3.12: Apéndice- Determinación del Precio de Venta Óptimo mediante Ecuaciones de Demanda, Ingresos y Costo

A pesar de que Joan es economista, su conocimiento del mercado de cajas de joyería se basó en la experiencia y el conocimiento. Entiende el mercado porque ha comprado y vendido joyeros y sus materias primas y las ha construido desde cero. Joan decidió que debía poner a trabajar parte de su formación en economía y determinar el precio y la cantidad ideales para vender que generaría la mayor ganancia.

La curva de demanda típica tiene el precio en el eje y y la cantidad demandada en el eje x y tiene pendiente hacia abajo.Consulte el siguiente sitio Web para una buena discusión de la Ley de Demanda: http://www.investopedia.com/terms/l/lawofdemand.asp Una curva de demanda puede representarse como una fórmula matemática lineal con cantidad como variable dependiente (q = −5 p + 400) o con precio como variable dependiente (p = −5 q + 80). Una curva de demanda es un diagrama muy útil para describir la relación entre el nivel de precios y la cantidad demandada en cada nivel de precios. En general, a medida que aumenta el precio de un producto, disminuye la demanda del bien. De igual manera, a medida que disminuye el precio de un producto, aumenta la demanda del bien. En esta sección se analiza cómo se puede utilizar la curva de demanda para identificar el precio y la cantidad óptimos para vender solo una versión de un producto.

Dado que Joan es una casi monopolio trabajando en un mercado caracterizado por la competencia monopolística, puede fijar sus costos variables y costos fijos dentro de ciertos límites relacionados con las características que ha establecido para sus Joyeros. Joan usó álgebra para encontrar el precio de venta óptimo para su joyero estándar. Este es el precio que genera mayor beneficio dados los costos variables de $15 y los costos fijos de $2,000.

Su primera tarea fue desarrollar una ecuación de demanda. La ecuación de demanda relaciona la cantidad del bien demandado por los consumidores con el precio del bien. Las ecuaciones de demanda están en la forma: Precio = constante + pendiente*cantidad. Esto se puede calcular encontrando la pendiente de la curva usando dos puntos cualesquiera (ver Figura 3.9 “Se utilizan dos puntos para derivar la curva de demanda”). Utilizaremos los puntos (q 1, p 1) o (100, $60) y (q 2, p 2) o (200, $40). La pendiente es la subida sobre la pista o:

Pendiente = (60 − 40)/(100 − 200)

Pendiente = 20/−100

Pendiente = −0.2

La constante se calcula determinando dónde la línea de demanda cruza el eje y o, en esta situación, el precio o el eje P. Esto se logra usando la forma de pendiente de punto de la ecuación de demanda y cualquier punto como (100, $60). La constante resultante es 80.

p − p 1 = pendiente (q − q 1)

p − 60 = −0.2 (q − 100)

p = 60 + 0.2 q + 20

p = 80 − 0.2 q

Figura 3.9 Se utilizan dos puntos para derivar la curva de demanda

En muchos casos, la curva de demanda se expresa en términos de p porque el precio determina la cantidad demandada. Simplemente puede sustituir un precio en la siguiente fórmula y averiguar cuántas unidades se venderán.

q = −5 p + 400

Entonces, si Joan decide poner el precio de cada caja en 50 dólares, entonces podrá vender 150 unidades.

Ahora que se ha encontrado la ecuación de demanda (p = −0.2 q + 80 o q = −5 p + 400), el siguiente paso de Joan fue determinar la cantidad donde se maximizan las ganancias. Esto se logra identificando dónde los ingresos marginales equivalen al costo marginal. Esto se completa en dos pasos. El primer paso es sustituir la ecuación de la curva de demanda por la ecuación de ingresos totales para obtener el cálculo de ingresos totales en términos de la cantidad vendida o q.

p = 80 − 0.2 q Ingresos totales = p × q Ingresos totales = (80 − 0.2 q) × q Ingresos totales = 80 q − 0.2 q ²

La ecuación anterior puede ser utilizada para expresar los ingresos totales en función de la cantidad producida. Podemos verificar esta respuesta sustituyendo 200 en la ecuación de ingresos totales. Por ejemplo, el ingreso total cuando la producción es de 200 unidades sería de 80 × 200 − 0.2 × 200 ² o $8,000. Este es el mismo valor para los ingresos totales usando la ecuación p × q para los ingresos totales ($40 × 200 = $8,000).

El segundo paso es encontrar la cantidad donde el costo marginal equivale a ingresos marginales. Esto se logra tomando la primera derivada de la ecuación de ingresos totales con respecto a q. Esto luego se establece en el costo marginal y luego se resuelve para q. El costo marginal es en realidad el costo variable en este ejemplo. El costo marginal para producir un joyero adicional es de $15.

Ingresos totales = 80 q − 0.2 q ² Ingresos marginales = d tr /d q = 80 − 0.4 q Ingresos marginales = Costo marginal80 − 0.4 q = 15−0.4 q = −65 q = 162.5

La cantidad de 162.5 se redondea hasta 163 y luego se sustituye en la ecuación p = 80 − 0.2 q.

p = 80 − 0.2 (163) p = 47.4

El precio de 47.4 se redondeó a la baja a 47 dólares. Esta es la solución óptima de ingresos a corto plazo.

Beneficio = $47 × 163 − $15 × 163 − $2,000Beneficio = $3,216

Joan decidió después de su análisis producir menos cajas de joyería ya que podría ganar más dinero vendiendo menos cajas a un precio más alto. Ella podría haber hecho un análisis similar usando software de hojas de cálculo y llegar a una solución similar. Sin embargo, todavía necesitaría la función de demanda original junto con una comprensión de sus costos variables y fijos para producir los joyeros.

Solución óptima para tres versiones de joyero

El tablero de demanda también se puede utilizar para determinar la solución óptima cuando hay tres joyeros. La solución óptima se calcula utilizando un algoritmo de programación matemática que generalmente se conoce como un complemento de solucionador en los programas de hojas de cálculo (ver Figura 3.10 “Ganancia óptima con tres versiones de cajas de joyería”). El solucionador identifica esencialmente el precio para el Athena, el Stryker y el Natural que maximizaría el beneficio con todas las demás variables como los costos variables permaneciendo igual.

Como puede ver en la Figura 3.10 “Ganancia Óptima con Tres Versiones de Joyeros”, el precio óptimo de Athena sería de $76.25 y se venderían alrededor de 19 unidades. El precio óptimo para el Stryker sería de $57.50 y se venderían alrededor de 94 unidades. El Natural tendría un precio de $33.75 y vendería 119 unidades. El beneficio neto para las tres versiones sería de $5,672. Esto contrasta con la solución no optimizada de $4,500. Joan acaba de elegir los precios para cada versión usando su intuición y conocimiento de lo que los consumidores estarían dispuestos a pagar.

Figura 3.10 Ganancia Óptima con Tres Versiones de Cajas para Joyería

Debe tener en cuenta que la solución óptima para tener solo el producto Atlas es de $3,281. Esto es poco diferente a la solución de $3,216 obtenida usando la solución algebraica detallada en la última sección porque redondeamos el precio y la cantidad en la solución algebraica.

La solución óptima proporciona información sobre la curva de demanda y la mezcla de productos, pero no es una poción mágica para fijar precios y desarrollar versiones. Hay una serie de factores que intervienen en la identificación del precio y las características de cada versión. Podría haber costos de instalación significativos para construir el Atenea o, tal vez, sería difícil encontrar empleados artísticamente talentosos para trabajar en las incrustaciones de perlas falsas por solo un par de horas. Quizás Joan no quiera enfocarse en lo Natural porque quiere enfocarse eventualmente en joyeros de lujo y le preocupa que su producto no sea considerado una oferta de alta gama debido a la proliferación de cajas de joyería económicas. Y, por supuesto, es muy difícil saber realmente si la curva de demanda es válida para todos los niveles de precios.

Curvas de demanda lineales y no lineales

La curva de demanda para un bien no tiene que ser lineal o recta. Como se ilustra en la Figura 3.11 “Curva de demanda no lineal para joyeros de Joan”, la curva de demanda podría ser curvilínea. Parece que el precio al que no hay demanda es de 80 dólares y que existe esencialmente una demanda ilimitada de cajas de joyería que cuestan 15 dólares. Examinemos cómo una curva diferente y, en particular, una no lineal podría influir en la cantidad de ingresos generados. Usando la Figura 3.11 “Curva de demanda no lineal para Joyeros de Joan”, si Joan cobra 60 dólares por la unidad Athena, vendería 50 unidades. Si cobraba $40 por el modelo Stryker, vendería 50 unidades (100 − 50). Si cobraba $20 por el Natural, vendería 150 unidades (250 − 100). Si Joan aún tuviera la misma estructura de costos variables que antes, generaría los siguientes ingresos y ganancias:

Beneficio = ($60 − $30) × 50 + ($40 − $15) × 50 + ($20 − $10) × 150 − $2,000 ← {costos fijos} Beneficio = $1,500 + $1,500 + $1,500 − $2,000Beneficio = $4,500 − $2,000Beneficio = $2,500

Figura 3.11 Curva de Demanda no Lineal para Cajas Joyeras de Joan

Esta cantidad es notablemente menor que la solución algebraica de $3,216 ($47 × 163 − $15 × 163 − $2,000) para la versión única donde se asumió que la demanda era lineal. Este ejemplo ilustra que una ligera falta en la identificación de la función de demanda apropiada puede tener un impacto dramático en la rentabilidad. Aunque los paneles de demanda y diferenciación solo pueden tratar relaciones lineales, podemos estimar una función lineal usando solo una porción de la curva de demanda. Parece que existe una relación lineal dentro del rango de precios de $20—$80. El precio donde la demanda es cero (la intercepción Y) y la pendiente de la curva de demanda se estimaron utilizando el tablero de análisis de demanda como se ilustra en la Figura 3.12 “Curva de demanda para estimación no lineal”. La Figura 3.13 “Ganancia de Joan usando estimaciones de demanda no lineal” muestra la solución para la curva de demanda no lineal utilizando el tablero de diferenciación. La diferencia clave para esta solución frente a la solución que se presentó anteriormente en el capítulo es que la curva de demanda se estimó utilizando puntos que no eran lineales con un algoritmo de regresión lineal. Esto lleva a varios resultados interesantes.

Figura 3.12 Curva de demanda para estimación no lineal

Figura 3.13 Beneficio de Joan utilizando estimaciones de demanda no lineal

El beneficio de un producto utilizando la solución óptima para la curva no lineal es de 1.415.69 dólares. Usando la Figura 3.13 “Ganancia de Joan usando estimaciones de demanda no lineal”, nuevamente se puede ver que cuando se ingresan los costos variables y fijos originales en el tablero de diferenciación, tres versiones producen una ganancia neta de $2,458. Esto contrasta con la ganancia de $4,500 para las tres versiones que utilizan la curva de demanda lineal original.

Cuando la demanda es no lineal, los economistas utilizan “trucos” para transformar un dato de demanda no lineal en una fórmula lineal.Oz Shy (2008). Por ejemplo, toman el log natural de los datos de precio y cantidad y luego realizan el análisis de regresión para desarrollar una estimación de la función. El truco que utilicé fue estimar la función de demanda utilizando únicamente precios entre $20 y $80.

Si se está introduciendo un nuevo producto, es posible que no haya datos disponibles para estimar una curva de demanda. Los datos históricos suelen ser escasos o inexistentes para nuevos productos y versiones revisadas significativamente de los productos. En ocasiones, el empresario sólo tiene dos puntos para estimar la demanda. El primer punto es donde el precio cruza el eje Y. Esta es esencialmente la cantidad máxima que la mayoría de los consumidores estarían deseosos de pagar por un producto. El segundo punto es también un guestimate utilizando una cuestión hipotética. ¿Qué demanda resultaría si tuviéramos que introducir un producto al precio de mercado vigente utilizando las características típicas del producto?

La clave para llevar es que es difícil modelar la demanda de los consumidores cuando los productos son nuevos y no probados, e incluso donde hay una proliferación de datos históricos, sigue siendo una tarea difícil. Otra conclusión es que el versionado casi siempre generará más ingresos y también mayores ganancias a largo plazo. La actividad crucial es experimentar constantemente e introducir continuamente versiones de productos para comprender la naturaleza en constante cambio del comportamiento del consumidor. Las herramientas cuantitativas pueden proporcionar información, pero deben usarse para proporcionar información y no usarse como una única solución para fijar precios y versionar productos.

Desde el punto de vista economista, el objetivo principal del versionado es capturar el excedente del consumidor. Como señaló uno de mis colegas economistas (Bill Hamlen), es muy difícil desarrollar una solución matemáticamente óptima razonable para capturar el excedente del consumidor incluso con dos versiones. Los economistas no han intentado abordar el problema del versionado por la complejidad matemática. Me he tomado la libertad de usar la misma curva de demanda para todas las versiones. En realidad, existe una curva de demanda separada para cada versión. Bill Hamlen sugirió que dado que es tan difícil encontrar una gran solución óptima, debo continuar con el enfoque utilizado en el libro porque todavía proporciona una visión del importante tema de capturar el excedente del consumidor desde una perspectiva de estrategia.