)

Todas estas reglas se pueden usar en cualquier dirección; puedes comenzar con el formulario de la izquierda y reescribir como el formulario a la derecha o puedes comenzar con el formulario de la derecha y reescribir como el formulario de la izquierda. No vamos a explicar todos estos en detalle, pero ilustraremos ejemplos para los dos primeros.

Con la primera regla, podemos obtener una idea de la pregunta que usamos anteriormente para evaluar nuestros logaritmos. Veremos un ejemplo concreto más que un caso general. Supongamos que queremos evaluar\(\log_2{(8^4)}\). Antes de llegar a nuestra pregunta, reescribamos esto un poco. Podemos escribir\(\log_2{(8^4)}=\log_2{((2^3)^4)}\) desde entonces\(8=2^3\). A continuación, podemos usar nuestras reglas de exponente para obtener\(\log_2{((2^3)^4)} = \log_2{(2^{12})}\). Ahora, respondiendo a nuestra pregunta “¿\(2^{12}\)se plantea 2 a qué poder? ”, obtenemos 12. Entonces, en general, tenemos\(\log_2{(8^4)} = 12\). Ahora, trabajando del otro lado, tenemos\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 12 &= 4 \times 3 \\ &= 4 \log_2{(8)} \end{split}\end{aligned}\end{align}\] Juntando ambas piezas, tenemos\(\log_2{(8^4)} = 4\log_2{(8)}\).

La segunda regla también se desprende de las reglas de exponentes. Echemos un vistazo:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \log_2{(2^3)} + \log_2{(2^4)} & = 3 + 4 \text{ from the definition of log base 2}\\ & = 7 \\ & = \log_2{(2^7)} \\ & = \log_2{(2^3\times 2^4)} \text{ from our exponent rules} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ilustramos cada una de estas reglas usando algunos valores fáciles de trabajar, pero son ciertos para todos los valores, siempre y cuando tengamos una base positiva que no sea una y evitemos entradas negativas. Todas las otras reglas pueden ilustrarse de manera similar. (Nota: es posible que desee tratar de crear sus propios ejemplos para estas reglas para ayudarlo a comprender por qué estas reglas son ciertas). Veamos un ejemplo donde ponemos en práctica estas reglas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Combining Logarithms

Escribir\(5\log_2{(x)} + 3\log_2{(2y)}\) como un solo logaritmo.

Solución

Actualmente, este término es la suma de dos logaritmos, ambos con la misma base, y queremos escribirlo como un solo logaritmo. Parece que es posible que queramos comenzar con la segunda regla,\(\log_b{(xy)} =\log_b{(x)} + \log_b{(y)}\). Parece que ya estamos en la forma del lado derecho. No obstante, hay un tema. Actualmente, ambos logaritmos se multiplican por una constante, y la segunda regla no tiene coeficientes sobre los logaritmos. Tendremos que usar la primera regla para mover estos coeficientes dentro de los logaritmos antes de usar la segunda regla. Obtenemos

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5\log_2{(x)} + 3\log_2{(2y)} & = \log_2{(x^5)} + \log_2{((2y)^3)} \\ & = \log_2{(x^5)} + \log_2{(8y^3)} \\ & = \log_2{[(x^5)(8y^3)]} \\ & = \log_2{(8x^5y^3)} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Observe que cuando entró el 3 en el segundo término, tuvimos cuidado de aplicarlo como exponente a todo lo que está dentro del logaritmo, y no solo al\(y\). Lo conseguimos

\[5\log_{2}(x)+3\log_{2}(2y)=\log_{2}(8x^{5}y^{3})\]

A veces vamos a querer ir en dirección opuesta y dividir un solo logaritmo en la suma o diferente de muchos logaritmos. Echemos un vistazo a un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Splitting Logarithms

\(\displaystyle \ln{\Bigg( \frac{2x^3y^3}{wz^5}\Bigg)}\)Expandir en la suma y/o diferencia de múltiples logaritmos.

Solución

Aquí, queremos reescribir tantos logaritmos más simples. Primero, vemos que los logaritmos tienen un cociente dentro, así podemos usar la tercera regla para dividirlo:

\[\ln{\Bigg( \frac{2x^3y^3}{wz^5}\Bigg)} = \ln{(2x^3y^3)} - \ln{(wz^5)}\]

Ahora, tenemos productos dentro de ambos términos, por lo que podemos usar la segunda regla para dividir estos:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \ln{(2x^3y^3)} - \ln{(wz^5)} &= \ln{(2)} + \ln{(x^3y^3)} - \ln{(wz^5)} \\ & = \ln{(2)} + \ln{(x^3)} + \ln{(y^3)} - \ln{(wz^5)} \\ & = \ln{(2)} + \ln{(x^3)} + \ln{(y^3)} - [\ln{(w)} + \ln{(z^5)}] \\ & = \ln{(2)} + \ln{(x^3)} + \ln{(y^3)} - \ln{(w)} - \ln{(z^5)} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, para el último paso, podemos llevar a los exponentes al exterior de cada término, dándonos

\[= \ln{(2)} + 3\ln{(x)} + 3\ln{(y)} - \ln{(w)} -5\ln{(z)}\]

Observe que tuvimos cuidado de usar paréntesis alrededor\(\ln{(wz^5)}\) cuando lo dividimos por el signo negativo. En la forma original estamos dividiendo por w y por\(z^3\) lo que necesitamos asegurarnos de que ambos términos se resten cuando dividimos los logaritmos. Además, no evaluamos\(\ln{(2)}\). Ya que\(\ln{(2)}\) es realmente\(\log_e{(2)}\) y 2 no se hace subiendo\(e\) a un entero o fracción,\(\ln{(2)}\) es un decimal no repetitivo. Esto significa que es mejor dejar\(\ln{(2)}\) en nuestra respuesta que usar una calculadora para evaluarla porque esta forma es más precisa. Esto significa que nuestra respuesta final es

\[\ln\left(\frac{2x^{3}y^{3}}{wz^{5}}\right)=\ln(2)+3\ln(x)+3\ln(y)-\ln(w)-5\ln(z)\]

1.5.3: Resolviendo Declaraciones Exponenciales

Los logaritmos también se utilizan para resolver declaraciones exponenciales, declaraciones donde la variable es parte de un exponente. Al resolver una declaración exponencial, primero necesitamos aislar el término exponencial. Una vez que hemos aislado el término exponencial, podemos tomar un logaritmo de ambos lados. No queremos tomar cualquier logaritmo, queremos usar un logaritmo que tenga la misma base que el exponente para que podamos simplificar fácilmente nuestra respuesta final. Después de haber tomado un logaritmo de ambos lados, podemos usar nuestras reglas de logaritmo para llevar al exponente (que tiene la variable) fuera del logaritmo para que podamos resolver para la variable. Echemos un vistazo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Solving an Exponential Statement

Resolver\(5^{3x-1} - 2 =0\) para x.

Solución

Primero, necesitaremos aislar el término exponencial,\(5^{3x-1}\). Entonces, tomaremos la base de troncos 5 de ambos lados ya que el exponente tiene 5 como base.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5^{3x-1} - 2 & = 0 \\ 5^{3x-1} & = 2 \\ \log_5{\Big( 5^{3x-1} \Big)} & = \log_5{(2)} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, usaremos nuestras reglas de logaritmo para llevar x fuera del logaritmo. Esto da

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} (3x-1)\log_5{(5)} & = \log_5{(2)} \\ (3x-1)(1) & = \log_5{(2)} \\ 3x-1 & = \log_5{(2)} \\ 3x & = \log_5{(2)} +1 \\ x & = \frac{\log_5{(2)}+1}{3} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que cuando sacamos al exponente fuera del logaritmo, mantuvimos a todo el exponente dentro de paréntesis. Esto es para asegurarnos de que no distribuimos incorrectamente los términos. Adicionalmente, observe que nuestra respuesta final aún incluye un término logaritmo. Esto se debe a\(\log_5{(2)}\) que no evalúa a un número “agradable”, por lo que es más preciso escribir nuestra respuesta final de esta manera en lugar de usar una calculadora o computadora para evaluar ese término. Nuestra respuesta final es

\[5^{3x-1}-2=0\text{ solves to give }x=\frac{\log_{5}(2)+1}{3}\]

Observe que en este ejemplo, terminamos con\(\log_5{(5)}\) como parte de nuestro trabajo. Sabemos que esto simplemente evalúa a 1. Es por ello que usamos log base 5, y no un logaritmo diferente. Cualquier logaritmo nos permitiría resolver para\(x\), pero usar log base 5 facilita la simplificación de nuestra respuesta final.

A veces necesitarás resolver para una declaración que tenga dos términos exponenciales. Cuando esto sucede, es posible que pueda emplear una técnica útil para resolver. Echemos un vistazo a un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Solving an Exponential Statement

Resolver\(4^{2y+1} = 2^{y-1}\) para\(y\).

Solución

Con este tipo de problemas, queremos mirar ambas bases y ver si están relacionadas de alguna manera. Aquí, tenemos una base de 2 a la derecha y una base de 4 a la izquierda. Probablemente te darás cuenta de eso\(4=2^2\); podemos usar esto a nuestro favor a la hora de resolver. Empecemos por reescribir nuestra declaración usando este hecho.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 4^{2y+1} &= 2^{y-1} \\ (2^2)^{2y+1} & = 2^{y-1} \\ 2^{2(2y+1)} & = 2^{y-1} \\ 2^{4y+2} & = 2^{y-1} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que aquí estamos usando nuestras reglas de exponente, específicamente la regla\((x^a)^b=x^{ab}\). Esto nos permite reescribir la declaración para que ambos términos tengan la misma base. Ya que los dos términos tienen la misma base y son iguales entre sí, sabemos que deben tener exponentes iguales. Esto nos da

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 4y+2 &= y-1 \\ 3y &=-3 \\ y&= -1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Nuestra respuesta final es

\[4^{2y+1}=2^{y-1}\text{ solves to give }y=-1\]

Podríamos resolver este problema sin utilizar esta técnica. Nos gustaría tomar ya sea la base de troncos 2 de ambos lados o la base de troncos 4 de ambos lados. Entonces, necesitaríamos usar reglas de logaritmo para simplificar y sacar los\(y\) términos fuera del logaritmo antes de resolverlo. Ambos métodos dan como resultado la misma respuesta; puedes practicar tus habilidades de logaritmo usando este método alternativo y comparando tu respuesta final con la anterior; deben ser idénticas.

1.5.4: Resolver sentencias logarítmicas

Una declaración logarítmica es una declaración en la que la variable de interés es una entrada a un logaritmo. Como sabemos, logaritmos y funciones exponenciales están estrechamente relacionados, por lo que no es de sorprender que usemos funciones exponenciales para ayudar a resolver declaraciones logarítmicas. Aquí, volveremos a utilizar el hecho de que son funciones inversas, como lo demuestra nuestra definición de logaritmo. Veamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Solving a Logarithmic Statement

Resolver\(\log_5{(2x+3)}=2\) para\(x\).

Solución

Aquí, el logaritmo ya está aislado en un lado, por lo que podemos comenzar usando la definición de logaritmos que se muestra en la ecuación\(\eqref{log}\) para eliminar el logaritmo de nuestra ecuación.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \log_5{(2x+3)} & = 2 \text{, then, from our definition,} \\  2x+3 &= 5^2 \\ 2x+3 &= 25 \\ 2x & = 22 \\ x &= 11 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Nuestra respuesta final es

\[\log_{5}(2x+3)=2\text{ solves to give }x=11\]

Recuerda cuando se trabaja con logaritmos o funciones exponenciales que están fuertemente ligados entre sí: al resolver una declaración logarítmica necesitamos usar exponentes y al resolver declaraciones exponenciales necesitamos usar logaritmos.